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广东省广州市黄埔区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
2．（3分）△ABC的三边长分别为a，b，c，当满足下列条件时，△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝5，b＝12，c＝14
C．a＝3，b＝3，c＝5 D．a＝6，b＝8，c＝7
3．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知AB∥CD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD B．AO＝CO C．BC∥AD D．AD＝BC
4．（3分）下列关于正比例函数y＝﹣5x的说法中，正确的是（　　）
A．当x＝1时，y＝5
B．它的图象是一条经过原点的直线
C．y随x的增大而增大
D．它的图象经过第一、三象限
5．（3分）某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选取一人参加跳远比赛，经过多次测试，他们的平均成绩都是5.81m，方差分别是S甲2＝3，S乙2＝4.5，S丙2＝0.9，S丁2＝3.3，你认为最适合参加的运动员是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）若一次函数的图象经过点（2，y1），（﹣2，y2），则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
7．（3分）下列命题的逆命题错误的是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．对顶角相等
C．直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方
D．平行四边形的对角线互相平分
8．（3分）函数y1＝k1x+b与y2＝k2x的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b≥k2x的解集为（　　）
A．x≤﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1
9．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A．﹣b B．2a﹣b C．b D．b﹣2a
10．（3分）如图，正方形ABCD的面积为4．△DEF是等腰直角三角形，∠EDF＝90°，DE＝，点F在线段BA的延长线上，则AE的长度为（　　）
A．5 B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）＝　 　 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，已知BC＝12cm，则DE的长为 　 　 cm．
13．（3分）若一个三角形的边长分别为和，则它的周长为　 　 ．
14．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，BE⊥CD，则BE＝　 　 ．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，则四边形ABCD的面积为 　 　 ．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，E为线段AD延长线上一点，且，对角线AC，BD相交于点O，过O点作OG⊥CD于点G，连接OE交CD于点F，连接AF．则下列结论：
①△DEF≌△GOF；
②DF＝1.5；
③当∠AOF＝90°时，AF＝FC；
④当时，△AOE是等腰三角形．
其中正确的结论有 　 　 .（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）计算：．
18．（4分）如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，BC＝4，求OB的长．
19．（6分）已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝10．
（1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线，垂足为点E，交BC于点D；
（2）求BD长．
20．（6分）已知直线l1：y＝﹣2x+4和直线l2：y＝﹣x+3相交于点P，直线l1，l2分别与x轴相交于点A，B．
（1）求点P的坐标；
（2）求△ABP的面积．
21．（8分）某校为了解学生一周智慧阅读情况，随机采访20名学生，这20名学生一周智慧阅读时长如表：
时间/时 5 4 3 2
人数/个 2 8 a 4
（1）根据以上表格填空：a＝　 　 ，这20名学生一周智慧阅读时长的众数是　 　 ；中位数是　 　 ；
（2）计算这20名学生一周智慧阅读时长的平均数；
（3）如果这个学校一共有1800个学生，请根据统计的数据，估计该校学生一周智慧阅读时长不少于4小时的人数．
22．（10分）如图，两张矩形纸片交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形ABCD．过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE＝AF．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，连接EF，求EF的长．
23．（10分）某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租一本书．使用租书卡，租书金额y1（单位：元）与租书时间x（单位：天）之间的关系式为y1＝0.5x；使用会员卡，租书金额y2（单位：元）与租书时间x（单位：天）之间的关系如图所示：
（1）用租书卡每天租书的费用为 　 　 元；
（2）求出y2关于x的函数解析式；
（3）如何选取租书方式更划算？
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，且OC＝2，过点A的直线y＝﹣x+3交边BC于点P．
（1）求点A，点P的坐标；
（2）已知点D在x轴上，且△APD为等腰直角三角形，求出点D坐标；
（3）如图2，在x轴上另有一点G的坐标为（2，0），请在直线AP和y轴上分别找一点M、N，使△GMN的周长最小，并求出此时点M的坐标和△GMN周长的最小值．
25．（12分）在正方形ABCD中，点E，G分别为边BC，AB上一点，且BG＝BE，连接AE，过点E作EF⊥AE，交正方形外角∠DCM的平分线CF于点F．
（1）如图1，连接GE．求证：AE＝EF；
（2）如图2，连接BD交AF于点P，求证：P为AF的中点；
（3）试探究BP，BC，BE的数量关系并证明．
广东省广州市黄埔区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D B C A B B D C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．．
12．6．
13．9．
14．4.8．
15．2+．
16．①③④．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解：原式＝（）2+（）2+2
＝2+3+2
＝5+2．
18．解：在Rt△ABC中，
由勾股定理可得AC＝＝＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OB＝AC＝．
19．解：（1）如图所示：直线DE即为线段AC的垂直平分线，点D，E即为所求；
（2）连接AD，如图所示：
∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
设BD＝x，则DC＝AD＝10﹣x，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，
∴AB2+BD2＝AD2，
即42+x2＝（10﹣x）2，
解得x＝，
即BD的长为．
20．解：（1）由题意，，解得，
∴P（1，2）．
（2）在y＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2．
∴A（2，0）．
在y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0）．
∴AB＝3﹣2＝1．
∵P（1，2），
∴S△ABP＝AB yP＝＝1．
21．解：（1）a＝20﹣（2+8+4）＝6，
这20名学生一周智慧阅读时长的众数是4时，中位数是＝3.5（时），
故答案为：6，4时，3.5时．
（2）这20名学生一周智慧阅读时长的平均数为×（5×2+4×8+3×6+2×4）＝3.4（时）；
（3）1800×＝900（人），
答：估计该校学生一周智慧阅读时长不少于4小时的人数约为900人．
22．解：（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵纸片是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）如图，连接EF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AB＝AD＝4，∠ABC＝60°＝∠ADF，∠BAD＝120°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝60°，BE＝AB＝2，AE＝BE＝2，
∵AE＝AF，
∴△EAF是等边三角形，
∴EF＝AE＝2．
23．解：（1）用租书卡每天租书的费用为0.5元．
故答案为：0.5．
（2）使用会员卡每天租书的费用为（45﹣30）÷60＝0.25（元），则y2＝0.25x+30，
∴y2关于x的函数解析式为y2＝0.25x+30．
（3）当y1＜y2时，得0.5x＜0.25x+30，解得x＜120，
当y1＝y2时，得0.5x＝0.25x+30，解得x＝120，
当y1＞y2时，得0.5x＞0.25x+30，解得x＞120，
∴当租书时间不足120天时，选用租书卡方式租书更划算；当租书时间正好为120天时，两种租书方式租书金额相同，任选一种即可；当租书时间超过120天时，选用会员卡方式租书更划算．
24．解：（1）当y＝0时，x＝3，
∴直线y＝﹣x+3与x轴的交点A（3，0），
∵OC＝2，
∴C（0，2），
当﹣x+3＝2时，x＝1，
∴P（1，2）；
（2）当∠APD＝90°时，D点与A点关于直线x＝1对称，
∴D（﹣1，0），
当∠PDA＝90°时，D（1，0）；
综上所述：D点坐标为（﹣1，0）或D（1，0）；
（3）作G点关于y轴的对称点E，则E（﹣2，0），
作G点关于直线AP的对称点F，
∵PB＝AB＝2，
∴∠PAB＝45°，
∴F点在AB上，
∴F（3，1），
∵GM+GN+MN＝MF+EN+MN≥EF，
∴当E、N、M、F四点共线时，△GMN的周长有最小值，
∴EF＝，
∴△GMN周长的最小值为，
直线EF的解析式为y＝x+，
当﹣x+3＝x+时，解得x＝，
∴M（，）．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCM＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BG＝BE，
∴AB﹣BG＝BC﹣BE，∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴AG＝CE，
∴∠AGE＝180°﹣∠BGE＝135°，
∵CF是∠DCF得平分线，
∴∠DCF＝∠FCM＝，
∴∠ECF＝180°﹣∠FCM＝135°，
∴∠AGE＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△AEG≌△EFC（ASA），
∴AE＝EF；
（2）证明：如图1，
连接AC，PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ACD＝，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP，
∴∠PAC＝∠ACP，
由（1）知，
∠DCF＝45°，
∴∠ACF＝∠DCF+∠ACD＝90°，
∴∠PAC+∠AFC＝90°，∠ACP+∠PCF＝90°，
∴∠AFC＝∠PCF，
∴PC＝PF，
∴AP＝PF，
∴P为AF的中点；
（3）如图2，
BE+BC＝，理由如下：
连接PE，作PH⊥PB，交BM于H，
∴∠BPH＝90°，
由（1）（2）知，
AE＝EF，点P是AF的中点，
∴EP⊥AF，
∴∠APE＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴EP＝AP＝，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠PBH＝45°，
∴∠PHB＝90°﹣∠PBH＝45°，
∴∠PBH＝∠PHB，
∴PB＝PH，
∴BH＝BP，
∴BE+EH＝，
∵∠APE＝∠BPH＝90°，
∴∠APE﹣∠BPE＝∠BPH﹣∠BPE，
∴∠APB＝∠EPH，
∴△ABP≌△EHP（SAS），
∴EH＝AB＝BC，
∴BE+BC＝．

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