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9.2.1　总体取值规律的估计
第1课时　总体取值规律的估计
1.对于频率分布直方图，下列说法中正确的是（　　）
A.小长方形的高表示取某数的频率
B.小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数
C.小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比
D.小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比
2.从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15），6；[15，20），8；[20，25），13；[25，30），35；[30，35），46；[35，40），34；[40，45），28；[45，50），15；[50，55），10；[55，60]，5.则样本在[35，60]上的频率是（　　）
A.0.69　　B.0.46 C.1　　　D.0.92
3.（2024·龙岩月考）在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b）是其中的一组，该组的频率为m，在频率分布直方图中，该组的小长方形的高为h，则｜a－b｜＝（　　）
A.hm B.
C. D.h＋m
4.某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知从左至右前4个小组的频率分别为0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分数大于或等于80分为优秀且分数为整数）（　　）
A.18篇 B.24篇
C.25篇 D.27篇
5.（多选）某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学生有60人，则下列说法正确的是（　　）
A.样本中支出在[50，60]内的频率为 0.03
B.样本中支出不少于40元的人数为132
C.n的值为200
D.若该校有2 000名学生，则约有600人支出在[50，60]内
6.（多选）（2024·周口月考）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10 000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图.
下列说法正确的是（　　）
A.月收入低于5 000元的职工有5 500名
B.如果个税起征点调整至5 000元，估计有50%的当地职工会被征税
C.月收入高于或等于7 000元的职工约为当地职工的5%
D.根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于[5 000，6 000）内
7.数据65，73，94，63，78，83，86，90，79，84的极差为　　　　.
8.在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形面积是其余4个小长方形面积之和的，且中间一组的频数为10，则样本容量是　　　　.
9.（2024·金华月考）某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是　　　　.
10.某高校在2024年的自主招生考试成绩中随机抽到100名学生的笔试成绩（满分200分），按成绩分组，得到的频率分布表如下：
组号 分组 频数 频率
第1组 [160，165） 5 0.05
第2组 [165，170） ① 0.35
第3组 [170，175） 30 ②
第4组 [175，180） 20 0.20
第5组 [180，185] 10 0.10
合计 100 1.00
（1）请先求出频率分布表中①②处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试.
11.（2024·镇江月考）某直播间从参与购物的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示，则在这200人中年龄在[25，35）的人数n及直方图中a的值是（　　）
A.n＝35，a＝0.032 B.n＝35，a＝0.32
C.n＝30，a＝0.035 D.n＝30，a＝0.35
12.（多选）供电部门对某社区1 000位居民12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则有关这1 000位居民，下列说法正确的是（　　）
A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B.12月份人均用电量在[20，30）内的有300人
C.12月份人均用电量不低于20度的有500人
D.在这1 000位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在[30，40）一组的人数为2
13.某校高一年级1 000名学生在一次考试中成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，现用比例分配的分层随机抽样方法从成绩在[40，70）内的学生中共抽取80名学生，则抽取成绩在[50，60）内的学生人数是　　　　.
14.从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本，考察成绩（均为整数，单位：分）的分布，将样本分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图，从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，最左边的一组频数为6.
（1）求样本容量；
（2）求105.5～120.5这一组的频数及频率；
（3）如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率.
15.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分，单位：分）进行统计.得到如下不完整的频率分布表和频数分布直方图.
分组 频数 频率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 0.16
[70.5，80.5） 10
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5]
合计 50
（1）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在[75.5，85.5）中的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
第1课时　总体取值规律的估计
1.C　在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比.
2.B　由题可知，样本在[35，60]上的频率应为（34＋28＋15＋10＋5）÷200＝0.46.
3.B　＝h，故｜a－b｜＝组距＝＝.
4.D　根据题中频率分布直方图可得分数大于或等于80分的频率为1－（0.05＋0.15＋0.35）＝0.45，所以被评为优秀的调查报告有60×0.45＝27（篇）.故选D.
5.BCD　设[50，60]对应小长方形的高为x，则（0.010＋0.024＋0.036＋x）×10＝1，解得x＝0.03.所以样本中支出在[50，60]内的频率为0.03×10＝0.3，A选项错误.n＝＝200，C选项正确.样本中支出不少于40元的人数为200×（0.036＋0.03）×10＝132，B选项正确.若该校有2 000名学生，则约有2 000×0.3＝600人支出在[50，60]内，D选项正确.故选B、C、D.
6.ACD　月收入低于5 000元的职工有10 000×（0.000 1＋0.000 2＋0.000 25）×1 000＝5 500（名），A正确；如果个税起征点调整至5 000元，由（0.000 25＋0.000 15＋0.000 05）×1 000×100%＝45%，可估计有45%的当地职工会被征税，B不正确；月收入高于或等于7 000元的职工约占0.000 05×1 000×100%＝5%，C正确；月收入低于5 000元的频率为0.55，低于6 000元的频率为0.8，D正确.
7.31　解析：极差为一组数据中最大值与最小值的差，由数据可知，最大值为94，最小值为63，所以极差为94－63＝31.
8.40　解析：设中间小长方形的面积为x，样本容量为n.由题意得x＝（1－x），解得x＝，即中间一组的频率为，∴＝，解得n＝40.
9.90　解析：∵样本中产品净重小于100克的频率为（0.050＋0.100）×2＝0.3，频数为36，∴样本容量为＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为（0.100＋0.150＋0.125）×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数为120×0.75＝90.
10.解：（1）由题意可知，第2组的频数为0.35×100＝35，第3组的频率为＝0.30，故①处应填35，②处应填0.30.
频率分布直方图如图.
（2）因为第3，4，5组共有60名学生，
所以利用分层随机抽样在60名学生中抽取6名学生，抽样比为＝，
故第3组应抽取30×＝3（名）学生，
第4组应抽取20×＝2（名）学生，
第5组应抽取10×＝1（名）学生，
所以第3，4，5组应抽取的学生人数分别为3，2，1.
11.C　由频率分布直方图知，年龄在[25，35）的频率为0.015×10＝0.15，所以在这200人中年龄在[25，35）的人数n＝0.15×200＝30，由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1可得，0.01×10＋0.015×10＋a×10＋0.03×10＋0.01×10＝1，解得a＝0.035.
12.ABC　根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10，20），有1 000×0.04×10＝400（人），A正确；12月份人均用电量在[20，30）内的人数为1 000×0.03×10＝300，B正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是（0.03＋0.01＋0.01）×10＝0.5，有1 000×0.5＝500（人），C正确；用电量在[30，40）内的有0.01×10×1 000＝100（人），所以在这1 000位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在[30，40）一组的人数为×10＝1，D错误.
13.30　解析：从频率分布直方图可以看出成绩在[40，50），[50，60），[60，70）内的频率之比为0.005∶0.015∶0.020＝1∶3∶4，所以抽取成绩在[50，60）内的学生人数为80×＝30.
14.解：（1）小矩形的高之比为频率之比，
∴从左到右各小组的频率之比为2∶3∶6∶4∶1，
∴最左边的一组的频率为＝，
∴样本容量＝＝＝48.
（2）105.5～120.5这一组的频率为＝，
∴频数为48×＝18.
（3）成绩大于120分的频率为＝，
∴考试成绩的优秀率约为×100%＝31.25%.
15.解：（1）如下表所示.
分组 频数 频率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 8 0.16
[70.5，80.5） 10 0.20
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5] 12 0.24
合计 50 1.00
（2）如图所示.
（3）成绩在[75.5，80.5）中的学生人数约占成绩在[70.5，80.5）中的学生人数的，
因为成绩在[70.5，80.5）中的频率为0.2，所以成绩在[75.5，80.5）中的频率约为0.1.
成绩在[80.5，85.5）中的学生人数约占成绩在[80.5，90.5）中的学生人数的，
因为成绩在[80.5，90.5）中的频率为0.32，所以成绩在[80.5，85.5）中的频率约为0.16，
所以成绩在[75.5，85.5）中的频率约为0.26.
由于有900名学生参加了这次竞赛，故该校获得二等奖的学生约为0.26×900＝234（人）.
4 / 49.2.1　总体取值规律的估计
新课程标准解读 核心素养
1.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性 数据分析
2.结合实例，能用样本估计总体的取值规律 数学运算
第1课时　总体取值规律的估计
　　与传统相机比较，在数码相机中，有一种十分实用的功能，这就是直方图显示功能.直方图就是通过在LCD上显示出来的曝光量柱形图来确定照片曝光量大小的工具，通过直方图的横轴和纵轴我们可以直观地看出拍摄的照片的曝光情况，在拍摄时能给摄影者带来很大的方便.
【问题】　你知道直方图还有哪些性质及作用吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　绘制频率分布直方图的步骤
提醒　频率分布直方图的纵轴表示，频数分布直方图的纵轴表示频数.
1.（2024·济宁月考）在频率分布直方图中，小长方形的面积等于（　　）
A.组距 B.频率
C.组数 D.频数
2.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a 的值为（　　）
A.0.02 B.0.2
C.0.04 D.0.4
3.（2024·绍兴月考）一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为　　　　.
题型一 画频率分布直方图
【例1】　为调查某校初二年级男生的身高，随机抽取40名初二男生，实测身高数据（单位：cm）如下：
171　163　163　166　166　168　168　160
168　165　171　169　167　169　151　168
170　168　160　174　165　168　174　159
167　156　157　164　169　180　176　157
162　161　158　164　163　163　167　161
（1）作出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图.
通性通法
1.在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
（1）若是整数，则＝组数；
（2）若不是整数，则的整数部分＋1＝组数.
2.绘图时，应以横轴表示分组，纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个组距为底，以各组频率除以组距的商为高，分别画成矩形，便得到频率分布直方图.
【跟踪训练】
　从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组（单位：分）及各组的频数如下：
[40，50），2；[50，60），3；[60，70），10；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，8.
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计成绩在[60，90）分的学生比例.
题型二 频率分布直方图的应用
【例2】　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？
（2）若次数在110次以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
【母题探究】
1.（变设问）在本例条件下，样本中不达标的学生人数是多少？
2.（变设问）在本例条件下，第三小组的频数是多少？
通性通法
频率分布直方图应用中的计算问题
（1）小长方形的面积＝组距×＝频率；
（2）各小长方形的面积之和等于1；
（3）＝频率，此关系式的变形为＝样本量，样本量×频率＝频数.
【跟踪训练】
　（2024·福州月考）某校100名学生期中考试语文成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求图中a的值；
（2）若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数.
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
1.用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.总体容量越大，估计越精确
B.总体容量越小，估计越精确
C.样本容量越大，估计越精确
D.样本容量越小，估计越精确
2.一个容量为20的样本数据，分组与频数如表所示：
分组 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据在[10，50）内的频率为（　　）
A.0.5 B.0.24
C.0.6 D.0.7
3.（2024·中山月考）某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人，则n，p的值分别为（　　）
A.200，0.015 B.100，0.010
C.100，0.015 D.1 000，0.010
4.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重（单位：千克）情况，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校准备报考飞行员的总人数为　　　　.
第1课时　总体取值规律的估计
【基础知识·重落实】
知识点
　最大值与最小值　左闭右开　样本量　1　频率/组距
自我诊断
1.B　由频率分布直方图中小长方形宽为组距，高为频率与组距的比值，所以小长方形的面积等于频率，故选B.
2.A　由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1，10a，0.45，10a，0.05，则0.1＋10a＋0.45＋10a＋0.05＝20a＋0.6＝1，解得a＝0.02，故选A.
3.8　解析：因为第5组的频率为0.1，故第5组的频数为0.1×40＝4，故第6组的频数为40－10－5－7－6－4＝8.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
分组 频数 频率
[149.5，153，5） 1 0.025
[153.5，157.5） 3 0.075
[157.5，161.5） 6 0.15
[161.5，165.5） 9 0.225
续表
分组 频数 频率
[165.5，169.5） 14 0.35
[169.5，173.5） 3 0.075
[173.5，177.5） 3 0.075
[177.5，181.5] 1 0.025
合计 40 1
（2）频率分布直方图如图所示.
跟踪训练
　解：（1）频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40，50） 2 0.04 0.004
[50，60） 3 0.06 0.006
[60，70） 10 0.2 0.02
[70，80） 15 0.3 0.03
[80，90） 12 0.24 0.024
[90，100] 8 0.16 0.016
合计 50 1.00 0.1
（2）频率分布直方图如图所示.
（3）学生成绩在[60，90）分的频率为0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%，所以估计成绩在[60，90）分的学生比例为74%.
【例2】　解：（1）频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为
＝0.08.
又因为第二小组的频率＝，
所以样本量＝＝＝150.
（2）由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为
×100%＝88%.
母题探究
1.解：由例2（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12.
所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18.
2.解：第三小组的频率为
＝0.34.
又因为样本量为150，
所以第三小组的频数为150×0.34＝51.
跟踪训练
　解：（1）依题意得，10×（2a＋0.02＋0.03＋0.04）＝1，
解得a＝0.005.
（2）数学成绩在[50，60）之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70）之间的人数为100×0.4×＝20，数学成绩在[70，80）之间的人数为100×0.3×＝40，数学成绩在[80，90）之间的人数为100×0.2×＝25，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为100－5－20－40－25＝10.
随堂检测
1.C　用样本频率分布估计总体频率分布时，若总体一定，则样本的容量越大，估计就越精确.
2.D　因为样本数据在[10，50）内的频数为2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，所以在[10，50）内的频率为＝0.7.
3.B　利用频率之和为1可得，p×10＝1－（0.018＋0.022＋0.025＋0.020＋0.005）×10＝0.1，解得p＝0.010，根据频率、频数、样本容量之间的关系可得，＝0.1，解得n＝100.
4.48　解析：设该校准备报考飞行员的总人数为n，第1小组的频率为a，则有a＋2a＋3a＋（0.013＋0.037）×5＝1，解得a＝0.125，所以第2小组的频率为0.25.又第2小组的频数为12，则有0.25＝，解得n＝48.
4 / 4(共68张PPT)
9.2.1　总体取值规律的估计
新课程标准解读 核心素养
1.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据
进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性 数据分析
2.结合实例，能用样本估计总体的取值规律 数学运算
第1课时　总体取值规律的估计
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　与传统相机比较，在数码相机中，有一种十分实用的功能，这就
是直方图显示功能.直方图就是通过在LCD上显示出来的曝光量柱形
图来确定照片曝光量大小的工具，通过直方图的横轴和纵轴我们可以
直观地看出拍摄的照片的曝光情况，在拍摄时能给摄影者带来很大的
方便.
【问题】　你知道直方图还有哪些性质及作用吗？
知识点　绘制频率分布
直方图的步骤
提醒　频率分布直方图的纵轴表示 ，频数分布直方图的纵轴表示频数.
1. （2024·济宁月考）在频率分布直方图中，小长方形的面积等于
（　　）
A. 组距 B. 频率
C. 组数 D. 频数
解析：　由频率分布直方图中小长方形宽为组距，高为频率与组
距的比值，所以小长方形的面积等于频率，故选B.
2. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了
100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统
计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a 的值为（　　）
A. 0.02 B. 0.2
C. 0.04 D. 0.4
解析：　由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1，10a，0.45，10a，0.05，则0.1＋10a＋0.45＋10a＋0.05＝20a＋0.6＝1，解得a＝0.02，故选A.
3. （2024·绍兴月考）一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频
数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数
为 .
解析：因为第5组的频率为0.1，故第5组的频数为0.1×40＝4，故
第6组的频数为40－10－5－7－6－4＝8.
8
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 画频率分布直方图
【例1】　为调查某校初二年级男生的身高，随机抽取40名初二男
生，实测身高数据（单位：cm）如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
（1）作出频率分布表；
解：最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151
＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
分组 频数 频率
[149.5，153，5） 1 0.025
[153.5，157.5） 3 0.075
[157.5，161.5） 6 0.15
[161.5，165.5） 9 0.225
[165.5，169.5） 14 0.35
[169.5，173.5） 3 0.075
[173.5，177.5） 3 0.075
[177.5，181.5] 1 0.025
合计 40 1
（2）画出频率分布直方图.
解：频率分布直方图如图所示.
通性通法
1. 在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
（1）若 是整数，则 ＝组数；
（2）若 不是整数，则 的整数部分＋1＝组数.
2. 绘图时，应以横轴表示分组，纵轴表示各组频率与组距的比值，以
各个组距为底，以各组频率除以组距的商为高，分别画成矩形，便
得到频率分布直方图.
【跟踪训练】
从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组（单位：分）
及各组的频数如下：
[40，50），2；[50，60），3；[60，70），10；[70，80），15；
[80，90），12；[90，100]，8.
（1）列出样本的频率分布表；
解：频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40，50） 2 0.04 0.004
[50，60） 3 0.06 0.006
[60，70） 10 0.2 0.02
[70，80） 15 0.3 0.03
[80，90） 12 0.24 0.024
[90，100] 8 0.16 0.016
合计 50 1.00 0.1
（2）画出频率分布直方图；
解：频率分布直方图如图所示.
（3）估计成绩在[60，90）分的学生比例.
解：学生成绩在[60，90）分的频率为0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝
74%，所以估计成绩在[60，90）分的学生比例为74%.
题型二 频率分布直方图的应用
【例2】　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进
行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图
（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为
2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？
解：频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频
率大小，
因此第二小组的频率为 ＝0.08.
又因为第二小组的频率＝ ，
所以样本量＝ ＝ ＝150.
（2）若次数在110次以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级
学生的达标率是多少？
解：由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为
×100%＝88%.
【母题探究】
1. （变设问）在本例条件下，样本中不达标的学生人数是多少？
解：由例2（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学
生频率为1－0.88＝0.12.
所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18.
2. （变设问）在本例条件下，第三小组的频数是多少？
解：第三小组的频率为 ＝0.34.
又因为样本量为150，
所以第三小组的频数为150×0.34＝51.
通性通法
频率分布直方图应用中的计算问题
（1）小长方形的面积＝组距× ＝频率；
（2）各小长方形的面积之和等于1；
（3） ＝频率，此关系式的变形为 ＝样本量，样本量×频
率＝频数.
【跟踪训练】
（2024·福州月考）某校100名学生期中考试语文成绩（单位：分）的
频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，
70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求图中a的值；
解：依题意得，10×（2a＋0.02＋
0.03＋0.04）＝1，
解得a＝0.005.
（2）若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数（x）与数学成
绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在
[50，90）之外的人数.
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
解：数学成绩在[50，60）之间的人数为100×0.05＝5，数学成
绩在[60，70）之间的人数为100×0.4× ＝20，数学成绩在
[70，80）之间的人数为100×0.3× ＝40，数学成绩在[80，
90）之间的人数为100×0.2× ＝25，所以数学成绩在[50，
90）之外的人数为100－5－20－40－25＝10.
1. 用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是
（　　）
A. 总体容量越大，估计越精确
B. 总体容量越小，估计越精确
C. 样本容量越大，估计越精确
D. 样本容量越小，估计越精确
解析：　用样本频率分布估计总体频率分布时，若总体一定，则
样本的容量越大，估计就越精确.
2. 一个容量为20的样本数据，分组与频数如表所示：
分组 [10，
20） [20，
30） [30，
40） [40，
50） [50，
60） [60，
70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据在[10，50）内的频率为（　　）
A. 0.5 B. 0.24
C. 0.6 D. 0.7
解析：　因为样本数据在[10，50）内的频数为2＋3＋4＋5＝
14，样本容量为20，所以在[10，50）内的频率为 ＝0.7.
3. （2024·中山月考）某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机
抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间
绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读
书时间低于10分钟的有10人，则n，p的值分别为（　　）
A. 200，0.015
B. 100，0.010
C. 100，0.015
D. 1 000，0.010
解析：　利用频率之和为1可得，p×10＝1－（0.018＋0.022＋
0.025＋0.020＋0.005）×10＝0.1，解得p＝0.010，根据频率、
频数、样本容量之间的关系可得， ＝0.1，解得n＝100.
4. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重（单位：
千克）情况，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图所
示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中
第2小组的频数为12.则该校准备报考飞行员的总人数为 .
48
解析：设该校准备报考飞行员的总人数为n，第1小组的频率为a，
则有a＋2a＋3a＋（0.013＋0.037）×5＝1，解得a＝0.125，所
以第2小组的频率为0.25.又第2小组的频数为12，则有0.25＝ ，
解得n＝48.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 对于频率分布直方图，下列说法中正确的是（　　）
A. 小长方形的高表示取某数的频率
B. 小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数
C. 小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比
D. 小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比
解析：　在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应
各组的频率，小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率
与组距的比.
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2. 从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：
[10，15），6；[15，20），8；[20，25），13；[25，30），35；
[30，35），46；[35，40），34；[40，45），28；[45，50），
15；[50，55），10；[55，60]，5.则样本在[35，60]上的频率是
（　　）
A. 0.69 B. 0.46
C. 1 D. 0.92
解析：　由题可知，样本在[35，60]上的频率应为（34＋28＋15
＋10＋5）÷200＝0.46.
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3. （2024·龙岩月考）在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干
组，[a，b）是其中的一组，该组的频率为m，在频率分布直方图
中，该组的小长方形的高为h，则｜a－b｜＝（　　）
A. hm B.
C. D. h＋m
解析：　 ＝h，故｜a－b｜＝组距＝ ＝ .
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4. 某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学
生的调查报告进行了评比，将某年级60篇学生调查报告进行整理，
分成5组并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知从左至右前4个
小组的频率分别为0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被
评为优秀的调查报告有（分数大于或等于80分为优秀且分数为整
数）（　　）
A. 18篇 B. 24篇
C. 25篇 D. 27篇
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解析：　根据题中频率分布直方图可得分数大于或等于80分的频
率为1－（0.05＋0.15＋0.35）＝0.45，所以被评为优秀的调查报
告有60×0.45＝27（篇）.故选D.
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5. （多选）某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽出了
一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在
[50，60]内的学生有60人，则下列说法正确的是（　　）
A. 样本中支出在[50，60]内的频率为 0.03
B. 样本中支出不少于40元的人数为132
C. n的值为200
D. 若该校有2 000名学生，则约有600人支出在[50，60]内
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解析：　设[50，60]对应小长方形的高为x，则（0.010＋0.024＋0.036＋x）×10＝1，解得x＝0.03.所以样本中支出在[50，60]内的频率为0.03×10＝0.3，A选项错误.n＝ ＝200，C选项正确.样本中支出不少于40元的人数为200×（0.036＋0.03）×10＝132，B选项正确.若该校有2 000名学生，则约有2 000×0.3＝600人支出在[50，60]内，D选项正确.故选B、C、D.
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6. （多选）（2024·周口月考）为征求个人所得税法修改建议，某机
构调查了10 000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了
样本的频率分布直方图.
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下列说法正确的是（　　）
A. 月收入低于5 000元的职工有5 500名
B. 如果个税起征点调整至5 000元，估计有50%的当地职工会被征税
C. 月收入高于或等于7 000元的职工约为当地职工的5%
D. 根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于
[5 000，6 000）内
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解析：　月收入低于5 000元的职工有10 000×（0.000 1＋0.000 2＋0.000 25）×1 000＝5 500（名），A正确；如果个税起征点调整至5 000元，由（0.000 25＋0.000 15＋0.000 05）×1 000×100%＝45%，可估计有45%的当地职工会被征税，B不正确；月收入高于或等于7 000元的职工约占0.000 05×1 000×100%＝5%，C正确；月收入低于5 000元的频率为0.55，低于6 000元的频率为0.8，D正确.
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7. 数据65，73，94，63，78，83，86，90，79，84的极差为 .
解析：极差为一组数据中最大值与最小值的差，由数据可知，最大
值为94，最小值为63，所以极差为94－63＝31.
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8. 在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小
长方形面积是其余4个小长方形面积之和的 ，且中间一组的频数
为10，则样本容量是 .
解析：设中间小长方形的面积为x，样本容量为n.由题意得x＝
（1－x），解得x＝ ，即中间一组的频率为 ，∴ ＝ ，解得n
＝40.
40
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9. （2024·金华月考）某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据
抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，
其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），
[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本
中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克
并且小于104克的产品个数是 .
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解析：∵样本中产品净重小于100克的频率为（0.050＋0.100）×2
＝0.3，频数为36，∴样本容量为 ＝120.∵样本中净重大于或等
于98克并且小于104克的产品的频率为（0.100＋0.150＋0.125）
×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个
数为120×0.75＝90.
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10. 某高校在2024年的自主招生考试成绩中随机抽到100名学生的笔试
成绩（满分200分），按成绩分组，得到的频率分布表如下：
组号 分组 频数 频率
第1组 [160，165） 5 0.05
第2组 [165，170） ① 0.35
第3组 [170，175） 30 ②
第4组 [175，180） 20 0.20
第5组 [180，185] 10 0.10
合计 100 1.00
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（1）请先求出频率分布表中①②处应填写的数据，并完成如图所
示的频率分布直方图；
解：由题意可知，第2组
的频数为0.35×100＝35，第3组的频率为 ＝0.30，故①处应填35，②处应填0.30.
频率分布直方图如图.
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（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试.
解：因为第3，4，5组共有60名学生，
所以利用分层随机抽样在60名学生中抽取6名学生，抽样比
为 ＝ ，
故第3组应抽取30× ＝3（名）学生，
第4组应抽取20× ＝2（名）学生，
第5组应抽取10× ＝1（名）学生，
所以第3，4，5组应抽取的学生人数分别为3，2，1.
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11. （2024·镇江月考）某直播间从参与购物的人群中随机选出200
人，并将这200人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示，
则在这200人中年龄在[25，35）的人数n及直方图中a的值是
（　　）
A. n＝35，a＝0.032
B. n＝35，a＝0.32
C. n＝30，a＝0.035
D. n＝30，a＝0.35
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解析：　由频率分布直方图知，年龄在[25，35）的频率为
0.015×10＝0.15，所以在这200人中年龄在[25，35）的人数n＝
0.15×200＝30，由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1可
得，0.01×10＋0.015×10＋a×10＋0.03×10＋0.01×10＝1，
解得a＝0.035.
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12. （多选）供电部门对某社区1 000位居民12月份人均用电情况进行
统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），
[30，40），[40，50]五组，整理得到如图所示的频率分布直方
图，则有关这1 000位居民，下列说法正确的是（　　）
A. 12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B. 12月份人均用电量在[20，30）内的有300人
C. 12月份人均用电量不低于20度的有500人
D. 在这1 000位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民
协助收费，抽到的居民用电量在[30，40）一组的人数为2
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解析：　根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10，20），有1 000×0.04×10＝400（人），A正确；12月份人均用电量在[20，30）内的人数为1 000×0.03×10＝300，B正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是（0.03＋0.01＋0.01）×10＝0.5，有1 000×0.5＝500（人），C正确；用电量在[30，40）内的有0.01×10×1 000＝100（人），所以在这1 000位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在[30，40）一组的人数为 ×10＝1，D错误.
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13. 某校高一年级1 000名学生在一次考试中成绩（单位：分）的频率
分布直方图如图所示，现用比例分配的分层随机抽样方法从成绩
在[40，70）内的学生中共抽取80名学生，则抽取成绩在[50，
60）内的学生人数是 .
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解析：从频率分布直方图可以看出成绩在[40，50），[50，
60），[60，70）内的频率之比为0.005∶0.015∶0.020＝
1∶3∶4，所以抽取成绩在[50，60）内的学生人数为80×
＝30.
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14. 从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本，考察成绩（均为整
数，单位：分）的分布，将样本分成5组，绘成如图所示的频率分
布直方图，从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，
最左边的一组频数为6.
（1）求样本容量；
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解：小矩形的高之比为频率之比，
∴从左到右各小组的频率之比为2∶3∶6∶4∶1，
∴最左边的一组的频率为 ＝ ，
∴样本容量＝ ＝ ＝48.
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（2）求105.5～120.5这一组的频数及频率；
解：105.5～120.5这一
组的频率为 ＝ ，
∴频数为48× ＝18.
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（3）如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率.
解：成绩大于120分的
频率为 ＝ ，
∴考试成绩的优秀率约为
×100%＝31.25%.
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15. 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次
“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次
竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满
分为100分，单位：分）进行统计.得到如下不完整的频率分布表
和频数分布直方图.
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分组 频数 频率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 0.16
[70.5，80.5） 10
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5]
合计 50
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（1）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；
解：如下表所示.
分组 频数 频率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 8 0.16
[70.5，80.5） 10 0.20
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5] 12 0.24
合计 50 1.00
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（2）补全频数分布直方图；
解：如图所示.
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（3）若成绩在[75.5，85.5）中的学生获得二等奖，问获得二等
奖的学生约为多少人？
解： 成绩在[75.5，80.5）中的学生人数约占成绩在[70.5，80.5）中的学生人数的 ，
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因为成绩在[70.5，80.5）中的频率为0.2，所以成绩在[75.5，80.5）中的频率约为0.1.
成绩在[80.5，85.5）中的学生人数约占成绩在[80.5，90.5）中的学生人数的 ，
因为成绩在[80.5，90.5）中的频率为0.32，所以成绩在[80.5，85.5）中的频率约为0.16，
所以成绩在[75.5，85.5）中的频率约为0.26.
由于有900名学生参加了这次竞赛，故该校获得二等奖的学生约为0.26×900＝234（人）.
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谢 谢 观 看！

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