资源简介

8.5.2　直线与平面平行
第1课时　直线与平面平行的判定
1.若直线l不平行于平面α，且l α，则（　　）
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
2.若M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，则MN与过直线BC的平面β的位置关系是（　　）
A.MN∥β
B.MN与β相交或MN β
C.MN∥β或MN β
D.MN∥β或MN与β相交或MN β
3.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为底面ABCD和底面A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有（　　）
A.1个　　 B.2个
C.3个　　 D.4个
4.在空间四边形ABCD中，E，F分别在AD，CD上，且满足＝，则直线EF与平面ABC的位置关系是（　　）
A.EF∥平面ABC B.EF 平面ABC
C.EF与平面ABC相交 D.以上都有可能
5.（多选）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（　　）
A.OM∥PD B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA
6.（多选）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.给出下列四个命题中正确的为（　　）
A.BD∥平面EGHF
B.FH∥平面ABC
C.AC∥平面EGHF
D.直线GE，HF，AC交于一点
7.（2024·焦作月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为　　　　.
8.以下命题中为真命题的是　　　　.（填序号）
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b α，则a平行于平面α内的无数条直线.
9.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上一点，当点E满足条件：　　　　时，PC∥平面EBD.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，取PA的中点M，BC的中点N，求证：MN∥平面PDC.
11.如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分别为AD，CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（　　）
①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF.
A.0　　　B.1 C.2　　　D.3
12.（多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是（　　）
13.（多选）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中正确的是（　　）
A.CC1∥平面A1ABB1
B.AF∥平面A1B1C1
C.EF∥平面A1ABB1
D.AE∥平面B1BCC1
14.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.
（1）若的中点为D.求证：AC∥平面POD；
（2）如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.
15.（多选）一几何体的平面展开图如图所示（顶点P在展开图中分别为P1，P2，P3，P4），其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为P4B，P1C的中点，关于这个几何体，下列结论正确的是（　　）
A.直线AE与直线BF异面
B.直线AE与直线DF异面
C.直线EF∥平面PAD
D.直线EF∥平面ABCD
16.如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.若不存在，请说明理由.
第1课时　直线与平面平行的判定
1.B　若在平面α内存在与直线l平行的直线，因为l α，故l∥α，这与题意矛盾.
2.C　若平面β是△ABC所在的平面，则MN β.若MN β，则MN∥β.故选C.
3.D　由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB'、平面BC'、平面CD'、平面AD'均平行.故与EF平行的平面有4个.故选D.
4.A　∵＝，∴EF∥AC，又∵AC 平面ABC，EF 平面ABC.∴EF∥平面ABC，故选A.
5.ABC　由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A正确；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA相交，故D不正确.故选A、B、C.
6.AD　因为BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD且HG＝BD，又E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD且EF＝BD，所以EFHG为梯形，且EF∥GH，又BD 平面EGHF，GH 平面EGHF，所以BD∥平面EGHF，A正确；因为F为AD的中点，H为CD的一个三等分点，所以FH与AC为相交直线，故FH与平面ABC必不平行，AC也不平行平面EGHF，B、C不正确；因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，又EG 平面ABC，FH 平面ACD，则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即直线GE，HF，AC交于一点，D正确.故选A、D.
7.平行　解析：连接BD，设AC∩BD＝O，连接OE（图略），则OE∥BD1，OE 平面ACE，BD1 平面ACE，∴BD1∥平面ACE.
8.③　解析：对于①，当直线l平行于平面α内的无数条直线时，l∥α或l在平面α内，所以①错误；对于②，直线a在平面α外，则a∥α或a与平面α相交，所以②错误；对于③，若直线a∥b，b α，则a∥α或a在平面α内，可得a平行于平面α内的无数条直线，所以③正确.
9.E为PA的中点　解析：如图，取PA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD交于点O，连接EO，易知EO∥PC.∵EO 平面EBD，PC 平面EBD，∴PC∥平面EBD.即当E为PA中点时，PC∥平面EBD.
10.证明：如图，连接AN并延长，交DC的延长线于点E，连接PE.
因为CD∥AB，N为BC的中点，
所以N为AE的中点.
因为M为PA的中点，
所以MN∥PE.
因为MN 平面PDC，PE 平面PDC，
所以MN∥平面PDC.
11.C　对于①，由题意得AB CF，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AF∥BC，∵AF 平面BCD，BC 平面BCD，∴AF∥平面BCD，故①正确；对于②，取DF的中点G，连接EG，GC（图略），∵E是AD的中点，∴EG∥AF，EG＝AF，又AF BC，∴EG∥BC，EG＝BC，∴BE与CG相交，∴BE与平面CDF相交，故②错误；对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE（图略），∵四边形ABCF是平行四边形，∴O是AC的中点，∴OE∥CD，又OE 平面BEF，CD 平面BEF，∴CD∥平面BEF，故③正确.故选C.
12.BCD　对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C、D项中均有AB∥平面MNQ，只有A项中AB与平面MNQ不平行.
13.ABC　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，CC1 平面A1ABB1，AA1 平面A1ABB1，∴CC1∥平面A1ABB1，A中结论正确；取B1C1的中点D，连接A1D，DF，由题意及基本事实4可知AA1 DF，∴四边形AFDA1是平行四边形，∴A1D∥AF，∵A1D 平面A1B1C1，AF 平面A1B1C1，∴AF∥平面A1B1C1，B中结论正确；取AB的中点G，连接A1G，GF，∵G，F分别是棱AB，BC的中点，∴GF∥AC，GF＝AC，易知A1E∥AC，且A1E＝AC，∴GF A1E，∴四边形GFEA1为平行四边形，∴EF∥A1G，又A1G 平面A1ABB1，EF 平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1，C中结论正确；取AC的中点H，连接C1H，易证四边形AHC1E为平行四边形，∴EA∥C1H，C1H与平面B1BCC1相交，∴AE与平面B1BCC1相交，D中结论不正确.
14.解：（1）证明：设BC∩OD＝E，
∵D是的中点，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，
∴AC∥OE，
又∵AC 平面POD，OE 平面POD，∴AC∥平面POD.
（2）设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴h＝r，l＝r，
∵S△PAB＝×2r×h＝r2＝9，
∴r＝3，
∴S表＝πrl＋πr2＝πr×r＋πr2＝9（1＋）π.
15.ACD　如图，将平面展开图还原，显然AE，BF异面，故A正确；易得EF∥BC，又BC∥AD，∴EF∥AD，又EF 平面PAD，AD 平面PAD，∴EF∥平面PAD，故C正确；易知四边形AEFD为梯形，故B错误；∵EF∥BC，BC 平面ABCD，EF 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故D正确.故选A、C、D.
16.解：存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE.
证明如下：
如图，取BE的中点N，连接CN，MN，则MN∥AB且MN＝AB.
又PC∥AB且PC＝AB，
所以MN PC，即四边形MNCP为平行四边形，
所以PM∥CN.
因为PM 平面BCE，CN 平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
4 / 48.5.2　直线与平面平行
第1课时　直线与平面平行的判定
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行 直观想象
　　如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？
【问题】　你能给出判定的依据吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果　　　一条直线与此　　　的一条直线　　　，那么该直线与此平面平行
符号语言 　　　　　　 a∥α
图形语言
提醒　线面平行判定定理的实质是线线平行 线面平行.
1.能保证直线a与平面α平行的条件是（　　）
A.b α，a∥b
B.b α，c∥α，a∥b，a∥c
C.b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D.a α，b α，a∥b
2.（2024·泉州质检）棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是（　　）
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不相交
3.（2024·三明月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B与平面ACD1的位置关系是　　　　.
题型一 线面平行判定定理的理解
【例1】　如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是（　　）
A.相交 B.b∥α
C.b α D.b∥α或b α
通性通法
线面平行的判定定理必须具备三个条件
（1）直线a在平面α外，即a α；
（2）直线b在平面α内，即b α；
（3）两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可.
【跟踪训练】
　（2024·佛山月考）如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是（　　）
A.平行 B.相交
C.在平面α内 D.平行或在平面α内
题型二 直线与平面平行的判定
【例2】　如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点.求证：DE∥平面ACC1A1.
通性通法
应用判定定理证明线面平行的步骤
第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法.
提醒　线面平行判定定理应用的误区：①条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”；②不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.
【跟踪训练】
如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，M为PD的中点.证明：CM∥平面PAB.
1.圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是（　　）
A.平行 B.相交
C.在平面内 D.不确定
2.如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（　　）
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
3.已知l，m是两条不同的直线，α是平面，若要得到l∥α，则需要在条件m α，l∥m中另外添加的一个条件是　　　　.
4.如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系为　　　　.
第1课时　直线与平面平行的判定
【基础知识·重落实】
知识点
　平面外　平面内　平行　a α，b α，且a∥b
自我诊断
1.D　由线面平行的判定定理可知，D正确.
2.A　因为棱柱的侧棱是互相平行的，所以由直线与平面平行的判定定理可知，侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面平行.故选A.
3.平行　解析：∵A1B∥D1C，A1B 平面ACD1，D1C 平面ACD1，∴A1B∥平面ACD1.
【典型例题·精研析】
【例1】　D　由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
跟踪训练
　D　在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD α.故选D.
【例2】　证明：连接BC1，AC1，因为ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是BC1的中点.
因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1.
又DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1.
所以DE∥平面ACC1A1.
跟踪训练
　证明：取PA的中点N，连接BN，MN，
∵M，N分别为PD，PA的中点，则MN∥AD且MN＝AD，
又BC∥AD且BC＝AD，
∴BC∥MN且BC＝MN，
故四边形BCMN为平行四边形，即CM∥BN，
∵CM 平面PAB，BN 平面PAB，
∴CM∥平面PAB.
随堂检测
1.A　圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行.故选A.
2.D　如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交AB于点H，过点H作HG∥AC交BC于点G，过点G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数条.故选D.
3.l α　解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是l α.
4.平行　解析：因为M，N分别是BF，BC的中点，所以MN∥CF.又因为四边形CDEF为矩形，所以CF∥DE.所以MN∥DE.又MN 平面ADE，DE 平面ADE，所以MN∥平面ADE.
3 / 3(共52张PPT)
第1课时　直线与平面平行的判定
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面
平行的判定定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用直线与平面平行的判定定理证明直线与平
面平行 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的
上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？如果将
乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直
线l与直线m具有怎样的位置关系？
【问题】　你能给出判定的依据吗？
知识点　直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果 一条直线与此 的一条直线 ，那么该直线与此平面平行
符号语言 a∥α
图形语言
平面外　
平面内　
平行
a α，b α，且a∥b　
提醒　线面平行判定定理的实质是线线平行 线面平行.
1. 能保证直线a与平面α平行的条件是（　　）
A. b α，a∥b
B. b α，c∥α，a∥b，a∥c
C. b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D. a α，b α，a∥b
解析：　由线面平行的判定定理可知，D正确.
2. （2024·泉州质检）棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的
侧面所在的平面的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 不相交
解析：　因为棱柱的侧棱是互相平行的，所以由直线与平面平行
的判定定理可知，侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平
面平行.故选A.
3. （2024·三明月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B
与平面ACD1的位置关系是 .
解析：∵A1B∥D1C，A1B 平面ACD1，D1C 平面ACD1，
∴A1B∥平面ACD1.
平行
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 线面平行判定定理的理解
【例1】　如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是（　　）
A. 相交 B. b∥α
C. b α D. b∥α或b α
解析：　由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
通性通法
线面平行的判定定理必须具备三个条件
（1）直线a在平面α外，即a α；
（2）直线b在平面α内，即b α；
（3）两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可.
【跟踪训练】
（2024·佛山月考）如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，
把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α
的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 在平面α内 D. 平行或在平面α内
解析：　在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD α.故选D.
题型二 直线与平面平行的判定
【例2】　如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别
是AB，B1C的中点.求证：DE∥平面ACC1A1.
证明：连接BC1，AC1，因为ABC-A1B1C1是斜三棱
柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形
性质得点E也是BC1的中点.
因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1.
又DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1.
所以DE∥平面ACC1A1.
通性通法
应用判定定理证明线面平行的步骤
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法.
提醒　线面平行判定定理应用的误区：①条件罗列不全，最易忘
记的条件是“直线在平面外”；②不能利用题目条件顺利地找到
两平行直线.
第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
【跟踪训练】
如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，M为PD的中点.
证明：CM∥平面PAB.
证明：取PA的中点N，连接BN，MN，
∵M，N分别为PD，PA的中点，则MN∥AD且
MN＝ AD，
又BC∥AD且BC＝ AD，
∴BC∥MN且BC＝MN，
故四边形BCMN为平行四边形，即CM∥BN，
∵CM 平面PAB，BN 平面PAB，
∴CM∥平面PAB.
1. 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 在平面内 D. 不确定
解析：　圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则
它们平行.故选A.
2. 如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分别为线段
A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有
（　　）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 无数条
解析：　如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交AB于点H，过点H作HG∥AC交BC于点G，过点G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无
数条.故选D.
3. 已知l，m是两条不同的直线，α是平面，若要得到l∥α，则需要
在条件m α，l∥m中另外添加的一个条件是 .
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件
是l α.
l α
4. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别
是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系为 .
解析：因为M，N分别是BF，BC的中点，所以MN∥CF. 又因为
四边形CDEF为矩形，所以CF∥DE. 所以MN∥DE. 又MN 平
面ADE，DE 平面ADE，所以MN∥平面ADE.
平行
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若直线l不平行于平面α，且l α，则（　　）
A. α内的所有直线与l异面
B. α内不存在与l平行的直线
C. α内存在唯一的直线与l平行
D. α内的直线与l都相交
解析：　若在平面α内存在与直线l平行的直线，因为l α，故
l∥α，这与题意矛盾.
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2. 若M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，则MN与过直线BC
的平面β的位置关系是（　　）
A. MN∥β
B. MN与β相交或MN β
C. MN∥β或MN β
D. MN∥β或MN与β相交或MN β
解析：　若平面β是△ABC所在的平面，则MN β.若MN β，则
MN∥β.故选C.
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3. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为底面ABCD和底
面A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有（　　）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
解析：　由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB'、平
面BC'、平面CD'、平面AD'均平行.故与EF平行的平面有4个.
故选D.
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4. 在空间四边形ABCD中，E，F分别在AD，CD上，且满足 ＝
，则直线EF与平面ABC的位置关系是（　　）
A. EF∥平面ABC B. EF 平面ABC
C. EF与平面ABC相交 D. 以上都有可能
解析：　∵ ＝ ，∴EF∥AC，又∵AC 平面ABC，EF
平面ABC. ∴EF∥平面ABC，故选A.
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5. （多选）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线
的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（　）
A. OM∥PD B. OM∥平面PCD
C. OM∥平面PDA D. OM∥平面PBA
解析：　由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A正确；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA相交，故D不正确.故选A、B、C.
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6. （多选）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，AD的中
点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
给出下列四个命题中正确的为（　　）
A. BD∥平面EGHF
B. FH∥平面ABC
C. AC∥平面EGHF
D. 直线GE，HF，AC交于一点
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解析：　因为BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD且
HG＝ BD，又E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD且EF
＝ BD，所以EFHG为梯形，且EF∥GH，又BD 平面EGHF，
GH 平面EGHF，所以BD∥平面EGHF，A正确；因为F为AD
的中点，H为CD的一个三等分点，所以FH与AC为相交直线，故
FH与平面ABC必不平行，AC也不平行平面EGHF，B、C不正确；
因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，又EG 平
面ABC，FH 平面ACD，则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，
又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即直线GE，HF，AC
交于一点，D正确.故选A、D.
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7. （2024·焦作月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1
的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为 .
解析：连接BD，设AC∩BD＝O，连接OE（图略），则OE∥BD1，OE 平面ACE，BD1 平面ACE，∴BD1∥平面
ACE.
平行
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8. 以下命题中为真命题的是 .（填序号）
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b α，则a平行于平面α内的无数条直线.
解析：对于①，当直线l平行于平面α内的无数条直线时，l∥α或l
在平面α内，所以①错误；对于②，直线a在平面α外，则a∥α或a
与平面α相交，所以②错误；对于③，若直线a∥b，b α，则
a∥α或a在平面α内，可得a平行于平面α内的无数条直线，所以③
正确.
③
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9. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上一点，当点E满足条件： 时，PC∥平面EBD.
解析：如图，取PA的中点E，连接EB，ED，
AC，设AC与BD交于点O，连接EO，易知
EO∥PC. ∵EO 平面EBD，PC 平面EBD，
∴PC∥平面EBD. 即当E为PA中点时，PC∥平
面EBD.
E为PA的中点
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10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，取PA的中点M，BC的
中点N，求证：MN∥平面PDC.
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证明：如图，连接AN并延长，交DC的延长
线于点E，连接PE.
因为CD∥AB，N为BC的中点，
所以N为AE的中点.
因为M为PA的中点，
所以MN∥PE.
因为MN 平面PDC，PE 平面PDC，
所以MN∥平面PDC.
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11. 如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分别为
AD，CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平
面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数
是（　　）
①AF∥平面BCD；
②BE∥平面CDF；
③CD∥平面BEF.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
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解析：　对于①，由题意得AB CF，∴四边形ABCF是平行
四边形，∴AF∥BC，∵AF 平面BCD，BC 平面BCD，
∴AF∥平面BCD，故①正确；对于②，取DF的中点G，连接
EG，GC（图略），∵E是AD的中点，∴EG∥AF，EG＝
AF，又AF BC，∴EG∥BC，EG＝ BC，∴BE与CG相交，
∴BE与平面CDF相交，故②错误；对于③，连接AC，交BF于
点O，连接OE（图略），∵四边形ABCF是平行四边形，∴O是
AC的中点，∴OE∥CD，又OE 平面BEF，CD 平面BEF，
∴CD∥平面BEF，故③正确.故选C.
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12. （多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶
点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB
与平面MNQ平行的是（　　）
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解析：　对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可
证，C、D项中均有AB∥平面MNQ，只有A项中AB与平面MNQ不平行.
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13. （多选）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是棱
A1C1，BC的中点，则下列结论中正确的是（　　）
A. CC1∥平面A1ABB1
B. AF∥平面A1B1C1
C. EF∥平面A1ABB1
D. AE∥平面B1BCC1
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解析：　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，CC1 平面A1ABB1，AA1 平面A1ABB1，∴CC1∥平面A1ABB1，A中结论正确；取B1C1的中点D，连接A1D，DF，由题意及基本事实4可知AA1 DF，∴四边形AFDA1是平行四边形，∴A1D∥AF，∵A1D 平面A1B1C1，AF 平面A1B1C1，∴AF∥平面A1B1C1，B中结论正确；
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取AB的中点G，连接A1G，GF，∵G，F分别是棱AB，BC的中点，
∴GF∥AC，GF＝ AC，易知A1E∥AC，且A1E＝ AC，
∴GF A1E，∴四边形GFEA1为平行四边形，∴EF∥A1G，又
A1G 平面A1ABB1，EF 平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1，C中结
论正确；取AC的中点H，连接C1H，易证四边形AHC1E为平行四边
形，∴EA∥C1H，C1H与平面B1BCC1相交，∴AE与平面B1BCC1相
交，D中结论不正确.
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14. 如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三
角形，C为底面圆周上一点.
（1）若 的中点为D. 求证：AC∥平面POD；
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解：证明：设BC∩OD＝E，
∵D是 的中点，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，
∴AC∥OE，
又∵AC 平面POD，OE 平面POD，
∴AC∥平面POD.
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（2）如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.
解：设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴h＝r，l＝ r，
∵S△PAB＝ ×2r×h＝r2＝9，∴r＝3，
∴S表＝πrl＋πr2＝πr× r＋πr2＝9（1
＋ ）π.
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15. （多选）一几何体的平面展开图如图所示（顶点P在展开图中分
别为P1，P2，P3，P4），其中四边形ABCD为正方形，E，F分
别为P4B，P1C的中点，关于这个几何体，下列结论正确的是
（　　）
A. 直线AE与直线BF异面
B. 直线AE与直线DF异面
C. 直线EF∥平面PAD
D. 直线EF∥平面ABCD
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解析：　如图，将平面展开图还原，显然AE，BF异面，故A正确；易得EF∥BC，又BC∥AD，∴EF∥AD，又EF 平面PAD，AD 平面PAD，∴EF∥平面PAD，故C正确；易知四边形AEFD为梯形，故B错误；∵EF∥BC，BC 平面ABCD，EF 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故D正确.故选A、C、D.
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16. 如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝
AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得
PM∥平面BCE？若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.若
不存在，请说明理由.
解：存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE.
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证明如下：
如图，取BE的中点N，连接CN，MN，则
MN∥AB且MN＝ AB.
又PC∥AB且PC＝ AB，
所以MN PC，即四边形MNCP为平行四边形，
所以PM∥CN.
因为PM 平面BCE，CN 平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
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谢 谢 观 看！

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