资源简介

8.5　空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行
1.空间中两条互相平行的直线指的是（　　）
A.空间中没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
2.如图所示，在三棱锥S -MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是（　　）
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
3.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（　　）
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
4.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（　　）
A.2　　 　 B.3
C.4　　 　 D.5
5.（多选）（2024·韶关月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l 平面A1B1C1D1，且直线l与直线B1C1不平行，则下列说法可能成立的是（　　）
A.l与AD平行 B.l与AD不平行
C.l与AC平行 D.l与BD平行
6.（多选）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则（　　）
A.PQ＝MN B.PQ∥MN
C.M，N，P，Q四点共面 D.四边形MNPQ是梯形
7.在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝　　　　.
8.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是　　　　.
9.如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且＝＝＝，则＝　　　　.
10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.
11.（多选）如图，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1上的一点且A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则下列结论正确的为（　　）
A.EF∥D1C
B.EF＝a
C.CF＝a
D.三棱锥A-EFC的体积为a3
12.（2024·江门质检）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为　　　　.
13.如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为　　　　.
14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.
求证：（1）D1E∥BF；
（2）∠B1BF＝∠A1ED1.
15.已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则（　　）
A.1＜MN＜5 B.2＜MN＜10
C.1≤MN≤5 D.2＜MN＜5
16.如图①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C'D'的位置（如图②），G，H分别为AD'，BC'的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.
8.5.1　直线与直线平行
1.D
2.A　∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.故选A.
3.D　如图可知AB，CD有平行，异面，相交三种情况，故选D.
4.D　如图，连接CF，C1F1，与棱AB平行的有ED，CF，A1B1，C1F1，E1D1，共有5条，故选D.
5.BCD　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与直线l与直线B1C1不平行矛盾，所以直线l与直线AD不平行，故A项不可能成立，易知B、C、D项均可能成立，故选B、C、D.
6.BCD　由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，所以PQ≠MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B、C、D正确.
7.2　解析：由题意知EF AC，GH AC，故EF GH，故GH＝2.
8.∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B　
解析：因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥DC，所以∠A1AB与∠D1DC相等.又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
9.　解析：由＝＝＝，可知AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝∠A'C'B'，∴△ABC∽△A'B'C'，∴＝，∴＝×＝.
10.解：如图所示，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
11.AD　如图，设BF＝2FA，连接EF，A1B，CF，AC，因为A1E＝2EA，所以EF∥A1B.又易知A1B∥D1C，所以EF∥D1C.故EF＝A1B＝a，CF＝＝a，V三棱锥A-EFC＝V三棱锥E-AFC＝×a××a×a＝a3.因此，A、D正确.
12.8　解析：由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH＝BD＝3，又∵＝＝，∴GF∥BD且GF＝BD＝4，由基本事实4知，EH∥GF，∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h，即＝28，得h＝8.
13.平行　解析：由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示.分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，由正方体的结构特征可得EF∥PQ，又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，故PQ∥HG，所以EF∥GH.
14.证明：（1）如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，
EM＝A1B1，
因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM＝C1D1，
所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥MC1.
在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F.
所以四边形MBFC1为平行四边形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.
（2）因为D1E∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.
15.A　取AD的中点H，连接MH，NH（图略），则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故选A.
16.证明：在题图①中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝（AB＋CD）.
在题图②中，易知C'D'∥EF∥AB.
∵G，H分别为AD'，BC'的中点，
∴GH∥AB且GH＝（AB＋C'D'）＝（AB＋CD），
∴GH∥EF，且GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形.
2 / 38.5.1　直线与直线平行
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知、了解空间中直线与直线平行的关系 逻辑推理
2.了解基本事实4及等角定理 直观想象
　　把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示.
【问题】　（1）为什么这些折痕互相平行？
（2）初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　基本事实4
　平行于同一条直线的两条直线　　　　.
知识点二　等角定理
文字 语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角　　　　　或　　　　
图形 语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
提醒　对等角定理的两点认识：①等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用；②当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.
1.已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b（　　）
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
2.已知∠BAC＝30°，AB∥A'B'，AC∥A'C'，则∠B'A'C'＝（　　）
A.30° B.150°
C.30°或150° D.大小无法确定
3.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，与棱AB平行的棱有　　　　条，分别是　　　　.
题型一 证明直线与直线平行
【例1】　如图所示，在空间四边形ABCD（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.
通性通法
证明空间两条直线平行的方法
（1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；
（2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；
（3）基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c.
【跟踪训练】
已知棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别为CD，AD的中点.求证：四边形MNA'C'是梯形.
题型二 等角定理及应用
【例2】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
通性通法
关于等角定理的应用
（1）根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行；
（2）根据角的两边的方向判定两角相等或互补.
【跟踪训练】
如图所示，点A1，B1，C1分别是不共面的三条射线OA，OB，OC上的点，且 ＝＝.求证：△A1B1C1∽△ABC.
题型三 利用线线平行判断共面
【例3】　如图，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC AD，BE AF，G，H分别是FA，FD的中点.
（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；
（2）C，D，E，F四点是否共面？为什么？
通性通法
　　根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行.
【跟踪训练】
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，H，G分别是AD，CD上的点，满足＝.
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）设EH与FG交于点P，求证：B，D，P三点共线.
1.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（　　）
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（　　）
A.3条 B.4条
C.5条 D.6条
3.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（　　）
A.全等 B.不相似
C.仅有一个角相等 D.相似
4.空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别平行.若α＝60°，则β＝　　　　.
8.5.1　直线与直线平行
【基础知识·重落实】
知识点一
　平行
知识点二
　相等　互补
自我诊断
1.C　假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b ，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线.故选C.
2.C　当∠B'A'C'与∠BAC的两边方向分别相同或相反时，∠B'A'C'＝30°，否则，∠B'A'C'＝150°.故选C.
3.3　CD，A1B1，C1D1　解析：因为正四棱台中两底面都是正方形，侧面ABB1A1是等腰梯形，所以AB∥CD，A1B1∥C1D1，AB∥A1B1.所以AB∥C1D1.故与棱AB平行的棱为CD，A1B1，C1D1，共3条.
【典型例题·精研析】
【例1】　证明：（1）因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形.
（2）因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝BD.
因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF.
又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形.
跟踪训练
　证明：如图所示，连接AC，
由正方体的性质可知AA'＝CC'，AA'∥CC'，
∴四边形AA'C'C为平行四边形，
∴A'C'＝AC，A'C'∥AC，
又∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
∴MN∥A'C'，且MN≠A'C'.∴四边形MNA'C'是梯形.
【例2】　证明：因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，
因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形.
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
又∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
跟踪训练
　证明：在△OAB中，因为 ＝，
所以A1B1∥AB.同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
【例3】　解：（1）证明：由题意知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH AD，又BC AD，故GH BC，
所以四边形BCHG是平行四边形.
（2）C，D，F，E四点共面.
理由如下：由BE AF，G是FA的中点知，有BE GF，
所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG，
由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EF，CH共面.
又点D在直线FH上， 所以C，D，E，F四点共面.
跟踪训练
　证明：（1）如图，连接AC，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
在△ADC中，∵＝，∴GH∥AC，∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，
又∵EH 平面ABD，∴P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD，∴P为平面ABD与平面BCD的一个公共点.
又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即P，B，D三点共线.
随堂检测
1.A　∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选A.
2.B　EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
3.D　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.
4.60°或120°　解析：因为角α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补，故β＝60°或120°.
3 / 4(共59张PPT)
8.5.1　直线与直线平行
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知、了解空间中直
线与直线平行的关系 逻辑推理
2.了解基本事实4及等角定理 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示.
【问题】　（1）为什么这些折痕互相平行？
（2）初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同
一平面内”，结论是否仍成立？
知识点一　基本事实4
　平行于同一条直线的两条直线 .
平行　
知识点二　等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个
角 或
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
相等　
互补　
提醒　对等角定理的两点认识：①等角定理是由平面图形推广到空间
图形而得到的，它是基本事实4的直接应用；②当这两个角的两边方
向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来
证明两个角相等或互补.
1. 已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b（　　）
A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线
C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线
解析：假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b ，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线.故选C.
2. 已知∠BAC＝30°，AB∥A'B'，AC∥A'C'，则∠B'A'C'＝（　　）
A. 30° B. 150°
C. 30°或150° D. 大小无法确定
解析：　当∠B'A'C'与∠BAC的两边方向分别相同或相反时，
∠B'A'C'＝30°，否则，∠B'A'C'＝150°.故选C.
3. 如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，与棱AB平行的棱有
条，分别是 .
解析：因为正四棱台中两底面都是正方形，侧面ABB1A1是等腰梯
形，所以AB∥CD，A1B1∥C1D1，AB∥A1B1.所以AB∥C1D1.故
与棱AB平行的棱为CD，A1B1，C1D1，共3条.
3
CD，A1B1，C1D1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 证明直线与直线平行
【例1】　如图所示，在空间四边形ABCD（不共面的四边形称为空
间四边形）中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
证明：因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，
BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝ AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形.
（2）如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.
证明：因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，
BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝ BD.
因为EF＝ AC，AC＝BD，所以EH＝EF.
又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形.
通性通法
证明空间两条直线平行的方法
（1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；
（2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两
条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；
（3）基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，
使得a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c.
【跟踪训练】
　已知棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别为CD，AD
的中点.求证：四边形MNA'C'是梯形.
证明：如图所示，连接AC，
由正方体的性质可知AA'＝CC'，AA'∥CC'，
∴四边形AA'C'C为平行四边形，∴A'C'＝AC，
A'C'∥AC，
又∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN∥AC，且MN＝ AC，
∴MN∥A'C'，且MN≠A'C'.∴四边形MNA'C'是梯形.
题型二 等角定理及应用
【例2】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱
CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
证明：因为F为BB1的中点，所以BF＝ BB1，
因为G为DD1的中点，所以D1G＝ DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形.
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
又∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
通性通法
关于等角定理的应用
（1）根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线
平行；
（2）根据角的两边的方向判定两角相等或互补.
【跟踪训练】
如图所示，点A1，B1，C1分别是不共面的三条射线OA，OB，OC上
的点，且 ＝ ＝ .求证：△A1B1C1∽△ABC.
证明：在△OAB中，因为 ＝ ，
所以A1B1∥AB. 同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
题型三 利用线线平行判断共面
【例3】　如图，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD
＝∠FAB＝90°，BC AD，BE AF，G，H分别是FA，FD的
中点.
（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；
解：证明：由题意知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH AD，又BC AD，故GH BC，
所以四边形BCHG是平行四边形.
（2）C，D，E，F四点是否共面？为什么？
解：C，D，F，E四点共面.
理由如下：由BE AF，G是FA的中点知，有BE GF，
所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG，
由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EF，CH共面.
又点D在直线FH上， 所以C，D，E，F四点共面.
通性通法
　　根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证
明直线平行.
【跟踪训练】
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，H，
G分别是AD，CD上的点，满足 ＝ .
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
证明：如图，连接AC，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
在△ADC中，∵ ＝ ，∴GH∥AC，
∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）设EH与FG交于点P，求证：B，D，P三点共线.
证明：∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，又∵EH 平面ABD，
∴P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD，∴P为平面ABD与平面BCD的一个公共点.
又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即P，B，D三点共线.
1. 已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的
位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 不确定
解析：　∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选A.
2. 如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中
点，则长方体的各棱中与EF平行的有（　　）
A. 3条 B. 4条
C. 5条 D. 6条
解析：　EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
3. 两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个
三角形（　　）
A. 全等 B. 不相似
C. 仅有一个角相等 D. 相似
解析：　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，
故选D.
4. 空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别平行.若α＝60°，则β
＝ .
解析：因为角α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或
互补，故β＝60°或120°.
60°或120°
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 空间中两条互相平行的直线指的是（　　）
A. 空间中没有公共点的两条直线
B. 分别在两个平面内的两条直线
C. 在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D. 在同一平面内且没有公共点的两条直线
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7
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10
11
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15
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2. 如图所示，在三棱锥S -MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，
SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是（　　）
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 平行或异面
解析：　∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN. 同理可
证HG∥PN，∴EF∥HG. 故选A.
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3. 空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直
线AB与CD的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 异面
C. 相交或平行 D. 平行或异面或相交均有可能
解析：　如图可
知AB，CD有平
行，异面，相交三
种情况，故选D.
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4. 在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1任意两个顶点的连线中与棱
AB平行的条数为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析：　如图，连接CF，C1F1，与棱AB平行的有ED，CF，A1B1，C1F1，E1D1，共有5条，故选D.
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5. （多选）（2024·韶关月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
直线l 平面A1B1C1D1，且直线l与直线B1C1不平行，则下列说法
可能成立的是（　　）
A. l与AD平行 B. l与AD不平行
C. l与AC平行 D. l与BD平行
解析：　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，
这与直线l与直线B1C1不平行矛盾，所以直线l与直线AD不平行，
故A项不可能成立，易知B、C、D项均可能成立，故选B、C、D.
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6. （多选）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，
BC∥DE. 设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，
则（　　）
B. PQ∥MN
C. M，N，P，Q四点共面
D. 四边形MNPQ是梯形
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解析：　由题意知PQ＝ DE，且DE≠MN，所以PQ≠ MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B、C、D正确.
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7. 在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC
的中点，若EF＝2，则GH＝ .
解析：由题意知EF AC，GH AC，故EF GH，故GH＝2.
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8. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所
有与∠A1AB相等的角是 .
解析：因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥DC，所以∠A1AB与∠D1DC相等.又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
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9. 如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于
同一点O，且 ＝ ＝ ＝ ，则 ＝ 　 　.

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解析：由 ＝ ＝ ＝ ，可知AB∥A'B'，AC∥A'C'，
BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝∠A'C'B'，
∴△ABC∽△A'B'C'，∴ ＝ ，∴ ＝ × ＝ .
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10. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，
经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.
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解：如图所示，在平面A1C1内过点P作直线
EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则
直线EF即为所求.
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
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11. （多选）如图，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1
上的一点且A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1
的交线为EF，则下列结论正确的为（　　）
A. EF∥D1C
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解析：　如图，设BF＝2FA，连接EF，A1B，
CF，AC，因为A1E＝2EA，所以EF∥A1B. 又易
知A1B∥D1C，所以EF∥D1C. 故EF＝ A1B＝
a，CF＝ ＝ a，V三棱锥A-EFC＝V三棱锥E-AFC＝ × a× × a×a＝ a3.因此，A、D正确.
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12. （2024·江门质检）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分
别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且 ＝
＝ ，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之
间的距离为 .
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解析：由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH＝
BD＝3，又∵ ＝ ＝ ，∴GF∥BD且GF＝ BD＝4，由基
本事实4知，EH∥GF，∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，
FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h，即 ＝
28，得h＝8.
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13. 如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，
则EF与GH在原正方体中的位置关系为 .
平行
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解析：由题意，将正方体的表面展开图还原构
造成正方体，如图所示.分别取AB，AA1的中
点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，由正方
体的结构特征可得EF∥PQ，又因为点Q，
P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中
点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，故PQ∥HG，
所以EF∥GH.
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14. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.
求证：（1）D1E∥BF；
证明：如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝
A1B1，
因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以
EM∥C1D1，EM＝C1D1，
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所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥MC1.
在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F.
所以四边形MBFC1为平行四边形，所以
BF∥MC1，所以D1E∥BF.
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（2）∠B1BF＝∠A1ED1.
证明：因为D1E∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，所
以∠B1BF＝∠A1ED1.
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15. 已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且
AC＝4，BD＝6，则（　　）
A. 1＜MN＜5 B. 2＜MN＜10
C. 1≤MN≤5 D. 2＜MN＜5
解析：取AD的中点H，连接MH，NH（图略），则MH∥BD，且MH＝ BD，NH∥AC，且NH＝ AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故选A.
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16. 如图①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，
AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C'D'的位置
（如图②），G，H分别为AD'，BC'的中点，求证：四边形
EFGH为平行四边形.
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证明：在题图①中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB且EF＝ （AB＋CD）.
在题图②中，易知C'D'∥EF∥AB. ∵G，H分别为AD'，BC'的
中点，
∴GH∥AB且GH＝ （AB＋C'D'）＝ （AB＋CD），
∴GH∥EF，且GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形.
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谢 谢 观 看！

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