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2025--2026高考数学第一轮复习试卷：计数原理与概率统计解答题专项练
一、计数原理（本大题共4小题）
1．已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等．
（1）求展开式中的系数；
（2）设展开式的所有项的系数和为，展开式的所有偶数项的二项式系数和为，求．
2．某班共有团员14人，其中男团员8人，女团员6人，并且男、女团员各有一名组长，现从中选6人参加学校的团员座谈会．（用数字做答）
（1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；
（2）若至多有3名女团员当选，求不同的选法总数；
（3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数．
3．有名男生和甲、乙名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？
（1）女生甲排在正中间；
（2）名女生不相邻；
（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）；
（4）名女生中间恰有名男生．
4．已知的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍．
（1）求的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求的展开式中含项的系数（结果用数值表示）．
二、概率（本大题共40小题）
5．某校参加夏令营的同学有3名男同学和3名女同学，其所属年级情况如下表：
高一年级 高二年级 高三三年级
男同学
女同学
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（1）用表中字母写出这个试验的样本空间；
（2）设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件的样本点，并求事件发生的概率.
6．某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
（1）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布；
（2）他能过关的概率．
7．航天员安全返回，中国航天再创辉煌1去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好．这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功．某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数；
（2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
8．某公司为了庆祝公司成立二十周年，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向A，B两个目标投掷，先向目标A掷一次，套中得40元，没有套中得0元，再向目标B连续掷两次，每套中一次得80元，没套中得0元，根据累计金额发放红包.已知小胡每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设小胡每次投掷的结果相互独立.
（1）求小胡至少套中1次的概率；
（2）记小胡的累计金额为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
9．某高中在一次高一数学测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，成绩均在内，将成绩分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求m的值，并估计这200名学生数学成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（2）从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名，求这2名学生数学成 绩在和内各1人的概率．
10．随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高，因此滋生了一些不良的攀比现象.某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生每周零花钱的数额进行了随机调查，现将统计数据按， ，分组后绘成如图所示的频率分布直方图，已知.
（1） 求频率分布直方图中，的值；
（2） 估计该校学生每周零花钱的第55百分位数；
（3） 若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在内的人中抽取11人，求内抽取的人数.
11．在 的展开式中，第 ， ， 项的二项式系数依次成等差数列．
求 ；
求展开式中二项式系数最大的项；
将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
12．为弘扬“中华优秀传统文化”，某中学在校内对全体学生进行了一次检测，规定分数分为优秀，为了解学生的测试情况，现从2000名学生中随机抽取100名学生进行分析，按成绩分组，得到如下频数分布表．
分数
频数 5 35 30 20 10
（1）在图中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这次测试的平均分和中位数；
（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生至多有2人被抽到的概率.．
13．某宠物医院为了解客户对宠物医院服务的满意程度，医院对1000位客户进行了服务评价调查，满分为100分.根据客户的评分数据（评分都在[40，100]之间），将其按照[40，50),[50，60),[60，70),[70，80),[80，90),[90，100]划分为6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求图中的值，并估算本次服务评价调查的平均得分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）若宠物医院准备对给出高评价（将评分从高到低排序，排在前的视为高评价）的客户赠送宠物护理礼包，那么获得宠物护理礼包的客户评分至少要达到多少分？
（3）若通过分层随机抽样的方式从“评分最低组”[40，50)和“评分最高组”[90，100]中抽取6人，再从这6人中随机抽取2位客户进行回访，求进行回访的2人都来自“评分最高组”的概率.
14．“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
（2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．
（ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
15．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
16．甲、乙投篮比赛，据以往比赛情况，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每次投中与否互不影响.
（1）若甲、乙各投篮一次，求甲、乙都投中的概率；
（2）若甲投篮两次，乙投篮一次，求甲投中次数与乙投中次数相等的概率.
17．小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立.
（1）在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率；
（2）若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望.
18．某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组．
（1）求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？
（2）由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替）
（3）在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率．
19．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每局比赛的胜者与轮空者进行下一局比赛，负者下一局轮空，直至一人累计胜两局，此人最终获胜，比赛结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛没有平局，且比赛结果相互独立.
（1）若甲、乙首先比赛，求甲最终获胜的概率；
（2）求乙最终获胜的概率.
20．在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
喜欢 不喜欢
男性 40 10
女性 25 25
（1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？
（2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义.
，
21．《齐鲁文化大会》是山东卫视推出的一档以“齐鲁文化”为主题，全民参与的大型文化综艺节目，深受人们的喜爱，其中有一个“杏坛论道”的答题环节，该环节规定：主持人每公布一题，甲乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得1分；若答错，则对手得1分，谁先得3分，谁就能在“杏坛论道”环节胜出.假设两人每一次抢到题的概率均为，答对每道题的概率分别为，且两人答题正确与否互不影响.
（1）求“杏坛论道”比赛开始后，甲先得1分的概率；
（2）“杏坛论道”比赛进行中，甲乙暂时各得1分，两人继续抢答了X题后“杏坛论道”环节结束，求X的分布列及数学期望；
（3） “杏坛论道”比赛开始后，若乙先得2分，则乙获胜的概率比甲大吗 请说明理由.
22．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．
（1）求的值，并探究数列的通项公式；
（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
23．已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的 ， ， 已知三人生产产品的次品率分别为 ， ， ．
现从这批产品中按等比例分层抽样抽出 件产品，再从这 件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件 “第一次取出的产品是乙生产的”， “第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求 ， ；
现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率．
24．某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120
不满意 150
合计 200
（1）请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系；
（2）若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响.
（i）用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望；
（ii）记有n人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
25．中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：
单位：人
年龄段 态度 合计
不喜欢喝茶 喜欢喝茶
35岁以上（含35岁） 30 30 60
35岁以下 25 15 40
合计 55 45 100
（1）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄有关？
（2）以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为，求的分布列与期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
26．随机数广泛应用于数据加密、安全通信、金融等领域.计算机中的随机数是由算法产生的，其“随机性”的优劣取决于所采用的算法.某工厂计划生产一种随机数发生器，这种发生器的显示屏能显示1，2，3，4中的一个数字，每按一次数字更新按钮后，显示屏上的数字将等可能地更新为另三个数字中的一个.在试生产阶段，采用两种不同算法，生产出相应算法的甲、乙两种随机数发生器.为评估两种算法的优劣，从这两种随机数发生器中随机抽取150件进行检验，得到数据饼图如下：
（1）已知这150件发生器中，乙种发生器的三级品为2件.在答题卡中填写列联表；依据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两种发生器的一级品率存在差异
一级品 非一级品 合计
甲
乙
合计
（2）若发生器显示屏的初始显示数字为1，记按次数字更新按钮后得到的数字为，.
（i）求，；
（ii）检测一个发生器是否为一级品的方案为：每件被测发生器需进行100轮测试，每轮测试共按10次数字更新按钮；表示100轮测试得到“”的频率，规定满足的被测发生器为一级品.若某件发生器经100轮测试后得到，能否判断该发生器为一级品
附：，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
27．在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．
（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；
（2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．
28．我们把鱼在水中聚集的比较密的地方叫做鱼窝.某人在一湖中用粘网（也叫挂网）捕鱼，如果找到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为；如果找不到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为.若这个人能够找到鱼窝的概率为.
（1）求此人能捕到鱼的概率；
（2）此人连续下网次，每次下网捕鱼之间相互独立，若能捕到鱼的次数为，则为何值时，次捕到鱼的概率的值最大
29．一般地，任何一个复数都可以写成，其中是复数的模， 是以轴非负半轴为始边，射线为终边的角，称为复数的辐角.我们规定在 范围内的辐角称为辐角主值，通常记作，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设为正整数，重复次上述操作，可得到个复数，将它们的乘积记为.
（1） 写出一次操作后所有可能的复数；
（2） 当，记的取值为，求的分布列；
（3） 求为实数的概率.
30．甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为.
（1）当时，求甲第二局获胜的概率.
（2）设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为.
①求；
②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望.
31．小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为.
（1）经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望；
（2）若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求事件发生的概率.
32．某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为，答错的概率都为，且每次答对与否相互独立.记第次答题得分为.
（1）求；
（2）求（）的分布列和期望；
（3）在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.②从第1次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大.
33．若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合.
（1）若是12项0数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
（2）从集合中任意取出两个数列，记.
①求随机变量的分布列，并证明：；
②若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，且.若，比较与的大小.
34．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任一题减2分；
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；
③每位参加者按问题A，B，C，D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求甲同学能进入下一轮的概率；
（2）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
35．袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏．
（1）若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数；
（2）已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率；
（3）若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值．
36．飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出点时，飞机才能起飞.并且掷得点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.
（1）求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数的均值）
（2）对于两个离散型随机变量、，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：
（记，）
若已知，则事件的条件概率为.可以发现依然是一个随机变量，可以对其求期望.
（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（取值不同时，期望也不同），不妨记为，求；
（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次点飞机才能起飞，记表示“甲第一次未能掷出6点”，表示“甲第一次掷出点且第二次未能掷出点”，表示“甲第一次第二次均掷出点”，为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求.
37．乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域 .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在 上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在 上的概率为，在 上的概率为；对落点在 上的来球，小明回球的落点在上的概率为 ，在上的概率为 .假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.
38．某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为﹔前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复．假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐．
（1）第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率；
（2）求w同学与s同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率；
（3）假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数．
39．某商店举行促销抽奖活动，在一个不透明袋子中放有6个大小质地完全相同的球，其中（）个为红球，其余均为白球，现从中不放回地依次随机摸出2个球，若取到的两个球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到的两个球不同色，则称为不中奖．一次抽奖结束后，取出的球放回袋子中，供下一位顾客抽奖（每位顾客只有一次抽奖机会）．
（1）若，求一次抽奖中奖的概率；
（2）若要求一次抽奖中奖的概率最小．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖的概率．
40．某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，末通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废.
（1）若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当，时，求X的期望与方差；
（2）已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率；
（3）为估计（2）中的，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量.
参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.
41．体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40
女生 25
合计 100
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为．
（1）求；
（2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值．
附：，
42．在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和（）；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设发送信号0和1是等可能的．
（1）若，现发送信号3次，记其中接收为正确信号的次数为，求的数学期望和方差；
（2）随机变量的分布列为，记事件（）发生后给我们的信息量为，则称（）为的信息熵．设发送信号1次，接收为正确信号的次数为，求的信息熵的最大值；
（3）若，发送信号次，设为出现0的总次数，为第次出现1的次数（0或1次），记表示发送信号次，0恰好出现次且第次出现1的次数为的概率，如时，．对于随机变量，记其合并熵为，且．证明：当时，．
43．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为.
（1）写出的分布列并计算；
（2）某人重复进行了100次操作，记，，求该数列的前100项和的最大值；
（3）定性分析当交换次数趋向于无穷时，趋向的值.
44．2025年5月下旬，为全面掌握学生学业水平，科学制定备考策略，某科研组织精心组织了一次针对高二年级的全市联合考试，研究发现，本次检测的数学成绩近似服从正态分布.
（1）按以往的统计数据，数学成绩能达到特殊招生分数线要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到特殊招生分数线的数学成绩大约是多少分 （精确到个位）（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里.相应于值是指总体取值小于概率，即.参考数据：，）.
（2）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况，为了调查早恋现象对数学测试成绩的影响，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问题.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子.你能否估算出中学生早恋人数的百分比
（3）有一天，柏拉图问苏格拉底：“什么是爱情？”苏格拉底微笑着让他去麦田里摘一株最大最好的麦穗回来，并且规定只能摘一次，而且只能往前走，不能回头.柏拉图充满信心地走进麦田，可过了很久他却垂头丧气地空手而归.他对苏格拉底说：“很难得看见一株不错的，却不知道是不是最好的，因为只可以摘一株，无奈只好放弃；于是，再往前走，看看有没有更好的，可是我越往前走，越发觉不如以前见到的好，所以我没有摘；当已经走到尽头时，才发觉原来最大的最饱满的麦穗早已错过了，只好空手而归.”这时，苏格拉底意味深长地说：“这就是‘爱情’.”
为了摆脱“麦穗困境”，找到最优伴侣，龙龙同学准备采用“前半观察，后半选择”的策略，即：前次心动不行动，自第次心动开始，只要发现比他前面见过所有的都优秀，就大胆行动，否则就在第20次心动再行动.为了使龙龙选择到最优伴侣的概率最大，求的取值.（以下可能会用到：，）
三、统计（本大题共13小题）
45．黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）；
（2）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率．
46．某校2021年高一年级共有1000名学生，现对高一年级上学期期中考试数学成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
（1）求a的值，并估计该校2021年高一上学期期中考试数学成绩在的人数；
（2）估计该校高一上学期期中考试数学成绩的第80百分位数.
47．黔西一中为了提高学生对“黔西一中校史”的了解，举办了“知史爱校守初心”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本数据的第59百分位数；
（3）已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差.
48．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：
超声波检查结果组别 正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
49．在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格.

（1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.
（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.
50．某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红楼”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，并作出如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值.
（2）求样本数据的第62百分位数.
（3）已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差.
51．自2022年动工至今，我市的“靓淮河”工程已初具规模．该工程以“一川清 两滩靓 三脉通 十景红”为总体布局，以生态修复与保护为核心理念，最终将促进城市防洪 交通 航运 生态 观光 商业等多种业态协同融合发展．为调查我市居民对“靓淮河”工程的满意程度，随机抽取了200位市民，现拟统计参与调查的市民年龄层次，将这200人按年龄（岁）分为5组，依次为，并得到频率分布直方图如下．

（1）求实数的值；
（2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（3）估计这200人年龄的中位数（精确到小数点后1位）．
52．某学校为了解入学新生的身高情况，随机抽取了50名新生，测得他们的身高（单位：），并分成以下5组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）补全频率分布直方图，并求出样本中学生身高的中位数；（保留小数点后两位）
（2）该学校体育教研室为了解身高是否在一定的范围内与参加弹跳运动时长有关，调研得到以下5组数据：
参加弹跳运动时长（单位：年） 1 2 3 4 5
身高（单位：） 158 162 166 170 184
表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，试求出关于的回归方程.
附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
53．（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：
超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
（1） 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值；
（2） 根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：，
.
54．某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表：
近视学生 非近视学生 合计
每天使用时长不低于2小时 105 250
每天使用时长低于2小时
合计 175 400
（1）完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？
（2）按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
55．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩的使用量x（千克）之间的对应数据的散点图如图所示.
（1）从散点图可以看出，可用直线拟合y与x的关系，请计算样本相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用直线拟合）；
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量.
56．（13分）
为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物（单位:只）试验,得到如下列联表:
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 100 80
服用 150 70 220
合计 250 400
（1） 求,；
（2） 记未服用药物A的动物患疾病B的概率为,给出的估计值；
（3） 根据小概率值的独立性检验,能否认为药物A对预防疾病B有效
附:,
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
57．某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40，100]内，将所得数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数（精确到0.1）；
（2）现从[70，80），[80，90），[90，100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求[70，80）这组中抽取的人数．
参考答案
1．【答案】（1）－1320；
（2）1023.
【详解】（1）∵第4项和第9项的二项式系数相等，
∴，则，
展开式通项公式是，，
令，解得，
∴x的系数为；
（2）在中令得，即为所有项的系数和，
展开式的所有偶数项的二项式系数和为，
∴．
【易错警示】解答此类问题应掌握(a＋b)n的展开式中各项的二项式系数的和为2n，且奇数项二项式系数和与偶数项二项式系数和都等于2n-1.
2．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【详解】（1）方法一：至少有一名组长含有两种情况：
有一名组长和两名组长，故共有种．
方法二：至少有一名组长可以采用排除法，有种．
（2）至多有3名女团员含有四种情况：有3名女团员，有2名女团员，有1名女团员，
没有女团员，故共有种．
（3）既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：
第一类：女组长当选，有种；
第二类：女组长不当选，男组长当选，从剩余7名男团员，5名女团员中选5人，
其中至少选择1名女团员，有种．
故共有种．
3．【答案】（1）种；
（2）种；
（3）种；
（4）种
【详解】（1）女生甲排在正中间，其余人有种排法，因此不同的排法有（种）.
（2）将名男生排成一排，有种排法，2名女生可以在相邻两个男生之间和两端共6个位置中选出2个位置排，有种排法，因此不同的排法有（种）.
（3）对7名学生全排列有种排法，因此不同的排法有（种）.
（4）选1名男生排在2名女生中间，有种排法，将3人看成1个元素与4名男生共5个元素排成一排，有种排法，又因为2名女生有种排法，所以不同的排法有（种）.
4．【答案】（1）；
（2）和；
（3）219.
【详解】（1）的展开式的通项为，
因为第三项的系数是第二项系数的2倍，
，解得，因为，所以；
（2）由知展开式共有10项，二项式系数最大的项为第5项和第6项，
由（1）知第5项为，第6项为，
所以二项式系数最大的项为和；
（3）由（1）知展开式中的系数为
，
所以展开式中含项的系数为219.
5．【答案】（1）见详解；（2）见详解；.
【详解】（1）这个试验的样本空间为：
.
（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为；
，，，，，共6种，
因此事件发生的概率.
6．【答案】（1）见详解；（2）．
【详解】（1）解：记抽到他会背诵的古诗词的数量为X，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，所以，．
所以，，，
，.
X的概率分布列为
X 0 1 2 3
p
（2）解：他能过关的概率为．
7．【答案】（1）4
（2）平均数为，中位数为
（3）
【详解】（1）因为抽取的200名学生中, 不高于50分的人数为（人），
50分到60分的人数为（人），
所以从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人的成绩，不高于50分的人数为（人）.
（2）由，解得，
平均数，
因为成绩不高于70分的频率为，
成绩不高于80分的频率为，
所以中位数位于内，则中位数为.
（3）三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率为，
.
8．【答案】（1）；
（2）分布列见详解，.
【详解】（1）记“小胡至少套中1次”为事件，
所以，
即小胡至少套中1次的概率为.
（2）由题意可知X的所有可能取值为0，40，80，120，160，200，
所以，，
，，
，，
所以X的分布列为：
X 0 40 80 120 160 200
P
所以.
9．【答案】（1），79.5
（2）
【详解】（1）由题意知，解得．
估计这200名学生成绩的平均数．
（2）由，得这5人中成绩在的人数为2，分别记为a，b；
在的人数为3人，分别记为c，d，e．
在这5人中抽取2人，共ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，10个基本事件，
这2名学生成绩在和内各1人，共ac，ad，ae，bc，bd，be，6个基本事件，
故这2名学生数学成绩在和内各1人的概率为．
10．【答案】见详解
【详解】（1）【解】，即,
又，所以，.
（2）【解】前3组的频率和为，
前4组的频率和为，
第55百分位数位于第4组内.
估计第55百分位数为.
（3）【解】，这三组的频率分别为，，，
比例为，
则从内抽取的人数分别为.
11．【答案】解： 的展开式中，第 ， ， 项的二项式系数依次 ， ， ，
根据题意得： ，
即 ，
化简，得 ，
解得： 舍去 ， ；
由 可知，二项式系数最大的项为中间两项，即第 项和第 项，
的展开式的通项公式为
，
当 时， ，
当 时， ，
即展开式中二项式系数最大的项为 ， ；
由通项公式 ，得
当 ， ， ， 时， 的指数为整数，即展开式的第 ， ， ， 项为有理项，共 项
展开式共有 项，先排无理项，有 种排法，无理项排好后形成 个空，
从 个空中选 个排有理项，有 种排法，而 项全排列有 种排法，
所以有理项不相邻的概率 ．
12．【答案】（1）见详解；
（2）74.5；
（3）.
【详解】（1）如图所示
（2）55×0.005×10+65×0.035×10+75×0.030×10+85×0.020×10+95×0.010×10
＝2.75+22.75+22.5+17+9.5＝74.5，
估计这次测试的平均分为74.5分，
由直方图可知，中位数左边和右边的面积相等，均为，
设中位数在70—80之间的宽度为，则有0.005×10+0.035×10+0.030＝0.5，
整理得0.4+0.03＝0.5，所以＝，
，
估计这次测试的中位数为．
（3）根据题意从[70，80）抽取3人，
[80，90）抽取2人，[90，100]抽取1人，
从中任意抽取3人：，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，共20种，
其中的学生3人都被抽到的有共1种，
所以成绩在的学生至多有2人被抽到的概率.
13．【答案】（1），71分；
（2）88分；
（3）.
【详解】（1）由，解得；
，
所以本次服务评价调查的平均得分为71分；
（2）设获得宠物护理礼包的客户评分至少要达到分，
因为，对应的频率分别为，
所以排在前的高评价客户应在区间内，
所以，解得，
故获得宠物护理礼包的客户评分至少要达到88分；
（3）设在“评分最高组”和“评分最低组”抽取的人数分别为，
所以.
所以由分层随机抽样在“评分最高组”中抽取4人，在“评分最低组”中抽取2人.
设“评分最高组”中的4人分别用表示；“评分最低组”中的2人分别为表示.
从中抽取两人进行回访的所有结果为共15种.
进行回访的两人均来自“评分最高组”的所有结果为共6种，
故进行回访的两人都来自“评分最高组”的概率为.
14．【答案】（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关；
（2）（ⅰ）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，
，
，
，
比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30，
则，
，
，
所以比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束时乙恰好答对一道题”，
，
则，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为．
15．【答案】（1）
（2）
（3）分布列见详解；期望为
【详解】（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意知，即，
所以．
（3）由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可得，甲乙投篮为独立事件，所以甲、乙各投篮一次，求甲、乙都投中的概率.
（2）分中零次和一次，
即.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件，
小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件，
，
故在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率为，
（2）设表示第位同学的得分，分别对应小林，小张，小陈，小王），
则，
由数学期望的性质可知，
对于，答对得2分，答错得0分，服从两点分布，
；
；
则.
18．【答案】（1），
（2），
（3）
【详解】（1）由题意可得：，
则，
所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人.
（2）由题意可得：，
又因为，
可知，则解得：.
（3）中的人数：，分别记为；
中的人数：，分别记为
中的人数：，记为
则任选两人的情况有
，共种，
其中来自同一组有
，共种，
所以两个人来自同一组的概率为.
19．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）甲最终获胜包含以下情况：
第一种情况是甲第一局和第二局比赛都获胜，其概率为；
第二种情况是甲第一局和第四局比赛获胜，其概率为；
第三种情况是甲第三局和第四局比赛获胜，其概率是.
故甲、乙首先比赛，甲最终获胜的概率；
（2）①若甲、乙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况：
甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜，概率为；
甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜，
概率为；
甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜，
概率为.
故甲、乙首先比赛，乙最终获胜的概率.
②若甲、丙首先比赛，则乙最终获胜有两种情况：
甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜，概率为；
甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜，概率为.
故甲、丙首先比赛，乙最终获胜的概率.
③若乙、丙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况：
乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜，概率为；
乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜，
概率为；
乙、丙比赛丙胜，甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜，
概率为.
故乙、丙首先比赛，乙最终获胜的概率.
故乙最终获胜的概率.
20．【答案】（1）有关联
（2），意义见详解
【详解】（1）补全列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男性 40 10 50
女性 25 25 50
合计 65 35 100
零假设：对机器人表演节目的喜欢与性别无关联，
则，
依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为对机器人表演节目的喜欢与性别有关联；
（2）由题意可知，，，
所以，
其意义为该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大；
或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等
21．【答案】（1）；
（2）分布列见详解，；
（3）乙获胜的概率比甲大，理由见详解
【详解】（1）设事件“甲抢到题”，“甲答对题目”，“甲答错题目”，
“乙抢到题”，“乙答对题目”， “乙答错题目”，“甲得1分”，
则.
（2）继续进行的比赛为独立重复试验，且由（1）知甲得1分的概率为，乙得1分的概率为.
随机变量的所有可能取值为，
，
.
故的分布列为
2 3
数学期望为.
（3）乙获胜的概率比甲大，理由如下.
乙先得2分的情况下，若甲获胜，则甲连得三分，其概率是，
从而乙获胜的概率是.
因为，所以乙获胜的概率比甲大.
22．【答案】（1），
（2）第二次，见详解
【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，
．
因为，，，
所以，
所以，
所以，
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）证明：当n为奇数时，，
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，
所以，．
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
23．【答案】解： 因为甲、乙、丙三名工人生产的产品分别占总产量的 、 、 ，
所以按等比例分层抽样抽出 件产品，
则从甲、乙、丙三人生产的产品中抽取的数量分别是：
、 、 ．
因为从抽取的 件产品中不放回地任取两件进行检测，所有的取法有 ，
而第一次取出的产品是乙生产的，第二次抽出的产品是甲生产的所有的取法有 ，
所以 ．
因为从抽取的 件产品中不放回地任取两件进行检测，所有的取法有 ，
所以第一次取出的产品是乙生产的所有的取法有 ，
因此 ，所以 ．
因为从抽取的 件产品中不放回地任取两件进行检测，所有的取法有 ，
而第一次、第二次抽出的产品是甲生产的所有的取法有 ，
第一次取出的产品不是甲生产的，第二次抽出的产品是甲生产的所有的取法有 ，
所以第二次抽出的产品是甲生产的所有的取法有 ，
因此 ，所以 ．
设 、 、 分别表示产品是由甲、乙、丙生产的， 表示取出的产品是次品，
因此 、 、 、
、 、 ，
所以
，
因此 ，
即这件产品是由丙生产的概率为 ．
24．【答案】（1）列联表见详解，推断犯错误的概率不大于0.001
（2）（i）；（ii）12
【详解】（1）列联表如下：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120 30 150
不满意 80 70 150
合计 200 100 300
零假设为：满意程度与性别无关，，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）（i）依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”，
则，，，
所以
，
依题意，，所以；
（ii）依题意，，，
若最大，则，
解得，因为，所以，
所以取最大值时的值为12.
25．【答案】（1）不能
（2）分布列见详解，
【详解】（1）零假设为：该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系.
根据列联表中的数据，可以求得.
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系.
（2）由题意可知，的取值可能为.
则.
所以的分布列为
0 1 2
所以的期望为.
26．【答案】（1）列联表见详解，存在差异
（2）（i），；（ii）该发生器为一级品
【详解】（1）根据题意可得列联表：
一级品 非一级品 合计
甲 26 24 50
乙 70 30 100
合计 96 54 150
零假设为：甲、乙两批发生器的一级品率没有差异.
根据列联表中的数据，经计算得
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以可以认为甲、乙两批发生器的一级品率存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）依题意可得.
记“按次按钮后显示的数字为1”，
由全概率公式，得
.
（ii）由全概率公式，得
，
所以，
即，且，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即.
所以.
因为，所以该发生器为一级品.
解法二：（i）依题意可得.
记“按次按钮后显示的数字为1”，“按次按钮后显示的数字为2”，
“按次按钮后显示的数字为3”，“按次按钮后显示的数字为4”，
则，且，，，两两互斥.
依据题意得，，
.
由全概率公式，得
.
（ii）
所以，
即，且，
所以是首项为，公比为的等比数列.
所以，即.
所以.
因为，所以该发生器为一级品.
解法三：（i）依题意可得.
记“按次按钮后显示的数字为1”，
由全概率公式，得
.
.
.
.
.
.
.
.
.
因为，所以该发生器为一级品.
27．【答案】（1）
（2）分布列见详解，
（3）选手乙，理由见详解
【详解】（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则．
故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为．
（2）由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，，，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
∴．
（3）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴可以认为选手乙晋级的可能性更大．
28．【答案】（1）
（2）或
【详解】（1）记事件为“此人能补到鱼”，事件为“此人能找到鱼窝”，
则，，，
.
（2）由（1）知：，，
假设当时，次补到鱼的概率最大，
则，解得：，
若的值最大，则，解得：，
又且，或，
即当或时，次补到鱼的概率的值最大.
29．【答案】（1） 一次操作后可能的复数为1，，，，，.
（2） 一次操作后复数的模所有可能的取值为1，，2，由，故的所有可能取值为1，，2，3，，4，，，,，，，
所以的分布列为
1 2 3 4
（3） 若为实数，则或 .
而1，，，，，的辐角主值分别是0，，0，，，，
设在次操作中，得到，的次数为，得到的次数为，得到的次数为，
于是 ，,且为偶数，
从而，即，
因此所求的概率即为是3的整数倍的概率.下面研究与之间的关系.
（ⅰ）是3的整数倍，且第次操作得到的复数是1，，，概率为；
（ⅱ）被3除余1，且第次操作得到的复数是概率为.
（ⅲ）被3除余2，且第次操作得到的复数是概率为；
因此由全概率公式可以得到，变形得，其中，故.
30．【答案】（1）
（2）①；②分布列见详解，期望为.
【详解】（1）设“甲第局获胜”，其中，依题意得，
当时，由全概率公式得.
，
所以甲第二局获胜的概率为.
（2）①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为，
依题意得，解得.
②的可能取值为2，3.
，
所以的分布列为
2 3
.
31．【答案】（1）分布列见详解，
（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）
【详解】（1）的可能取值为1和2，且；
，则的分布列如下：
1 2
则的期望为.
（2）（ⅰ）①
②
①-②得：.
又，则，即.
（ⅱ）③，
①+②得：.
由③知
又；
则有，其中；
则是以为首项，为公比的等比数列.
可得：；所以
32．【答案】（1）
（2）分别列见详解，
（3）方案②
【详解】（1）由题意可知表示事件“第1次答错，第2，3次均答对”，
（2）可取且表示事件“第次答错”，
所以，
当时，，
表示事件“第次答错，第次均答对”，
所以，，
表示事件“第次都答对”
，
所以
所以的分布列为：
1 2 4
（3）若选择方案①，只可能为2，4，即:，
表示事件“第1次答错，第2次答对”，
表示事件“第2次答错，第3、4次均答对"，
因为、互斥，所以
若选择方案②，只可能为1，2，4，即:，
表示事件“第1次答对”；
表示事件“第1、2次均答对”，
而第1次答对的话，游戏已结束，故不需要考虑这种情况；
表示事件“第1次答错，第2，3，4次均答对”；
因为与互斥，所以
，
所以应该选择方案②.
33．【答案】（1）0.
（2）①分布列见详解，见详解；②
【详解】（1）因为是12项数列，当且仅当时，，
所以当和时，.设数列的所有项的和为S，
则
，所以数列的所有项的和为0.
（2）①因为数列是从集合中任意取出两个数列，所以，数列为项数列所以，的可能取值为：当时，数列中有项取值不同，有项取值相同，
又因为集合中元素的个数共有个，
所以，，
所以，的分布列为：
1 2
因为，
所以，
②由题知，所以，，
所以，，
所以，即，
所以，，即
34．【答案】（1）；（2）分布列见详解，.
【详解】设A，B，C，D分别为第一，二，三，四个问题．用Mi(i＝1，2，3，4)表示甲同学第i个问题回答正确，用Ni(i＝1，2，3，4)表示甲同学第i个问题回答错误，则Mi与Ni是对立事件(i＝1，2，3，4)．由题意得，P(M1)＝，P(M2)＝，P(M3)＝，P(M4)＝，
所以P(N1)＝，P(N2)＝，P(N3)＝，P(N4)＝.
（1）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，
Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4，
P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4)
＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4)
＝××＋×××＋×××＋×××＋×××＝.
（2）由题意，随机变量ξ的可能取值为2，3，4.由于每题答题结果相互独立，
所以P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝3)＝××＋××＝，
P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝.
随机变量ξ的分布列为
ξ 2 3 4
P
所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.
【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力．
35．【答案】（1）4个；
（2）；
（3）4，5，6，7，8个.
【详解】（1）设袋中有红球m个．
设“采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球为红球”，则．
设“摸球两次，至少得到一次白球”．“摸球两次，两次均为红球”．
则，解得，即袋中红球有4个．
（2）设“摸球三次共取出两个白球”，
则三次摸球可能情况为：“白白红”，“白红白”，“红白白”，
则．
所以摸球三次共取出两个白球的概率为．
（3）设“第三次摸球后停止摸球”，“第五次摸球后停止摸球”．
由题意知：．
若，则不可能连续两次摸到红球，不合题意．
若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，，
事件F五次摸球依次为“白白白红红”，，，不合题意．
若，则最多第四次就停止摸球，不符合题意．
若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，，
事件F五次摸球依次为“白红白红红”或“红白白红红”，
，，符合题意．
若，则事件E：三次摸球依次为“白红红”，，
事件F：五次摸球依次为“白白白红红”或“白红白红红”或“红白白红红”，
，
由，得，
即，解得或．即，5，6，7，
综上所述，红球个数的所有可能取值为4，5，6，7，8个．
36．【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1），，
所以，，
记，则.
作差得：，
所以，.
故.
（2）（ⅰ）所有可能的取值为：，、、、，
且对应的概率，、、、，
所以，
又，
所以.
（ⅱ），；，；，，
，故.
37．【答案】（I）小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
（II）机变量的分布列为：
数学期望
【详解】试题分析：（I）记为事件“小明对落点在A上的来球的得分为分”（ ）
则，
记为事件“小明对落点在B上的来球的得分为分” （ ）
则，
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，
由题意，，
由事件的独立性和互斥性，即可得到小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率.
（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，
由事件的独立性和互斥性，得
可得随机变量的分布列为：
利用数学期望的计算公式得到
试题解析：（I）记为事件“小明对落点在A上的来球的得分为分”（ ）
则，
记为事件“小明对落点在B上的来球的得分为分” （ ）
则，
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，
由题意，，
由事件的独立性和互斥性，
,
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，
由事件的独立性和互斥性，得
,
,
,
,
,
,
可得随机变量的分布列为：
所以数学期望
考点：随机变量的分布列与数学期望，互斥事件、独立事件的概率.
38．【答案】（1）
（2）
（3）人
【详解】（1）记事件A为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”，
则﹔
（2）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，
则，
记事件C为“w同学与s同学第二天在同一餐厅就餐”，
则．
（3）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，
则，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，则，
当时，
所以一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为人．
39．【答案】（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）
【详解】（1）设“一次抽奖中奖”
（1）记这2个红球的编号为个白球的编号为，
所以样本空间，共有30个样本点，
又因为
所以，
所以；
（2）（ⅰ）当时，，
所以时，；
当时，
综上所述，所以时，一次抽奖中奖的概率最小．
（ⅱ）记“两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖”，“第位顾客中奖”，
由题意知，，
所以．
40．【答案】（1），
（2）
（3）1000
【详解】（1）每个芯片通过测试的合格率为，，
则，；
（2）解法一：记事件A：通过测试I，事件B：通过测试II，事件C：芯片合格，
，
则；
解法二：记事件：经过测试I，事件：经过测试II，事件B：芯片合格，
，，，，
，
则；
（3）因为，所以，，
解法一：，，
，，
又，当且仅当时等号成立，
，均有，
取，则，
根据题意要使得总能不超过0.1，
当，即时满足条件，
最小样本量大约为1000.
解法二：由已知得对，，
，
记，，，
又，当且仅当时等号成立，
，均有，
取，则，
根据题意要使得总能不超过0.1，
当，即时满足条件，
最小样本量大约为1000.
41．【答案】（1）
（2）没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关
（3）20
【详解】（1）因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为，
所以；
（2）零假设：喜爱足球运动与性别无关．
作出列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
由题，
根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，
也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关．
（3）现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是，
从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则，
所以，
令，解得，
故使事件“”概率最大的的值为20．
42．【答案】（1），；
（2）；
（3）证明见详解.
【详解】（1）当发送信号1次时，记发送信号为事件（），接收为正确信号为事件，
则，，，，
所以．
因为，所以．
由题意知，
所以．
（2）发送信号1次，接收为正确信号的次数的分布列为
0 1
所以，
令，记，，
所以，
由，解得，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
所以当时，取得最小值，
又，所以此时取得最大值，
且最大值为．
（3）当时，第次出现0，前次中有次出现0，
所以，
所以
．
当时，第次出现1，前次中有次出现0，
所以，
所以，
所以
．
因为，
所以，
所以．
43．【答案】（1）分布列见详解，
（2）50
（3），理由见详解
【详解】（1）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.
从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，
记甲口袋中黑球个数为，则的可能取值有1，2，3，
则，
，
，
所以的分布列为：
1 2 3
即；
（2）根据题设可得不可能同时为1，故，
由于，要使得取到最大值，则使得多出现0个，即甲口袋中的黑球要最快被换成白球，
即第一次甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，再第二次还是要从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，
这样经历次可以得到甲口袋中黑球个数为0，此时，
之后甲口袋中只能摸出白球而且乙口袋中只能摸出黑球交换，此时，则，
我们可以再次从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，得到，则，
这样总可以是间隔一次出现甲口袋中没有黑球，所以的最大值为50；
（3）设表示第次交换后甲口袋中黑球有个的概率，
则，
，
，
，
所以
，
由上可得期望的递推关系：，
变形构造为：，由（1）得，所以，
即数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以当交换次数趋向于无穷时，趋向的值为.
44．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由，根据公式,
其中.
解得，由参考数据，
可得，解得.
因此，特殊招生分数线的数学成绩约为 87 分;
（2）两球同色的概率为，则两球异色的概率为，
回答问题①且回答“是”的概率，
摸到同色时回答第一个问题（学籍号最后一位是奇数），概率为 （假设学籍号均匀分布）.
摸到异色时回答第二个问题（是否有早恋），设早恋比例为 ，则 .
回答“是”的总概率为：
.
实际收到 78 个小石子，样本量为 300，所以回答“是”的样本比例为：
,所以
因此，中学生早恋人数的百分比约为 5%；
（3）最优伴侣在前 次出现：如果最优伴侣在前 次出现，龙龙不会选择（因为前 次不行动），因此概率贡献为 0.
最优伴侣在第 次出现（)：为了在第次选择最优伴侣，必须满足：
最优伴侣在第 次出现，且前 次中的最优伴侣出现在前 次中（否则龙龙会在 之前选择）.
因此，条件概率为 .
龙龙选择到最优伴侣的总概率 ：最优伴侣出现在任何位置的概率是.
对于 ，选中最优伴侣的概率是 .
因此：
根据提示，，所以：.
为最大化 ，考虑函数 .
求导：
令 ：,,
∵,
∴,∴.
当时,单调递增，当时,单调递减，
由于 为整数，比较 和 ：
当：,
比较 ，且其他 值（如 ) 均小于 ，故 时概率最大.
因此， 时概率最大.
45．【答案】（1），平均数为；
（2）.
【详解】（1）由频率分布直方图，得，则；
平均数为.
（2）评分在的频率分别为，
则在中抽取人，记为；在中抽取4人，记为，
从这6人中随机抽取2人，样本空间：
，共有15个结果，
设选取的2人评分分别在和内各1人为事件，
则，共有8个结果，
所以.
46．【答案】（1），250人
（2）115
【详解】（1）由题意得，
解得
由频率分布直方图可得，期中考试数学成绩在的频率为
，
所以该校2021年高一上学期期中考试数学成绩在的人数约为
（人）
（2）由（1）知样本数据中数学成绩在110分以下所点比例为
，
在130分以下所点比例为，
所以80%分位数一定位于内，
由，可得样本数据的第80百分位数约为115分，
所以该校高一上学期期中考试数学成绩的第80百分位数约为115分
47．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【详解】（1）由题意，解得；
（2）由直方图知，前3组数的频率为
前4组数的频率为，
因此第59百分位数在第4组即区间上，设第59百分位数为x，
则，解得；
（3）样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为，
所以，
总方差为.
48．【答案】（1）；
（2）超声波检查结果与患该疾病有关.
【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以p的估计值为.
（2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过.
49．【答案】（1），20.32小时
（2）21.73小时
（3）
【详解】（1）由，解得，
因为小时，
所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.
（2）时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格，
由题意知，即求60百分位数，又，，
所以60百分位数位于18~22之间，
设60百分位数为，则，解得小时.
故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.
（3）易知，5名学生中，
优秀有人，设为，
良好有人，设为，
合格有人，设为.
任选3人，总共有，10种情况，
其中符合的有，共4种，
故概率为.
50．【答案】（1）
（2）分
（3），
【详解】（1）由，
解得；
（2）因为，
，
所以样本数据的第62百分位数在内，
可得，
所以样本数据的第62百分位数为分；
（3）样本数据落在的个数为，
落在的个数为，
，
总方差.
51．【答案】（1）
（2）41.5岁
（3）42.1岁
【详解】（1）由题意：，解得．
（2）由题意：，
估计这200人年龄的样本平均数为41.5岁．
（3）由图可知，年龄在的频率为0.25，在的频率为0.35，
，
估计这200人年龄的样本中位数为42.1岁．
52．【答案】（1）频率分布直方见详解，165.36；
（2）.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
，解得，
∴补全后的频率分布直方图如图所示，
又，，
∴中位数在区间内，设其值为，
∴，解得，
∴样本中学生身高的中位数约为165.36；
（2）由题意可知，，，
，
，
根据公式，可求得，则，
∴所求回归直线方程为.
53．【答案】（1） 根据题表数据可知，超声波检查结果不正常的有200人，其中患该疾病的有180人，因此估计超声波检查结果不正常者患该疾病的概率（易错：注意该问所求概率中用到的数据，数据找错，计算也就出错）. …………6分
（2） 第一步:给出零假设
零假设为超声波检查结果与患该疾病无关. …………8分
第二步：计算的值并与进行比较
. …………11分
第三步：给出独立性检验的结果
根据小概率值的独立性检验，超声波检查结果与患该疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. …………13分
54．【答案】（1）列联表见详解，有关联；
（2）分布列见详解，.
【详解】（1）列联表如下：
近视学生 非近视学生 合计
每天使用时长不低于2小时 145 105 250
每天使用时长低于2小时 30 120 150
合计 175 225 400
零假设：“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联．
因为，
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取人，
在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取人．
所以的可能取值为0，1，2，3，4，5，
所以，
，
故的分布列为：
0 1 2 3 4 5
所以.
55．【答案】（1），理由见详解；（2），9.9百千克.
【详解】（1）因为，，
，
，
，
所以，
所以可用直线拟合y与x的关系；
（2）因为，，
所以关于的线性回归方程为，
当时，，
所以预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量为9.9百千克.
56．【答案】
（1） 【解】第一步：计算的数值
由题意可知，180，············2分
第二步:计算的数值
150.············4分
（2） 第一步:由列联表得出未服用药物A的动物数量以及未服用药物A患疾病B的动物数量
由列联表可得，未服用药物A的动物总共180只，
未服用药物A患疾病B的动物共80只，
第二步:根据古典概型计算概率
所以.············7分
（3） 第一步：提出零假设
零假设药物A对预防疾病B无效.············8分
第二步:根据列联表，计算
由题表中数据，可得，··········11分
第三步:根据临界值表做出判断
所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物A对预防疾病B有效.············13分
57．【答案】（1）平均数为72.5，中位数为72.9
（2）14
【详解】（1）由题意知，
解得．
估计这200名员工所得分数的平均数．
[40，70）的频率为，
[40，80）的频率为，
所以中位数落在区间[70，80），设中位数为m，所以，
解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9．
（2）[70，80）的人数：，[80，90）的人数：，
[90，100]的人数：，
所以[70，80）这组中抽取的人数为：．
第 page number 页，共 number of pages 页
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