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培优课　空间几何体的截面问题
1.用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是（　　）
A.四边形 B.三角形
C.五边形 D.六边形
2.已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（　　）
A.（3＋3）π B.
C.（4＋6）π D.（6＋6）π
3.若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面（　　）
A.一定通过正方体的中心
B.一定通过正方体一个表面的中心
C.一定通过正方体的一个顶点
D.一定构成正多边形
4.（2024·杭州月考）已知过BD1的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1相交，分别交棱AA1，CC1于M，N.则下列关于截面BMD1N的说法中，不正确的是（　　）
A.截面BMD1N可能是矩形
B.截面BMD1N可能是菱形
C.截面BMD1N可能是梯形
D.截面BMD1N不可能是正方形
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过点M，N，C1的截面图形是（　　）
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
6.如图是一个棱长为2的正方体被过棱A1B1、A1D1的中点M、N，顶点A和过点N及顶点D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（　　）
A.5 B.6
C.7 D.8
7.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（　　）
A.（2）（5） B.（1）（3）
C.（2）（4） D.（1）（5）
8.已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（　　）
A. B.2
C.3 D.3
9.用一个平面去截一个正方体，截面边数有　　　　种情况.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝2，AD＝AA1＝4，E，F分别为BB1，A1D1的中点，过点A，E，F作长方体ABCD-A1B1C1D1的一截面，则该截面的周长为　　　　.
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为A1B1，B1C1的中点，过M，N的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为　　　　.
12.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝60°，四边形CDD1C1是正方形.指出棱CC1与平面ADB1的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面ADB1截该四棱柱所得的截面补充完整.
13.（2024·阳江质检）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，M为DD1的中点.
（1）求证：D1B∥平面MAC；
（2）过D1B作正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面，使得截面平行于平面MAC，在正四棱柱表面应该怎样画线？请说明理由，并求出截面的面积.
培优课　空间几何体的截面问题
1.D　根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形，故选D.
2.B　依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径为r＝，所以圆锥的表面积为π×（）2＋π××3＝，故选B.
3.A　根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平面，不管哪种截面都过正方体的中心.故选A.
4.C　如图①，当M，N分别与对角顶点重合时，显然BMD1N是矩形；
如图②，当M，N为AA1，CC1的中点时，显然BMD1N是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知：BMD1N不可能为正方形；
根据对称性，其它情况下BMD1N为平行四边形；综上，C不正确.故选C.
5.C　先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形.
6.C　将正方体还原可得如图所示图形，则＝××1×1×2＝，＝××1×2×2＝，＝23＝8，所以该几何体的体积V＝8－－＝7.故选C.
7.D　当截面ABCD如图①为轴截面时，截面图形如（1）所示；
当截面ABCD如图②不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状.
故选D.
8.C　在正方体中，共有3组互相平行的棱，每条棱与平面α所成的角都相等，如图所示的正六边形对应的截面面积最大.此时正六边形的边长为，其面积为6××（）2＝3.
9.4　解析：正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示，因此截面边数有4种情况.
10.4＋2　解析：连接AF，过点E作EP∥AF交B1C1于点P，连接FP，AE，即可得到截面AFPE，因为E为BB1中点，EP∥AF，所以B1P＝A1F＝1，因为AB＝2，AD＝AA1＝4，则AF＝＝2，且EP＝AF＝，AE＝＝2，FP＝＝，所以截面AFPE的周长为2＋＋2＋＝4＋2.
11.　解析：如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形MNCA，其中MN＝，AC＝2，AM＝CN＝，高为h＝＝，故面积为×（＋2）×＝.
12.解：E为CC1的中点.
作图如下：如图，取CC1的中点E，连接DE，B1E，
平面ADEB1即为该四棱柱所得的截面（可通过证明 DE∥AB1来判断）.
13.解：（1）证明：连接DB，交AC于点O，所以O为DB的中点，连接MO.因为M为DD1的中点，所以MO是△D1DB的中位线，所以D1B∥MO.
又MO 平面MAC，D1B 平面MAC，所以D1B∥平面MAC.
（2）分别取A1A，B1B，C1C的中点E，G，F，连接D1E，EB，BF，FD1，则四边形D1EBF即为所求截面，证明如下：
连接A1G，GF，所以A1E＝GB，A1E∥GB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1G＝EB，A1G∥EB.同理A1D1＝GF，A1D1∥GF，所以四边形D1A1GF是平行四边形，所以A1G＝D1F，A1G∥D1F，所以D1F＝EB，D1F∥EB，即四边形D1EBF是平行四边形.
又因为MD1＝CF，MD1∥CF，所以四边形D1MCF是平行四边形，所以D1F∥MC.
因为D1F 平面MAC，MC 平面MAC，所以D1F∥平面MAC，又因为D1F∩D1B＝D1，D1F，D1B 平面D1EBF，所以平面MAC∥平面D1EBF，所以四边形D1EBF即为所求截面.
又因为EB＝＝＝，
FB＝＝＝，所以EB＝FB，所以四边形D1EBF为菱形，所以D1B⊥EF.
因为D1B＝
＝
＝＝2，
EF＝AC＝＝，所以截面面积为D1B·EF＝.
2 / 2培优课　空间几何体的截面问题
　　截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面，与几何体表面的交集（交线）叫做截线，与几何体棱的交集（交点）叫做截点.
题型一 直接法作截面
【例1】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，C1，P三点的截面.
通性通法
　　若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面.
【跟踪训练】
（多选）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，G，H分别为棱A1C1，B1C1，BC，AC上的点，过E，F，G，H四点作截面，则截面的形状可以为（　　）
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.梯形
题型二 平行线法作截面
【例2】　在长方体ABCD-A'B'C'D'中，点P是棱BB'的中点，画出过点A'，D'，P三点的截面.
通性通法
　　若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面.
【跟踪训练】
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为（　　 ）
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且该截面的面积为时，线段AP的长为（　　）
A. B.1
C. D.
题型三 延长线法作截面
【例3】　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M是A1B1的中点，点N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法.
通性通法
　　若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面.
【跟踪训练】
已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，BA＝BC＝2，M为PA中点，过C，D，M的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面为α.若α与棱PB交于点F，画出截面α，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置.
1.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（　　）
A.圆锥 B.圆柱
C.三棱锥 D.正方体
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面α和线段AA1，BB1，CC1，DD1分别交于点E，F，G，H，则截面EFGH的形状不可能是（　　）
A.梯形 B.正方形
C.长方形 D.菱形
3.（2024·中山月考）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是正方形ABCD、正方形BB1C1C的中心，则过点A，M，N的平面截正方体的截面面积为　　　　.
4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是A1D1，C1D1，AA1的中点，试过P，Q，R三点作其截面.
培优课　空间几何体的截面问题
【典型例题·精研析】
【例1】　解：因为此三点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，直接连接A1P，A1C1，C1P就得到截面A1C1P.
跟踪训练
　ACD　截面图如图所示，因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，则平面A1B1C1∥平面ABC，截面过平面A1B1C1、平面ABC，则交线EF∥HG，当FG不与B1B平行时，此时截得的EH不平行于FG，四边形EFGH为梯形；当FG∥B1B时，此时截得的EH∥FG，FG⊥EF，当EH≠EF时，四边形EFGH为矩形；当EH＝EF时，四边形EFGH为正方形.故A、C、D正确.
【例2】　解：连接 A'P，因为平面 ADD'A'∥平面BCC'B'，所以只要过P作A'D'的平行线即可.取CC'的中点Q，连接PQ，则A'D'∥PQ.连接D'Q即得截面A'PQD'.
跟踪训练
1.B　如图，把截面AEF补形为四边形AEFD1，连接BC1，因为E，F分别为BC，CC1的中点，则EF∥BC1， 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，所以EF∥AD1，则A，D1，F，E四点共面.则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.故选B.
2.D　如图，连接BD，A1D，过点P作BD，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR.因为BD∥B1D1，所以PQ∥B1D1，因为B1D1 平面B1D1C，PQ 平面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C.因为A1D∥B1C，所以PR∥B1C.因为B1C 平面B1D1C，PR 平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C.又PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，则平面PQR为截面，易知△PQR是等边三角形，则PQ2·＝，解得PQ＝2，所以AP＝PQ＝.故选D.
【例3】　解：如图所示，五边形DQMFN为所求截面.
作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，
连接ME交B1C1于点F，交D1A1的延长线于点H，
连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN，
所以五边形DQMFN即为所求截面.
跟踪训练
　解：延长DC交AB的延长线于E，连接ME交PB于F，连接FC，如图，四边形MFCD为截面α.在△ADE中，BC∥AD，由＝，则C为DE中点，B为AE中点，过M作MN∥AB交PB于N，则MN＝AB＝1，∴△MNF∽△EBF，∴＝＝，∴BF＝2NF，即BF＝BP，∴F为棱PB上靠近点B位置的三等分点.
随堂检测
1.B　用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以A满足条件； 用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状可能是矩形，可能是圆，可能是椭圆，不可能是一个三角形，所以B不满足条件； 用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条件； 用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以D满足条件.故选B.
2.A　∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面α∩平面ADD1A1＝EH，平面α∩平面BCC1B1＝FG，∴EH∥FG，同理可得EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴截面EFGH的形状不可能是梯形.故选A.
3.a2　解析：如图，连接AC，则AC过点M，连接B1C，则B1C经过点N，连接AB1，则过点A、M、N的平面截正方体的截面为等边△ACB1，因为正方体棱长为a，故△ACB1边长为a，面积为·（a）2＝a2.
4.解：如图，取BC的中点为F，延长PR，DA交于点E，连接EF交AB于点G，则G为AB的中点，延长GF，DC交于点H，连接HQ交CC1于点I，所得六边形PRGFIQ即为所作截面.
1 / 2(共52张PPT)
培优课　空间几何体的截面问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
　　截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫
做这个几何体的截面，与几何体表面的交集（交线）叫做截线，与几
何体棱的交集（交点）叫做截点.
解：因为此三点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，直接连接A1P，A1C1，C1P就得到截面A1C1P.
题型一 直接法作截面
【例1】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过
A1，C1，P三点的截面.
通性通法
　　若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借
助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线
在这个平面内”，直接连线作截面.
【跟踪训练】
（多选）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，G，H分别
为棱A1C1，B1C1，BC，AC上的点，过E，F，G，H四点作截面，
则截面的形状可以为（　　）
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 梯形
解析：　截面图如图所示，因为ABC-A1B1C1为
直三棱柱，则平面A1B1C1∥平面ABC，截面过平面
A1B1C1、平面ABC，则交线EF∥HG，当FG不与
B1B平行时，此时截得的EH不平行于FG，四边形
EFGH为梯形；当FG∥B1B时，此时截得的
EH∥FG，FG⊥EF，当EH≠EF时，四边形
EFGH为矩形；当EH＝EF时，四边形EFGH为正方
形.故A、C、D正确.
题型二 平行线法作截面
【例2】　在长方体ABCD-A'B'C'D'中，点P是棱BB'的中点，画出过
点A'，D'，P三点的截面.
解：连接 A'P，因为平面 ADD'A'∥平面BCC'B'，所以只要过P作
A'D'的平行线即可.取CC'的中点Q，连接PQ，则A'D'∥PQ. 连接
D'Q即得截面A'PQD'.
通性通法
　　若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与
几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行
于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就
和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两
条交线平行，利用平行线法作截面.
【跟踪训练】
1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，则
平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为（　　 ）
A. 三角形 B. 四边形
C. 五边形 D. 六边形
解析：　如图，把截面AEF补形为四边形
AEFD1，连接BC1，因为E，F分别为BC，
CC1的中点，则EF∥BC1， 又在正方体
ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，所以
EF∥AD1，则A，D1，F，E四点共面.则平
面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为
四边形.故选B.
2. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点P在棱AD上，过点P
作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且该截面的面积为
时，线段AP的长为（　　）
B. 1
解析：　如图，连接BD，A1D，过点P作
BD，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点
Q，R，连接QR. 因为BD∥B1D1，所以
PQ∥B1D1，因为B1D1 平面B1D1C，PQ 平
面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C. 因为
A1D∥B1C，所以PR∥B1C. 因为B1C 平面
B1D1C，PR 平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C. 又PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，则平面PQR为截面，易知△PQR是等边三角形，则 PQ2· ＝ ，解得PQ＝2，所以AP＝ PQ＝ .故选D.
　　
题型三 延长线法作截面
【例3】　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M是A1B1的中
点，点N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正
方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法.
解：如图所示，五边形DQMFN为所求截面.
作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，
连接ME交B1C1于点F，交D1A1的延长线于点H，
连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN，
所以五边形DQMFN即为所求截面.
通性通法
　　若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助
于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线
在这个平面内”，利用延长线法作截面.
【跟踪训练】
已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面
ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，BA＝BC＝2，M为PA
中点，过C，D，M的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面为α.若α与
棱PB交于点F，画出截面α，保留作图痕迹（不用说明理由），求
点F的位置.
解：延长DC交AB的延长线于E，连接ME交
PB于F，连接FC，如图，四边形MFCD为截
面α.在△ADE中，BC∥AD，由 ＝ ，则
C为DE中点，B为AE中点，过M作
MN∥AB交PB于N，则MN＝ AB＝1，
∴△MNF∽△EBF，∴ ＝ ＝ ，∴BF＝
2NF，即BF＝ BP，∴F为棱PB上靠近点B
位置的三等分点.
1. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何
体不可能是（　　）
A. 圆锥 B. 圆柱
C. 三棱锥 D. 正方体
解析：　用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰
三角形，所以A满足条件； 用一个平面去截一个圆柱时，截面的形
状可能是矩形，可能是圆，可能是椭圆，不可能是一个三角形，所
以B不满足条件； 用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一
个三角形，所以C满足条件； 用一个平面去截一个正方体时，截面
的形状可以是一个三角形，所以D满足条件.故选B.
2. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面α和线段AA1，BB1，CC1，
DD1分别交于点E，F，G，H，则截面EFGH的形状不可能是
（　　）
A. 梯形 B. 正方形
C. 长方形 D. 菱形
解析：　∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面α∩平面ADD1A1＝
EH，平面α∩平面BCC1B1＝FG，∴EH∥FG，同理可得
EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴截面EFGH的形状不
可能是梯形.故选A.

解析：如图，连接AC，则AC过点M，连接
B1C，则B1C经过点N，连接AB1，则过点A、
M、N的平面截正方体的截面为等边△ACB1，
因为正方体棱长为a，故△ACB1边长为 a，
面积为 ·（ a）2＝ a2.
a2
4. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是A1D1，C1D1，AA1的中点，试过P，Q，R三点作其截面.
解：如图，取BC的中点为F，延长PR，DA交于点E，连接EF交AB于点G，则G为AB的中点，延长GF，DC交于点H，连接HQ交CC1于点I，所得六边形PRGFIQ即为所作截面.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是（　　）
A. 四边形 B. 三角形
C. 五边形 D. 六边形
解析：　根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交
线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可
能的是六边形，故选D.
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2. 已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表
面积为（　　）
解析：　依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角
形，所以圆锥的底面半径为r＝ ，所以圆锥的表面积为π×
（ ）2＋π× ×3＝ ，故选B.
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3. 若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截
面（　　）
A. 一定通过正方体的中心
B. 一定通过正方体一个表面的中心
C. 一定通过正方体的一个顶点
D. 一定构成正多边形
解析：　根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可
能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平面，不管哪种截面都过正
方体的中心.故选A.
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4. （2024·杭州月考）已知过BD1的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1相
交，分别交棱AA1，CC1于M，N. 则下列关于截面BMD1N的说法
中，不正确的是（　　）
A. 截面BMD1N可能是矩形
B. 截面BMD1N可能是菱形
C. 截面BMD1N可能是梯形
D. 截面BMD1N不可能是正方形
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解析：　如图①，当M，N分别与对角顶点重合时，显然BMD1N是矩形；
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如图②，当M，N为AA1，CC1的中点时，显然BMD1N是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知：BMD1N不可能为正方形；
根据对称性，其它情况下BMD1N为平行四边形；综上，C不正确.故选C.
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5. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的
点，MD＝ DD1，NB＝ BB1，那么正方体中过点M，N，C1的
截面图形是（　　）
A. 三角形 B. 四边形
C. 五边形 D. 六边形
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解析：　先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.如图，设直线C1M，CD相交于点P，
直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形.
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6. 如图是一个棱长为2的正方体被过棱A1B1、A1D1的中点M、N，顶
点A和过点N及顶点D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何
体，则该几何体的体积为（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
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解析：　将正方体还原可得如图所示图形，则 ＝ × ×1×1×2＝ ， ＝ × ×1×2×2＝ ， ＝23＝8，所以该几何体的体积V＝8－ － ＝7.故选C.
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7. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下
底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截
这个几何体，则截面图形可能是（　　）
A. （2）（5） B. （1）（3）
C. （2）（4） D. （1）（5）
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解析：　当截面ABCD如图①为轴截面时，截面图形如
（1）所示；
当截面ABCD如图②不为轴截面时，截面图形如（5）所
示，下侧为抛物线的形状.
故选D.
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8. 已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则
α截此正方体所得截面面积的最大值为（　　）
D. 3
解析：　在正方体中，共有3组互相平行的棱，
每条棱与平面α所成的角都相等，如图所示的正
六边形对应的截面面积最大.此时正六边形的边
长为 ，其面积为6× ×（ ）2＝3 .
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9. 用一个平面去截一个正方体，截面边数有 种情况.
解析：正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示，因此截面边数有4种情况.
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10. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝2，AD＝AA1＝4，E，F
分别为BB1，A1D1的中点，过点A，E，F作长方体ABCD-
A1B1C1D1的一截面，则该截面的周长为 .
4 ＋2
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解析：连接AF，过点E作EP∥AF交B1C1于点P，连接FP，AE，即可得到截面AFPE，因为E为BB1中点，EP∥AF，所以B1P＝ A1F＝1，因为AB＝2，AD＝AA1＝4，则AF＝
＝2 ，且EP＝ AF＝ ，AE＝ ＝2 ，FP＝ ＝ ，所以截面AFPE的周长为2 ＋ ＋2 ＋ ＝4 ＋2 .
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解析：如图所示，最大面积的截面四边形为等
腰梯形MNCA，其中MN＝ ，AC＝2 ，
AM＝CN＝ ，高为h＝ ＝ ，故面
积为 ×（ ＋2 ）× ＝ .

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12. 如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯
形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝60°，四边形CDD1C1是
正方形.指出棱CC1与平面ADB1的交点E的位置（无需证明），
并在图中将平面ADB1截该四棱柱所得的截面补充完整.
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解：E为CC1的中点.
作图如下：如图，取CC1的中点E，连接DE，B1E，
平面ADEB1即为该四棱柱所得的截面（可通过证明 DE∥AB1来判断）.
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13. （2024·阳江质检）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝ ，M为DD1的中点.
（1）求证：D1B∥平面MAC；
解：证明：连接DB，交AC于点O，
所以O为DB的中点，连接MO. 因为M为
DD1的中点，所以MO是△D1DB的中位线，
所以D1B∥MO.
又MO 平面MAC，D1B 平面MAC，所
以D1B∥平面MAC.
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（2）过D1B作正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面，使得截面平行
于平面MAC，在正四棱柱表面应该怎样画线？请说明理
由，并求出截面的面积.
解：分别取A1A，B1B，C1C的中点E，G，F，连接D1E，EB，BF，FD1，
则四边形D1EBF即为所求截面，证明如下：
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连接A1G，GF，所以A1E＝GB，A1E∥GB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1G＝EB，A1G∥EB. 同理A1D1＝GF，A1D1∥GF，所以四边形D1A1GF是平行四边形，所以A1G＝D1F，
A1G∥D1F，所以D1F＝EB，D1F∥EB，
即四边形D1EBF是平行四边形.
又因为MD1＝CF，MD1∥CF，所以四边形D1MCF是平行四边形，所以D1F∥MC.
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因为D1F 平面MAC，MC 平面MAC，所以D1F∥平面MAC，又因为D1F∩D1B＝D1，D1F，D1B 平面D1EBF，所以平面MAC∥平面D1EBF，所以四边形D1EBF即为所求截面.
又因为EB＝ ＝ ＝ ，
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FB＝ ＝ ＝ ，
所以EB＝FB，所以四边形D1EBF为菱形，
所以D1B⊥EF.
因为D1B＝
＝ ＝
＝2，
EF＝AC＝ ＝ ，所以截面面
积为 D1B·EF＝ .
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