资源简介

一、几何体的表面积与体积
　主要考查多面体、旋转体的表面积，柱体、锥体、台体的体积及球的表面积和体积等，对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解.
【例1】　（1）（2023·全国乙卷8题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（　　）
A.π　　　B.π C.3π　　　D.3π
（2）（2023·新高考Ⅰ卷14题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为　　　　.
反思感悟
关于空间几何体的体积、表面积
　　首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的高、棱长等，其次是准确代入相关的公式计算.
【跟踪训练】
在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈.求所得几何体的表面积和体积
.
二、空间中的平行关系
　空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行.
【例2】　已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：
（1）MN∥平面PAD；
（2）MN∥PE.
反思感悟
线线平行、线面平行、面面平行间的关系
　　线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意转化，相互间的转化关系如图.
【跟踪训练】
如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
三、空间中的垂直关系
　主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化.
【例3】　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4.
（1）求证：AC⊥平面BCE；
（2）求证：AD⊥AE.
反思感悟
线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化
【跟踪训练】
　（2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
（2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高.
四、空间角
1.空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角.
2.通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养.
【例4】　如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，B'C∩BC'＝O，求：
（1）AO与A'C'所成角的大小；
（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；
（3）二面角B-AO-C的大小.
反思感悟
1.求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）.
2.求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）.
3.二面角的平面角的作法常有三种：定义法、三垂线法、垂面法.
【跟踪训练】
　如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，且AB＝2PO＝2.
（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；
（2）求二面角P-AC-E的余弦值.
章末复习与总结
【例1】　（1）B　（2）　解析：（1）如图所示，在△AOB中，AO＝BO＝，∠AOB＝，由余弦定理得AB＝＝3，设等腰△PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝×3h＝，解得h＝，由勾股定理得母线PA＝＝3，则该圆锥的高PO＝＝，所以该圆锥的体积为×3π×＝π，故选B.
（2）法一　如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×（22＋12＋）×＝.
法二　如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，
因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为，所以＝×（22＋12＋）×＝.
跟踪训练
　解：根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后所得几何体的上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半径等于圆柱体高的半球的组合体.
该组合体的表面积为S几何体＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S半球＝π×2×2＋2π×2×2＋×4π×22＝（4＋16）π，
组合体的体积为V几何体＝V圆锥＋V圆柱－V半球＝×π×22×2＋π×22×2－××π×23＝.
【例2】　证明：（1）如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.
∵NQ是△PCD的中位线，
∴NQ∥PD.
∵NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
∴NQ∥平面PAD.
∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴MQ∥AD.
∵MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
∴MQ∥平面PAD.
∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.
∵MN 平面MNQ，∴MN∥平面PAD.
（2）∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，
∴MN∥PE.
跟踪训练
　解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，
证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA＝PB，PF＝PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四边形AFPM是平行四边形，
∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
【例3】　证明：（1）在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，
所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，
所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
（2）因为AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF，
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
跟踪训练
　解：（1）证明：因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以A1C⊥BC.
因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.
因为AC∩A1C＝C，AC，A1C 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
因为BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
（2）如图，取棱AA1的中点D，连接BD，CD.
因为AB＝A1B，所以AA1⊥BD.
因为BC⊥平面ACC1A1，AA1 平面ACC1A1，所以BC⊥AA1.
因为BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，
所以AA1⊥平面BCD.
因为CD 平面BCD，所以AA1⊥CD.
因为AA1∥CC1，所以CD⊥CC1.
又因为CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1 平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C.
因为AA1＝2，所以CD＝1.
易知AA1∥平面BB1C1C，
所以四棱锥A1-BB1C1C的高为CD＝1.
【例4】　解：（1）∵A'C'∥AC，
∴AO与A'C'所成的角就是∠OAC（或其补角）.
∵AB⊥平面BC'，OC 平面BC'，
∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°.
即AO与A'C'所成的角为30°.
（2）如图，作OE⊥BC于点E，连接AE.
∵平面BC'⊥平面ABCD，平面BC'∩平面ABCD＝BC，OE 平面BC'，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角.
在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，
∴tan∠OAE＝＝.
即AO与平面ABCD所成角的正切值为.
（3）由（1）可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.
即二面角B-AO-C的大小为90°.
跟踪训练
　解：（1）∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O，
根据中点条件可以证明OE∥AC，
∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角，
AC＝＝＝2，PC＝PA＝＝＝2，
∴∠PCA＝，故异面直线PC与OE所成的角是.
（2）如图，取AC中点为D，连接PD，OD，
由（1）知，PA＝AC＝PC，
∴PD⊥AC，
∵OA＝OC，∴OD⊥AC，
又E为劣弧的中点，即有E∈底面圆O，
∴二面角P-AC-E的平面角即为∠PDO，
∵C为半圆弧的中点，∴∠AOC＝，
∴OD＝AC＝1，
∵PO⊥底面圆O且OD 底面圆O，∴PO⊥OD，
又PO＝，∴在Rt△PDO中，PD＝，
∴cos∠PDO＝＝，
∴二面角P-AC-E的余弦值是.
3 / 3(共36张PPT)
章末复习与总结
一、几何体的表面积与体积
　主要考查多面体、旋转体的表面积，柱体、锥体、台体的体积及球
的表面积和体积等，对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形法
等进行求解.
【例1】　（1）（2023·全国乙卷8题）已知圆锥PO的底面半径为
，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝ ，若△PAB
的面积等于 ，则该圆锥的体积为（　B　）
A. π C. 3π
B
解析：如图所示，在△AOB中，AO＝BO＝ ，
∠AOB＝ ，由余弦定理得AB＝
＝3，设等腰
△PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝ ×3h＝
，解得h＝ ，由勾股定理得母线PA＝ ＝3，则该圆锥的高PO＝ ＝ ，所以该圆锥的体积为
×3π× ＝ π，故选B.
（2）（2023·新高考Ⅰ卷14题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝
2，A1B1＝1，AA1＝ ，则该棱台的体积为 　 　.
解析：法一　如图所示，设点O1，O
分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、
下底面的中心，连接B1D1，BD，则点
O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接
O1O，则O1O即为正四棱台ABCD-
A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，
垂足为E，则B1E＝O1O.

因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝ ，O1B1＝ ，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝ ，又AA1＝ ，所以BB1＝ ，
B1E＝ ＝ ＝ ，所以O1O＝ ，所以 ＝ ×（22＋12＋ ）× ＝ .
法二　如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补
形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝
1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为
PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝ ，所
以PA＝2 ，即PB＝2 .连接BD，取BD
的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝ ，所以PO＝ ＝ ，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为
，所以 ＝ ×（22＋12＋ ）× ＝ .
反思感悟
关于空间几何体的体积、表面积
　　首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的高、棱
长等，其次是准确代入相关的公式计算.
【跟踪训练】
在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的
下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈.求所得几何体的
表面积和体积.
解：根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后所得几何体的上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半径等于圆柱体高的半球
的组合体.
该组合体的表面积为S几何体＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S半球＝π×2×2 ＋
2π×2×2＋ ×4π×22＝（4 ＋16）π，
组合体的体积为V几何体＝V圆锥＋V圆柱－V半球＝ ×π×22×2＋π×22×2
－ × ×π×23＝ .
二、空间中的平行关系
　空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在
空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行.
【例2】　已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的
棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：
（1）MN∥平面PAD；
证明：如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.
∵NQ是△PCD的中位线，
∴NQ∥PD.
∵NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
∴NQ∥平面PAD.
∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴MQ∥AD.
∵MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
∴MQ∥平面PAD.
∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.
∵MN 平面MNQ，∴MN∥平面PAD.
（2）MN∥PE.
证明：∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝
MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，
∴MN∥PE.
反思感悟
线线平行、线面平行、面面平行间的关系
　　线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以
进行任意转化，相互间的转化关系如图.
【跟踪训练】
如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，
MA∥PB，PB＝2MA. 在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥
平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，
证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA＝ PB，PF＝ PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
三、空间中的垂直关系
　主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及
线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化.
【例3】　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，
四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝
2，AB＝4.
（1）求证：AC⊥平面BCE；
证明：在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2 ，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，
所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
（2）求证：AD⊥AE.
证明：因为AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF，
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
反思感悟
线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化
【跟踪训练】
（2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面
ABC，∠ACB＝90°.
（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
解：证明：因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以
A1C⊥BC.
因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.
因为AC∩A1C＝C，AC，A1C 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
因为BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
（2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高.
解：如图，取棱AA1的中点D，连接BD，CD.
因为AB＝A1B，所以AA1⊥BD.
因为BC⊥平面ACC1A1，AA1 平面
ACC1A1，所以BC⊥AA1.
因为BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，
所以AA1⊥平面BCD.
因为CD 平面BCD，所以AA1⊥CD.
因为AA1∥CC1，所以CD⊥CC1.
又因为CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，
CC1 平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C.
因为AA1＝2，所以CD＝1.
易知AA1∥平面BB1C1C，
所以四棱锥A1-BB1C1C的高为CD＝1.
四、空间角
1. 空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角
的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角.
2. 通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养.
【例4】　如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，B'C∩BC'＝
O，求：
（1）AO与A'C'所成角的大小；
解：∵A'C'∥AC，
∴AO与A'C'所成的角就是∠OAC（或其补角）.
∵AB⊥平面BC'，OC 平面BC'，
∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝ ，AC＝ ，
sin ∠OAC＝ ＝ ，∴∠OAC＝30°.
即AO与A'C'所成的角为30°.
（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；
解：如图，作OE⊥BC于点E，连接AE.
∵平面BC'⊥平面ABCD，平面BC'∩平面ABCD
＝BC，OE 平面BC'，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角.
在Rt△OAE中，OE＝ ，AE＝ ＝ ，
∴tan∠OAE＝ ＝ .
即AO与平面ABCD所成角的正切值为 .
（3）二面角B-AO-C的大小.
解：由（1）可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.
即二面角B-AO-C的大小为90°.
反思感悟
1. 求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）.
2. 求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）.
3. 二面角的平面角的作法常有三种：定义法、三垂线法、垂面法.
【跟踪训练】
如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧 的中点，E
为劣弧 的中点，且AB＝2PO＝2 .
（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；
解：∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O，
根据中点条件可以证明OE∥AC，
∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角，
AC＝ ＝ ＝2，PC＝PA＝ ＝
＝2，
∴∠PCA＝ ，故异面直线PC与OE所成的角是 .
（2）求二面角P-AC-E的余弦值.
解：如图，取AC中点为D，连接PD，OD，
由（1）知，PA＝AC＝PC，
∴PD⊥AC，
∵OA＝OC，∴OD⊥AC，
又E为劣弧 的中点，即有E∈底面圆O，
∴二面角P-AC-E的平面角即为∠PDO，
∵C为半圆弧 的中点，∴∠AOC＝ ，
∴OD＝ AC＝1，
∵PO⊥底面圆O且OD 底面圆O，∴PO⊥OD，
又PO＝ ，∴在Rt△PDO中，PD＝ ，
∴ cos ∠PDO＝ ＝ ，∴二面角P-AC-E的余弦值是 .
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