资源简介 8.6.1 直线与直线垂直1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（ ）A.一定平行 B.一定垂直C.一定是异面直线 D.一定相交2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是（ ）A.BC1B.A1DC.ACD.BC3.已知空间四边形的两条对角线相互垂直，则顺次连接四边中点的四边形一定是（ ）A.空间四边形 B.矩形C.菱形 D.正方形4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为（ ）A.30° B.45°C.60° D.90°5.（多选）如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）A.AB与CD所在直线垂直B.CD与EF所在直线平行C.AB与MN所在直线成60°角D.MN与EF所在直线异面6.（多选）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的是（ ）A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC＝CDD.异面直线PM与BD所成的角为45°7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有 条.8.已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a与b所成的角为 .9.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成角的正弦值为 .10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.（1）求证：MN∥A1C1；（2）求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.11.（2024·湛江月考）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，如图所示，若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为（ ）A. B.2C. D.412.（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列说法正确的是（ ）A.直线EF，AO共面B.直线EF，BB1是相交直线C.直线EF与BC1所成的角为30°D.直线EF与BB1所成角的余弦值为13.（2024·珠海质检）在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长度为 .14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF.15.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围为 .16.如图，已知点P在圆柱OO1的底面☉O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为☉O，☉O1的直径，且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°.（1）求三棱锥A1-APB的体积；（2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.8.6.1 直线与直线垂直1.B ∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.2.C 连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C.3.B 如图，易知四边形EFGH为平行四边形.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.同理FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.因为AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形.4.C 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE（或其补角）即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C.5.CD 画出原正方体如图所示，连接DN，DM，由图可知A、B错误；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，所以C中，AB与MN所在直线成60°角是正确的；显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的.故选C、D.6.ABD 因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN 平面DAC，PQ 平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ 平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因为AC 截面PQMN，MN 截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正确；同理可证PN∥BD∥MQ，因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确；又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确；AC和CD不一定相等，故C错误.故选A、B、D.7.2 解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条.8.60° 解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a与b所成的角为∠BAC的补角.所以直线a与b所成的角为60°.9. 解析：连接B1C，取B1C的中点E，连接DE，BE，∵D是AC的中点，∴DE是△ACB1的中位线，∴AB1∥DE，∴∠EDB（或其补角）为异面直线AB1与BD所成的角.设AB＝m（m＞0），则BD＝m，BB1＝m，由勾股定理得AB1＝B1C＝m，∴DE＝BE＝m，∴△BDE为等边三角形，∴∠EDB＝，∴sin∠EDB＝.10.解：（1）证明：连接AC，∵M，N分别为AD，DC的中点，∴MN∥AC且AC∥A1C1，∴MN∥ A1C1.（2）连接A1B，由（1）知∠A1C1B或其补角为所求角，∵A1B＝A1C1＝，BC1＝，∴由余弦定理得cos∠A1C1B＝＝.故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为.11.A 取A'D的中点N，连接PN，MN（图略）.因为M是A'C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A'PN为异面直线BM与PA'所成的角.在Rt△NA'P中，tan∠A'PN＝＝，故选A.12.AC 连接OF（图略），∵O为正方形A1B1C1D1的中心，F是A1D1的中点，∴OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，从而EF，AO共面，A中说法正确；连接B1E，∵F 平面BEB1，BB1 平面BEB1，E BB1，E∈平面BEB1，∴EF，BB1是异面直线，B中说法错误；连接OB，易得FO∥EB，且FO＝EB，∴四边形EFOB是平行四边形，∴EF∥BO，∴∠OBC1（或其补角）是异面直线EF与BC1所成的角.连接OC1，设正方体的棱长为1，在△BC1O中，BC1＝，OC1＝，BO＝EF＝＝，∴cos∠OBC1＝＝，∴∠OBC1＝30°，C中说法正确；同理得∠OBB1（或其补角）是EF与BB1所成的角，连接OB1，在Rt△OBB1中，易得cos∠OBB1＝＝＝，D中说法错误.故选A、C.13.或 解析：如图，取BC中点O，连接OE，OF.∴OE∥AC，OF∥BD，∴∠EOF（或其补角）即为AC与BD所成的角.而AC，BD所成的角为60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝；当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×＝.14.证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝BC，∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所成的角.又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，∴CD1⊥EF.15.［，］ 解析：设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接AD1，AP，由正方体的性质可知AD1∥BC1，∴∠AD1P即为异面直线D1P与BC1所成角，在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，故cos∠AD1P＝，又∵x∈[0，1]，∴cos∠AD1P＝∈［，］，又y＝cos x在（0，π）为减函数，∴∠AD1P∈［，］.16.解：（1）由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2，∴S△PAB＝×2×2＝2，∴＝S△PAB·AA1＝×2×3＝2.（2）当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为.证明如下：∵O，M分别为AB，AP的中点，∴OM∥BP，∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角.∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5.又BP⊥A1P，∴cos∠A1BP＝＝，∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为.3 / 38.6.1 直线与直线垂直新课程标准解读 核心素养1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系 逻辑推理2.会求两异面直线所成的角 直观想象 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面.【问题】 （1）直观上，你认为这两种异面有什么区别？（2）如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？ 知识点一 异面直线所成的角1.已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线 所成的角α叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.2.当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°，所以空间两条直线所成角α的取值范围是 .提醒 （1）两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；（2）找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.知识点二 直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a b.提醒 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形.1.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（ ）A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能2.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（ ）A.有无数条 B.有两条C.至多有两条 D.有一条3.若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为 .题型一 求异面直线所成的角【例1】 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.通性通法求两异面直线所成角的一般步骤（1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；（2）计算角：求角度，常利用三角形；（3）确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.提醒 找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行直线若在外，补上原体在外边.【跟踪训练】1.（2024·龙岩月考）如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为（ ）A. B.C. D.2.如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：（1）BE与CG所成的角；（2）FO与BD所成的角.题型二 证明直线与直线垂直【例2】 在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.通性通法证明空间中两条直线垂直的方法（1）定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直；（2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形（等边三角形）底边的中线和底边垂直等.【跟踪训练】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.1.已知直线a，b，c，则（ ）A.若a⊥b，c⊥b，则a∥cB.若a⊥b，c⊥b，则a⊥cC.若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等D.若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a∥b2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）A.2条 B.4条C.6条 D.8条3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为 .4.（2024·开封月考）如图，AB是圆O的直径，C是弧的中点，D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成的角为 .8.6.1 直线与直线垂直【基础知识·重落实】知识点一1.a'与b' 2.0°≤α≤90°知识点二 直角 ⊥自我诊断1.D 如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D.2.A 过点P且与l成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.故选A.3.60° 解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.【典型例题·精研析】【例1】 解：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB且EG＝AB，GF∥CD且GF＝CD.由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.跟踪训练1.B 如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线PD，BE所成的角.由题意可知PD＝CD＝BE＝2，EF＝，BF＝＝，所以cos∠BEF＝＝.故选B.2.解：（1）∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°.（2）如图，连接FH，易知FB＝HD，FB∥HD，∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，∴FO与BD所成的角为30°.【例2】 证明：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.跟踪训练 证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，则AB2＝a2＋b2.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，所以B＝b2＋h2，A1B2＝a2＋b2＋h2，所以A1B2＝A1＋B，则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1.随堂检测1.C 由异面直线所成角的定义可知C正确.2.D 在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条.故选D.3.60° 解析：连接BC1，A1C1（图略），∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.4.45° 解析：因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC.因为点C是弧的中点，所以BC＝AC，所以∠ABC＝45°.在△VBC中，因为D，E分别为VB，VC的中点，所以DE∥BC，所以∠ABC即为异面直线DE与AB所成的角.所以异面直线DE与AB所成的角为45°.3 / 3(共57张PPT)8.6.1 直线与直线垂直目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03新课程标准解读 核心素养1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系 逻辑推理2.会求两异面直线所成的角 直观想象基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面.【问题】 （1）直观上，你认为这两种异面有什么区别？（2）如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？知识点一 异面直线所成的角1. 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线 所成的角α叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.2. 当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°，所以空间两条直线所成角α的取值范围是 .a'与b' 提醒 （1）两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；（2）找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.0°≤α≤90° 知识点二 直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a b.提醒 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形.直角 ⊥ 1. 设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（ ）A. 平行 B. 相交C. 异面 D. 以上都有可能解析： 如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D.2. 设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（ ）A. 有无数条 B. 有两条C. 至多有两条 D. 有一条解析： 过点P且与l成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.故选A.3. 若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为 .解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.60°典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 求异面直线所成的角【例1】 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.解：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB且EG＝ AB，GF∥CD且GF＝ CD.由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.通性通法求两异面直线所成角的一般步骤（1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；（2）计算角：求角度，常利用三角形；（3）确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.提醒 找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行直线若在外，补上原体在外边.【跟踪训练】1. （2024·龙岩月考）如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为（ ）解析： 如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线PD，BE所成的角.由题意可知PD＝CD＝BE＝2 ，EF＝ ，BF＝ ＝ ，所以 cos∠BEF＝ ＝ .故选B.2. 如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：（1）BE与CG所成的角；解：∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°.（2）FO与BD所成的角.解：如图，连接FH，易知FB＝HD，FB∥HD，∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，∴FO与BD所成的角为30°.题型二 证明直线与直线垂直【例2】 在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.证明：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.通性通法证明空间中两条直线垂直的方法（1）定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直；（2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形（等边三角形）底边的中线和底边垂直等.【跟踪训练】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，则AB2＝a2＋b2.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，所以B ＝b2＋h2，A1B2＝a2＋b2＋h2，所以A1B2＝A1 ＋B ，则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1.1. 已知直线a，b，c，则（ ）A. 若a⊥b，c⊥b，则a∥cB. 若a⊥b，c⊥b，则a⊥cC. 若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等D. 若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a∥b解析： 由异面直线所成角的定义可知C正确.2. 在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）A. 2条 B. 4条 C. 6条 D. 8条解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条.故选D.3. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为 .60°解析：连接BC1，A1C1（图略），∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.4. （2024·开封月考）如图，AB是圆O的直径，C是弧 的中点，D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成的角为 .45°解析：因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC. 因为点C是弧 的中点，所以BC＝AC，所以∠ABC＝45°.在△VBC中，因为D，E分别为VB，VC的中点，所以DE∥BC，所以∠ABC即为异面直线DE与AB所成的角.所以异面直线DE与AB所成的角为45°.知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（ ）A. 一定平行 B. 一定垂直C. 一定是异面直线 D. 一定相交解析： ∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.123456789101112131415162. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是（ ）A. BC1B. A1DC. ACD. BC解析： 连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C.123456789101112131415163. 已知空间四边形的两条对角线相互垂直，则顺次连接四边中点的四边形一定是（ ）A. 空间四边形 B. 矩形C. 菱形 D. 正方形解析： 如图，易知四边形EFGH为平行四边形.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.同理FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.因为AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形.123456789101112131415164. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2 ，则异面直线BD与AC所成的角为（ ）A. 30° B. 45°C. 60° D. 90°解析： 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE（或其补角）即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD＝DE＝EB＝ ，所以∠BDE＝60°，故选C.123456789101112131415165. （多选）如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）A. AB与CD所在直线垂直B. CD与EF所在直线平行C. AB与MN所在直线成60°角D. MN与EF所在直线异面12345678910111213141516解析： 画出原正方体如图所示，连接DN，DM，由图可知A、B错误；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，所以C中，AB与MN所在直线成60°角是正确的；显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的.故选C、D.123456789101112131415166. （多选）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的是（ ）A. AC⊥BDB. AC∥截面PQMNC. AC＝CDD. 异面直线PM与BD所成的角为45°12345678910111213141516解析： 因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN 平面DAC，PQ 平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ 平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因为AC 截面PQMN，MN 截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正确；同理可证PN∥BD∥MQ，因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确；又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确；AC和CD不一定相等，故C错误.故选A、B、D.123456789101112131415167. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有 条.解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条.2123456789101112131415168. 已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a与b所成的角为 .解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a与b所成的角为∠BAC的补角.所以直线a与b所成的角为60°.60°123456789101112131415169. 如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝ ∶1，则异面直线AB1与BD所成角的正弦值为 . 12345678910111213141516解析：连接B1C，取B1C的中点E，连接DE，BE，∵D是AC的中点，∴DE是△ACB1的中位线，∴AB1∥DE，∴∠EDB（或其补角）为异面直线AB1与BD所成的角.设AB＝m（m＞0），则BD＝m，BB1＝ m，由勾股定理得AB1＝B1C＝m，∴DE＝BE＝ m，∴△BDE为等边三角形，∴∠EDB＝ ，∴ sin ∠EDB＝ .1234567891011121314151610. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.（1）求证：MN∥A1C1；解：证明：连接AC，∵M，N分别为AD，DC的中点，∴MN∥AC且AC∥A1C1，∴MN∥ A1C1.12345678910111213141516（2）求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.解：连接A1B，由（1）知∠A1C1B或其补角为所求角，∵A1B＝A1C1＝ ，BC1＝ ，∴由余弦定理得 cos ∠A1C1B＝ ＝ .故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为 .1234567891011121314151611. （2024·湛江月考）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，如图所示，若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为（ ）B. 2D. 412345678910111213141516解析： 取A'D的中点N，连接PN，MN（图略）.因为M是A'C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A'PN为异面直线BM与PA'所成的角.在Rt△NA'P中，tan∠A'PN＝ ＝ ，故选A.1234567891011121314151612. （多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列说法正确的是（ ）A. 直线EF，AO共面B. 直线EF，BB1是相交直线C. 直线EF与BC1所成的角为30°12345678910111213141516解析： 连接OF（图略），∵O为正方形A1B1C1D1的中心，F是A1D1的中点，∴OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，从而EF，AO共面，A中说法正确；连接B1E，∵F 平面BEB1，BB1 平面BEB1，E BB1，E∈平面BEB1，∴EF，BB1是异面直线，B中说法错误；连接OB，易得FO∥EB，且FO＝EB，∴四边形EFOB是平行四边形，∴EF∥BO，∴∠OBC1（或其补角）是异面直线EF与BC1所成的角.12345678910111213141516连接OC1，设正方体的棱长为1，在△BC1O中，BC1＝ ，OC1＝ ，BO＝EF＝ ＝ ，∴ cos ∠OBC1＝＝ ，∴∠OBC1＝30°，C中说法正确；同理得∠OBB1（或其补角）是EF与BB1所成的角，连接OB1，在Rt△OBB1中，易得 cos ∠OBB1＝ ＝ ＝ ，D中说法错误.故选A、C.1234567891011121314151613. （2024·珠海质检）在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长度为 .或12345678910111213141516解析：如图，取BC中点O，连接OE，OF.∴OE∥AC，OF∥BD，∴∠EOF（或其补角）即为AC与BD所成的角.而AC，BD所成的角为60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝ ；当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2× ＝ .1234567891011121314151614. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF.12345678910111213141516证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝ BC，∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝ BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所成的角.又∵A1A＝AB，12345678910111213141516∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，∴CD1⊥EF.12345678910111213141516 解析：设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接AD1，AP，由正方体的性质可知AD1∥BC1，∴∠AD1P即为异面直线D1P与BC1所成角，［ ， ］12345678910111213141516在△AD1P中，AD1＝ ，AP＝D1P＝ ，故 cos ∠AD1P＝ ，又∵x∈[0，1]，∴ cos ∠AD1P＝ ∈［ ， ］，又y＝ cos x在（0，π）为减函数，∴∠AD1P∈［ ， ］.1234567891011121314151616. 如图，已知点P在圆柱OO1的底面☉O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为☉O，☉O1的直径，且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°.（1）求三棱锥A1-APB的体积；12345678910111213141516解：由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2 ，∴S△PAB＝ ×2×2 ＝2 ，∴ ＝ S△PAB·AA1＝ ×2 ×3＝2 .12345678910111213141516（2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为 ？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.解：当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为 .证明如下：12345678910111213141516∵O，M分别为AB，AP的中点，∴OM∥BP，∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角.∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5.又BP⊥A1P，∴ cos ∠A1BP＝ ＝ ，∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为 .12345678910111213141516谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 8.6.1 直线与直线垂直.docx 8.6.1 直线与直线垂直.pptx 8.6.1 直线与直线垂直（练习，含解析）.docx
资源列表
