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专题四 相似三角形常考模型
类型一 A字型
方法技巧：此类题目的图形中的两个三角形有一个公共角，只要再找一对相等的角或夹这个公共角的两边成比例，就可证明这两个三角形相似。
【母题练方法】1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　）
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D．
【子题练变式】2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BDEF是平行四边形，．若△ADE的面积为1，则平行四边形BDEF的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
类型二 8字型
方法技巧：此类题目的图形中的两个三角形有一个公共顶点，且有一组对顶角相等，只要再证另一组对应角相等或夹互为对顶角的两边成比例，就可证明这两个三角形相似.
【母题练方法】3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE BD．求证：△ABE∽△DCE．
【子题练变式】4．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AD上，CE与BA的延长线交于点F，．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）联结FD，分别延长FD、BC交于点G，如果FC2＝FD FG，求证：AD CG＝BF CD．
类型三 一线三等角
方法技巧：此类题目的图形中一条直线上有三个相等的角，找出两个三角形中的两组角对应相等就可以证明两个三角形相似。
【母题练方法】5．如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．
【子题练变式】6．如图1，△ABC为等边三角形，AB＝20，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合），且∠ADE＝∠B，其中点E在边AC上．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如图2，当D运动到BC的中点时，求线段CE的长．
类型四 “手拉手”旋转模型
方法技巧：此类题目中的两个三角形共顶点，两组边对应成比例且夹角相等.
【母题练方法】7．如图，，下列添加的条件不能使△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠BAD＝∠CAE B． C． D．∠ABD＝∠ACE
【子题练变式】8．如图1，在钝角三角形ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB的中点，点E为边BC的中点．将△BDE绕点B按逆时针方向旋转α°（0＜α＜180）．
（1）如图2，连接AD，CE．求证：△BDA∽△BEC；
（2）如图3，直线CE，AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个角的度数．
专题四 相似三角形常考模型
类型一 A字型
方法技巧：此类题目的图形中的两个三角形有一个公共角，只要再找一对相等的角或夹这个公共角的两边成比例，就可证明这两个三角形相似。
【母题练方法】1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　）
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D．
【思路点拔】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误；
B、∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误；
C、不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确；
D、，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
【子题练变式】2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BDEF是平行四边形，．若△ADE的面积为1，则平行四边形BDEF的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拔】利用平行四边形的性质先说明△ADE∽△ABC、△CEF∽△CBA，再利用相似三角形的性质求出△ADE、△ABC、△CEF的面积，最后利用面积的和差关系得结论．
【解答】解：∵四边形BDEF是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB．
∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CAB．
∵，
∴．
∴．
∴（）2，（）2．
∵S△ADE＝1，
∴S△ABC＝9，S△CEF＝4．
∵S△ADE+S△CEF+S平行四边形BDEF＝S△ABC，
∴S平行四边形BDEF＝9﹣1﹣4＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的平行判定法和“相似三角形的面积比等于其相似比的平方”是解决本题的关键．
类型二 8字型
方法技巧：此类题目的图形中的两个三角形有一个公共顶点，且有一组对顶角相等，只要再证另一组对应角相等或夹互为对顶角的两边成比例，就可证明这两个三角形相似.
【母题练方法】3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE BD．求证：△ABE∽△DCE．
【思路点拔】根据相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC＝∠BDC，由此可得出△ABE∽△DCE．
【解答】证明：∵AB2＝BE BD，
∴AB：BE＝BD：AB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，
∴△ABE∽△DCE．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，涉及A字型相似，8字型相似等相关内容，熟练掌握相关判定是解题关键．
【子题练变式】4．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AD上，CE与BA的延长线交于点F，．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）联结FD，分别延长FD、BC交于点G，如果FC2＝FD FG，求证：AD CG＝BF CD．
【思路点拔】（1）由FA∥CD，证明△AEF∽△DEC，得，而，所以，则AB＝CD，即可证明四边形ABCD为平行四边形；
（2）由平行四边形的性质得BC＝AD，由FC2＝FD FG，得，可证明△CFG∽△DFC，得∠G＝∠FCD＝∠BFC，而∠GCD＝∠B，所以△GCD∽△FBC，则，即可证明AD CG＝BF CD．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，点F在BA的延长线上，
∴FA∥CD，
∴△AEF∽△DEC，
∴，
∵，
∴，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
（2）证明：如图，联结FD，分别延长FD、BC交于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∵FC2＝FD FG，
∴，
∵∠CFG＝∠DFC，
∴△CFG∽△DFC，
∴∠G＝∠FCD，
∵∠BFC＝∠FCD，
∴∠G＝∠BCF，
∵∠GCD＝∠B，
∴△GCD∽△FBC，
∴，
∴，
∴AD CG＝BF CD．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AEF∽△DEC及△GCD∽△FBC是解题的关键．
类型三 一线三等角
方法技巧：此类题目的图形中一条直线上有三个相等的角，找出两个三角形中的两组角对应相等就可以证明两个三角形相似。
【母题练方法】5．如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．
【思路点拔】（1）利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE，可证明结论；
（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，
∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，
∴∠C＝∠DBE，
∴△ABC∽△DEB；
（2）解：∵△ABC∽△DEB，
∴，
∴，
∴BD＝3．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE是解决问题的关键．
【子题练变式】6．如图1，△ABC为等边三角形，AB＝20，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合），且∠ADE＝∠B，其中点E在边AC上．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如图2，当D运动到BC的中点时，求线段CE的长．
【思路点拔】（1）根据等边三角形的性质和∠ADE＝∠B，可得∠ADB＝∠DEC，即可求证；
（2）根据等边三角形的性质，可得BD＝CD＝10，再利用相似三角形的性质，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDG，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCG；
（2）解：由（1）得：△ABD∽△DCE，
∴，
∵△ABC为等边三角形
∴AC＝BC＝AB＝20，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD＝10，
∴，
∴CE＝5．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
类型四 “手拉手”旋转模型
方法技巧：此类题目中的两个三角形共顶点，两组边对应成比例且夹角相等.
【母题练方法】7．如图，，下列添加的条件不能使△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠BAD＝∠CAE B． C． D．∠ABD＝∠ACE
【思路点拔】根据相似三角形的判定定理判断求解即可．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵，
∴，
∴△ABC∽△ADE，
故A不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴△ABC∽△ADE，
故B不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵，
∴，
∴△ABC∽△ADE，
故C不符合题意；
由，∠ABD＝∠ACE，不能判定△ABC∽△ADE，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【子题练变式】8．如图1，在钝角三角形ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB的中点，点E为边BC的中点．将△BDE绕点B按逆时针方向旋转α°（0＜α＜180）．
（1）如图2，连接AD，CE．求证：△BDA∽△BEC；
（2）如图3，直线CE，AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个角的度数．
【思路点拔】（1）如图①利用三角形的中位线定理，推出DE∥AC，可得，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可；
（2）设AB与CG交点为O，由△DBA∽△EBC；得∠DAB＝∠ECB，由∠AOG＝∠COB，则∠AGC＝∠ABC＝30°．
【解答】（1）证明：由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，
∴DE∥AC，
∴，
∴如图②中，，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴∠DBA＝∠EBC，
∴△DBA∽△EBC；
（2）解：∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．
理由：如图③中，设AB交CG于点O．
∵△DBA∽△EBC，
∴∠DAB＝∠ECB，
∵∠DAB+∠AOG+∠AGC＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，
∴∠AGC＝∠ABC＝30°．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，证明△BDA∽△BEC是解题的关键．

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