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第四章《图形的相似》单元提优验收卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C D B B D A A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知，下列等式错误的是（　　）
A．ad＝bc B． C． D．
【思路点拔】根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【解答】解：∵，
∴ad＝bc，，，
∴不成立，
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟记并熟练应用等式的性质是解题的关键．
2．（3分）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知AC＝50cm，则BC的长度为（　　）
A．20cm B．25cm C．30cm D．
【思路点拔】由平行线分线段成比例可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AM交AM于点D，交BN于点E，
∵BE∥AD，
∴，
∵AC＝50cm，
∴BC＝30cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例并灵活运用．
3．（3分）下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（　　）
A．点P B．点O C．点M D．点N
【思路点拔】根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可．
【解答】解：如图，连接对应点，交于点P，则两个菱形的位似中心是点P，
故选：A．
【点评】本题考查位似变换，理解位似变换的定义是解题关键．
4．（3分）如图是某景区大门部分建筑，已知AD∥BE∥CF，AC＝16m，当DF：DE＝4：3时，则AB的长是（　　）
A．10m B．11m C．12m D．13m
【思路点拔】由AD∥BE∥CF，利用平行线分线段成比例，即可求出AB的长．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，即，
∴AB＝12m．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
5．（3分）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，
∴△DEC∽△ABC，
故A不符合题意；
B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△CDE∽△CBA，
故B不符合题意；
C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，
∵，，
∴，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则下列结论正确的有（　　）
①；②；③△BCO∽△EFO；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AC∥DF，BC∥EF，再根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为1：2，
∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，BC∥EF，，
∴△AOC∽△DOF，△BCO∽△EFO，（）2，
∴，而，
故①④说法错误，②③说法正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键．
7．（3分）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（　　）
A．30cm B． C．20cm D．
【思路点拔】证明△COD∽△BOA，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解．
【解答】解：根据题意得CD∥AB，
∴△COD∽△BOA，
∴，
∵AB＝50cm，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
8．（3分）如图，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC的中点，连接EF，则（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】由BD是△ABC的中线，得AD＝CD，则S△BAD＝S△BDC，由E，F分别是BD，BC的中点，根据三角形的中位线定理得EF∥DC，EFDC，则△BEF∽△BDC，所以，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：设点B到AC边所在直线的距离为h，
∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴AD hCD h，
∴S△BAD＝S△BDC，
∵E，F分别是BD，BC的中点，
∴EF∥DC，EFDC，
∴△BEF∽△BDC，
∴，
∴，
故选：D．
【点评】此题重点考查三角形的中线的定义、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△BEF∽△BDC是解题的关键．
9．（3分）正方形ABCD边长为3，点E是CD上一点，连结BE交AC于点F．若S△CBF，则（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】过F作FH⊥BC于H，由正方形的性质推出BC＝AB＝3，DC∥AB，由S△CBFBC FH，求出FH＝1，由△CFH∽△CAB，推出，得到，由△ECF∽△BAF，推出，即可得到．
【解答】解：过F作FH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是边长为3的正方形，
∴BC＝AB＝3，DC∥AB，
∵S△CBFBC FH，
∴FH＝1，
∵FH⊥BC，AB⊥BC，
∴FH∥AB，
∴△CFH∽△CAB，
∴，
∴，
∵EC∥AB，
∴△ECF∽△BAF，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，关键是由△CFH∽△CAB，推出，得到，由△ECF∽△BAF，推出，
10．（3分）如图，把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD沿PQ，MN折叠．顶点A，B，C，D的对应点分别为A'，B'，C，D'，点B'与D重合，点A'恰与BC，MD'的交点重合．若，则AP的长为（　　）
A．cm B．（1）cm C．cm D．cm
【思路点拔】由BQ/NC＝4/3，设BQ＝4a，NC＝3a，证明△QA'B'∽△QNC'得A'B'：C'N＝B'Q：QC'，即1：3a＝4a：（4a+1），由此得a，则BQ＝B'Q＝4a＝2，CN＝C'N＝3a＝3/2，QC'＝4a+1＝3，C'Q＝B'Q+B'C'＝3，在Rt△QNC'中由勾股定理得QN，则BC＝BQ+QN+CN，设AP＝b，则AP＝A'P＝b，证明△PMA'∽△QA'B'得A'M，MD＝MB'＝A'M+A'B'，在Rt△PA'M中由勾股定理得PM，则AD＝AP+PM+MD，再根据AD＝BC得，由此解出b即可得出AP的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝1，AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵，
∴设BQ＝4a，NC＝3a，
由折叠性质得：BQ＝B'Q＝4a，CN＝C'N＝3a，AP＝A'P，MD＝MB'，AB＝A'B'＝1，B'C'＝CD＝1，∠A'B'Q＝∠B＝90°，∠NC'Q＝∠C＝90°，∠PA'B'＝∠A＝90°，
∴QC'＝B'Q+B'C'＝4a+1，
∴MB'∥NC'，
∴△QA'B'∽△QNC'，
∴A'B'：C'N＝B'Q：QC'，
即1：3a＝4a：（4a+1），
整理得：12a2﹣4a﹣1＝0，
解得：a，a（不合题意，舍去），
∴BQ＝B'Q＝4a＝2，CN＝C'N＝3a，QC'＝4a+1＝3，
∴C'Q＝B'Q+B'C'＝2+1＝3，
在Rt△QNC'中，由勾股定理得：QN，
∴BC＝BQ+QN+CN，
设AP＝b，则AP＝A'P＝b，
∵∠PA'B'＝∠A＝90°，∠A'B'Q＝∠B＝90°，
∴PA'∥B'Q，
∵AD∥BC，
∴∠MPA'＝∠PA'Q＝∠A'QB'，
∠PMA'＝∠QA'B'，
∴△PMA'∽△QA'B'，
∴A'M：A'B'＝PA'：B'Q，
即A'M：1＝b：2，
∴A'M，
∴MD＝MB'＝A'M+A'B'＝1/2b+1，
∵∠PA'B'＝∠A＝90°，
∴在Rt△PA'M中，AP＝A'P＝b，A'M，
由勾股定理得：PM，
∴AD＝AP+PM+MD，
∴，
解得：b，
∴AP＝b，
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，图形的折叠变换及其性质，相似三角形的性质，理解矩形的性质，图形的折叠变换及其性质，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图1是由若干个相似直角三角形组成的美妙螺旋线，选择其中两个相邻的直角三角形如图2所示．若AB＝7，BC＝3，∠BAC＝∠CAD，则AD的长为 　　 ．
【思路点拔】先根据勾股定理求出AC，然后证明△ACD∽△ABC，再根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝7，BC＝3，
∴，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠BAC＝∠CAD，
∴△ACD∽△ABC，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，关键是相似三角形性质的应用．
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝3：2，S△AEF＝8，则S△CDF＝ 　　 ．
【思路点拔】（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥DC，AB＝DC，然后求出△AEF和△CDF相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴△AEF∽△CDF，
∴S△AEF：S△CDF，
∵AE：EB＝3：2，
∴AE：AB＝AE：CD＝3：5，
∴S△AEF：S△CDF＝9：25，
∵S△AEF＝8，
∴S△CDF，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，由平行线判定相似三角形是最常用的方法，还利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键．
13．（4分）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则FI的长 　cm　 ．
【思路点拔】根据题意得出CI＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm，证△GIF∽△FEC，根据线段比例关系得出FI的长度即可．
【解答】解：由题知，CI＝BI﹣BC＝40﹣20＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm，
∵∠EFC+∠CEF＝90°，∠EFC+∠GFI＝90°，
∴∠CEF＝∠GFI，
∵∠ECF＝∠FIG＝90°，
∴△GIF∽△FCE，
∴，
即，
∴CE＝4FI，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，
即（4FI）2+（20﹣FI）2＝202，
解得FI或FI＝0（舍去），
故答案为：cm．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质并根据比例关系求值是解题的关键．
14．（4分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为 　　 ．
【思路点拔】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH＝CH＝2，根据勾股定理求出AH，根据线段的“黄金分割”点的定义得到CD、BE的长，求出DE的长，最后由三角形面积公式解答即可．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴BH＝CHBC＝2，
在Rt△ABH中，AH，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴CD＝BEBC4＝22，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝22+22﹣4＝48，
∴S△ADEDE AH（48）10﹣4，
故答案为：10﹣4．
【点评】本题考查的是黄金分割、等腰三角形的性质，熟记黄金比值为是解题的关键．
15．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若，CE＝1，则BE的长为 　2　 ．
【思路点拔】利用矩形的性质先求得，∠EBO＝∠ACB，再证明△BOE∽△CBA，即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴，
∴，∠EBO＝∠ACB，
∵OE⊥BD，
∴∠BOE＝∠CBA＝90°，
∴△BOE∽△CBA，
∴即，
解得BE＝2或BE＝﹣3（舍去），
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，矩形的性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
16．（4分）如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），AP为△AOC的一条中线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到△A′OP′，则PP′的长为 　或　 ．
【思路点拔】根据勾股定理求出OC，进而求出OP，分点P′在第一象限和第三象限两种情况计算，得到答案．
【解答】解：∵点A、O、C的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），
∴CA⊥OA，
∴OC5，
∵AP为△AOC的一条中线，
∴OP，
以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到△A′OP′，
则OP′＝2OP＝5，
当点P′在第一象限时，PP′＝OP′﹣OP＝5，
当点P′在第三象限时，PP′＝OP′+OP＝5，
综上所述：PP′的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查的是位似变换，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，作矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M，且矩形长HG是宽HE的2倍．
（1）求证：；
（2）试求矩形EFGH的周长．
【思路点拔】（1）由矩形的性质得HG∥EF，则可判断△AHG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）设HE＝x，HG＝2x，由（1）的结论得到，然后根据比例性质可计算出x＝12，再计算这个矩形EFGH的周长；
【解答】（1）证明：∵四边形HEFG为矩形，
∴HG∥EF，
而AD⊥BC，
∴AM⊥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴；
（2）解：设HE＝x，HG＝2x，
则，解得x＝12，
∴这个矩形EFGH的周长＝2x+4x＝6x＝72（cm）；
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用平行构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求线段的长
18．（10分）如图，△ABC的顶点与线段DF的端点，均在边长为1的正方形网格的格点上．
（1）请找一个格点E，使得△DEF∽△ABC，并画出△DEF；
（2）①△DEF与△ABC的相似比是 　　 ；
②∠ABC+∠ACB＝　45　 °．
【思路点拔】（1）结合相似三角形的判定与性质，取格点E，使DE，EF，则点E及△DEF即为所求．
（2）①由可知，△DEF与△ABC的相似比是．
②取点A关于BC的对称点M，连接BM并延长，交格点于点N，连接CM，CN，可得∠ABC+∠ACB＝∠CBM+∠BCM＝∠CMN，利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得△CMN为等腰直角三角形，则∠CMN＝45°，即可得出答案．
【解答】解：（1）由勾股定理得，AB，AC，
如图，取格点E，使DE，EF，
则，
∴△DEF∽△ABC，
则点E及△DEF即为所求．
（2）①由（1）可知，，
∴△DEF与△ABC的相似比是．
故答案为：．
②如图，取点A关于BC的对称点M，连接BM并延长，交格点于点N，连接CM，CN，
则∠BCM＝∠ACB，∠CBM＝∠ABC，
∴∠ABC+∠ACB＝∠CBM+∠BCM＝∠CMN，
由勾股定理得，MN，CN，CM，
∴MN＝CN，MN2+CN2＝CM2，
∴∠CNM＝90°，
∴△CMN为等腰直角三角形，
∴∠CMN＝45°，
即∠ABC+∠ACB＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查作图﹣相似变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键．
19．（10分）如图，点D为△ABC的边AC上一点，延长BD至点F，使得CF∥AB，点E在线段BC上，且DE∥AB，AB＝4，CF＝6．
（1）若AD＝3，求CD的长．
（2）若∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，求BD的长．
【思路点拔】（1）由△ABD∽△CFD，得到AD：CD＝AB：CF，即可求出CD的长．
（2）过E作EH⊥BD于H，由平行线的性质，等腰三角形的性质，锐角的正弦推出BD＝2DHDE，由△CDE∽△CAB，△BDE∽△BFC，推出1，即可求出DE，于是得到BDDE．
【解答】解：（1）∵AB∥CF，
∴△ABD∽△CFD，
∴AD：CD＝AB：CF，
∴3：CD＝4：6，
∴CD＝4.5．
（2）过E作EH⊥BD于H，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC60°＝30°，
∴∠BDE＝∠DBE＝30°，
∴DE＝BE，
∴BD＝2DH，
∵cos∠EDH＝cos30°，
∴DHDE，
∴BD＝2DHDE，
∵CF∥AB，DE∥AB，
∴DE∥CF，
∴△CDE∽△CAB，△BDE∽△BFC，
∴，，
∴1，
∵AB＝4，CF＝6，
∴DE，
∴BDDE．
【点评】本题考查相似三角形的判和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由△ABD∽△CFD，得到AD：CD＝AB：CF；由△CDE∽△CAB，△BDE∽△BFC推出1，由等腰三角形的性质，锐角的余弦得到BDDE．
20．（12分）某“综合与实践”小组开展测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下．
课题 测量旗杆的高度
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 皮尺，标杆
测量示意图 说明：在水平地面上直立一根标杆EF，观测者沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶端E、旗杆的顶端A在同一直线上．
测量数据 观测者与标杆的距离DF 观测者与旗杆的距离DB 标杆EF的长 观测者的眼睛离地面的距离CD
1m 18m 2.4m 1.6m
问题解决 如图，过点C作CH⊥AB于点H，交EF于点G．…
请根据以上测量结果及该小组的思路．求学校旗杆AB的高度．
【思路点拔】根据题意可得：CD＝FG＝BH＝1.6m，CG＝DF＝1m，CH＝BD＝18m，∠CGE＝∠CHA＝90°，从而可得EG＝0.8m，然后证明A字模型相似△ECG∽△ACH，从而利用相似三角形的性质求出AH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：CD＝FG＝BH＝1.6m，CG＝DF＝1m，CH＝BD＝18m，∠CGE＝∠CHA＝90°，
∵EF＝2.4m，
∴EG＝EF﹣FG＝2.4﹣1.6＝0.8（m），
∵∠ECG＝∠ACH，
∴△ECG∽△ACH，
∴，
∴，
∴AH＝14.4，
∴AB＝AH+BH＝14.4+1.6＝16（m），
∴学校旗杆AB的高度16m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
21．（12分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，DF，BE，DF与BE交于点G．已知四边形DFCE是平行四边形，且．
（1）求证：△DEG∽△CBE．
（2）若AC＝25，求线段AE，GF的长．
（3）若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积．
【思路点拔】（1）根据平行四边形的性质和相似三角形 的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质求出DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF，即可判定△ADE∽△ABC，△BFG∽△BCE，根据相似三角形的性质及比例的性质求解即可；
（3）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”及比例的性质求出S△BCE＝75，再结合比例的性质、三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形DFCE是平行四边形，
∴∠EDG＝∠C，DE∥BC，
∴∠DEG＝∠CBE，
∴△DEG∽△CBE．
（2）解：∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AC＝25，
∴AE＝10，
∴CE＝25﹣10＝15，
∵，
∴，
∵DF∥AC，
∴△BFG∽△BCE，
∴，
∴GF＝9；
（3）解：∵△BFG∽△BCE，，
∴，
∵S△BFG+S四边形GFCE＝S△BCE，
∴四边形GFCE的面积：△BCE的面积＝（25﹣9）：25＝16：25，
∵四边形GFCE的面积为48，
∴S△BCE＝75，
∵，AE+CE＝AC，
∴，
∴，
∴S△ABC＝125．
【点评】此题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
22．（14分）如图，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M．
（1）求证：△EDM∽△FBM；
（2）若F是BC的中点，BD＝12，求BM的长；
（3）若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP BP＝BF CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）先证明四边形BCDE为平行四边形，从而得到ED∥BC，于是得到∠EDB＝∠FBM，又因为∠DME＝∠BMF，从而可证明△EDM∽△FBM；
（2）根据（1）中三角形相似的比例关系即可推理得出答案．
（3）存在，先证明△PDC∽△FBP，得∠BPF＝∠PCD，根据平角的定义和三角形的内角和定理可得：∠PDC＝∠CPF，再证△ADE是等边三角形，得∠AED＝60°，可得∠CPF＝30°．
【解答】（1）证明：∵AB＝2CD，点E是AB的中点，
∴DC＝EB．
又∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠EDB＝∠FBM．
又∵∠DME＝∠BMF，
∴△EDM∽△FBM；
（2）解：∵△EDM∽△FBM，
∴，
∵F是BC的中点，
∴DE＝BC＝2BF，
∴DM＝2BM，
∴DB＝DM+BM＝3BM，
∵DB＝12，
∴BMDB12＝4；
（3）存在，∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴DC＝BC，
∵DP BP＝BF CD，
∴，
∴△PDC∽△FBP，
∴∠BPF＝∠PCD，
∵∠DPC+∠CPF+∠BPF＝180°，
∠DPC+∠PDC+∠PCD＝180°，
∴∠PDC＝∠CPF，
∵AD＝BC＝DC＝BE＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠EDB＝∠PDC＝30°，
∴∠CPF＝30°．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质和判定，掌握相似三角形的性质是解题的关键，第三问有难度，将所求的角转化为另一个∠BDC和∠AED是解决问题的关键．
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第四章《图形的相似》单元提优验收卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知，下列等式错误的是（　　）
A．ad＝bc B． C． D．
2．（3分）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知AC＝50cm，则BC的长度为（　　）
A．20cm B．25cm C．30cm D．
3．（3分）下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（　　）
A．点P B．点O C．点M D．点N
4．（3分）如图是某景区大门部分建筑，已知AD∥BE∥CF，AC＝16m，当DF：DE＝4：3时，则AB的长是（　　）
A．10m B．11m C．12m D．13m
5．（3分）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则下列结论正确的有（　　）
①；②；③△BCO∽△EFO；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（　　）
A．30cm B． C．20cm D．
8．（3分）如图，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC的中点，连接EF，则（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）正方形ABCD边长为3，点E是CD上一点，连结BE交AC于点F．若S△CBF，则（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD沿PQ，MN折叠．顶点A，B，C，D的对应点分别为A'，B'，C，D'，点B'与D重合，点A'恰与BC，MD'的交点重合．若，则AP的长为（　　）
A．cm B．（1）cm C．cm D．cm
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图1是由若干个相似直角三角形组成的美妙螺旋线，选择其中两个相邻的直角三角形如图2所示．若AB＝7，BC＝3，∠BAC＝∠CAD，则AD的长为 　 　 ．
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝3：2，S△AEF＝8，则S△CDF＝ 　 　 ．
13．（4分）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则FI的长 　 　 ．
14．（4分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为 　 　 ．
15．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若，CE＝1，则BE的长为 　 　 ．
16．（4分）如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），AP为△AOC的一条中线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到△A′OP′，则PP′的长为 　 　 ．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，作矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M，且矩形长HG是宽HE的2倍．
（1）求证：；
（2）试求矩形EFGH的周长．
18．（10分）如图，△ABC的顶点与线段DF的端点，均在边长为1的正方形网格的格点上．
（1）请找一个格点E，使得△DEF∽△ABC，并画出△DEF；
（2）①△DEF与△ABC的相似比是 　 　 ；
②∠ABC+∠ACB＝　 　 °．
19．（10分）如图，点D为△ABC的边AC上一点，延长BD至点F，使得CF∥AB，点E在线段BC上，且DE∥AB，AB＝4，CF＝6．
（1）若AD＝3，求CD的长．
（2）若∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，求BD的长．
20．（12分）某“综合与实践”小组开展测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下．
课题 测量旗杆的高度
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 皮尺，标杆
测量示意图 说明：在水平地面上直立一根标杆EF，观测者沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶端E、旗杆的顶端A在同一直线上．
测量数据 观测者与标杆的距离DF 观测者与旗杆的距离DB 标杆EF的长 观测者的眼睛离地面的距离CD
1m 18m 2.4m 1.6m
问题解决 如图，过点C作CH⊥AB于点H，交EF于点G．…
请根据以上测量结果及该小组的思路．求学校旗杆AB的高度．
21．（12分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，DF，BE，DF与BE交于点G．已知四边形DFCE是平行四边形，且．
（1）求证：△DEG∽△CBE．
（2）若AC＝25，求线段AE，GF的长．
（3）若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积．
22．（14分）如图，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M．
（1）求证：△EDM∽△FBM；
（2）若F是BC的中点，BD＝12，求BM的长；
（3）若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP BP＝BF CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．

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