资源简介

8.6.2　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面垂直的判定
1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（　　）
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
2.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（　　）
A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
3.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为（　　）
A.30°　 　 B.45°
C.60°　 D.90°
4.（2024·济宁月考）已知过平面α外一点A的斜线l与平面α所成角为，斜线l交平面α于点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积是（　　）
A.3π B.2π
C.π D.
5.（多选）如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是（　　）
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
6.（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（　　）
A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC
C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC
7.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
（1）与PC垂直的直线有　　　　　　　　　；
（2）与AP垂直的直线有　　　　　　　　　.
8.（2024·宁德月考）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成角的大小为　　　　.
9.（2024·丽水质检）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是　　　.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA＝PC，判断直线AC与平面PBD是否垂直，并说明理由.
11.三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的（　　）
A.内心　　 B.重心
C.外心　　 D.垂心
12.（多选）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（　　）
A.BF∥CD
B.DG⊥BH
C.CH与BG成60°角
D.BE与平面ABCD所成角为45°
13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件　　　　时，有AB1⊥BC1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
14.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
15.已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝，Q为棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最大值为　　　　.
16.如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的射影为点D，PD＝DB.
（1）求证：CD⊥平面PAB；
（2）求直线PC与平面PAB所成的角.
第1课时　直线与平面垂直的判定
1.C　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB 平面OBC，OC 平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
2.C　连接AC（图略）.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.由题图可得，AM与BD不相交，故选C.
3.A　由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°，即PC与平面ABCD所成的角为30°.
4.A　如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝，又AC＝1，所以BC＝，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积为3π.故选A.
5.ABC　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；由题意得，AB与SC所成的角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB，显然，∠SCD≠∠SAB，故D不正确.
6.ABC　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确.
7.（1）AB，AC，BC　（2）BC　
解析：（1）因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
（2）∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，AC，PC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为AP 平面PAC，所以BC⊥AP.
8.30°　解析：取BC的中点E，连接DE，AE（图略），则DE⊥平面ABC，故DE⊥AE，∠DAE即为AD与平面ABC所成的角，设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为1，则DE＝，AE＝，所以tan∠DAE＝，所以∠DAE＝30°.
9.线段B1C解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与AC交于点C，∴ BD1⊥平面B1AC，又知点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.
10.解：AC⊥平面PBD.理由如下：
设AC∩BD＝O，连接PO，
因为底面ABCD是菱形，
则AC⊥BD，且O为AC的中点，
因为PA＝PC，则PO⊥AC，
又因为PO∩BD＝O，PO，BD 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD.
11.C　如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心.
12.BCD　由正方体的平面展开图还原正方体如图所示，由正方体的结构特征可知，BF与CD异面垂直，所以A错误；DG⊥CH，而CH为BH在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B正确；连接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得四边形ABGH为平行四边形，则AH∥BG，所以∠AHC或其补角为异面直线CH与BG所成的角，连接AC，可得△AHC为等边三角形，得CH与BG成60°角，所以C正确；因为AE⊥平面ABCD，所以∠EBA为BE与平面ABCD所成角，为45°，所以D正确.故选B、C、D.
13.∠A1C1B1＝90°（答案不唯一）
解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）.
14.证明：（1）取PD的中点E，连接NE，AE，如图.
又∵N是PC的中点，
∴NE∥DC且NE＝DC.
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝AB，
∴AM∥CD且AM＝CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，
∵E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，∴MN⊥平面PCD.
15.解析：如图所示，依题意可知PA⊥PB，PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直线与平面所成的角.由于tan θ＝，其中PA＝2，当PQ最小时，正切值取得最大值.当PQ⊥BC时，PQ最小，BC＝＝，在Rt△PBC中，利用等面积得××2＝××PQ，解得PQ＝.此时tan θ＝＝.
16.解：（1）证明：连接CO，由AD＝DB知，
点D为AO的中点.
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
由 AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形，
故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的射影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，所以PD⊥CD，
又PD，AO 平面PAB，且PD∩AO＝D，所以CD⊥平面PAB.
（2）由（1）知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角.又△AOC是边长为2的正三角形，
所以CD＝.
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以tan∠CPD＝＝，又0 °≤∠CPD≤90°，所以∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
3 / 38.6.2　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面垂直的判定
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象
2.归纳出直线与平面垂直的判定定理 逻辑推理
3.了解直线与平面所成角 直观想象
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.
【问题】　（1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
（2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　直线与平面垂直
1.定义：如果直线l与平面α内的　　　　　　直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作　　　　.
2.相关概念
垂线 直线l叫做平面α的垂线
垂面 平面α叫做直线l的垂面
垂足 直线与平面唯一的公共点
垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，该点与垂足间的线段
点到平面的距离 垂线段的长度
3.性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
【想一想】
　如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
知识点二　直线与平面垂直的判定定理
文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条　　　直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号 语言 m α，n α，　　　＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形 语言
提醒　（1）判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语；（2）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的.
知识点三　直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α　　，但不与这个平面　　，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的　　　叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引　　　，过　　　　和　　　　的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线与 平面所成 的角 定义：平面的一条　　和它在平面上的　　所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是　　；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是　　
取值范围 0°≤θ≤90°
提醒　（1）斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；（2）斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
1.直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能（　　）
A.平行　　 B.相交
C.异面　 D.垂直
2.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是　　　　.
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于　　　　；AB1与平面ADD1A1所成的角等于　　　　；AB1与平面DCC1D1所成的角等于　　　　.
题型一 线面垂直概念的理解
【例1】　下列命题中正确的是　　　　（填序号）.
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
通性通法
1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
2.由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
【跟踪训练】
　（2024·南阳月考）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）
A.若l⊥m，m⊥α，则l∥α
B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C.若l∥α，m α，则l∥m
D.若l∥α，m∥α，则l∥m
题型二 直线与平面垂直的判定
【例2】　如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC.
【母题探究】
（变条件、变设问）在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？
通性通法
证明线面垂直的方法
（1）由线线垂直证明线面垂直：①定义法（不常用）；②判定定理（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作辅助线），使它们与所给直线垂直.
（2）平行转化法（利用推论）：①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
【跟踪训练】
如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
（1）求证：AN⊥平面PBM；
（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
题型三 直线与平面所成的角
【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
通性通法
求直线与平面所成的角的步骤
【跟踪训练】
如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是正三角形，AA'⊥底面ABC，且AB＝1，AA'＝2，求直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值.
1.已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（　　）
A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B.m⊥b，b∥α
C.m∩b＝A，b⊥α
D.m∥b，b⊥α
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（　　）
A.平面DD1C1C B.平面A1DCB1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB
3.（2024·温州月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为　　　　.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，求AC1与平面ABCD所成角的正弦值.
第1课时　直线与平面垂直的判定
【基础知识·重落实】
知识点一
1.任意一条　l⊥α
想一想
　提示：不一定.
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，则这样的直线能作出无数条，显然AB垂直于平面ABCD内的无数条直线，但AB 平面ABCD，故直线AB与平面ABCD不垂直.不仅如此，因为A1B1∥AB，所以直线A1B1也垂直于平面ABCD内的无数条直线，但是直线A1B1∥平面ABCD.
知识点二
　相交　m∩n
知识点三
　相交　垂直　交点A　垂线PO　垂足O　斜足A　斜线　射影　90°　0°
自我诊断
1.A　因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，又m α，所以l⊥m，所以直线l与m不可能平行.
2.垂直　解析：因为BA⊥α，α∩β＝l，l α，所以BA⊥l.同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，则l⊥平面ABC.因为AC 平面ABC，l⊥AC.
3.45°　45°　0°　解析：∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.
【典型例题·精研析】
【例1】　③④　解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.
跟踪训练
　B　对于A，l∥α或l α，故A错误；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面，故C错误；对于D，l，m还可能相交或异面，故D错误.
【例2】　证明：∵SA＝SC，
点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
如图，连接BD，在Rt△ABC中，
AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
母题探究
　解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC.
又由例题知SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
跟踪训练
　证明：（1）∵AB为☉O的直径，
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
（2）由（1）知AN⊥平面PBM，
又PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
【例3】　解：连接BC1，设BC1与B1C相交于点O，连接A1O.
设正方体的棱长为a.
因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1DCB1，
所以BC1⊥平面A1DCB1，
所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，
∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.
在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a，
所以BO＝A1B.
所以∠BA1O＝30°，
所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
跟踪训练
　解：如图所示，取A'B'的中点D，连接C'D，BD.
因为底面△A'B'C'是正三角形，所以C'D⊥A'B'.
因为AA'⊥底面A'B'C'，所以AA'⊥C'D.
又AA'∩A'B'＝A'，AA'，A'B' 平面ABB'A'，
所以C'D⊥平面ABB'A'，
所以∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成的角.
因为等边三角形A'B'C'的边长为1，所以C'D＝.在Rt△BB'C'中，BC'＝＝，
所以直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为 ＝.
随堂检测
1.D　m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或m α，故A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或m α，故B错误；m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或m α，故C错误；由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.故选D.
2.B　因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1 平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故选B.
3.4　解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形.
4.解：如图，连接AC，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，
∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角，在Rt△C1CA中，sin∠C1AC＝＝＝.
4 / 5(共69张PPT)
第1课时　直线与平面垂直的判定
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象
2.归纳出直线与平面垂直的判定定理 逻辑推理
3.了解直线与平面所成角 直观想象
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.
【问题】　（1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
（2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
知识点一　直线与平面垂直
1. 定义：如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说
直线l与平面α互相垂直，记作 .
任意一条　
l⊥α　
2. 相关概念
垂线 直线l叫做平面α的垂线
垂面 平面α叫做直线l的垂面
垂足 直线与平面唯一的公共点
垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，该点与垂足间的
线段
点到平面的距离 垂线段的长度
3. 性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
【想一想】
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否
与这个平面垂直？
提示：不一定.
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上任
取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，则这
样的直线能作出无数条，显然AB垂直于平面
ABCD内的无数条直线，但AB 平面ABCD，故直线AB与平面ABCD不垂直.不仅如此，因为A1B1∥AB，所以直线A1B1也垂直于平面ABCD内的无数条直线，但是直线A1B1∥平面ABCD.
知识点二　直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直，那
么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α， ＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
相交　
m∩n　
提醒　（1）判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键
性词语；（2）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在
该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是
否与已知直线有交点，这是无关紧要的.
知识点三　直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α ，但不与这个平
面 ，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的 叫做斜足 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引
，过 和 的直线AO叫做
斜线在这个平面上的射影 相交　
垂直　
交点A　
垂线
PO　
垂足O　
斜足A　
有关概念 对应图形
直线
与平
面所
成的
角 定义：平面的一条 和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是
取值
范围 0°≤θ≤90° 斜线　
射影
90°　
0°　
提醒　（1）斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；（2）斜线在
平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
1. 直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能（　　）
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直
解析：　因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，又
m α，所以l⊥m，所以直线l与m不可能平行.
2. 如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那
么直线l与直线AC的关系是 .
解析：因为BA⊥α，α∩β＝l，l α，所以BA⊥l.同理BC⊥l，
又BA∩BC＝B，则l⊥平面ABC. 因为AC 平面ABC，l⊥AC.
垂直
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成
的角等于 ；AB1与平面ADD1A1所成的角等于 ；
AB1与平面DCC1D1所成的角等于 .
45°
45°
0°
解析：∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 线面垂直概念的理解
【例1】　下列命题中正确的是 （填序号）.
③④
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于
平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内
也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且
只有一条.
解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①
不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以
②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以
④正确.
通性通法
1. 直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理
解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平
面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如
果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定
不与这个平面垂直.
2. 由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
【跟踪训练】
（2024·南阳月考）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下
列命题正确的是（　　）
A. 若l⊥m，m⊥α，则l∥α
B. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C. 若l∥α，m α，则l∥m
D. 若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：　对于A，l∥α或l α，故A错误；对于B，因l⊥α，则l垂
直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平
面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于
C，也有可能是l，m异面，故C错误；对于D，l，m还可能相交或异
面，故D错误.
题型二 直线与平面垂直的判定
【例2】　如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝
SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC.
证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
【母题探究】
（变条件、变设问）在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD
与平面SAC的位置关系是什么？
解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC.
又由例题知SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
通性通法
证明线面垂直的方法
（1）由线线垂直证明线面垂直：①定义法（不常用）；②判定定理
（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作
辅助线），使它们与所给直线垂直.
（2）平行转化法（利用推论）：①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，
a⊥α a⊥β.
【跟踪训练】
如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任
意一点，AN⊥PM，N为垂足.
（1）求证：AN⊥平面PBM；
证明：∵AB为☉O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明：由（1）知AN⊥平面PBM，
又PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
题型三 直线与平面所成的角
【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面
A1DCB1所成的角.
解：连接BC1，设BC1与B1C相交于点O，连接
A1O.
设正方体的棱长为a.
因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝
B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1DCB1，
所以BC1⊥平面A1DCB1，
所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，
∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.
在Rt△A1BO中，A1B＝ a，BO＝ a，
所以BO＝ A1B.
所以∠BA1O＝30°，
所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
通性通法
求直线与平面所成的角的步骤
【跟踪训练】
如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是正三角形，AA'⊥底面
ABC，且AB＝1，AA'＝2，求直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值.
解：如图所示，取A'B'的中点D，连接C'D，BD.
因为底面△A'B'C'是正三角形，所以C'D⊥A'B'.
因为AA'⊥底面A'B'C'，所以AA'⊥C'D.
又AA'∩A'B'＝A'，AA'，A'B' 平面ABB'A'，所以C'D⊥平
面ABB'A'，
所以∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成的角.
因为等边三角形A'B'C'的边长为1，所以C'D＝ .在
Rt△BB'C'中，BC'＝ ＝ ，
所以直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为 ＝ .
1. 已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（　　）
A. m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B. m⊥b，b∥α
C. m∩b＝A，b⊥α
D. m∥b，b⊥α
解析：　m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或
m α，故A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或
m α，故B错误；m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或
m α，故C错误；由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.故
选D.
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（　　）
A. 平面DD1C1C B. 平面A1DCB1
C. 平面A1B1C1D1 D. 平面A1DB
解析：　因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，
A1D，A1B1 平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故选B.
3. （2024·温州月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩
形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为 .
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平
面PAB. ∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形.
4
4. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，求AC1与平
面ABCD所成角的正弦值.
解：如图，连接AC，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面
ABCD，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角，在Rt△C1CA
中， sin ∠C1AC＝ ＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（　　）
A. 平面OAB B. 平面OAC
C. 平面OBC D. 平面ABC
解析：　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB 平面
OBC，OC 平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
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2. 如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置
关系是（　　）
A. 平行 B. 垂直相交
C. 垂直但不相交 D. 相交但不垂直
解析：　连接AC（图略）.因为四边形ABCD是菱形，所以
BD⊥AC. 又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC. 因为AC∩MC＝
C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC. 又MA 平面
AMC，所以MA⊥BD. 由题图可得，AM与BD不相交，故选C.
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3. 矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则
PC与平面ABCD所成的角的大小为（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
解析：　由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.在
Rt△PAC中，tan∠PCA＝ ＝ ＝ ，∴∠PCA＝30°，即PC
与平面ABCD所成的角为30°.
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4. （2024·济宁月考）已知过平面α外一点A的斜线l与平面α所成角为
，斜线l交平面α于点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线段AB
在平面α上的射影所形成的图形面积是（　　）
A. 3π B. 2π
C. π
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解析：　如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝ ，又AC＝1，所以BC＝ ，故射影形成的图形为半径为 的圆面，其面积为3π.故选A.
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5. （多选）如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面
ABCD，则下列结论中正确的是（　　）
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
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解析：　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；由题意得，AB与SC所成的角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB，显然，∠SCD≠∠SAB，故D不正确.
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6. （多选）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（　　）
A. BC⊥平面PAB
B. AD⊥PC
C. AD⊥平面PBC
D. PB⊥平面ADC
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解析：　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确.
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7. 如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边
所在的直线中：
（1）与PC垂直的直线有 ；
解析：因为PC⊥平面ABC，AB，
AC，BC 平面ABC. 所以PC⊥AB，
PC⊥AC，PC⊥BC.
AB，AC，BC
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（2）与AP垂直的直线有 .
解析：∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又
BC⊥PC，AC∩PC＝C，AC，PC 平面
PAC，所以BC⊥平面PAC. 因为AP 平面
PAC，所以BC⊥AP.
BC
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8. （2024·宁德月考）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成角的大小为 .
30°
解析：取BC的中点E，连接DE，AE（图略），则DE⊥平面
ABC，故DE⊥AE，∠DAE即为AD与平面ABC所成的角，设三棱
柱ABC-A1B1C1的棱长为1，则DE＝ ，AE＝ ，所以tan∠DAE
＝ ，所以∠DAE＝30°.
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9. （2024·丽水质检）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧
面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的
轨迹是 .
线段B1C
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解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与AC交于点C，∴ BD1⊥平面B1AC，又知点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.
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10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA＝PC，判断直线AC与平面PBD是否垂直，并说明理由.
解：AC⊥平面PBD. 理由如下：
设AC∩BD＝O，连接PO，
因为底面ABCD是菱形，
则AC⊥BD，且O为AC的中点，
因为PA＝PC，则PO⊥AC，
又因为PO∩BD＝O，PO，BD 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD.
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11. 三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形
的（　　）
A. 内心 B. 重心
C. 外心 D. 垂心
解析：　如图，设点P在平面ABC内的射影为
O，连接OA，OB，OC. ∵三棱锥的三条侧棱两
两相等，∴PA＝PB＝PC. ∵PO⊥底面ABC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝
OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心.
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12. （多选）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（　）
A. BF∥CD
B. DG⊥BH
C. CH与BG成60°角
D. BE与平面ABCD所成角为45°
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解析：　由正方体的平面展开图还原正方体
如图所示，由正方体的结构特征可知，BF与CD
异面垂直，所以A错误；DG⊥CH，而CH为BH
在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B
正确；连接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得
四边形ABGH为平行四边形，则AH∥BG，所以∠AHC或其补角为异面直线CH与BG所成的角，连接AC，可得△AHC为等边三角形，得CH与BG成60°角，所以C正确；因为AE⊥平面
ABCD，所以∠EBA为BE与平面ABCD所成角，为45°，所以D正确.故选B、C、D.
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13. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1
满足条件 时，有
AB1⊥BC1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑
所有可能的情况）
∠A1C1B1＝90°（答案不唯一）
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解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为
A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）.
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14. 如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
证明：取PD的中点E，连接NE，
AE，如图.
又∵N是PC的中点，
∴NE∥DC且NE＝ DC.
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝ AB，
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∴AM∥CD且AM＝ CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
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（2）若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面
PCD.
证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，
∵E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
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又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，∴MN⊥平面PCD.
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15. 已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝ ，
Q为棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最大
值为 .

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解析：如图所示，依题意可知PA⊥PB，
PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是
所求直线与平面所成的角.由于tan θ＝ ，其
中PA＝2，当PQ最小时，正切值取得最大
值.当PQ⊥BC时，PQ最小，BC＝
＝ ，在Rt△PBC中，利用等面积得 × ×2＝ × ×PQ，解得PQ＝ .此时tan θ＝ ＝ .
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16. 如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上
一点，且AD＝ DB，点C为圆O上一点，且BC＝ AC. 点P
在圆O所在平面上的射影为点D，PD＝DB.
（1）求证：CD⊥平面PAB；
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解：证明：连接CO，由AD＝ DB知，
点D为AO的中点.
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
由 AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形，故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的射影为点D，
所以PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，所以PD⊥CD，
又PD，AO 平面PAB，且PD∩AO＝D，所以CD⊥平面PAB.
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（2）求直线PC与平面PAB所成的角.
解：由（1）知∠CPD是直线PC与平
面PAB所成的角.又△AOC是边长为2的正三角形，
所以CD＝ .
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝ ，
所以tan∠CPD＝ ＝ ，又0°≤∠CPD≤90°，所以∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
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