资源简介

第2课时　直线与平面垂直的性质
1.已知平面α与两条直线l，m，l⊥α，则“m∥l”是“m⊥α”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则（　　）
A.α∥β，且l∥α
B.α⊥β，且l⊥β
C.α与β相交，且交线垂直于l
D.α与β相交，且交线平行于l
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，平面AB1D1到平面BC1D的距离为（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
4.已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6 cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是（　　）
A. cm B. cm
C.2 cm D.2 cm
5.（多选）（2024·潮州月考）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（　　）
A.PB⊥BC
B.PD⊥CD
C.PD⊥BD
D.PA⊥BD
6.（多选）如图，ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折起到△A'BD，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（　　）
A.A'C⊥BD B.A'D⊥BC
C.A'C⊥BC D.A'D⊥A'B
7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，则EF与AA1的位置关系是　　　　.
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为　　　　；平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为　　　　.
9.一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面α的距离分别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α所成角的大小是　　　　.
10.斜边为AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图.
（1）求证：EF⊥PB；
（2）若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
11.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（　　）
A.EF⊥平面α
B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE
D.PQ⊥FH
12.（多选）如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把△ABC折起来，则（　　）
A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C
B.三棱锥A-DB'C的体积的最大值为
C.当∠B'DC＝60°时，点A到B'C的距离为
D.当∠B'DC＝90°时，点C到平面ADB'的距离为
13.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是　　　.
14.如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，点P为圆柱上底面圆O1上一点，PA⊥平面ABC，PA＝AB，过点A作AE⊥PC，交PC于点E.
（1）求证：AE⊥PB；
（2）若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积.
15.（2024·杭州月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（　　）
A.2 B.7
C. D.
16.如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC＝，AC＝2.
（1）证明：BC⊥平面PAB；
（2）在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD？若存在，求出PD的值，若不存在，请说明理由.
第2课时　直线与平面平行的性质
1.D　l与m可以异面或平行，即l∩m＝ .
2.A　因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
3.C　过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与直线b重合的，则此直线与直线a平行；若没有与直线b重合的，则与直线a平行的直线有0条.
4.C　由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝.∴四边形DEFC的周长为3＋2.
5.BD　∵MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，∴MN∥PA，∵PA 平面PAB，MN 平面PAB，∴MN∥平面PAB.故选B、D.
6.CD　因为BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝DG∶GC，且EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.故选C、D.
7.充分不必要　解析：平面α外的两条直线a，b，若a∥α且a∥b，则根据直线与平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，则不一定有a∥b.
8.平行　解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∵E，F分别是棱AA1，BB1的中点，∴AE BF，∴四边形ABFE为平行四边形，∴EF∥AB，又∵EF 平面ABCD，AB 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.又∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又EF∥AB，∴GH∥AB.
9.　解析：因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，平面ABD∩平面α＝EG，所以BD∥EG，所以＝＝，所以EG＝·BD＝×4＝.
10.解：（1）取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，分别连接PD，PF，EF，DE，
则PD，PF，EF，DE即为在木块表面应画的线.
（2）在平面ABC中所画的线EF与棱AC平行，证明如下：
因为PF∥DE，所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF，
因为平面ABC∩平面PDEF＝EF，
所以AC∥EF.
11.C　因为BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为BC 平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因为BC＝AD，EF＜AD，所以EF＜BC，所以四边形EFBC为梯形，故选C.
12.D　如图，设AO交BE于点G，连接FG.∵E为AD的中点，∴AE＝AD＝BC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴＝＝，∴＝.∵PC∥平面BEF，PC 平面PAC，平面BEF∩平面PAC＝GF，∴GF∥PC，∴λ＝＝＝3.故选D.
13.24　解析：过点D作DE∥B1C1，交A1C1于点E，连接CE，B1C1∥BC，则DE∥BC，即D，E，B，C四点共面，四边形BCED即为过BC和点D的截面，
因为D为棱A1B1的中点，所以DE是△A1B1C1的中位线，所以DE＝B1C1＝4 cm，又因为DE∥BC，所以四边形BCED是梯形；过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝＝4（cm），所以截面 BCED的面积为S＝×（4＋8）×4＝24（cm2）.
14.解：（1）证明：连接A1C（图略），在直三棱柱A1B1C1-ABC中，侧面AA1C1C为矩形，
因为N为AC1的中点，所以N为A1C的中点.
又M为A1B的中点，所以MN∥BC，又MN 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
（2）因为DN∥平面ABB1A1，DN 平面A1BC，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，
所以DN∥A1B，所以＝＝1.
15.ABD　因为AB∥CD，所以△AOB与△COD相似，所以＝＝，因为PA∥平面NBD，PA 平面PAC，平面PAC∩平面NBD＝ON，所以PA∥ON，所以＝＝，故A、B正确；因为CD＝3AB，AB∥CD，所以S△ADC＝3S△ABC，所以VP-ADC＝3VP-ABC，故C不正确；因为＝，所以＝，因为＝＝3，所以＝，所以＝×＝，故D正确.故选A、B、D.
16.解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，
AB 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
（2）同（1）可证EH∥CD，设EF＝x，EH＝y，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴＝，＝，
∴＋＝＋＝＝1，
又AB＝4，CD＝6，∴＋＝1，
∴y＝6（1－），且0＜x＜4，
∴四边形EFGH的周长为l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－）］＝12－x，
∵8＜12－x＜12，
∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.
3 / 3第2课时　直线与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象
2.归纳出直线与平面垂直的性质定理 逻辑推理
3.了解直线与平面、平面与平面的距离 直观想象
【问题】　（1）如果直线a垂直于一个平面α，直线b与直线a平行，那么直线b与平面α是否垂直？猜测结果并说明理由；
（2）如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？猜测结果并说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线　
符号语言 　　
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
【想一想】
在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？
知识点二　线面距与面面距
1.直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上　　　　　　到这个平面的距离.
2.平面与平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的　　　　　　到另一个平面的距离都相等.
【想一想】
　是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离？
1.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（　　）
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
2.如图，平行四边形ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝（　　）
A.2 B.3
C. D.
3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C1到平面ABCD的距离是　　　　.
题型一 线面垂直有关性质的理解
【例1】　已知直线m，n和平面α，若n⊥α，则“m α”是“n⊥m”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
通性通法
1.线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关系之间的转化.
2.常用的线面垂直的性质还有：①a⊥α，b∥a b⊥α；②a⊥α，a⊥β α∥β.
【跟踪训练】
（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，则下列选项正确的是（　　）
A.AD1与平面A1DC相交
B.AD1⊥平面A1DC
C.AD1与MN异面
D.AD1∥MN
题型二 直线与平面垂直的性质的应用
【例2】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.
通性通法
证明线线平行常用的方法
（1）利用线线平行定义：证共面且无公共点；
（2）利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
（5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
【跟踪训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
题型三 空间中的距离问题
【例3】　如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中求出下列距离：
（1）点A到平面BB1D1D的距离；
（2）点C到平面BDC1的距离.
通性通法
求点到平面的距离的两种方法
（1）构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解；
（2）等积变换法：将所求距离看作某个几何体（多为棱锥）的高，利用体积相等建立方程求解.
无论是求直线与平面的距离还是求平面与平面的距离，最终都转化为点到平面的距离.
【跟踪训练】
（2024·济南月考）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，求AD到平面PBC的距离.
　　
1.在空间中，到一圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是（　　）
A.一个点 B.一条直线
C.一个平面 D.一个球面
2.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是（　　）
A.α∥β，且m α
B.m∥n，且n⊥β
C.m⊥n，且n β
D.m⊥n，且n∥β
3.在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为　　　　.
4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.
第2课时　直线与平面平行的性质
【基础知识·重落实】
知识点
　平行　交线　a β，α∩β＝b
自我诊断
1.D　由题意得b∥α和b与α相交都有可能.故选D.
2.B　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B.
3.CD∥EF　解析：∵AB∥α，AB β，α∩β＝CD，∴AB∥CD，又AB γ，CD γ，∴CD∥γ，又CD α，α∩γ＝EF，∴CD∥EF.
【典型例题·精研析】
【例1】　证明：如图，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
跟踪训练
　证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB 平面ABC，所以AB∥MN，同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ，同理MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
【例2】　解：因为AG∥平面CEF，AG 平面ABD，平面CEF∩平面ABD＝EF，
所以AG∥EF.
又因为E为线段AB的中点，所以F为线段BG的中点，
因为G为线段BD的中点，且BD＝2，所以GF＝.
连接CG（图略），因为△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，所以CG＝BD＝1，且CG⊥GF.
在Rt△CGF中，CF＝＝.
跟踪训练
　解：∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF 平面ADC，
∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴F为CD的中点.
∴EF＝AC＝×2＝.
【例3】　解：（1）如图，在平面A'C'内，过点P作直线EF，使EF∥B'C'，并分别交棱A'B'，D'C'于点E，F.连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线.
（2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平面A'C'相交于B'C'，所以BC∥B'C'.由（1）知，EF∥B'C'，所以EF∥BC.而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC.显然，BE，CF都与平面AC相交.
跟踪训练
　解：直线l∥平面PAC.证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC.
所以EF∥平面ABC，
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，所以l∥平面PAC.
随堂检测
1.A　过点A作直线m的平行线l，则经过l且不经过m的所有平面均与m平行，有无数个.故选A.
2.C　A中，n还有可能在平面α内；B中，m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中，m，n可能异面.
3.证明：因为BC∥平面GEFH，BC 平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC，
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
3 / 4(共54张PPT)
第2课时　直线与平面平行的性质
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面
平行的性质定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间
的简单线面关系 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　当直线l∥平面α时，l与α没有公共点.此时，若m α，这时可以
判定，l与m的位置关系是平行或异面.
【问题】　那么在什么情况下l与m平行呢？
知识点　直线与平面平行的性质定理
文字
语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平
面相交，那么该直线与 平行
符号
语言 a∥α， a∥b
图形
语言
平行　
交线　
a β，α∩β＝b　
提醒　（1）线面平行的性质定理的条件有三个：①直线a与平面α平
行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在
平面β内，即a β.三个条件缺一不可；（2）定理的作用：①线面平
行 线线平行；②画一条直线与已知直线平行.
1. 已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（　　）
A. b∥α B. b与α相交
C. b α D. b∥α或b与α相交
解析：　由题意得b∥α和b与α相交都有可能.故选D.
2. 如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且
EF∥平面ABC，则（　　）
A. EF与BC相交
B. EF∥BC
C. EF与BC异面
D. 以上均有可能
解析：　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又
EF∥平面ABC，∴EF∥BC. 故选B.
3. 如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF
的位置关系为 .
解析：∵AB∥α，AB β，α∩β＝CD，∴AB∥CD，又AB γ，
CD γ，∴CD∥γ，又CD α，α∩γ＝EF，∴CD∥EF.
CD∥EF
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与平面平行性质定理的应用
【例1】　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边
形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G
和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明：如图，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边
形，
∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝
GH，∴AP∥GH.
通性通法
1. 利用线面平行性质定理解题的步骤
2. 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直
线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.
【跟踪训练】
如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面
体.求证：截面MNPQ是平行四边形.
证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB 平面ABC，所以AB∥MN，同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ，同理MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
题型二 与线面平行性质定理有关的计算问题
【例2】　如图，在四面体A-BCD中，已知△ABD是边长为2的等边
三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段
AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点.若AG∥平面
CEF，求线段CF的长.
解：因为AG∥平面CEF，AG 平面ABD，平面CEF∩平面ABD＝
EF，
所以AG∥EF.
又因为E为线段AB的中点，所以F为线段BG的中点，
因为G为线段BD的中点，且BD＝2，所以GF＝ .
连接CG（图略），因为△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角
形，所以CG＝ BD＝1，且CG⊥GF.
在Rt△CGF中，CF＝ ＝ .
通性通法
　　利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
（1）根据已知线面平行关系推出线线平行关系；
（2）在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理
推出有关线段的关系；
（3）利用所得关系计算求值.
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点
F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度.
解：∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF 平面ADC，
∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴F为CD的中点.
∴EF＝ AC＝ ×2 ＝ .
题型三 线面平行关系的综合应用
【例3】　如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A'C'.
（1）要经过平面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
解：如图，在平面A'C'内，过点P作直
线EF，使EF∥B'C'，并分别交棱
A'B'，D'C'于点E，F. 连接BE，
CF，则EF，BE，CF就是应画的线.
（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
解：因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平面A'C'相交于
B'C'，所以BC∥B'C'.由（1）知，EF∥B'C'，所以
EF∥BC. 而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平
面AC. 显然，BE，CF都与平面AC相交.
通性通法
关于线面平行关系的综合应用
　　判定和性质之间的推理关系是由线线平行 线面平行 线线平行
得来的，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空
间和平面之间的相互转化.
【跟踪训练】
如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面
ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC
的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.
解：直线l∥平面PAC. 证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC.
所以EF∥平面ABC，
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，所以l∥平面PAC.
1. 若A是直线m外一点，过点A且与m平行的平面（　　）
A. 存在无数个 B. 不存在
C. 存在但只有一个 D. 只存在两个
解析：　过点A作直线m的平行线l，则经过l且不经过m的所有
平面均与m平行，有无数个.故选A.
2. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结
论中正确的是（　　）
A. m∥α，m∥n n∥α
B. m∥α，n∥α m∥n
C. m∥α，m β，α∩β＝n m∥n
D. m∥α，n α m∥n
解析：　A中，n还有可能在平面α内；B中，m，n可能相交、平
行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中，m，n可能
异面.
3. 如图，四棱锥P-ABCD中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥平面GEFH. 求证：GH∥EF.
证明：因为BC∥平面GEFH，BC 平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC，
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若l∥平面α，m α，则l与m的关系一定存在的是（　　）
A. l∥m B. l与m异面
C. l与m可能相交 D. l∩m＝
解析：　l与m可以异面或平行，即l∩m＝ .
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2. 若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别
为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为（　　）
A. 都平行
B. 都相交且一定交于同一点
C. 都相交但不一定交于同一点
D. 都平行或交于同一点
解析：　因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定
理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
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3. （2024·商丘月考）已知直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一
点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（　　）
A. 0条 B. 1条
C. 0条或1条 D. 无数条
解析：　过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直
线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与直线b重合的，则此直
线与直线a平行；若没有与直线b重合的，则与直线a平行的直线
有0条.
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4. 如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过
C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为
（　　）
解析：　由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝
EF，∴AB∥EF. ∵E是SA的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝
.∴四边形DEFC的周长为3＋2 .
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5. （多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上
的点，且MN∥平面PAD，则（　　）
A. MN∥PD
B. MN∥平面PAB
C. MN∥AD
D. MN∥PA
解析：　∵MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAC∩平
面PAD＝PA，∴MN∥PA，∵PA 平面PAB，MN 平面PAB，
∴MN∥平面PAB. 故选B、D.
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6. （多选）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，
BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的
是（　　）
A. E，F，G，H一定是各边的中点
B. G，H一定是CD，DA的中点
C. AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D. 四边形EFGH是平行四边形或梯形
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解析：　因为BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，
得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝
DG∶GC，且EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.
故选C、D.
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7. 平面α外的两条直线a，b，且a∥α，则a∥b是b∥α的
条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充
分也不必要”）.
解析：平面α外的两条直线a，b，若a∥α且a∥b，则根据直线与
平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，则不一定有
a∥b.
充分不
必要
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8. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交于BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是 （填平行、相交、异面其中之一）.
平行
解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∵E，F分别是棱AA1，BB1
的中点，∴AE BF，∴四边形ABFE为平行四边形，
∴EF∥AB，又∵EF 平面ABCD，AB 平面ABCD，∴EF∥平
面ABCD. 又∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝
GH，∴EF∥GH. 又EF∥AB，∴GH∥AB.
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9. （2024·福州质检）如图所示，直线a∥平面α，点A 平面α，并且
直线a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD
分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG
＝ .

解析：因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，平面ABD∩平面α＝EG，所以BD∥EG，所以 ＝ ＝ ，所以EG＝ ·BD＝ ×4＝ .
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10. 一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点.
（1）过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？
解：取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，分别连接PD，PF，EF，DE，则PD，PF，EF，DE即为在木块表面应画的线.
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（2）在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？
解：在平面ABC中所画的线EF与棱AC平
行，证明如下：
因为PF∥DE，所以P，D，E，F四点共面，
且AC∥平面PDEF，
因为平面ABC∩平面PDEF＝EF，
所以AC∥EF.
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11. 如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平
面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形
EFBC是（　　）
A. 空间四边形 B. 矩形
C. 梯形 D. 平行四边形
解析：　因为BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，所
以BC∥平面PAD. 因为BC 平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD
＝EF，所以BC∥EF. 因为BC＝AD，EF＜AD，所以EF＜
BC，所以四边形EFBC为梯形，故选C.
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12. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点
O，E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则
λ的值为（　　）
A. 1
C. 2 D. 3
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解析：　如图，设AO交BE于点G，连接FG.
∵E为AD的中点，∴AE＝ AD＝ BC. ∵四边
形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴△AEG∽△CBG，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝
.∵PC∥平面BEF，PC 平面PAC，平面
BEF∩平面PAC＝GF，∴GF∥PC，∴λ＝
＝ ＝3.故选D.
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解析：过点D作DE∥B1C1，交A1C1于点E，连
接CE，B1C1∥BC，则DE∥BC，即D，E，
B，C四点共面，四边形BCED即为过BC和点D
的截面，
因为D为棱A1B1的中点，所以DE是△A1B1C1的中位线，所以DE＝ B1C1＝4 cm，又因为DE∥BC，所以四边形BCED是梯形；过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝ ＝4 （cm），所以截面 BCED的面积为S＝ ×（4＋8）×4 ＝24 （cm2）.
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14. 如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，M，N分别为线段A1B，AC1
的中点.
（1）求证：MN∥平面BB1C1C；
解：证明：连接A1C（图略），在直三棱柱A1B1C1-ABC中，侧面AA1C1C为矩形，
因为N为AC1的中点，所以N为A1C的中点.
又M为A1B的中点，所以MN∥BC，又
MN 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.
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（2）若点D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求 的值.
解：因为DN∥平面ABB1A1，DN 平
面A1BC，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，
所以DN∥A1B，所以 ＝ ＝1.
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15. （多选）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且
AB∥CD，AC，BD的交点为O，CD＝3AB，在PC上取一点
N，使得PA∥平面NBD，四棱锥P-ABCD的体积为V1，三棱锥
N-BDC的体积为V2，则下面结论正确的为（　　）
B. PA∥ON
C. VP-ADC＝VP-ABC
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解析：　因为AB∥CD，所以△AOB与△COD
相似，所以 ＝ ＝ ，因为PA∥平面NBD，
PA 平面PAC，平面PAC∩平面NBD＝ON，
所以PA∥ON，所以 ＝ ＝ ，故A、B正
确；因为CD＝3AB，AB∥CD，所以S△ADC＝3S△ABC，所以VP-ADC＝3VP-ABC，故C不正确；因为 ＝ ，所以 ＝ ，因为 ＝ ＝3，所以 ＝ ，所以 ＝ × ＝ ，故D正确.故选A、B、D.
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16. 如图所示，四边形EFGH为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形
EFGH为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
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解：证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥
平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
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（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
解：同（1）可证EH∥CD，设EF＝x，EH＝y，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1，
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又AB＝4，CD＝6，∴ ＋ ＝1，
∴y＝6（1－ ），且0＜x＜4，
∴四边形EFGH的周长为l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－ ）］＝12－x，
∵8＜12－x＜12，
∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.
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谢 谢 观 看！

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