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8.6.3　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面垂直的判定
1.以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角.其中可能为钝角的有（　　）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
2.下列命题中正确的是（　　）
A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
3.如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.如图，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则该几何体的表面中相互垂直的面有（　　）
A.2对 B.3对
C.4对 D.5对
5.（多选）已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是（　　）
A.若α∥β，l∥β，则l∥α
B.若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C.若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D.若α⊥β，l∥β，则l⊥α
6.（多选）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A'的位置，此时A'C＝，构成三棱锥A'-BCD，则（　　）
A.平面A'BD⊥平面BDC
B.平面A'BD⊥平面A'BC
C.平面A'DC⊥平面BDC
D.平面A'DC⊥平面A'BC
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是　　　.（填“垂直”或“不垂直”）
8.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝　　　　.
9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 ，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为　　　　.
10.如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小.
11.（2024·焦作月考）若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝，D是CB延长线上一点，且BD＝BC，则二面角B1-AD-B的大小为（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
12.（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（　　）
A.平面EFG∥平面PBC
B.平面EFG⊥平面ABC
C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
13.（2024·珠海月考）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足　　　　　时，平面MBD⊥平面PCD.
14.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.
求证：（1）DE＝DA；
（2）平面BDM⊥平面ECA；
（3）平面DEA⊥平面ECA.
15.在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是　　　　.
16.（2024·宁德月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形.
（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.
第1课时　平面与平面垂直的判定
1.B　异面直线所成的角α的范围为0°＜α≤90°，直线和平面所成的角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范围为0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能为钝角.
2.C　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确.
3.C　三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角，因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C.
4.D　由PA⊥平面ABCD，知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；因为PA⊥AB，AD⊥AB，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，则平面PAB⊥平面PAD；因为PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，则平面PBC⊥平面PAB；因为PA⊥DC，AD⊥DC，PA∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD.所以题图中相互垂直的面共有5对，选D.
5.BC　对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或l α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，如图，若l⊥α，l∥β，过l的平面γ与β相交，设交线为m，∵l∥β，l γ，β∩γ＝m，则l∥m，∵l⊥α，则m⊥α，∵m β，故α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确.故选B、C.
6.AD　在三棱锥A'-BDC中，A'D＝A'B＝1，∠BA'D＝90°，故BD＝，易知DC＝，又A'C＝，故A'C2＝A'D2＋DC2，则CD⊥A'D，又CD⊥BD，A'D∩BD＝D，所以CD⊥平面A'BD，故平面A'BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A'BD，所以CD⊥A'B，又A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC，故平面A'DC⊥平面A'BC.
7.垂直　解析：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面AA1C1C.又BD 平面EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C.
8.1　解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B-AD-C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，连接BC（图略），则BC＝ ＝ ＝1.
9.30°　解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC1，因为AB＝AD＝2 ，所以CO⊥BD，CO＝.因为CD＝BC，所以C1D＝C1B，所以C1O⊥BD.所以∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角.因为tan∠C1OC＝＝＝，所以∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小为30°.
10.解：如图，取AB的中点E，连接VE，CE.
因为VA＝VB＝AC＝BC＝2，
所以由等腰三角形的性质，可得VE⊥AB，CE⊥AB，
所以∠VEC就是二面角V-AB-C的平面角.
由AB＝2，
可知EB＝AB＝.
又VB＝2，所以在Rt△VEB中，
VE＝＝1，同理EC＝1，
所以VE＝EC＝VC＝1，
所以△VEC为正三角形，
所以∠VEC＝60°.
11.D　由题意知：AB＝DB＝3，BB1＝AA1＝且∠ABD＝，过B作BE⊥AD于E，连接B1E，则BE＝，而BB1⊥平面ABD，AD 平面ABD，∴AD⊥BB1，而BB1∩BE＝B，即AD⊥平面BEB1，故二面角B1-AD-B的平面角为∠BEB1，∴tan∠BEB1＝＝，而∠BEB1∈[0，π]，即∠BEB1＝.
12.ABC　对于A，因为点E，F分别是AB，AP的中点，所以EF∥PB，又EF 平面PBC，PB 平面PBC，所以EF∥平面PBC.同理，EG∥平面PBC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面PBC，因此A中结论正确；对于B，因为PC⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG 平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中结论正确；对于C，在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC为直线BC与直线PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，因此C中结论正确；对于D，由于FE，GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D中结论不正确.
13.BM⊥PC（或DM⊥PC）　解析：易证△PAB ≌ △PAD，∴PB＝PD，易证△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，则有DM⊥PC，又BM∩DM ＝M，∴PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
14.证明：（1）设BD＝a，则CE＝CA＝2a.如图，
作DF∥BC交CE于点F，则CF＝DB＝a.
因为CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC.
因为EF＝a，BC＝2a，
所以DE＝＝a.
又BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，DB⊥AB，所以DA＝＝a，所以DE＝DA.
（2）如图所示，取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥CE∥DB，且MN＝CE＝DB，
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.
因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.
由（1）知DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.
因为EC∩AE＝E，EC 平面AEC，AE 平面AEC，
所以DM⊥平面AEC，又DM 平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA.
（3）由（2）知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.
15.5　解析：如图所示，P为二面角α-l-β的一个面α内一点，PO是它到另一个面β的距离，PH是它到棱的距离为10，∵PO⊥β，∴PO⊥l，又PH⊥l， ∴l⊥平面POH，得出l⊥OH，∴∠PHO为二面角α-l-β的平面角，∠PHO＝60°，在Rt△PHO中，PO＝PH·sin 60°＝10×＝5.
16.解：（1）证明：因为四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，所以AA1⊥平面ABCD.
因为AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
（2）过点B作BH⊥CD于点H，连接B1H（图略）.
由（1）知BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，
所以CD⊥平面BB1H，
所以B1H⊥CD，
所以∠BHB1为二面角B1-CD-A的平面角.
由等面积法可得 BH＝1×2，即BH＝，
所以B1H＝＝，
故cos∠BHB1＝＝.
3 / 38.6.3　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面垂直的判定
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 数学抽象
2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义 逻辑推理
3.归纳出平面与平面垂直的判定定理 数学运算
　　如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉.
【问题】　你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　二面角
1.定义：从一条直线出发的两个　　　　所组成的图形叫做二面角.
2.相关概念
二面角的棱 二面角的面 记法
AB（l） α，β 二面角α-AB-β； 二面角α-l-β； 二面角P-l-Q； 二面角P-AB-Q
3.二面角的平面角
（1）定义：在二面角α-l-β的棱l上　　　　　　，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作　　　于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；
（2）范围：　　　　　　；
（3）直二面角：平面角是直角的二面角.
【想一想】
　二面角与平面几何中的角有什么区别？
知识点二　平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是　　　，就说这两个平面互相垂直；
（2）画法：
（3）记作：　　　　.
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的　　　，那么这两个平面垂直
符号语言 a α，a⊥β α⊥β
图形语言
提醒　判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线.
【想一想】
　“过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面”对吗？
1.如图所示的二面角可记为（　　）
A.α-β-l B.M-l-N C.l-M-N D.l-β-α
2.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是（　　）
A.AO⊥BO，AO α，BO β
B.AO⊥l，BO⊥l
C.AB⊥l，AO α，BO β
D.AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面ABC1D1的平面有　　　　.
题型一 二面角的计算
【例1】　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
（1）求二面角A-PD-C的大小；
（2）求二面角B-PA-C的大小.
通性通法
求二面角大小的步骤
　　简称为“一作二证三求”.
提醒　作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点.
【跟踪训练】
　（2024·宁波质检）在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
题型二 平面与平面垂直的证明
【例2】　如图所示，在四面体A-BCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.
通性通法
证明面面垂直常用的方法
（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
【跟踪训练】
1.如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝3，M，N分别是棱A1C1，AC的中点，E在侧棱AA1上，且A1E＝2EA，求证：平面MEB⊥平面BEN.
1.下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确的个数是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（　　）
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.关系无法确定
3.（2024·江门月考）如图所示，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为　　　　.
4.如图①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高.以AD为折痕将△ABC折起，使∠BDC为直角，如图②所示，求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
第1课时　平面与平面垂直的判定
【基础知识·重落实】
知识点一
1.半平面　3.（1）任取一点O　垂直　（2）0°≤∠AOB≤180°
想一想
　提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
知识点二
1.（1）直二面角　（3）α⊥β　2.垂线
想一想
　提示：不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条垂线，过该垂线可以作出无数个平面，由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面垂直的平面.
自我诊断
1.B　根据二面角的记法规则可知B正确.故选B.
2.D
3.平面A1B1CD，平面BCC1B1，平面ADD1A1　解析：连接B1C，A1D（图略），在正方体ABCD-A1B1C1D1中有AB⊥平面BCC1B1，又AB 平面ABC1D1，所以平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，同理有平面ABC1D1⊥平面ADD1A1，又BC1⊥B1C，BC1 平面ABC1D1，B1C 平面A1B1CD，所以平面ABC1D1⊥平面A1B1CD.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AD.
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的大小为90°.
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小为45°.
跟踪训练
　B　由A-BCD为正四面体，取CD的中点E，连接AE，BE（如图），则AE⊥CD，BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，∠AEB为二面角A-CD-B的平面角，设正四面体的棱长为1，则AE＝BE＝，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，则cos∠AEB＝，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝，∴cos∠AEB＝.故选B.
【例2】　证明：法一（定义法）　因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D，连接AD，SD，如图所示，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二（判定定理法）　因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
跟踪训练
1.证明：∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.
2.证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN 平面ABC，则AA1⊥BN.
因为N是棱AC的中点，△ABC为正三角形，则BN⊥AC.
因为AA1∩AC＝A，所以BN⊥平面AA1C1C，ME 平面AA1C1C，BN⊥ME.
又AB＝4，AA1＝3，A1E＝2EA，所以EA＝，A1E＝2，
因为＝＝，∠NAE＝∠EA1M＝90°，
所以Rt△A1EM∽Rt△ANE，故∠A1EM＝∠ANE，∠A1EM＋∠AEN＝∠ANE＋∠AEN＝90°，则有∠MEN＝90°，故EN⊥ME.
因为EN∩BN＝N，所以ME⊥平面BEN，又ME 平面MEB，所以平面MEB⊥平面BEN.
随堂检测
1.A　根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的图形叫做二面角，故错误；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误.所以①②③都不正确.故选A.
2.D　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定.
3.45°　解析：∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而PC 平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，故二面角P-BC-A的大小是45°.
4.证明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，
又BD，DC 平面BDC，且BD∩DC＝D，
所以AD⊥平面BDC.
又AD 平面ABD，AD 平面ACD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
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第1课时　平面与平面垂直的判定
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直
观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 数学抽象
2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义 逻辑推理
3.归纳出平面与平面垂直的判定定理 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”
变大的感觉.
【问题】　你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？
知识点一　二面角
1. 定义：从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二
面角.
半平面　
2. 相关概念
二面角的棱 二面角的面 记法
AB（l） α，β 二面角α-AB-β；
二面角α-l-β；
二面角P-l-Q；
二面角P-AB-Q
3. 二面角的平面角
（1）定义：在二面角α-l-β的棱l上 ，以点O为垂
足，在半平面α和β内分别作 于棱l的射线OA和
OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；
（2）范围： ；
任取一点O　
垂直　
0°≤∠AOB≤180°　
（3）直二面角：平面角是直角的二面角.
【想一想】
二面角与平面几何中的角有什么区别？
提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图
形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
知识点二　平面与平面垂直
1. 平面与平面垂直的定义
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角
是 ，就说这两个平面互相垂直；
（2）画法：
（3）记作： .
直二面角　
α⊥β　
2. 平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两
个平面垂直
符号语言 a α，a⊥β α⊥β
图形语言
提醒　判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的
关键是在平面内寻找另一个面的垂线.
垂线　
【想一想】
“过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面”对吗？
提示：不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一
条垂线，过该垂线可以作出无数个平面，由平面与平面垂直的判定
定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作
无数个与已知平面垂直的平面.
1. 如图所示的二面角可记为（　　）
A. α-β-l B. M-l-N
C. l-M-N D. l-β-α
解析：　根据二面角的记法规则可知B正确.故选B.
2. 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平
面角，则必须具有的条件是（　　）
A. AO⊥BO，AO α，BO β
B. AO⊥l，BO⊥l
C. AB⊥l，AO α，BO β
D. AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1所有经过四个顶点的平面中，垂
直于平面ABC1D1的平面有
.
平面A1B1CD，平面BCC1B1，平面
ADD1A1
解析：连接B1C，A1D（图略），在正方体ABCD-A1B1C1D1中有
AB⊥平面BCC1B1，又AB 平面ABC1D1，所以平面ABC1D1⊥平
面BCC1B1，同理有平面ABC1D1⊥平面ADD1A1，又BC1⊥B1C，
BC1 平面ABC1D1，B1C 平面A1B1CD，所以平面ABC1D1⊥平
面A1B1CD.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二面角的计算
【例1】　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝
AB.
（1）求二面角A-PD-C的大小；
解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的大小为90°.
（2）求二面角B-PA-C的大小.
解：∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小为45°.
通性通法
求二面角大小的步骤
　　简称为“一作二证三求”.
提醒　作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位
置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点.
【跟踪训练】
（2024·宁波质检）在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角
的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由A-BCD为正四面体，取CD的中点
E，连接AE，BE（如图），则AE⊥CD，
BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，
∠AEB为二面角A-CD-B的平面角，设正四面体
的棱长为1，则AE＝BE＝ ，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，则 cos ∠AEB＝ ，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝ ，∴ cos ∠AEB＝ .故选B.
题型二 平面与平面垂直的证明
【例2】　如图所示，在四面体A-BCS 中，已知∠BSC＝90°，
∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面
SBC.
证明：法一（定义法）　因为∠BSA＝∠CSA＝
60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D，连接AD，SD，如图所示，则
AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝ a，BD＝ ＝ a.
在Rt△ABD中，AD＝ a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二（判定定理法）　因为SA＝SB＝SC，且∠BSA
＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
通性通法
证明面面垂直常用的方法
（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂
直，即把问题转化为“线面垂直”；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个
也垂直于此平面.
【跟踪训练】
1. 如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面
ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
证明：∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.
2. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝3 ，M，N
分别是棱A1C1，AC的中点，E在侧棱AA1上，且A1E＝2EA，求
证：平面MEB⊥平面BEN.
证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN 平面
ABC，则AA1⊥BN.
因为N是棱AC的中点，△ABC为正三角形，则BN⊥AC.
因为AA1∩AC＝A，所以BN⊥平面AA1C1C，ME 平面
AA1C1C，BN⊥ME.
又AB＝4，AA1＝3 ，A1E＝2EA，所以EA＝ ，A1E＝2 ，
因为 ＝ ＝ ，∠NAE＝∠EA1M＝90°，
所以Rt△A1EM∽Rt△ANE，故∠A1EM＝∠ANE，∠A1EM＋
∠AEN＝∠ANE＋∠AEN＝90°，则有∠MEN＝90°，故
EN⊥ME.
因为EN∩BN＝N，所以ME⊥平面BEN，又ME 平面MEB，所
以平面MEB⊥平面BEN.
1. 下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的
平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二
面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确的个
数是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的
图形叫做二面角，故错误；②二面角的平面角是从棱上一点出
发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；③二面角
的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误.所以①②
③都不正确.故选A.
2. 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平
面，那么这两个二面角（　　）
A. 相等 B. 互补
C. 相等或互补 D. 关系无法确定
解析：　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当
平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面
BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，
所以两个二面角的大小关系不确定.
3. （2024·江门月考）如图所示，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所
在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，则二面角P-BC-A的
大小为 .
45°
解析：∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC. ∵AB是
☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，
PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而PC 平面PAC，
∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角
P-BC-A的平面角.由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，故二面角P-BC-A的大小是45°.
4. 如图①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高.以AD为折
痕将△ABC折起，使∠BDC为直角，如图②所示，求证：平面
ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
证明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，
又BD，DC 平面BDC，且BD∩DC＝D，
所以AD⊥平面BDC.
又AD 平面ABD，AD 平面ACD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角
的平面角.其中可能为钝角的有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解析：　异面直线所成的角α的范围为0°＜α≤90°，直线和平
面所成的角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范围为
0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能为钝角.
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2. 下列命题中正确的是（　　）
A. 平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
解析：　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面
α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、
D错，C正确.
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3. 如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则
BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面
ABC，所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角，因为△ABC为等
边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C.
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4. 如图，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则该几何体的表面中
相互垂直的面有（　　）
A. 2对 B. 3对
C. 4对 D. 5对
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解析：　由PA⊥平面ABCD，知平面PAD⊥平面ABCD，平面
PAB⊥平面ABCD；因为PA⊥AB，AD⊥AB，PA∩AD＝A，所
以AB⊥平面PAD，则平面PAB⊥平面PAD；因为PA⊥BC，
AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，则平面PBC⊥平
面PAB；因为PA⊥DC，AD⊥DC，PA∩AD＝A，所以DC⊥平
面PAD，则平面PDC⊥平面PAD. 所以题图中相互垂直的面共有5
对，选D.
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5. （多选）已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题
中正确的是（　　）
A. 若α∥β，l∥β，则l∥α
B. 若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C. 若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D. 若α⊥β，l∥β，则l⊥α
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解析：　对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或
l α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则
α∥β，故B正确；对于C，如图，若l⊥α，
l∥β，过l的平面γ与β相交，设交线为m，
∵l∥β，l γ，β∩γ＝m，则l∥m，∵l⊥α，
则m⊥α，∵m β，故α⊥β，故C正确；对于
D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不
正确.故选B、C.
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6. （多选）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，
∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A'
的位置，此时A'C＝ ，构成三棱锥A'-BCD，则（　　）
A. 平面A'BD⊥平面BDC
B. 平面A'BD⊥平面A'BC
C. 平面A'DC⊥平面BDC
D. 平面A'DC⊥平面A'BC
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解析：　在三棱锥A'-BDC中，A'D＝A'B＝1，∠BA'D＝90°，故BD＝ ，易知DC＝ ，又A'C＝ ，故A'C2＝A'D2＋DC2，则CD⊥A'D，又CD⊥BD，A'D∩BD＝D，所以CD⊥平面A'BD，故平面A'BD⊥平面BDC. 又CD⊥平面A'BD，所以CD⊥A'B，又A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC，故平面A'DC⊥平面A'BC.
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7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平
面AA1C1C的位置关系是 .（填“垂直”或“不垂直”）
解析：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD. 又
AC⊥BD，CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面AA1C1C. 又BD 平面
EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C.
垂直
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8. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则
折叠后BC＝ .
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解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B-
AD-C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝
90°，连接BC（图略），则BC＝ ＝
＝1.
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9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 ，CC1＝
，则二面角C1-BD-C的大小为 .
30°
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解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC1，因为AB＝AD＝2
，所以CO⊥BD，CO＝ .因为CD＝BC，所以C1D＝
C1B，所以C1O⊥BD. 所以∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角.
因为tan∠C1OC＝ ＝ ＝ ，所以∠C1OC＝30°，即二面角
C1-BD-C的大小为30°.
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10. 如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2 ，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小.
解：如图，取AB的中点E，连接VE，CE.
因为VA＝VB＝AC＝BC＝2，
所以由等腰三角形的性质，可得VE⊥AB，CE⊥AB，
所以∠VEC就是二面角V-AB-C的平面角.
由AB＝2 ，
可知EB＝ AB＝ .
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又VB＝2，所以在Rt△VEB中，VE＝ ＝1，同理
EC＝1，
所以VE＝EC＝VC＝1，
所以△VEC为正三角形，
所以∠VEC＝60°.
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11. （2024·焦作月考）若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧
棱AA1＝ ，D是CB延长线上一点，且BD＝BC，则二面角B1-
AD-B的大小为（　　）
A. B. C. D.
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解析：　由题意知：AB＝DB＝3，BB1＝AA1＝ 且∠ABD＝ ，过B作BE⊥AD于E，连接B1E，则BE＝ ，而BB1⊥平面ABD，AD 平面ABD，∴AD⊥BB1，而BB1∩BE＝B，即
AD⊥平面BEB1，故二面角B1-AD-B的平面角为∠BEB1，∴tan∠BEB1＝ ＝ ，而∠BEB1∈[0，π]，即∠BEB1＝ .
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12. （多选）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，
点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（　）
A. 平面EFG∥平面PBC
B. 平面EFG⊥平面ABC
C. ∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D. ∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
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解析：　对于A，因为点E，F分别是AB，AP的中点，所以EF∥PB，又EF 平面PBC，PB 平面PBC，所以EF∥平面
PBC. 同理，EG∥平面PBC. 又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥
平面PBC，因此A中结论正确；对于B，因为PC⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG 平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中结论正确；对于C，在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC为直线BC与直线PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，因此C中结论正确；对于D，由于FE，GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D中结论不正确.
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13. （2024·珠海月考）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底
面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足
时，平面MBD⊥平面PCD.
解析：易证△PAB ≌ △PAD，∴PB＝PD，易证△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，则有DM⊥PC，又BM∩DM ＝M，∴PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
BM⊥PC
（或DM⊥PC）
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14. 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝
CA＝2BD，M是EA的中点.
求证：（1）DE＝DA；
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证明：设BD＝a，则CE＝CA＝2a.如图，
作DF∥BC交CE于点F，则CF＝DB＝a.
因为CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC.
因为EF＝a，BC＝2a，
所以DE＝ ＝ a.
又BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，
DB⊥AB，所以DA＝ ＝ a，
所以DE＝DA.
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（2）平面BDM⊥平面ECA；
证明：如图所示，取CA的中点N，连
接MN，BN，则MN∥CE∥DB，且MN＝
CE＝DB，
所以四边形MNBD为平行四边形，所以
MD∥BN.
因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，
EC⊥MD.
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由（1）知DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.
因为EC∩AE＝E，EC 平面AEC，AE 平面AEC，
所以DM⊥平面AEC，又DM 平面BDM，所以平面
BDM⊥平面ECA.
（3）平面DEA⊥平面ECA.
证明：由（2）知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.
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15. 在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是
10，则该点到另一个面的距离是 .
解析：如图所示，P为二面角α-l-β的一个面α内一
点，PO是它到另一个面β的距离，PH是它到棱的距
离为10，∵PO⊥β，∴PO⊥l，又PH⊥l， ∴l⊥平
面POH，得出l⊥OH，∴∠PHO为二面角α-l-β的平
面角，∠PHO＝60°，在Rt△PHO中，PO＝PH· sin
60°＝10× ＝5 .
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16. （2024·宁德月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角
梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和
四边形ADD1A1均为正方形.
（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
解：证明：因为四边形ABB1A1和四
边形ADD1A1均为正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，所以AA1⊥平面ABCD.
因为AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
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（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.
解：过点B作BH⊥CD于点H，连
接B1H（图略）.
由（1）知BB1⊥平面ABCD，则
BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，
所以CD⊥平面BB1H，所以B1H⊥CD，
所以∠BHB1为二面角B1-CD-A的平面角.
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由等面积法可得 BH＝1×2，即BH＝ ，
所以B1H＝ ＝ ，
故 cos ∠BHB1＝ ＝ .
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