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8.5.3　平面与平面平行
第1课时　平面与平面平行的判定
1.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是（　　）
A.n是直线且n α，n∥β
B.n，m是异面直线且n∥β
C.n，m是相交直线且n α，n∥β
D.n，m是平行直线且n α，n∥β
2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（　　）
A.1个或2个 B.0个或1个
C.1个 D.0个
3.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，不能够判定α与β平行的为（　　）
A.存在平面γ，使得α，β都平行于γ
B.平面α内的任意一条直线都平行于β
C.α内有不共线的三点到β的距离相等
D.存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β
4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（　　）
A.BD1∥GH
B.BD∥EF
C.平面EFGH∥平面ABCD
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
5.（2024·广州月考）在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是（　　）
A.△A1B1C1边界的一部分
B.一个点
C.线段的一部分
D.圆的一部分
6.如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（　　）
7.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是　　　　.
8.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是　　　（填“平行”或“相交”）.
9.如图，三条直线AA1、BB1、CC1不共面，但交于一点O，若AO＝A1O，BO＝B1O，CO＝C1O，那么平面ABC和平面A1B1C1的位置关系是　　　　.
10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
11.（2024·宁波月考）已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面.若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是（　　）
A.m∥β且l1∥α B.m∥β且n∥β
C.m∥β且n∥l2 D.m∥l1且n∥l2
12.（多选）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法正确的有（　　）
A.BM∥平面DE B.CN∥平面AF
C.平面BDM∥平面AFN D.平面BDE∥平面NCM
13.如图，P是△ABC所在平面外一点，A'，B'，C'分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，则平面A'B'C'与平面ABC的位置关系为　　　　.
14.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点.
（1）求证：EF∥平面BDD1B1；
（2）设G为棱CD的中点，求证：平面GEF∥平面BDD1B1.
15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（　　）
A.[2，] B.
C.[，2] D.[2，2]
16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.
（1）在图①中作出平面PQC和平面AA1D1D的交线（保留作图痕迹），并求证：PQ∥平面A1D1DA；
（2）如图②，若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.
第1课时　平面与平面平行的判定
1.C　要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，n，m是相交直线且n α，n∥β，m α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C.
2.B　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
3.C　对于A，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，∴两个平面平行，∴A正确；对于B，平面α内的任意一条直线都平行于β，当然α内的两条相交直线也都平行于β，∴α∥β，∴B正确；对于C，不能判定α与β平行，如α内不共线的三点不在β的同一侧时，α与β相交，∴C不正确；对于D，可以判定α与β平行，可在平面α内作l'∥l，m'∥m，则l'与m'必相交.又∵l∥β，m∥β，∴l'∥β，m'∥β，∴α∥β，∴D正确.故选C.
4.D　易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故选项A错误；
易知EF∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误；因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；对于D，由E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，得出EF∥A1B，EH∥A1D1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，所以平面EFGH∥平面A1BCD1.故选D.
5.C　如图，过D作DE∥A1C1交B1C1于E，连接BE，因为BD∥AA1，BD 平面AA1C1C，AA1 平面AA1C1C，所以BD∥平面AA1C1C，同理DE∥平面AA1C1C，又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，所以平面BDE∥平面AA1C1C，所以M∈DE（M不与D重合，否则没有平面BDM），故选C.
6.D　由题意可知经过P，Q，R三点的平面即为平面PSRHNQ，如图所示，对图B、C，可知N在经过P，Q，R三点的平面上，所以图B、C中的阴影平面与平面PRQ不平行；对图A，MC1与QN是相交直线，所以图A中的阴影平面与平面PRQ不平行；对图D，因为A1C1∥RH，BC1∥QN，A1C1∩BC1＝C1，又易知RH，QN也相交，A1C1，BC1 平面A1C1B，RH，QN 平面PSRHNQ，故平面A1C1B∥平面PSRHNQ，图D中的阴影平面与平面PRQ平行.
7.平行　解析：在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理，可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
8.平行　解析：若α∩β＝l，则在平面α内，取与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾.故α∥β.
9.平行　解析：由AO＝A1O，BO＝B1O，且∠AOB＝∠A1OB1，故△AOB≌△A1OB1，因此∠A1B1O＝∠ABO，故A1B1∥AB，A1B1 平面A1B1C1，AB 平面A1B1C1，故AB∥平面A1B1C1，同理可得BC∥平面A1B1C1，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，故平面ABC∥平面A1B1C1.
10.证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
又因为BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
因为四边形ABCD为平行四边形.
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
又因为BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PBC.
11.D　对于A，若m∥β且l1∥α，则α，β可能相交，故A错误；对于B，若m∥β且n∥β，要得出α∥β，必须满足m，n相交，故B错误；对于C，若m∥β且n∥l2，要得出α∥β，必须满足m，n相交，故C错误；对于D，由定理“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，由选项D可以推出α∥β，故D正确.
12.ABC　展开图可以折成如图①所示的正方体.
在正方体中，连接AN，如图②所示.∵AB∥MN，且AB＝MN，∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，∴选项A、B正确；如图③所示，连接NF，BE，BD，DM，CF，易证BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，则平面BDM∥平面AFN，∴选项C正确；易得平面BDE与平面NCM相交，∴D不正确.
13.平行　解析：如图，连接PA'，PC'并延长，分别交BC，AB于点M，N，连接MN.∵A'，C'分别是△PBC，△PAB的重心，∴PA'＝PM，PC'＝PN，∴A'C'∥MN.∵MN 平面ABC，A'C' 平面ABC，∴A'C'∥平面ABC.同理，A'B'∥平面ABC.又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B' 平面A'B'C'，∴平面A'B'C'∥平面ABC.
14.证明：（1）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接BM，如图.
因为E，F分别是BC，CM的中点，
所以EF∥BM.
又EF 平面BDD1B1，BM 平面BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1.
（2）因为G是CD的中点，E是BC的中点，所以EG∥BD.
而EG 平面BDD1B1，BD 平面BDD1B1，
从而得EG∥平面BDD1B1.
由（1）知EF∥平面BDD1B1，又EF∩EG＝E，EF，EG 平面GEF，
因此平面GEF∥平面BDD1B1.
15.B　如图，取B1C1的中点G，BB1的中点H，连接GH，A1G，A1H，则A1G∥AE，又A1G 平面AEF，AE 平面AEF，所以A1G∥平面AEF，同理GH∥EF，GH 平面AEF，EF 平面AEF，所以GH∥平面AEF，因为A1G∩GH＝G，所以平面A1GH∥平面AEF，因为P是侧面BCC1B1内一点，当P点在线段GH上时，能够满足A1P∥平面AEF，因为正方体棱长为2，由勾股定理得：A1G＝A1H＝，GH＝，故点P落在GH中点时，A1P长度最小，此时A1P＝＝，当点P与G或H重合时，长度最大，此时A1P＝，综上：线段A1P长度的取值范围是.故选B.
16.解：（1）连接CP并延长与DA的延长线交于M点，连接D1M，则平面PQC和平面AA1D1D的交线为D1M.
证明：因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以＝＝，
又因为＝＝，所以＝＝，所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA，PQ 平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.
（2）当＝时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.
证明：因为＝，即＝，故＝，所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，由（1）知，PQ∥平面A1D1DA，又PQ∩PR＝P，
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
3 / 38.5.3　平面与平面平行
第1课时　平面与平面平行的判定
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行 直观想象
　　上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层.
【问题】　展馆的每两层所在的平面有什么位置关系？你是依据什么判断的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　平面与平面平行的判定定理
文字 语言 如果一个平面内的　　　　　　与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号 语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形 语言
提醒　判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：①平面β内两条相交直线a，b，即a β，b β，a∩b＝P；②两条相交直线a，b都与平面α平行，即a∥α，b∥α.
1.（2024·济南月考）在正方体中，相互平行的面不会是（　　）
A.前后相对侧面
B.上下相对底面
C.左右相对侧面
D.相邻的侧面
2.（2024·青岛月考）已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，则α与β的位置关系是（　　）
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.以上都不对
3.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的对数为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
题型一 平面与平面平行判定定理的理解
【例1】　已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（　　）
A.平面α内有一条直线与平面β平行
B.平面α内有两条直线与平面β平行
C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D.平面α与平面β不相交
通性通法
平面与平面平行的判定方法
（1）定义法：两个平面没有公共点；
（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
（3）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【跟踪训练】
　（2024·南平月考）下列命题正确的是（　　）
A.一个平面内两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
题型二 平面与平面平行的证明
【例2】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，CC1的中点，求证：平面AEC∥平面BFD1.
通性通法
1.利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤
2.转化思想
转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
【跟踪训练】
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
求证：（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
1.已知α，β是两个不重合的平面，直线a α，命题p：a∥β，命题q：α∥β，则p是q的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（2024·周口月考）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在B1D1上，F在A1B1上，且＝，过E作EH∥B1B交BD于H，则平面EFH与平面BB1C1C的位置关系是（　　）
A.平行 B.相交
C.垂直 D.以上都有可能
3.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.
第1课时　平面与平面平行的判定
【基础知识·重落实】
知识点
　两条相交直线
自我诊断
1.D　由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.
2.C　由图①和图②可知，α与β平行或相交.
3.D　相对的两个侧面以及上下两底面相互平行，所以六棱柱的面中互相平行的有4对.
【典型例题·精研析】
【例1】　D　选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面（不重合）的位置关系只有相交与平行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行.故选D.
跟踪训练
　B　对于A、C、D选项，两个平面均有可能相交，而对于B选项，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故A、C、D错误，B正确.
【例2】　证明：连接EF，
∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，E，F分别为DD1，CC1的中点，
∴AB∥DC∥EF，AB＝DC＝EF，ED1∥CF，ED1＝CF，
∴四边形ABFE，ED1FC为平行四边形，
则AE∥BF，EC∥D1F，
∵AE 平面BFD1，EC 平面BFD1，BF 平面BFD1，D1F 平面BFD1，
∴AE∥平面BFD1，EC∥平面BFD1，
∵AE 平面AEC，EC 平面AEC，AE∩EC＝E，
∴平面AEC∥平面BFD1.
跟踪训练
　证明：（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
随堂检测
1.B　a α，a∥β ，α，β可能相交，也可能平行；由面面平行的定义可知，若α∥β且a α，则a∥β. 故p是q的必要不充分条件.故选B.
2.A　在平面A1B1C1D1中，因为＝，所以EF∥A1D1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C1∥A1D1，所以EF∥B1C1，又因为EH∥B1B，EH 平面EFH，EF 平面EFH，BB1 平面BB1C1C，B1C1 平面BB1C1C，EH∩EF＝E，BB1∩B1C1＝B1，所以平面EFH∥平面BB1C1C.故选A.
3.证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
2 / 3(共59张PPT)
第1课时　平面与平面平行的判定
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平
行的判定定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面
平行 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气
质，展馆共分三层.
【问题】　展馆的每两层所在的平面有什么位置关系？你是依据什么
判断的？
知识点　平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，
那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
两条相交直线　
提醒　判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：①平面β内两
条相交直线a，b，即a β，b β，a∩b＝P；②两条相交直线a，
b都与平面α平行，即a∥α，b∥α.
1. （2024·济南月考）在正方体中，相互平行的面不会是（　　）
A. 前后相对侧面 B. 上下相对底面
C. 左右相对侧面 D. 相邻的侧面
解析：　由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平
行，故选D.
2. （2024·青岛月考）已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不
重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，则α
与β的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 以上都不对
解析：　由图①和图②可知，α与β平行或相交.
3. 六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的
面中互相平行的对数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　相对的两个侧面以及上下两底面相互平行，所以六棱柱
的面中互相平行的有4对.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面与平面平行判定定理的理解
【例1】　已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出
平面α与平面β平行的是（　　）
A. 平面α内有一条直线与平面β平行
B. 平面α内有两条直线与平面β平行
C. 平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D. 平面α与平面β不相交
解析：　选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正
确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平
行；选项D正确，因为两个平面（不重合）的位置关系只有相交与平
行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行.故选D.
通性通法
平面与平面平行的判定方法
（1）定义法：两个平面没有公共点；
（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平
面；
（3）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【跟踪训练】
（2024·南平月考）下列命题正确的是（　　）
A. 一个平面内两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么
这两个平面平行
B. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个
平面平行
C. 平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D. 如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个
平面平行
解析：　对于A、C、D选项，两个平面均有可能相交，而对于B选
项，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个
平面平行，故A、C、D错误，B正确.
题型二 平面与平面平行的证明
【例2】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱
DD1，CC1的中点，求证：平面AEC∥平面BFD1.
证明：连接EF，
∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，E，F分别为DD1，
CC1的中点，
∴AB∥DC∥EF，AB＝DC＝EF，ED1∥CF，
ED1＝CF，
∴四边形ABFE，ED1FC为平行四边形，
则AE∥BF，EC∥D1F，
∵AE 平面BFD1，EC 平面BFD1，BF 平面
BFD1，D1F 平面BFD1，
∴AE∥平面BFD1，EC∥平面BFD1，
∵AE 平面AEC，EC 平面AEC，AE∩EC＝E，
∴平面AEC∥平面BFD1.
通性通法
1. 利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤
2. 转化思想
转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直
线分别平行，则α∥β.
【跟踪训练】
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，
AC，A1B1，A1C1的中点.
求证：（1）B，C，H，G四点共面；
证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中
点，∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
1. 已知α，β是两个不重合的平面，直线a α，命题p：a∥β，命题
q：α∥β，则p是q的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　a α，a∥β ，α，β可能相交，也可能平行；由面面平
行的定义可知，若α∥β且a α，则a∥β. 故p是q的必要不充分条
件.故选B.
2. （2024·周口月考）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在
B1D1上，F在A1B1上，且 ＝ ，过E作EH∥B1B交BD于
H，则平面EFH与平面BB1C1C的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 垂直 D. 以上都有可能
解析：　在平面A1B1C1D1中，因为 ＝ ，所以
EF∥A1D1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C1∥A1D1，所以
EF∥B1C1，又因为EH∥B1B，EH 平面EFH，EF 平面
EFH，BB1 平面BB1C1C，B1C1 平面BB1C1C，EH∩EF＝
E，BB1∩B1C1＝B1，所以平面EFH∥平面BB1C1C. 故选A.
3. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点
H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.
证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为
OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成
立，则需增加的条件是（　　）
A. n是直线且n α，n∥β
B. n，m是异面直线且n∥β
C. n，m是相交直线且n α，n∥β
D. n，m是平行直线且n α，n∥β
解析：　要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与
另一个平面平行，n，m是相交直线且n α，n∥β，m α，
m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C.
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2. 经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（　）
A. 1个或2个 B. 0个或1个
C. 1个 D. 0个
解析：　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β
使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平
面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作
出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
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3. 对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，不能够判定α与β平
行的为（　　）
A. 存在平面γ，使得α，β都平行于γ
B. 平面α内的任意一条直线都平行于β
C. α内有不共线的三点到β的距离相等
D. 存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β
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解析：　对于A，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，∴两个平面
平行，∴A正确；对于B，平面α内的任意一条直线都平行于β，当
然α内的两条相交直线也都平行于β，∴α∥β，∴B正确；对于C，
不能判定α与β平行，如α内不共线的三点不在β的同一侧时，α与β
相交，∴C不正确；对于D，可以判定α与β平行，可在平面α内作
l'∥l，m'∥m，则l'与m'必相交.又∵l∥β，m∥β，∴l'∥β，
m'∥β，∴α∥β，∴D正确.故选C.
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4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱
A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（　　）
A. BD1∥GH
B. BD∥EF
C. 平面EFGH∥平面ABCD
D. 平面EFGH∥平面A1BCD1
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解析：　易知GH∥D1C，因为过直线外一点
有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，
GH不可能互相平行，故选项A错误；易知EF
∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误；
因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面
ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；对于D，由E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，得出EF∥A1B，EH∥A1D1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，所以平面EFGH∥平面A1BCD1.故选D.
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5. （2024·广州月考）在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且
AA1∥BD，点M是△A1B1C1内（含边界）的一个动点，且有平面
BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是（　　）
A. △A1B1C1边界的一部分
B. 一个点
C. 线段的一部分
D. 圆的一部分
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解析：　如图，过D作DE∥A1C1交B1C1于E，
连接BE，因为BD∥AA1，BD 平面AA1C1C，
AA1 平面AA1C1C，所以BD∥平面AA1C1C，同
理DE∥平面AA1C1C，又BD∩DE＝D，BD，
DE 平面BDE，所以平面BDE∥平面AA1C1C，
所以M∈DE（M不与D重合，否则没有平面
BDM），故选C.
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6. 如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行
的是（　　）
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解析：　由题意可知经过P，Q，R三点的平
面即为平面PSRHNQ，如图所示，对图B、C，
可知N在经过P，Q，R三点的平面上，所以
图B、C中的阴影平面与平面PRQ不平行；对
图A，MC1与QN是相交直线，所以图A中的阴
影平面与平面PRQ不平行；对图D，因为A1C1∥RH，BC1∥QN，A1C1∩BC1＝C1，又易知RH，QN也相交，A1C1，BC1 平面A1C1B，RH，QN 平面PSRHNQ，故平面A1C1B∥平面PSRHNQ，图D中的阴影平面与平面PRQ平行.
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7. 如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别是棱PA，PB，PC
的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 .
平行
解析：在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB. 又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC. 同理，可证EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
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8. 已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线
b∥a，则α与β的位置关系是 （填“平行”或“相交”）.
解析：若α∩β＝l，则在平面α内，取与l相交的直线a，设a∩l＝
A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点
A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾.故α∥β.
平行
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9. 如图，三条直线AA1、BB1、CC1不共面，但交于一点O，若AO＝
A1O，BO＝B1O，CO＝C1O，那么平面ABC和平面A1B1C1的位
置关系是 .
平行
解析：由AO＝A1O，BO＝B1O，且∠AOB＝∠A1OB1，故△AOB≌△A1OB1，因此∠A1B1O＝∠ABO，故A1B1∥AB，A1B1 平面A1B1C1，AB 平面A1B1C1，故AB∥平面A1B1C1，同
理可得BC∥平面A1B1C1，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，故平面ABC∥平面A1B1C1.
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10. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点
M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝
PQ∶QD. 求证：平面MNQ∥平面PBC.
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证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
又因为BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
因为四边形ABCD为平行四边形.
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
又因为BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PBC.
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11. （2024·宁波月考）已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面.
若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分
条件是（　　）
A. m∥β且l1∥α B. m∥β且n∥β
C. m∥β且n∥l2 D. m∥l1且n∥l2
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解析：　对于A，若m∥β且l1∥α，则α，β可能相交，故A错
误；对于B，若m∥β且n∥β，要得出α∥β，必须满足m，n相
交，故B错误；对于C，若m∥β且n∥l2，要得出α∥β，必须满足
m，n相交，故C错误；对于D，由定理“如果一个平面内的两条
相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，由选项D
可以推出α∥β，故D正确.
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12. （多选）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说
法正确的有（　　）
A. BM∥平面DE
B. CN∥平面AF
C. 平面BDM∥平面AFN
D. 平面BDE∥平面NCM
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解析：展开图可以折成如图①所示的正方体.
在正方体中，连接AN，如图②所示.∵AB∥MN，且AB＝MN，
∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN. ∴BM∥平面DE. 同
理可证CN∥平面AF，∴选项A、B正确；如图③所示，连接
NF，BE，BD，DM，CF，易证BM∥平面AFN，BD∥平面
AFN，则平面BDM∥平面AFN，∴选项C正确；易得平面BDE与
平面NCM相交，∴D不正确.
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13. 如图，P是△ABC所在平面外一点，A'，B'，C'分别是△PBC，
△PAC，△PAB的重心，则平面A'B'C'与平面ABC的位置关系
为 .
平行
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解析：如图，连接PA'，PC'并延长，分别交BC，
AB于点M，N，连接MN. ∵A'，C'分别是
△PBC，△PAB的重心，∴PA'＝ PM，PC'＝
PN，∴A'C'∥MN. ∵MN 平面ABC，A'C' 平
面ABC，∴A'C'∥平面ABC. 同理，A'B'∥平面
ABC. 又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B' 平面
A'B'C'，∴平面A'B'C'∥平面ABC.
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14. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个
动点，E，F分别是BC，CM的中点.
（1）求证：EF∥平面BDD1B1；
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证明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接BM，如图.
因为E，F分别是BC，CM的中点，
所以EF∥BM.
又EF 平面BDD1B1，BM 平面
BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1.
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（2）设G为棱CD的中点，求证：平面GEF∥平面BDD1B1.
证明：因为G是CD的中点，E是BC的中点，所以EG∥BD.
而EG 平面BDD1B1，BD 平面
BDD1B1，
从而得EG∥平面BDD1B1.
由（1）知EF∥平面BDD1B1，又
EF∩EG＝E，EF，EG 平面GEF，
因此平面GEF∥平面BDD1B1.
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15. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是
棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面
AEF，则线段A1P长度的取值范围是（　　）
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解析：　如图，取B1C1的中点G，BB1的中点
H，连接GH，A1G，A1H，则A1G∥AE，又
A1G 平面AEF，AE 平面AEF，所以A1G∥
平面AEF，同理GH∥EF，GH 平面AEF，
EF 平面AEF，所以GH∥平面AEF，因为
A1G∩GH＝G，所以平面A1GH∥平面AEF，
因为P是侧面BCC1B1内一点，
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当P点在线段GH上时，能够满足A1P∥平面AEF，因为正方
体棱长为2，由勾股定理得：A1G＝A1H＝ ，GH＝ ，故点P落在GH中点时，A1P长度最小，此时A1P＝ ＝ ，当点P与G或H重合时，长度最大，此时A1P＝ ，综
上：线段A1P长度的取值范围是 .故选B.
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16. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1
上的点，且 ＝ ＝ .
（1）在图①中作出平面PQC和平面AA1D1D的交线（保留作图痕
迹），并求证：PQ∥平面A1D1DA；
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解：连接CP并延长与DA的延长线交于M点，连接D1M，则平面PQC和平面AA1D1D的交线为D1M.
证明：因为四边形ABCD为正方形，所
以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以 ＝ ＝ ，
又因为 ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ，所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA，PQ 平面
A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.
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（2）如图②，若R是AB上的点，当 的值为多少时，能使平面
PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.
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解：当 ＝ 时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.
证明：因为 ＝ ，即 ＝ ，故 ＝ ，所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，由（1）知，PQ∥平面
A1D1DA，又PQ∩PR＝P，
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
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