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第2课时　平面与平面垂直的性质
1.已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设α-l-β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，则（　　）
A.a与b可能垂直，但不可能平行
B.a与b可能垂直也可能平行
C.a与b不可能垂直，但可能平行
D.a与b不可能垂直，也不可能平行
3.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影点H必在（　　）
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
4.已知在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3的等边三角形，BD＝CD，BD⊥CD，则四面体ABCD的体积为（　　）
A.　　B. C.　　D.
5.（多选）已知平面α，β，γ和直线l，下列命题中正确的是（　　）
A.若α⊥β，β∥γ，则α⊥γ
B.若α⊥β，则存在l α，使得l∥β
C.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ
D.若α⊥β，l∥α，则l⊥β
6.（多选）（2024·温州月考）如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是（　　）
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDF⊥平面ABC
7.已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则直线a与平面α的位置关系是　　　.
8.如图所示，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝　　　　.
9.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，则＝　　　　.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.求证：平面PAB⊥平面PBD.
11.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（　　）
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆，但要去掉两个点
12.（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中正确的是（　　）
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAD⊥平面PDC
C.AB⊥PD
D.平面PAD⊥平面PBC
13.（2024·泉州月考）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，M是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC.则M点的轨迹的长度为　　　.
14.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.求证：
（1）BG⊥平面PAD；
（2）AD⊥PB.
15.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC（0＜k＜1），则（　　）
A.当k＝时，平面BPC⊥平面PCD
B.当k＝时，平面APD⊥平面PCD
C.对任意k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直
D.存在k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直
16.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.
（1）求证：EF⊥平面BCG；
（2）求三棱锥D-BCG的体积.
第2课时　平面与平面垂直的性质
1.A　①当l∥β时，又∵l⊥α，则α⊥β，∴“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分条件；②当α⊥β时，又∵l⊥α，则l∥β或l β，∴“直线l∥平面β”不是“平面α⊥平面β ”的必要条件.故选A.
2.C　∵α-l-β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，但可能平行.故选C.
3.A　连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.
4.C　∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，CD 平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又等边△ABD边长为3，则S△ABD＝AB·AD·sin 60°＝，又BD＝CD＝3，故V四面体ABCD＝CD·S△ABD＝.故选C.
5.ABC　对选项A，因为α⊥β，所以存在直线a α，使得a⊥β，又因为β∥γ，所以a⊥γ，又因为a α，所以α⊥γ，故A正确；对选项B，如图①所示：在长方体中，满足α⊥β，存在这样的直线l α，使得l∥β，故B正确；对选项C，过直线l上任意一点作直线m⊥γ，根据面面垂直的性质可知：m α，m β，所以m与直线l重合，所以l⊥γ，故C正确；对选项D，如图②所示：在长方体中，满足α⊥β，l∥α，此时l∥β，故D错误.故选A、B、C.
　
6.ABC　因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF 平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立.故选A、B、C.
7.a α或a∥α　解析：因为平面α⊥平面β，所以存在b α，使b⊥β，又a⊥β，所以a∥b，即a α或a∥α.
8. 　解析：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，即PA⊥AC，PA 平面PAC，所以PA⊥平面ABC.又AB 平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝.
9.2　解析：由已知条件可知∠BAB'＝，∠ABA'＝，设AB＝2a，则BB'＝2asin＝a，A'B＝2acos＝a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2.
10.证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以PD⊥AB.
因为PA＝PD＝AD，所以PA2＋PD2＝AD2，
所以PA⊥PD.
又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.
因为PD 平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.
11.D　因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因为BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.故选D.
12.ABC　∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD，故C中说法正确；又AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A中说法正确；同理可证平面PAD⊥平面PDC，故B中说法正确；假设平面PAD⊥平面PBC，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥AD，与BC∥AD矛盾，故D中说法错误.故选A、B、C.
13.π　解析：因为DM 平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可.又点M在平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆（不包含D，C）.又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为＝π.
14.证明：（1）因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，
因为G为AD的中点，
所以BG⊥AD.
又平面PAD∩平面ABD＝AD，
平面PAD⊥平面ABD，BG 平面ABD，
所以BG⊥平面PAD.
（2）由（1）可知BG⊥AD，又△PAD为正三角形，
所以PG⊥AD.
因为BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，
所以AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
15.A　当k＝时，取PB，PC的中点，分别为M，N，连接MN，AM，DN（图略）.由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM.又M为PB的中点，PA＝AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝BC，MN∥BC且MN＝BC，∴AD∥MN且AD＝MN，则四边形ADNM为平行四边形，可得AM∥DN，则DN⊥平面BPC.又DN 平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD.故选A.
16.解：（1）证明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC.
∵G为AD的中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD.
∵CG∩BG＝G，CG，BG 平面BGC，∴AD⊥平面BGC.
又E，F分别是AC，CD的中点，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.
（2）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO 平面ABC，
∴AO⊥平面BCD.
∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.
在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝，
∴h＝.
在△BCD中，BF＝BD·cos 60°＝2×＝1，
DF＝BD·sin 60°＝，∴DC＝2，
故S△DCB＝BF·DC＝×1×2＝，
∴VD-BCG＝VG-BCD＝S△DCB·h＝××＝.
3 / 3第2课时　平面与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 直观想象
2.归纳出平面与平面垂直的性质定理 逻辑推理
1.在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直.
2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.
【问题】　通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的　　　，那么这条直线与另一个平面　　　
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，　　　，　　　 a⊥β
图形语言
提醒　（1）定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直；（2）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；（3）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
【想一想】
　如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？
1.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（　　）
A.α∥γ B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能
2.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则（　　）
A.ME⊥平面ABCD B.ME 平面ABCD
C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能
3.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是　　　　.
题型一 垂直关系的相互转化
【例1】　已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：
①若α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
其中正确的命题为（　　）
A.①②　　B.③ C.②③　D.①②③
通性通法
垂直关系的转化
　　空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：
【跟踪训练】
　（多选）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A.若m β，α⊥β，则m⊥α
B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D.若α⊥γ，α∥β，则β⊥γ
题型二 平面与平面垂直的性质及应用
【例2】　（2024·信阳月考）如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点.
求证：（1）PE⊥平面ABCD；
（2）平面PBE⊥平面ABCD.
通性通法
1.面面垂直线面垂直线线垂直.
由面面垂直证明线面垂直，一定注意两点：①直线必须在其中一个平面内；②直线必须垂直两平面交线.
2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线.
【跟踪训练】
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
题型三 空间垂直关系的综合应用
【例3】　如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，点E，F分别是CD，PC的中点.
求证：（1）PA⊥平面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.
通性通法
1.熟练掌握垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路.
2.垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明.
【跟踪训练】
如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
（1）求证：AM⊥平面EBC；
（2）求直线EC与平面ABE所成角的正切值.
1.下列命题中错误的是（　　）
A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（　　）
A.平行 B.共面
C.垂直 D.不垂直
3.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是　　　　.
4.如图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
第2课时　平面与平面垂直的性质
【基础知识·重落实】
知识点
　交线　垂直　a α　a⊥l
想一想
　提示：正确.
自我诊断
1.D　在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
2.A　∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，∴ME 平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD.故选A.
3.平行　解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
【典型例题·精研析】
【例1】　B　对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故①不正确；对于②，如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面DCC'D'⊥平面ABCD，平面ABC'D'与平面DCC'D'的交线为C'D'，与平面ABCD的交线为AB，但C'D'∥AB，故②不正确；对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确.
跟踪训练
　CD　由线面平行、垂直的有关知识可排除A、B；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m'，则m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又m' α，则α⊥β，所以C正确，对于D显然正确，故选C、D.
【例2】　证明：（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD.
（2）由（1）知PE⊥平面ABCD，
又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD.
跟踪训练
　证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，
因为BC＝CC1，所以四边形BCC1B1为菱形，
所以B1C⊥BC1，
又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C 平面BCC1B1，
所以B1C⊥平面A1BC1，
因为B1C 平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
【例3】　证明：（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥平面ABCD.
（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.
又BE 平面PAD，AD 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
（3）由（2）知四边形ABED为平行四边形，因为AB⊥AD，
所以四边形ABED为矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.
因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因为点E，F分别是CD，PC的中点，所以PD∥EF，
所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.
因为CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
跟踪训练
　解：（1）证明：因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.
又AM 平面ACDE，所以BC⊥AM.
因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.
（2）取AB的中点F，连接CF，EF.
因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
平面ACDE∩平面ABC＝AC，
所以EA⊥平面ABC，
因为CF 平面ABC，
所以EA⊥CF.
又AC＝BC，所以CF⊥AB.
因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，
所以∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.
在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，
tan∠CEF＝＝＝.
随堂检测
1.D　如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D中命题错误.
2.C　如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1 平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C.
3.45°　解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.
4.证明：因为平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
PA 平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC.
又BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A，
AB，PA 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
又BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
4 / 4(共63张PPT)
第2课时　平面与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过
直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 直观想象
2.归纳出平面与平面垂直的性质定理 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
1. 在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也
与地面垂直.
2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.
【问题】　通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？
知识点　平面与平面垂直的性质定理
文字
语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面
的 ，那么这条直线与另一个平面
符号
语言 α⊥β，α∩β＝l， ， a⊥β
图形
语言
交线　
垂直　
a α　
a⊥l　
提醒　（1）定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线
在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直；（2）定理的实质
是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；（3）已知面面
垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
【想一想】
如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？
提示：正确.
1. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（　　）
A. α∥γ
B. α⊥γ
C. α与γ相交但不垂直
D. 以上都有可能
解析：　在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面
都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
2. 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M，
作ME⊥AB于E，则（　　）
A. ME⊥平面ABCD
B. ME 平面ABCD
C. ME∥平面ABCD
D. 以上都有可能
解析：　∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，∴ME 平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD. 故选A.
3. 平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与
n的位置关系是 .
解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，
所以m∥n.
平行
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 垂直关系的相互转化
【例1】　已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个
命题：
①若α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
其中正确的命题为（　　）
A. ①② B. ③
C. ②③ D. ①②③
解析：　对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直
线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直
线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不
能得到n⊥β，故①不正确；对于②，如图所示，在长
方体ABCD-A'B'C'D'中，平面DCC'D'⊥平面ABCD，平面ABC'D'与平面DCC'D'的交线为C'D'，与平面ABCD的交线为AB，但C'D'∥AB，故②不正确；对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直
线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确.
通性通法
垂直关系的转化
　　空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关
系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：
【跟踪训练】
（多选）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则
下列命题中正确的是（　　）
A. 若m β，α⊥β，则m⊥α
B. 若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C. 若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D. 若α⊥γ，α∥β，则β⊥γ
解析：　由线面平行、垂直的有关知识可排除A、B；对于C，因
为m∥α，过m作平面γ交α于m'，则m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又
m' α，则α⊥β，所以C正确，对于D显然正确，故选C、D.
题型二 平面与平面垂直的性质及应用
【例2】　（2024·信阳月考）如图，点P为四边形ABCD所在平面外
一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点.
求证：（1）PE⊥平面ABCD；
证明：因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD.
（2）平面PBE⊥平面ABCD.
证明：由（1）知PE⊥平面ABCD，
又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD.
通性通法
1. 面面垂直 线面垂直 线线垂直.
由面面垂直证明线面垂直，一定注意两点：①直线必须在其中一个
平面内；②直线必须垂直两平面交线.
2. 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平
面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，
作交线的垂线.
【跟踪训练】
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，
因为BC＝CC1，所以四边形BCC1B1为菱形，
所以B1C⊥BC1，
又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，
B1C 平面BCC1B1，
所以B1C⊥平面A1BC1，
因为B1C 平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
题型三 空间垂直关系的综合应用
【例3】　如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，点E，F分别是CD，PC的中点.
求证：（1）PA⊥平面ABCD；
证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线
AD，所以PA⊥平面ABCD.
（2）BE∥平面PAD；
证明：因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边
形，所以BE∥AD.
又BE 平面PAD，AD 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
（3）平面BEF⊥平面PCD.
证明：由（2）知四边形ABED为平行四边形，因为AB⊥AD，
所以四边形ABED为矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.
因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因为点E，F分别是CD，PC的中点，所以PD∥EF，
所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.
因为CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
通性通法
1. 熟练掌握垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的
相互转化是解题的常规思路.
2. 垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，
再利用线线垂直证明.
【跟踪训练】
如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE
的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
（1）求证：AM⊥平面EBC；
解：证明：因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面
ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.
又AM 平面ACDE，所以BC⊥AM.
因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE. 又BC∩CE＝
C，所以AM⊥平面EBC.
（2）求直线EC与平面ABE所成角的正切值.
解：取AB的中点F，连接CF，EF.
因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
平面ACDE∩平面ABC＝AC，
所以EA⊥平面ABC，
因为CF 平面ABC，
所以EA⊥CF.
又AC＝BC，所以CF⊥AB.
因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，
所以∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.
在Rt△CFE中，CF＝ ，FE＝ ，
tan∠CEF＝ ＝ ＝ .
1. 下列命题中错误的是（　　）
A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平
面β
C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：　如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都
垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D中
命题错误.
2. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（　　）
A. 平行 B. 共面
C. 垂直 D. 不垂直
解析：　如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝
BC，AD＝CD，∴BD⊥AC. ∵平面AA1C1C⊥平
面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD
平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C. 又CC1 平面
AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C.
3. 如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是 .
45°
解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD. ∴∠ADO＝45°.
4. 如图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，
∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥
平面ABC. 求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：因为平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
PA 平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC. 又BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A，
AB，PA 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB. 又BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的
（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析：　①当l∥β时，又∵l⊥α，则α⊥β，∴“直线l∥平面β”
是“平面α⊥平面β”的充分条件；②当α⊥β时，又∵l⊥α，则
l∥β或l β，∴“直线l∥平面β”不是“平面α⊥平面β ”的必要
条件.故选A.
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2. 设α-l-β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，
b与l均不垂直，则（　　）
A. a与b可能垂直，但不可能平行
B. a与b可能垂直也可能平行
C. a与b不可能垂直，但可能平行
D. a与b不可能垂直，也不可能平行
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解析：　∵α-l-β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β
内，且a，b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得
a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面
角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，但可
能平行.故选C.
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3. 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，
则点C1在底面ABC上的射影点H必在（　　）
A. 直线AB上 B. 直线BC上
C. 直线AC上 D. △ABC内部
解析：　连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1
＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平
面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面
ABC的交线AB上，故选A.
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4. 已知在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3
的等边三角形，BD＝CD，BD⊥CD，则四面体ABCD的体积为
（　　）
A. B. C. D.
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解析：　∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝
BD，BD⊥CD，CD 平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又等边
△ABD边长为3，则S△ABD＝ AB·AD· sin 60°＝ ，又BD＝CD
＝3，故V四面体ABCD＝ CD·S△ABD＝ .故选C.
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5. （多选）已知平面α，β，γ和直线l，下列命题中正确的是（　　）
A. 若α⊥β，β∥γ，则α⊥γ
B. 若α⊥β，则存在l α，使得l∥β
C. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ
D. 若α⊥β，l∥α，则l⊥β
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解析：　对选项A，因为α⊥β，所以存在直线a α，使得a⊥β，又因为β∥γ，所以a⊥γ，又因为a α，所以α⊥γ，故A正确；对选项B，如图①所示：在长方体中，满足α⊥β，存在这样的直线l α，使得l∥β，故B正确；对选项C，过直线l上任意一点作直线m⊥γ，根据面面垂直的性质可知：m α，m β，所以m与直线l重合，所以l⊥γ，故C正确；对选项D，如图②所示：在长方体中，满足α⊥β，l∥α，此时l∥β，故D错误.故选A、B、C.
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6. （多选）（2024·温州月考）如图，在四面体P-ABC中，AB＝
AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下
列结论中一定成立的是（　　）
A. BC∥平面PDF
B. DF⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面PAE
D. 平面PDF⊥平面ABC
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解析：　因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE. 因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF 平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立.故选A、B、C.
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7. 已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则直线a与平面α的位置关系
是 .
解析：因为平面α⊥平面β，所以存在b α，使b⊥β，又a⊥β，所
以a∥b，即a α或a∥α.
a α或a∥α
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8. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC
＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝ .
解析：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
∠PAC＝90°，即PA⊥AC，PA 平面PAC，所以PA⊥平面
ABC. 又AB 平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝
＝ .

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9. 如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角
分别为 和 .过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，
则 ＝ .
2
解析：由已知条件可知∠BAB'＝ ，∠ABA'＝ ，设AB＝2a，则BB'＝2a sin ＝ a，A'B＝2a cos ＝ a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2.
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10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，
侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ AD. 求证：平面PAB⊥
平面PBD.
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证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝
AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以PD⊥AB.
因为PA＝PD＝ AD，所以PA2＋PD2＝AD2，
所以PA⊥PD.
又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.
因为PD 平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.
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11. 如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面
PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（　　）
A. 一条线段
B. 一条直线
C. 一个圆
D. 一个圆，但要去掉两个点
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解析：　因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平
面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC. 又因为
BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C
的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.故选D.
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12. （多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面
PAD⊥平面ABCD，则下列说法中正确的是（　　）
A. 平面PAB⊥平面PAD
B. 平面PAD⊥平面PDC
C. AB⊥PD
D. 平面PAD⊥平面PBC
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解析：　∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB. ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，∴AB⊥平面PAD. ∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD，故C中说法正确；又AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A中说法正确；同理可证平面PAD⊥平面PDC，故B中说法正确；假设平面PAD⊥平面PBC，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥AD，与BC∥AD矛盾，故D中说法错误.故选A、B、C.
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13. （2024·泉州月考）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，M
是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC.
则M点的轨迹的长度为 .
π
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解析：因为DM 平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可.又点M在平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆（不包含D，C）.又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为 ＝π.
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14. 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD
是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所
在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.求证：
（1）BG⊥平面PAD；
证明：因为四边形ABCD是菱形且
∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，因为G为AD的中点，
所以BG⊥AD.
又平面PAD∩平面ABD＝AD，
平面PAD⊥平面ABD，BG 平面ABD，
所以BG⊥平面PAD.
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（2）AD⊥PB.
证明：由（1）可知BG⊥AD，又
△PAD为正三角形，
所以PG⊥AD.
因为BG∩PG＝G，BG，PG 平面
PBG，
所以AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
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15. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，
AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC（0
＜k＜1），则（　　）
A. 当k＝ 时，平面BPC⊥平面PCD
B. 当k＝ 时，平面APD⊥平面PCD
C. 对任意k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直
D. 存在k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直
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解析：　当k＝ 时，取PB，PC的中点，分别为M，N，连接
MN，AM，DN（图略）.由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，
可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM. 又M为PB的中点，PA＝
AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝
BC，MN∥BC且MN＝ BC，∴AD∥MN且AD＝MN，则四边
形ADNM为平行四边形，可得AM∥DN，则DN⊥平面BPC. 又
DN 平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD. 故选A.
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16. 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝
2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的
中点.
（1）求证：EF⊥平面BCG；
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解：证明：∵AB＝BC＝BD＝2，
∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC.
∵G为AD的中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD.
∵CG∩BG＝G，CG，BG 平面
BGC，∴AD⊥平面BGC.
又E，F分别是AC，CD的中点，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.
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（2）求三棱锥D-BCG的体积.
解：在平面ABC内，作AO⊥CB，
交CB的延长线于O，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，
平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO 平
面ABC，
∴AO⊥平面BCD.
∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距
离h是AO长度的一半.
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在△AOB中，AO＝AB· sin 60°＝ ，
∴h＝ .
在△BCD中，BF＝BD· cos 60°＝2× ＝1，
DF＝BD· sin 60°＝ ，∴DC＝2 ，
故S△DCB＝ BF·DC＝ ×1×2 ＝ ，
∴VD-BCG＝VG-BCD＝ S△DCB·h＝ × × ＝ .
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谢 谢 观 看！

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