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广东省惠州市博罗县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各图能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）一次函数y＝4x+2的图象经过第（　　）象限．
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）在“绿美湘桥”种植活动中，某校八年级7个班同学种植树苗棵数依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（　　）
A．77 B．79 C．79.5 D．80
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　）
A．BD＝AB B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4cm，BCcm，则AC的长为（　　）
A．3cm B．cm C．2cm D．1cm
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，则∠C的度数为（　　）
A．70° B．40° C．110° D．140°
9．（3分）如图，直线y1＝2x与直线y2＝kx+b（k≠0）相交于点P（a，2），则关于x的不等式2x≤kx+b的解集是（　　）
A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1
10．（3分）如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，连接AE，若AB＝2，则AE的长为（　　）
A． B．4 C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
12．（3分）若点A（﹣2，y1），B（4，y2）在正比例函数y＝﹣3x图象上，则y1　 　 y2（填＜，＞或＝）．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A恰好落在CD边上的点G处．则图中阴影部分的面积等于　 　 ．
14．（3分）农科院计划为某地选择合适的水果玉米种子，通过试验，甲、乙、丙、丁四种水果玉米种子每亩平均产量都是1500千克，方差分别为S甲2＝0.01，S乙2＝0.04，S丙2＝0.03，S丁2＝0.02，这四种水果玉米种子中产量最稳定的是 　 　 种水果玉米种子．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为 　 　 ．
三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）计算：6（2）（2）
17．（7分）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测量校园内旗杆的高度
测量工具 皮尺等
模型抽象 注：线段PQ表示旗杆，PQ垂直地面于点Q．
测绘过程 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE，用皮尺量出QE的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出QF的长度.
数据信息 图①中QE的长度为3m；图②中QF的长度为9m．
请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度．
18．（7分）已知一次函数的图象经过点（1，4）和（﹣2，﹣5），求这个函数的解析式．
四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）“防溺水安全”是校园安全教育工作的重点之一，某校为提高学生的安全意识，组织学生举行了一次以“远离溺水 珍爱生命”为主题的防溺水安全知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分、8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.76 a 9 1.06
八年级 8.76 8 b 1.38
（1）根据以上信息可以求出：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ．
（2）若该校七、八年级各有500人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
20．（9分）为了更好服务我市创建“国家卫生城市”工作，某商场购进A，B两种新型号的垃圾箱共100个进行销售，两种新型号垃圾箱的进价和售价如表所示，设商场购进A型垃圾箱x个（x为正整数），且所购进的两种型号垃圾箱能全部卖出，获得的总利润为w元．
（1）求总利润w关于x的函数关系式．
（2）如果购进两种垃圾箱的总费用不超过6000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．
A型垃圾箱 B型垃圾箱
进价（元/个） 62 54
售价（元/个） 76 60
21．（9分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝8，菱形ADCF的面积为40，求AB的长．
五、解答题（本大题共2小题，22小题13分，23小题14分，共27分）
22．（13分）综合与实践
正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以PD为边作正方形DPFE，连接CE；
【初步探究】
（1）如图1，当点P在线段AC上时，AP与CE的数量关系是 　 　 ；AP与CE的位置关系为 　 　 ；CD，PC，CE三者的数量关系为 　 　 ；
【探索发现】
（2）当点P在线段AC延长线上运动时，如图2，探究线段CD，PC和CE三者之间数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，连接AE，若，，则CP的长为 　 　 ．
23．（14分）如图1，直线yx+8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x+1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．
（1）求点C的坐标．
（2）求△BDC的面积
（3）如图2，P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．
①若PQ∥x轴，且点A关于直线PQ的对称点A′恰好落在直线CD上，求PQ的长．
②若BDC与△BPQ全等（点Q不与点C重合），请写出所有满足要求的点Q坐标　 　 （直接写出答案）
广东省惠州市博罗县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D B B B A D C
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．x≥﹣2．
12．＞．
13．9．
14．甲．
15．32．
三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．解：原式＝423﹣4
＝21．
17．解：由图①可知：绳子的长度比旗杆的高度多3m，
设旗杆PQ的高度为x m，则绳子的长度为（x+3）m，
由图②可得，PF＝（x+3）m，
在Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ2+QF2＝PF2，
即x2+92＝（x+3）2，
解得：x＝12，
答：学校旗杆的高度为12m．
18．解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把点（1，4）和（﹣2，﹣5）代入得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝3x+1．
四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．解：（1）∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分，
∴a＝9，
∵八年级A等级人数最多，
∴b＝10，
故答案为：9，10；
（2）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以500可得：
（人），
答：该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有600人．
20．解：（1）设购进A型垃圾箱x个，则购进B型垃圾箱（100﹣x）个，
w＝（76﹣62）x+（60﹣54）×（100﹣x）＝8x+600，
即总利润w关于x的函数关系式是w＝8x+600；
（2）∵购进两种垃圾箱的总费用不超过6000元，
∴62x+54（100﹣x）≤6000，
解得，x≤75，
∵w＝8x+600，k＝8＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝8×75+600＝1200，100﹣x＝25，
答：当购进A型垃圾箱75个，购进B型垃圾箱25个时，获利最大，最大利润为1200元．
（1）证明：如图1，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
∴AF＝DB，
∵AD为BC边上的中线，
∴DB＝DC，
∴AF＝CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴ADBC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中点，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABC
AC AB8AB＝40，
∴AB＝10．
五、解答题（本大题共2小题，22小题13分，23小题14分，共27分）
22．解：（1）∵四边形ABCD、DPFE都是正方形，
∴AD＝CD，DP＝DE，∠ADC＝∠PDE＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠ADP＝∠CDE＝90°﹣∠PDC，
∴△ADP≌△CDE（SAS），
∴AP＝CE，∠DAP＝∠DCE＝45°，
∴∠PCE＝∠ACD+∠DCE＝90°，
∴AP⊥CE，
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴ACCD，
又AC＝AP+PC，AP＝CE，
∴CE+PCCD，
故答案为：AP＝CE，AP⊥CE，CE+PCCD；
（2）CE﹣PCCD，
理由：∵四边形ABCD、DPFE都是正方形，
∴AD＝CD，DP＝DE，∠ADC＝∠PDE＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠ADP＝∠CDE＝90°+∠PDC，
∴△ADP≌△CDE（SAS），
∴AP＝CE，∠DAP＝∠DCE＝45°，
∴∠PCE＝∠ACD+∠DCE＝90°，
∴AP⊥CE，
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴ACCD，
又AC＝AP﹣PC，AP＝CE，
∴CE﹣PCCD；
（3）在正方形ABCD中，AB，
∴AC＝2，
由（2）知：AP⊥CE，
∴CE5，
∵AP＝CE，
∴CP＝AP﹣AC＝3，
故答案为：3．
23．解：（1）由，解得：x＝3，把x＝3代入y＝x+1＝3+1＝4，
所以点C的坐标为（3，4）；
（2）∵B（0，8），D（0，1），
∴BD＝7，
∴；
（3）①∵PQ∥x轴，
∴AA'⊥x轴，
∵A（6，0），
∴AA'＝6+1＝7，
∴，
∴，
即PQ；
②按两种情形讨论：
（Ⅰ）P在B点下方，则有BP＝BC＝5，
此时，
代入得：，
∴Q1（）；
（Ⅱ）P在B点上方，若BP＝BD．
则有xQ＝﹣xC＝﹣3，
∴Q2（﹣3，12），
若BP＝BC＝5，
则有，
∴Q3（）．
故答案为：（），（﹣3，12），（）．

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