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广东省梅州市五华县2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）“思明拾光”系列短视频以中国“二十四节气”为主线，在自然与人文之间开启全新的阅读视角．请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a4÷a3＝a B．3a3 2a2＝6a6
C．（﹣2a）3＝﹣6a3 D．3a+2a＝5a2
3．（3分）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）
A．一岁一枯荣 B．黄河入海流
C．明月松间照 D．白发三千丈
4．（3分）在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣a﹣b）（a+b） B．（a﹣b）（a+b）
C．（2a+b）（a﹣2b） D．（a﹣b）（b﹣a）
5．（3分）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr．在上述变化中，自变量是（　　）
A．2 B．半径r C．π D．周长C
6．（3分）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（　　）
A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
7．（3分）如图，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（　　）
A．∠E＝∠B B．ED＝BC C．AB＝EF D．AF＝CD
8．（3分）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，读书，写字、看书姿势要端正，一般人正常的阅读角度为俯角40°，书本与课桌的角度要保持在25°至40°，其几何示意图如图所示，其中AB∥ED，∠ABC＝40°，∠CDE＝35°，则视线BC和书本所在平面CD所成的角度∠BCD是（　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
9．（3分）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，△ABC的面积为2，分别延长BC至点D，使CD＝BC，延长CA至点E，使AE＝AC，延长AB至点F，使BF＝AB，依次连接DE，EF，FD，则阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）在汉语拼音wuhua中任意选一个字母，选出的字母为“u”的概率为 　 　 ．
12．（3分）等腰三角形的一个角是100°，则它的顶角的度数是 　 　 ．
13．（3分）如图，△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC，若AB＝5cm，则AC的长度为 　 　 cm．
14．（3分）将4个数a、b、c、d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，若＝14，则x＝ 　 　 ．
15．（3分）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，DA′交AB于点P，若A′D∥BC且∠B﹣∠A＝10°，则∠AED的度数为 　 　 °．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（7分）计算：．
17．（7分）周老师在课堂上给出了一道练习题：选择一组x，y的值，求式子（x﹣y）2+x（2y﹣x）﹣（y3÷y）+2025的值．数数和学学展开了如下讨论：
数数说：“如果x，y取值不同，则原式的值就不同．”
学学说：“无论x，y取何值，原式的值都不变．”
你同意哪位同学的观点．请说明理由．
18．（7分）如图：
（1）请用直尺和圆规在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（不用写作法，保留作图痕迹）
（2）若MN∥OA，且∠MCB＝150°，求∠POA的度数．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）如图，在边长为1的方格纸中：
（1）画出△ABC关于直线MN轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线MN上找出点P，使得PA+PC最小．
20．（9分）“珍重生命，注意安全!”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全，小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）图中自变量是 　 　 ，因变量是 　 　 ．
（2）小明家到学校的路程是 　 　 米．
（3）本次上学途中，小明一共行驶了 　 　 米，一共用了 　 　 分钟．
（4）骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，请说明理由．这个最快速度在安全限度内吗？
21．（9分）已知四边形ABCD中，连接对角线BD，且BD的垂直平分线恰好经过点C，交BD于点O，交AB于点E，连接DE．
（1）如图1，若DC∥BE，说明：DB平分∠CDE；
（2）如图2，连接AC，DE是线段AC的垂直平分线，求∠CED的大小．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（13分）【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作a ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝　 　 ，（﹣）④＝　 　 ；
（2）下列关于除方说法中，错误的是：　 　 ．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1 ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　 ，（）⑥＝　 　 ．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为a ＝　 　 ．
（5）算一算：＝　 　 ．
23．（14分）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
【问题解决】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定全等的依据为：　 　 ．
【问题应用】
（2）如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE，∠E＝∠BAD，试探究线段AE与AD的数量关系．
【拓展延伸】
（3）如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究线段AD与EF的数量关系和位置关系，并加以说明．
广东省梅州市五华县2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B B A D C C D
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．．
12．100°．
13．10．
14．8．
15．95．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．解：原式＝9+1×（﹣5）﹣3
＝9﹣5﹣3
＝1．
17．解：我同意学学同学的观点，理由如下：
（x﹣y）2+x（2y﹣x）﹣（y3÷y）+2025
＝x2﹣2xy+y2+2xy﹣x2﹣y2+2025
＝2025，
则原式的值与x，y的取值没有关系，
即无论x，y取何值，原式的值都不变，
那么学学同学的观点正确．
18．解：（1）如图，即为所求作；
（2）∵∠MCB＝150°，
∴∠BCN＝180°﹣∠MCB＝30°，
∵MN∥OA，
∴∠AOB＝∠BCN＝30°（两直线平行，同位角相等），
∵OP为∠AOB的角平分线，
∴．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×6﹣1×6﹣2×3﹣3×3＝7.5；
（3）如图，点P即为所求．
20．解：（1）图中自变量是时间，因变量是离家距离，
故答案为：时间，离家距离；
（2）小明家到学校的路程是1500米，
故答案为：1500；
（3）一共行驶的总路程＝1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）＝1200+600+900＝2700（米），一共用了14分钟．
故答案为：2700，14；
（4）由图象可知：0～6分钟时，平均速度＝1200÷6＝200米/分，
6～8分钟时，平均速度＝（1200﹣600）÷（8﹣6）＝300米/分，
12～14分钟时，平均速度＝（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450米/分，
所以12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．
21．（1）证明：∵CE是BD的垂直平分线，
∴CD＝CB，EB＝ED，
∴∠CBD＝∠CDB，∠EBD＝∠EDB，
又∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠EBD，
∴∠EDB＝∠CDB，
即BD平分∠CDE；
（2）解：∵CE是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∵DE是AC的垂直平分线，∴EC＝EA，∴∠AED＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠DEC＝∠AED，
又∵∠BEC+∠DEC+∠AED＝180°，
∴＝60°．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．解：（1）2③＝2÷2÷2＝1÷2＝，
（﹣）④＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1×2×2＝4；
故答案为：，4；
（2）∵3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，
∴3④≠4③．
故选：C．
（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3，
（）⑥＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝1×5×5×5×5＝54；
故答案为：（﹣）3，54；
（4）（4）a÷a÷a÷…÷a＝a×××…×＝（）n﹣2．
故答案为：（）n﹣2．
（5）原式＝＝122÷32×（）4﹣34÷33
＝24×32÷32×（）4﹣3
＝1﹣3
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
23．解：（1）延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，如图1所示：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
（2）线段AE与AD的数量关系是：AD＝AE，理由如下：
延长AD到F，使FD＝AD，连接CF，如图2所示：
则AF＝FD+AD＝2AD，
同（1）证明：△CDF≌△BDA（SAS），
∴∠F＝∠BAD，
∵∠E＝∠BAD，
∴∠F＝∠BAD，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAC，
在△ACF和△ACE中，
，
∴△ACF≌△ACE（AAS），
∴AF＝AE，
∴2AD＝AE，
∴AD＝AE；
（3）线段AD与EF的数量关系是：AD＝EF，位置关系是：EF⊥AD，证明如下：
过点C作CH⊥AE于点H，如图3所示：
∴∠CHA＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠CHA＝∠BAE＝90°，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
在△CDH和△BDA中，
，
∴△CDH≌△BDA（AAS），
∴DH＝AD，CH＝AB，
∴AH＝DH+AD＝2AD，
∵AB＝AE，
∴CH＝AB＝AE，
∵∠CHA＝90°，∠FAC＝90°，
∴∠ACH+∠CAH＝90°，∠FAE+∠CAH＝90°，
∴∠ACH＝∠FAE，
在△ACH和△FAE中，
，
∴△ACH≌△FAE（SAS），
∴AH＝EF，∠CHA＝∠AEF＝90°，
∴2AD＝EF，EF⊥AE，
∴AD＝EF，EF⊥AD．

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