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10.1.3　古典概型
第1课时　古典概型的定义及概率计算
1.下列试验是古典概型的是（　　）
A.口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球
B.在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D.某人射击中靶或不中靶
2.同时掷两枚硬币，“至少出现一枚正面向上”的概率是（　　）
A.　　　　　　　　B.
C. D.
3.我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（　　）
A. B.
C. D.
4.同时掷两个骰子，则向上的点数之和是4的概率为（　　）
A. B.
C. D.
5.（2024·中山月考）从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，则它们过正六边形中心的概率等于（　　）
A. B.
C. D.
6.（2024·江门月考）从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是（　　）
A. B.
C. D.
7.从集合{a，b，c，d}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b}的子集的概率是　　　　.
8.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为　　　　石（结果保留整数）.
9.有1号、2号、3号共3个信箱和A，B，C，D共4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，则A信投入1号或2号信箱的概率是　　　　.
10.一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
（1）共有多少个样本点？
（2）摸出的2个球都是白球的概率是多少？
11.（2024·泉州月考）先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为（　　）
A. B.
C. D.
12.（2024·泰安月考）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a－b｜≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（　　）
A. B.
C. D.
13.设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0，1，2，3这四个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，则上述方程有实数根的概率是　　　　　.
14.书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中任取两本，试求下列事件的概率：
（1）取出的书不成套；
（2）取出的书均为上册；
（3）取出的书上、下册各一本，但不成套.
15.（2024·金华月考）某学校成立三个社团，共60人参加，A社团有39人，B社团有33人，C社团有32人，同时只参加A，B社团的有10人，同时只参加A，C社团的有11人，三个社团都参加的有8人.随机选取1人，则他参加不超过两个社团的概率为　　　　.
16.某县有特级教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6名特级教师中选出3名教师组成下届教师职称评审团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中每校至多选出1名.
（1）请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点；
（2）求教师A1被选中的概率；
（3）求评审团中没有乙校教师的概率.
第1课时　古典概型的定义及概率计算
1.C　对于A，取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不是古典概型；对于B，一次试验的结果有无限个，故不是古典概型；对于C，满足古典概型特征，是古典概型；对于D，两个样本点发生的可能性可能不同，故不是古典概型.
2.D　同时掷两枚硬币，向上的面的情形有：正正，正反，反正，反反，共4种，其中“至少出现一枚正面向上”含有正反，反正及正正三个基本事件，所以概率为P＝.故选D.
3.B　甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，共有四个样本点，甲抽到绘制夏季6幅彩绘是其中一个样本点，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为.
4.C　同时抛掷两个骰子，则两个骰子点数之和如下表所示：
由上表可知，共有36种情况，其中点数之和是4的有3个，故所求概率P＝＝.
5.D　从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，有线段AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15条，其中过正六边形中心的有AD，BE，CF共3条，所以过正六边形中心的概率等于＝.故选D.
6.C　设两个白球为a1，a2，两个黑球为b1，b2，则从4个球中任取2个球有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），6种等可能结果，其中至少摸到一个黑球有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），5种等可能结果，故至少摸到一个黑球的概率P＝.故选C.
7.　解析：集合{a，b，c，d}的子集有16个，其中 ，{a}，{b}，{a，b}这4个集合是{a，b}的子集，因此所求概率为＝.
8.169　解析：因为254粒内夹谷28粒，所以这批米内夹谷的概率为＝，所以这批米内夹谷为1 534×≈169.
9.　解析：由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果.投入1号或2号信箱是其中的2种结果，故A信投入1号或2号信箱的概率为.
10.解：（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2个球，有如下样本点（摸到1，2号球用（1，2）表示）：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.因此，共有10个样本点.
（2）上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到2个白球（记为事件A），
即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）＝.
故摸出2个球都是白球的概率为.
11.C　所有样本点的个数为36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝＝.
12.D　记“｜a－b｜≤1”为事件A，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，列表如下：
则事件A包含的样本点共16个，又依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等，因此他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.
13.　解析：∵关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有解.∴Δ＝4a2－4b2≥0，即a2≥b2，由题a是从0，1，2，3中任取的一个数，b是从0，1，2中任取的一个数，故总共有12个样本点，当a＝0，b＝0；a＝1，b＝0，1；a＝2，b＝0，1，2；a＝3，b＝0，1，2时满足a2≥b2，∴方程有实根的情况有9种，故方程有实根的概率为＝.
14.解：设第一套书的上、下册分别记为A1，A2，第二套书的上、下册分别记为B1，B2，第三套书的上、下册分别记为C1，C2.
不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}，共含有15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率.
（1）设事件A表示“取出的书不成套”，
则A＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}，样本点有12个，
故P（A）＝＝.
（2）设事件B表示“取出的书均为上册”，
则B＝{A1B1，A1C1，B1C1}，样本点有3个，
故P（B）＝＝.
（3）设事件C表示“取出的书上、下册各一本，但不成套”，
则C＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}，样本点有6个，故P（C）＝＝.
15.　解析：由Venn图可求得参加各社团的情况如图所示，参加不超过两个社团的概率P＝＝.
16.解：（1）从6名特级教师中选出3名教师组成评审团，树状图如图所示，
故组成人员的全部样本点为（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），（A1，B2，D），（A1，C，D），（A2，B1，C），（A2，B1，D），（A2，B2，C），（A2，B2，D），（A2，C，D），（B1，C，D），（B2，C，D）.
（2）在组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），（A1，B2，D），（A1，C，D），共5个，
所以教师A1被选中的概率为.
（3）评审团中没有乙校教师的样本点有（A1，C，D），（A2，C，D），共2个，
所以评审团中没有乙校教师的概率为＝.
2 / 210.1.3　古典概型
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，理解古典概型 数学抽象
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率 数学运算
第1课时　古典概型的定义及概率计算
　　据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜.于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”.骰子停定，正好重四.唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的.因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色.
【问题】　你能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　古典概型
1.事件的概率
对随机事件发生可能性大小的　　　　　　称为事件的概率，事件A的概率用　　　　表示.
2.古典概型的定义
试验E具有如下共同特征：
（1）有限性：样本空间的样本点只有　　　个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性　　　　.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
3.古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）＝　　　　＝　　　　.其中，n（A）和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
提醒　若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验还不能判断是古典概型，还必须满足每个样本点出现的可能性相等.
【想一想】
　掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率.这个概率模型是古典概型吗？
1.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取到白球的概率为（　　）
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.（多选）下列试验中是古典概型的为（　　）
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等
B.同时掷两颗骰子，点数和为6的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人随机站成一排，其中甲、乙相邻的概率
3.从2，4，5，7这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是　　　　　.
题型一 古典概型的判断
【例1】　（多选）下列试验是古典概型的是（　　）
A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B.口袋里有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球，从中任取一球为白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
通性通法
判断一个试验是不是古典概型的步骤
（1）明确试验及其结果；
（2）判断所有结果（即样本点）是否有限；
（3）判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验.另外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言.
【跟踪训练】
　下列概率模型中属于古典概型的是（　　）
A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B.某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C.某小组有男生6人，女生4人，从中任选1人当组长
D.一只使用中的灯泡寿命长短
题型二 古典概型的概率计算
角度1　列举法求古典概型的概率
【例2】　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求：
（1）样本空间的样本点的总数n；
（2）事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
（3）摸出2个黑球的概率.
通性通法
应用列举法求古典概型概率的三个步骤
此方法适合于较为简单的古典概型问题.
角度2　树状图法求古典概型的概率
【例3】　（2024·信阳月考）甲、乙、丙三人互传一个篮球，持球者随机将球传给无球者之一.由甲开始持球传递，经过4次传递后，篮球回到甲手上的概率是（　　）
A. B.
C. D.
通性通法
树状图法的应用
　　先明确一次试验的几个步骤及顺序，使用树状图列举出一次试验的所有可能结果（即把样本点一一列举出来），求出所求事件和样本空间的样本点个数，然后代入古典概型概率公式求解.树状图法便于分析样本点间的关系，适用于较复杂的问题.
角度3　列表法求古典概型的概率
【例4】　先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
（1）求点数之和为7的概率；
（2）求掷出两个4点的概率；
（3）求点数之和能被3整除的概率.
通性通法
列表法的应用
　　利用表格的形式列出所有的样本点，通常用来解决试验中包含两个元素，且试验结果比较多的概率求解问题，表格的行与列分别表示不同的元素，根据试验的要求直接在表格中列出相应的结果，这种方法直观、简洁，不易出错.
角度4　图示法求古典概型的概率
【例5】　市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，调查的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种都订的有150户，则两种报纸都不订的概率为　　　　.
通性通法
　　从集合观点看，在一次试验中等可能出现的结果组成全集I，即card（I）＝n，而事件A所包含的k个结果组成I的一个子集，即card（A）＝k，则有P（A）＝，因此可建立事件与集合的关系，借助Venn图的直观性来研究事件，且便于弄清各种事件间的关系，并易确定n，k的值.
【跟踪训练】
1.从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（　　）
A.　 B.
C. D.
2.甲、乙、丙、丁四人随机地排成一行，则甲、乙两人相邻，丙、丁两人不相邻的概率为（　　）
A. B.
C. D.
3.每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者5名，其中男生3名，女生2名，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为　　　　.
1.在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是（　　）
A.0.02　 B.0.05 C.0.1　　D.0.9
2.（多选）下列有关古典概型的说法正确的有（　　）
A.试验的样本空间的样本点总数有限
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P（A）＝
3.从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，则甲、乙均不被选中的概率为　　　　.
4.（2024·三明月考）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是　　　　.
第1课时　古典概型的定义及概率计算
【基础知识·重落实】
知识点
1.度量（数值）　P（A）　2.（1）有限　
（2）相等　3.　
想一想
　提示：不是.因为骰子不均匀，所以每个样本点出现的可能性不相等.
自我诊断
1.A　从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一球，有15种取法，其中取到白球的有6种取法，所以取到白球的概率为＝.故选A.
2.ABD　由古典概型的定义和特点知：A、B、D是古典概型，C不是古典概型，因为不符合等可能性.故选A、B、D.
3.　解析：从2，4，5，7这4个数中一次随机抽取两个数的所有样本点为（2，4），（2，5），（2，7），（4，5），（4，7），（5，7），共6个，所取2个数之和为9的样本点为（2，7），（4，5），共2个，故所求概率P＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　BD　对于A：在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；对于B：从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；对于C：向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；对于D：老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.故选B、D.
跟踪训练
　C　对于A，不属于古典概型，因为所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；对于B，不属于古典概型，因为命中0环，1环，2环，…，10环的概率不相同，不满足等可能性；对于C，属于古典概型，该事件显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；对于D，不属于古典概型，因为灯泡的寿命是任意一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性.故选C.
【例2】　解：由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.
（1）将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，
样本空间Ω＝{（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑1，白），（黑2，黑3），（黑2，白），（黑3，白）}，共6个样本点，所以n＝6.
（2）事件“摸出2个黑球”＝{（黑1，黑2），（黑2，黑3），（黑1，黑3）}，共3个样本点.
（3）样本点总数n＝6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为.
【例3】　C　画树状图如图所示，
由树状图知，共有16种等可能结果，其中第4次传球后球回到甲手中的有6种结果，所以第4次传球后球回到甲手中的概率为＝.
【例4】　解：抛掷两枚质地均匀的骰子，其情况如表所示：
（1）记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个，分别为（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），
故P（A）＝＝.
（2）记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即（4，4），故P（B）＝.
（3）记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个，分别为（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（6，6）.故P（C）＝＝.
【例5】　0.038　解析：记500户居民组成的集合为U，订阅晨报的居民的全体为集合A，订阅晚报的居民的全体为集合B，如图所示，由题意及图知两种报纸至少订阅一种的有334＋297－150＝481（户），从而两种都不订的有500－481＝19（户）.故两种报纸都不订的概率为＝0.038.
跟踪训练
1.C　从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3种选法，其中乙被选中有2种选法，故乙被选中的概率为.故选C.
2.B　根据题意，列出所有等可能的情况，如图所示.故所有排列共有24种情况，其中甲、乙两人相邻，丙、丁两人不相邻共有4种情况（画“√”的情况）.故所求概率P＝＝.
3.　解析：设3名男生分别用A，B，C表示，2名女生分别用a，b表示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）}，共有10个样本点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有（A，B），（A，C），（B，C），（a，b），共有4个，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为P＝＝.
随堂检测
1.C　由题意知，在50瓶牛奶中任取1瓶，有50个样本点，取到已过保质期的牛奶包括5个样本点，根据古典概型概率计算公式求得概率是＝0.1.
2.ACD　由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.故A、C正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确.故选A、C、D.
3.　解析：从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，有：甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊，共10种选法，其中甲、乙均不被选中的有3种，所以所求事件的概率为.
4.　解析：此试验的样本空间Ω＝{（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则A＝{（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）}，共有3个样本点，故P（A）＝＝.
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10.1.3　古典概型
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，理解古典概型 数学抽象
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率 数学运算
第1课时　古典概型的定义及概率计算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况
不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜.
于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”.骰子停定，正好重四.
唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱
用的.因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色.
【问题】　你能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？
知识点　古典概型
1. 事件的概率
对随机事件发生可能性大小的 称为事件的概率，
事件A的概率用 表示.
度量（数值）　
P（A）　
2. 古典概型的定义
试验E具有如下共同特征：
（1）有限性：样本空间的样本点只有 个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性 .
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，
简称古典概型.
有限　
相等　
3. 古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件
A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）＝
＝ .其中，n（A）和n（Ω）分别表示事件A和样本空
间Ω包含的样本点个数.
提醒　若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则
该试验还不能判断是古典概型，还必须满足每个样本点出现的
可能性相等.
　
　
【想一想】
掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率.这个概率模型
是古典概型吗？
提示：不是.因为骰子不均匀，所以每个样本点出现的可能性不
相等.
1. 袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取到白球
的概率为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一
球，有15种取法，其中取到白球的有6种取法，所以取到白球的概
率为 ＝ .故选A.
2. （多选）下列试验中是古典概型的为（　　）
A. 从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相
等
B. 同时掷两颗骰子，点数和为6的概率
C. 近三天中有一天降雨的概率
D. 10人随机站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解析：由古典概型的定义和特点知：A、B、D是古典概型，C不是古典概型，因为不符合等可能性.故选A、B、D.
3. 从2，4，5，7这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和
为9的概率是 .
解析：从2，4，5，7这4个数中一次随机抽取两个数的所有样本点
为（2，4），（2，5），（2，7），（4，5），（4，7），（5，
7），共6个，所取2个数之和为9的样本点为（2，7），（4，5），
共2个，故所求概率P＝ ＝ .

典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 古典概型的判断
【例1】　（多选）下列试验是古典概型的是（　　）
A. 在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B. 口袋里有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球，从中任取一球
为白球的概率
C. 向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D. 老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的
概率
解析：　对于A：在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符
合等可能性；对于B：从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球
或黑球的概率是等可能的；对于C：向一个圆面内部随机地投一个
点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；对于D：老师从甲、乙、
丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可
能的.故选B、D.
通性通法
判断一个试验是不是古典概型的步骤
（1）明确试验及其结果；
（2）判断所有结果（即样本点）是否有限；
（3）判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验.另
外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言.
【跟踪训练】
下列概率模型中属于古典概型的是（　　）
A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任
取一点
B. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C. 某小组有男生6人，女生4人，从中任选1人当组长
D. 一只使用中的灯泡寿命长短
解析：　对于A，不属于古典概型，因为所有横坐标和纵坐标都是
整数的点有无限多个，不满足有限性；对于B，不属于古典概型，因
为命中0环，1环，2环，…，10环的概率不相同，不满足等可能性；
对于C，属于古典概型，该事件显然满足有限性，且任选1人与学生的
性别无关，是等可能的；对于D，不属于古典概型，因为灯泡的寿命
是任意一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性.故选C.
题型二 古典概型的概率计算
角度1　列举法求古典概型的概率
【例2】　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3
个黑球，从中摸出2个球.求：
（1）样本空间的样本点的总数n；
解：由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等
的，所以是古典概型.
将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，
样本空间Ω＝{（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑1，白），
（黑2，黑3），（黑2，白），（黑3，白）}，共6个样本点，
所以n＝6.
（2）事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
解：事件“摸出2个黑球”＝{（黑1，黑2），（黑2，黑3），
（黑1，黑3）}，共3个样本点.
（3）摸出2个黑球的概率.
解：样本点总数n＝6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点个
数m＝3，故P＝ ＝ ，即摸出2个黑球的概率为 .
通性通法
应用列举法求古典概型概率的三个步骤
此方法适合于较为简单的古典概型问题.
角度2　树状图法求古典概型的概率
【例3】　（2024·信阳月考）甲、乙、丙三人互传一个篮球，持球者
随机将球传给无球者之一.由甲开始持球传递，经过4次传递后，篮球
回到甲手上的概率是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　画树状图如图所示，
由树状图知，共有16种等可能结果，其中第4次传球后球回到甲手中
的有6种结果，所以第4次传球后球回到甲手中的概率为 ＝ .
通性通法
树状图法的应用
　　先明确一次试验的几个步骤及顺序，使用树状图列举出一次试验
的所有可能结果（即把样本点一一列举出来），求出所求事件和样本
空间的样本点个数，然后代入古典概型概率公式求解.树状图法便于
分析样本点间的关系，适用于较复杂的问题.
角度3　列表法求古典概型的概率
【例4】　先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
（1）求点数之和为7的概率；
解：抛掷两枚质地均匀的骰子，其情况如表所示：
记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个，分别为（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），故P（A）＝ ＝ .
（2）求掷出两个4点的概率；
解：记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包
含的样本点只有1个，即（4，4），故P（B）＝ .
（3）求点数之和能被3整除的概率.
解：记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本
点共12个，分别为（1，2），（2，1），（1，5），（5，
1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），
（4，5），（5，4），（6，6）.故P（C）＝ ＝ .
通性通法
列表法的应用
　　利用表格的形式列出所有的样本点，通常用来解决试验中包含两
个元素，且试验结果比较多的概率求解问题，表格的行与列分别表示
不同的元素，根据试验的要求直接在表格中列出相应的结果，这种方
法直观、简洁，不易出错.
角度4　图示法求古典概型的概率
【例5】　市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取
向，抽样调查了500户居民，调查的结果显示：订阅晨报的有334户，
订阅晚报的有297户，其中两种都订的有150户，则两种报纸都不订的
概率为 .
0.038
解析：记500户居民组成的集合为U，订阅晨报的居民的全体为集合A，订阅晚报的居民的全体为集合B，如图所示，由题意及图知两种报纸至少订阅一种的有334＋297－150＝481（户），从而两种都不订的有500－481＝19（户）.故两种报纸都不订的概率为 ＝0.038.
通性通法
　　从集合观点看，在一次试验中等可能出现的结果组成全集I，即
card（I）＝n，而事件A所包含的k个结果组成I的一个子集，即card
（A）＝k，则有P（A）＝ ，因此可建立事件与集合的关
系，借助Venn图的直观性来研究事件，且便于弄清各种事件间的关
系，并易确定n，k的值.
【跟踪训练】
1. 从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选
中的概率为（　　）
A. B. C. D.
解析：　从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞
赛，共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3种选法，其中乙
被选中有2种选法，故乙被选中的概率为 .故选C.
2. 甲、乙、丙、丁四人随机地排成一行，则甲、乙两人相邻，丙、丁
两人不相邻的概率为（　　）
A. B. C. D.
解析：　根据题意，列出所有等可能的情况，如图所示.故所有
排列共有24种情况，其中甲、乙两人相邻，丙、丁两人不相邻共有
4种情况（画“√”的情况）.故所求概率P＝ ＝ .
3. 每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者5名，其中男生3名，
女生2名，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出
的2名青年志愿者性别相同的概率为 .

解析：设3名男生分别用A，B，C表示，2名女生分别用a，b表
示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{（A，B），
（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），
（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）}，共有10个样本
点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有（A，B），
（A，C），（B，C），（a，b），共有4个，则选出的2名青
年志愿者性别相同的概率为P＝ ＝ .
1. 在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经
过保质期的牛奶的概率是（　　）
A. 0.02 B. 0.05
C. 0.1 D. 0.9
解析：　由题意知，在50瓶牛奶中任取1瓶，有50个样本点，取
到已过保质期的牛奶包括5个样本点，根据古典概型概率计算公式
求得概率是 ＝0.1.
2. （多选）下列有关古典概型的说法正确的有（　　）
A. 试验的样本空间的样本点总数有限
B. 每个事件出现的可能性相等
C. 每个样本点出现的可能性相等
D. 已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发
生的概率P（A）＝
解析：　由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.故A、C正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确.故选A、C、D.
3. 从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，则
甲、乙均不被选中的概率为 .
解析：从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工
作，有：甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙
戊，丁戊，共10种选法，其中甲、乙均不被选中的有3种，所以所
求事件的概率为 .

4. （2024·三明月考）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取
出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .
解析：此试验的样本空间Ω＝{（2，3，4），（2，3，5），（2，
4，5），（3，4，5）}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三
角形”，则A＝{（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）}，共
有3个样本点，故P（A）＝ ＝ .

知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列试验是古典概型的是（　　）
A. 口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球
B. 在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D. 某人射击中靶或不中靶
解析：　对于A，取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不
是古典概型；对于B，一次试验的结果有无限个，故不是古典概
型；对于C，满足古典概型特征，是古典概型；对于D，两个样本
点发生的可能性可能不同，故不是古典概型.
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2. 同时掷两枚硬币，“至少出现一枚正面向上”的概率是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　同时掷两枚硬币，向上的面的情形有：正正，正反，反
正，反反，共4种，其中“至少出现一枚正面向上”含有正反，反
正及正正三个基本事件，所以概率为P＝ .故选D.
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3. 我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节
气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院
甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位
同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的
前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务
中选一个季节的6幅彩绘绘制，共有四个样本点，甲抽到绘制夏季6
幅彩绘是其中一个样本点，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为 .
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4. 同时掷两个骰子，则向上的点数之和是4的概率为（　　）
A. B. C. D.
解析：同时抛掷两个骰子，则两个骰子点数之和如下表所示：
由表可知，共有36种情况，其中点数之和是4的有3个，故所求概率P＝ ＝ .
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5. （2024·中山月考）从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成
线段，则它们过正六边形中心的概率等于（　　）
A. B.
C. D.
解析：　从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，有
线段AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15条，其中过正六边形中心的有AD，BE，CF共3条，所以过正六边形中心的概率等于 ＝ .故选D.
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6. （2024·江门月考）从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意
摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　设两个白球为a1，a2，两个黑球为b1，b2，则从4个球中
任取2个球有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，
b1），（a2，b2），（b1，b2），6种等可能结果，其中至少摸到
一个黑球有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，
b2），（b1，b2），5种等可能结果，故至少摸到一个黑球的概率
P＝ .故选C.
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7. 从集合{a，b，c，d}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合
{a，b}的子集的概率是 .
解析：集合{a，b，c，d}的子集有16个，其中 ，{a}，{b}，
{a，b}这4个集合是{a，b}的子集，因此所求概率为 ＝ .

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8. 我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓
收粮，有人送来米1 534石，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28
粒，则这批米内夹谷约为 石（结果保留整数）.
解析：因为254粒内夹谷28粒，所以这批米内夹谷的概率为 ＝
，所以这批米内夹谷为1 534× ≈169.
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9. 有1号、2号、3号共3个信箱和A，B，C，D共4封信，若4封信可
以任意投入信箱，投完为止，则A信投入1号或2号信箱的概率
是 .
解析：由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的
可能性是相等的，一共有3种不同的结果.投入1号或2号信箱是其中
的2种结果，故A信投入1号或2号信箱的概率为 .

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10. 一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中
一次摸出2个球.
（1）共有多少个样本点？
解：分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2个球，有如下样本点（摸到1，2号球用（1，2）表示）：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），
（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.因
此，共有10个样本点.
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（2）摸出的2个球都是白球的概率是多少？
解：上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到2个白球（记为事件A），
即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）＝ .
故摸出2个球都是白球的概率为 .
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11. （2024·泉州月考）先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（它们的
六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数
分别为x，y，则log2xy＝1的概率为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　所有样本点的个数为36.由log2xy＝1得2x＝y，其中
x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或
故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率
为P＝ ＝ .
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12. （2024·泰安月考）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个
数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为
b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a－b｜≤1，就称
甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵
犀”的概率为（　　）
A. B. C. D.
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解析：　记“｜a－b｜≤1”为事件A，由于a，b∈{1，2，3，
4，5，6}，列表如下：
则事件A包含的样本点共16个，又
依题意得，样本点总数为36，且每
个样本点出现的可能性相等，因此
他们“心有灵犀”的概率为P＝
＝ .
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13. 设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0，1，2，3这
四个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个
数，则上述方程有实数根的概率是 .

解析：∵关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有解.∴Δ＝4a2－
4b2≥0，即a2≥b2，由题a是从0，1，2，3中任取的一个数，b是
从0，1，2中任取的一个数，故总共有12个样本点，当a＝0，b＝
0；a＝1，b＝0，1；a＝2，b＝0，1，2；a＝3，b＝0，1，2时
满足a2≥b2，∴方程有实根的情况有9种，故方程有实根的概率为
＝ .
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14. 书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中
任取两本，试求下列事件的概率：
（1）取出的书不成套；
解：设第一套书的上、下册分别记为A1，A2，第二套书的
上、下册分别记为B1，B2，第三套书的上、下册分别记为
C1，C2.
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不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}，共含有15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率.
（1）设事件A表示“取出的书不成套”，则A＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}，样本点有12个，故P（A）＝ ＝ .
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（2）取出的书均为上册；
解：设事件B表示“取出的书均为上册”，
则B＝{A1B1，A1C1，B1C1}，样本点有3个，
故P（B）＝ ＝ .
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（3）取出的书上、下册各一本，但不成套.
解： 设事件C表示“取出的书上、下册各一本，但不成套”，
则C＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}，样本点
有6个，故P（C）＝ ＝ .
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15. （2024·金华月考）某学校成立三个社团，共60人参加，A社团有
39人，B社团有33人，C社团有32人，同时只参加A，B社团的有
10人，同时只参加A，C社团的有11人，三个社团都参加的有8
人.随机选取1人，则他参加不超过两个社团的概率为 .

解析：由Venn图可求得参加各社团的情况如图所示，参加不超过两个社团的概率P＝ ＝ .
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16. 某县有特级教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲
校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁
校教师记为D. 现从这6名特级教师中选出3名教师组成下届教师
职称评审团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中每校至多选出1名.
（1）请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点；
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解：从6名特级教师中选出3名教师组成评审团，树状图如图所示，
故组成人员的全部样本点为（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），（A1，B2，D），（A1，C，D），（A2，B1，C），（A2，B1，D），（A2，B2，C），（A2，B2，D），（A2，C，D），（B1，C，D），（B2，C，D）.
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（2）求教师A1被选中的概率；
解：在组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点
有（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），
（A1，B2，D），（A1，C，D），共5个，
所以教师A1被选中的概率为 .
（3）求评审团中没有乙校教师的概率.
解：评审团中没有乙校教师的样本点有（A1，C，D），（A2，C，D），共2个，
所以评审团中没有乙校教师的概率为 ＝ .
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