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(共64张PPT)
4.2.1　等差数列的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等差数列、等差中项的
概念 数学抽象
2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解
决一些简单的问题 逻辑推理、
数学运算
3.体会等差数列与一元一次函数的关系 数学抽象、
数学建模
第1课时
等差数列的概念及通项公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
（1）我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年
开始，龙年的年份为2024，2036， 2048，2060，2072，
2084，…；
（2）我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚
长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，
250，…；
（3）2024年1月中，每个星期一的日期为1，8，15，22，29.
【问题】　这些数列的后一项与前一项之间的关系是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　
知识点一　等差数列的概念
文字
语言 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的
的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差
数列，这个 叫做等差数列的公差，公差通常用字
母 表示
符号
语言 an＋1－ an ＝ d （ d 为常数， n ∈N*）
2　
前一
项　
同一个常数　
常数　
d 　
提醒　对等差数列概念的再理解：①“从第2项起”是指第1项前面没
有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②“每一项与它
的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调
了：（ⅰ）作差的顺序；（ⅱ）这两项必须相邻；③定义中的“同一个
常数”是指全部的后一项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数
列不能称为等差数列.
知识点二　等差中项
1. 条件：如果三个数 a ， A ， b 成 数列.
2. 结论：那么 A 叫做 a 与 b 的等差 .
3. 满足的关系式：2 A ＝ .
等差　
中项　
a ＋ b 　
【想一想】
　任何两个数都有等差中项吗？
提示：任何两个数都有等差中项.
知识点三　等差数列的通项公式
　首项为 a1，公差为 d 的等差数列{ an }的通项公式为 an ＝
.
提醒　由等差数列的通项公式 an ＝ a1＋（ n －1） d 可得 an ＝ dn ＋
（ a1－ d ），如果设 p ＝ d ， q ＝ a1－ d ，那么 an ＝ pn ＋ q ，其中 p ， q
是常数.当 p ≠0时， an 是关于 n 的一次函数；当 p ＝0时， an ＝ q ，等
差数列为常数列.
a1＋（ n
－1） d 　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列4，4，4，…是等差数列. （　√　）
（2）数列{ an }的通项公式为 an ＝则{ an }是等差数
列. （　×　）
（3）若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这
个数列是等差数列. （　×　）
（4）若三个数 a ， b ， c 满足 a ＋ c ＝2 b ，则 a ， b ， c 一定是等差
数列. （　√　）
√
×
×
√
2.2与8的等差中项是（　　）
A. －5 B. 5
C. 4 D. ±4
解析：　设2与8的等差中项是 x ，则2 x ＝2＋8，解得 x ＝5.
3. 已知数列 是等差数列，且 a1＝2， a3＝6，则该等差数列的公差
d ＝（　　）
A. B. 1
C. D. 2
解析：　由等差数列的定义可知 a2－ a1＝ a3－ a2，所以 a2＝4，故
公差 d ＝ a2－ a1＝2.
4. 已知等差数列{ an }的通项公式为 an ＝3－4 n ，则数列{ an }的首项与
公差分别是（　　）
A. 1，4 B. －1，－4
C. 4，1 D. －4，－1
解析：　 n ＝1时， a1＝－1， n ＝2时， a2＝3－4×2＝－5，所以
公差 d ＝ a2－ a1＝－4.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差数列的概念
【例1】　（多选）下列数列是等差数列的是（　　）
A. an ＝－2 n ＋3（ n ∈N*）
B. 4，7，10，13，16
C. ， ，1， ，
D. －3，－2，－1，1，2
解析： 　A项，由 an ＝－2 n ＋3（ n ∈N*），则 a1＝1， a2＝－
1， a3＝－3，…，由等差数列的定义，故是等差数列；B项 d ＝3，故
是等差数列；C项 d ＝ ，故是等差数列；D项每一项与前一项的差不
是同一个常数，故不是等差数列.
通性通法
利用定义判断等差数列的策略
　　从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同
一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
【跟踪训练】
　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项 a1和公差 d .
（1）1，3，5，7，9，…；
解： 是， a1＝1， d ＝2.
（2）9，6，3，0，－3，…；
解： 是， a1＝9， d ＝－3.
（3）1，3，4，5，6，…；
解： 不是.
（4）7，7，7，7，7，…；
解： 是， a1＝7， d ＝0.
（5）1， ， ， ， ，….
解：不是.
题型二 等差中项及应用
【例2】　（1）已知 a ＋3是2 a －1和2 a ＋1的等差中项，则3 a －5和4
a ＋6的等差中项为 ；
解析： 因为 a ＋3是2 a －1和2 a ＋1的等差中项，所以2（ a
＋3）＝（2 a －1）＋（2 a ＋1），解得 a ＝3，则3 a －5＝4，4 a
＋6＝18，所以3 a －5和4 a ＋6的等差中项为 ＝11.
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（2）（2024·洛阳月考）已知△ ABC 的三边 a ， b ， c 成等差数列，
， ， 也成等差数列，则△ ABC 的形状为
.
解析： 因为 a ， b ， c 成等差数列， ， ， 也成等
差数列，所以则4 b ＝（ ＋ ）2＝ a ＋ c ＋
2 ，即 a ＋ c ＝2 ，所以（ － ）2＝0，故 a ＝ c ＝ b .
所以△ ABC 为等边三角形.
等边三角
形
通性通法
等差中项的应用策略
（1）求两个数 x ， y 的等差中项 A ，即根据等差中项的定义得 A ＝
；
（2）证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即
可，即若 a ， b ， c 成等差数列，则有 a ＋ c ＝2 b ；反之，若 a ＋
c ＝2 b ，则 a ， b ， c 成等差数列.
【跟踪训练】
1. 若 a ＝ ， b ＝ ，则 a ， b 的等差中项为（　　）
A. B. C. D.
解析：　由题知 a ， b 的等差中项为 （ ＋ ）＝
（ － ＋ ＋ ）＝ .
2. 在－1与7之间顺次插入三个数 a ， b ， c ，使这五个数成等差数
列，求此数列.
解：∵－1， a ， b ， c ，7成等差数列，
∴ b 是－1与7的等差中项，∴ b ＝ ＝3.
又 a 是－1与3的等差中项，∴ a ＝ ＝1.
又 c 是3与7的等差中项，∴ c ＝ ＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
题型三 等差数列通项公式的应用
角度1　等差数列基本量的计算
【例3】　在等差数列{ an }中.
（1）已知 a5＝－1， a8＝2，求 a1与 d ；
解： ∵ a5＝－1， a8＝2，
∴解得
（2）已知 a1＋ a6＝12， a4＝7，求 a9.
解：设数列{ an }的公差为 d ，
由已知得，解得
∴ an ＝1＋（ n －1）×2＝2 n －1，
∴ a9＝2×9－1＝17.
角度2　等差数列通项公式的应用
【例4】　已知等差数列{ an }中， a15＝33， a61＝217，试判断153是不
是这个数列的项？如果是，是第几项？
解：设首项为 a1，公差为 d ，则 an ＝ a1＋（ n －1） d ，
由已知得
解得所以 an ＝－23＋（ n －1）×4＝4 n －27，
令 an ＝153，即4 n －27＝153，解得 n ＝45∈N*，所以153是所给数列
的第45项.
【母题探究】
（变设问）若例4条件不变，求 a38及 a30＋ a46的值，并判断2 a38与 a15
＋ a61是否相等？ a30＋ a46与 a15＋ a61是否相等？
解：由例4知 a15＋ a61＝33＋217＝250，
an ＝4 n －27，
所以 a38＝4×38－27＝125，
a30＋ a46＝4×30－27＋4×46－27＝250，
故2 a38＝ a15＋ a61， a30＋ a46＝ a15＋ a61.
通性通法
等差数列通项公式的求法与应用技巧
（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列
的通项公式，只需求出首项与公差即可；
（2）等差数列{ an }的通项公式 an ＝ a1＋（ n －1） d 中共含有四个参
数，即 a1， d ， n ， an ，如果知道了其中的任意三个参数，那么
就可以由通项公式求出第四个参数，即“知三求一”.
【跟踪训练】
1.2 024是等差数列4，6，8，…的（　　）
A. 第1 009项 B. 第1 010项
C. 第1 011项 D. 第1 012项
解析：　∵此等差数列的公差 d ＝2， a1＝4，∴ an ＝4＋（ n －1）
×2＝2 n ＋2，令2 024＝2 n ＋2，解得 n ＝1 011.
2. 在等差数列{ an }中，
（1）已知 a4＝10， a14＝70，则 an ＝ ；
解析： 设公差为 d ，则解得
所以 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝6 n －14.
6 n －14
（2）已知 a3＝0， a7－2 a4＝－1，则公差 d ＝ ；
解析： 由题意得
解得
－ 　
（3）已知{ an }的前3项依次为2，6，10，则 a15＝ .
解析： 由题意得， d ＝6－2＝4，把 a1＝2， d ＝4代入 an
＝ a1＋（ n －1） d ，得 an ＝2＋（ n －1）×4＝4 n －2，所以
a15＝4×15－2＝58.
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1. 下列数列是等差数列的是（　　）
A. ， ， B. lg 5，lg 6，lg 7
C. 1， ， D. 2，3，5
解析：　对于A， － ≠ － ，A不是等差数列；对于B，lg 6－
lg 5≠lg 7－lg 6，B不是等差数列；对于C， －1＝ － ，C是等
差数列；对于D，3－2≠5－3，D不是等差数列.故选C.
2. （2024·扬州月考）已知 m 和2 n 的等差中项是4，2 m 和 n 的等差中
项是5，则 m 和 n 的等差中项是（　　）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
解析：　由 m 和2 n 的等差中项为4，得 m ＋2 n ＝8.又由2 m 和 n 的
等差中项为5，得2 m ＋ n ＝10.两式相加，得3 m ＋3 n ＝18，即 m ＋
n ＝6.所以 m 和 n 的等差中项为 ＝3.
3. 已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项
为 .
解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以 a100＝－8
＋99×5＝487.
487
4. 在等差数列{ an }中，
（1）已知 a1＝2， d ＝3， n ＝10，求 an ；
解： a10＝ a1＋（10－1） d ＝2＋9×3＝29.
（2）已知 a1＝3， an ＝21， d ＝2，求 n .
解： 由 an ＝ a1＋（ n －1） d ，得3＋2（ n －1）＝21，
解得 n ＝10.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知在等差数列{ an }中， a1＝1， d ＝3，则当 an ＝298时， n ＝
（　　）
A. 90 B. 96
C. 98 D. 100
解析：　由题意知1＋3（ n －1）＝298，解得 n ＝100.
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2. 已知数列{ an }满足 a1＝1， an＋1＝ an ＋6，则 a5＝（　　）
A. 25 B. 30
C. 32 D. 64
解析：　由 an＋1＝ an ＋6得 an＋1－ an ＝6，所以{ an }是以6为公差
的等差数列，又 a1＝1，所以 a5＝ a1＋（5－1）×6＝1＋24＝25，
故选A.
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3. 设 x 是 a 与 b 的等差中项， x2是 a2与－ b2的等差中项，则 a ， b 的关
系是（　　）
A. a ＝－ b B. a ＝3 b
C. a ＝－ b 或 a ＝3 b D. a ＝ b ＝0
解析：　由等差中项的定义知 x ＝ ， x2＝ ，所以
＝（ ）2，即 a2－2 ab －3 b2＝0.故 a ＝－ b 或 a ＝3 b .
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4. 等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是（　　）
A. 第7项 B. 第8项
C. 第9项 D. 第10项
解析：　∵ a1＝20， d ＝－3，∴ an ＝20＋（ n －1）×（－
3）＝23－3 n ，∴ a7＝2＞0， a8＝－1＜0.故数列中第一个负数
项是第8项.
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5. （多选）下列通项公式表示的数列为等差数列的是（　　）
A. an ＝3 n ＋1 B. an ＝ n2＋1
C. an ＝1 D. an ＝1－2 n
解析：　对于A，∵ an＋1－ an ＝3（ n ＋1）＋1－（3 n ＋1）＝
3为常数.∴此数列为等差数列，A正确.对于B， an＋1－ an ＝（ n ＋
1）2＋1－（ n2＋1）＝2 n ＋1，不是一个常数，故该数列不是等差
数列，B不正确.对于C， an＋1－ an ＝1－1＝0为常数，该数列是等
差数列，C正确.对于D， an＋1－ an ＝1－2（ n ＋1）－（1－2 n ）＝
－2为常数，该数列是等差数列，D正确.故选A、C、D.
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6. （多选）在数列{ an }中，已知 a2＝2， a6＝0，且数列 是等差
数列，公差为 d ，则（　　）
A. a4＝ B. a3＝1
C. d ＝ D. d ＝
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解析： 　由题意得解得
因此 ＝ ＋3 d ＝ ，故 a4＝ ， ＝ ＋2 d ＝ ，解得
a3＝1.
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7. 在等差数列{ an }中，已知 a2＝2， a5＝8，则 a9＝ .
解析：设等差数列{ an }的首项为 a1，公差为 d ，则由 a2＝2， a5＝
8，得解得所以 a9＝ a1＋8 d ＝16.
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8. 设 a ＞0， b ＞0，若ln 3是ln 9 a 与ln 3 b 的等差中项，则2 a ＋ b
＝ .
解析：∵ln 3是ln 9 a 与ln 3 b 的等差中项，∴2ln 3＝ln 9 a ＋ln 3 b ，
∴ln 32＝ln（9 a ·3 b ）＝ln 32 a＋ b ，∴32＝32 a＋ b ，∴2 a ＋ b ＝2.
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9. 在数列{ an }中，若 ＝ ＋ ， a1＝8，则数列{ an }的通项
公式为 .
解析：由题意得 － ＝ ，故数列{ }是首项为
＝2 ，公差为 的等差数列，所以 ＝2 ＋ （ n －1）
＝ n ＋ ，故 an ＝2（ n ＋1）2.
an ＝2（ n ＋1）2
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10. 在等差数列{ an }中.
（1）若 a5＝15， a17＝39，试判断91是否为此数列中的项；
解： 由题意得解得
所以 an ＝7＋2（ n －1）＝2 n ＋5.
令2 n ＋5＝91，得 n ＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项.
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（2）若 a2＝11， a8＝5，求 a10.
解： 由题意得解得
所以 an ＝12＋（ n －1）×（－1）＝13－ n ，
所以 a10＝13－10＝3.
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11. 已知数列 是无穷数列，则“2 a2＝ a1＋ a3”是“数列 为
等差数列”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
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解析：　若“数列 为等差数列”成立，必有“2 a2＝ a1＋
a3”，而仅有“2 a2＝ a1＋ a3”成立，不能断定“数列 为等差
数列”成立，必须满足对任意的 n ∈N*，都有2 an＋1＝ an ＋ an＋2成
立才可以，故“2 a2＝ a1＋ a3”是“数列 为等差数列”的必要
不充分条件.
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12. 若首项为－21的等差数列{ an }从第8项起开始为正数，则公差 d 的
取值范围是（　　）
A. （3，＋∞） B. （－∞， ）
C. ［3， ） D. （3， ］
解析：　由题意可知 an ＝－21＋（ n －1） d .∵从第8项起开始
为正数，∴ a7＝－21＋6 d ≤0， a8＝－21＋7 d ＞0，解得3＜ d ≤
.故选D.
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13. 在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成
等差数列的有 个.
解析：先考虑不存在0的情况，由题意可知，公差最大为4，公差
为0有9个，公差为±1有14个，公差为±2有10个，公差为±3有6
个，公差为±4有2个；当三位数有0时，有4个，综上所述，构成
等差数列的共有45个.
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14. （2024·盐城月考）在等差数列{ an }中， a1＋ a3＝8，且 ＝
a2· a9.
（1）求数列{ an }的首项和公差；
解：设等差数列{ an }的公差为 d ，由已知可得
或即数列{ an }的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3.
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（2）设 bn ＝ ，若 bm ＋ bm＋1＝ bm＋3，求正整数 m的值.
解：由（1）可知 an ＝4或 an ＝1＋3（ n －1）＝3 n －2，当 an ＝4时， bn ＝ ＝1，又 bm ＋ bm＋1＝ bm＋3，而1＋1＝2＞1，不满足题意；当 an ＝3 n －2时， bn ＝ ＝ ，又 bm ＋ bm＋1＝ bm＋3，所以 ＋ ＝ ，整理得 m2－5 m －6＝0，因为 m 为正整数，
所以 m ＝6.
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15. （2024·泉州质检）已知数阵 中，每行、
每列的四个数均成等差数列，如果数阵中 a12＝2， a31＝1， a34＝
7，那么 a22＝ .

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解析：设第三行的四个数的公差为 d3，由 a31＝1， a34＝7，得 d3＝
2，所以 a32＝1＋2＝3，因为第二列的四个数成等差数列，所以
a22是 a12， a32的等差中项，所以 a22＝ ＝ ＝ .
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16. 已知数列 a1， a2，…， a30，其中 a1， a2，…， a10是首项为1，公
差为1的等差数列； a10， a11，…， a20是公差为 d （ d ≠0）的等差
数列； a20， a21，…， a30是公差为 d2的等差数列.
（1）若 a20＝40，求 d ；
解：依题意得， a10＝10， a20＝10＋10 d ＝40，所以 d＝3.
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（2）试写出 a30关于 d 的关系式，并求 a30的取值范围；
解： a30＝ a20＋10 d2＝10（1＋ d ＋ d2）（ d ≠0），
故 a30＝10［（ d ＋ ）2＋ ］，
当 d ∈（－∞，0）∪（0，＋∞）时， a30∈［ ，＋∞）.
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（3）续写已知数列，使得 a30， a31，…， a40是公差为 d3的等差数
列，以此类推，把已知数列推广为无穷数列.
解：所给数列可推广为无穷数列{ an }，其中 a1，
a2，…， a10是首项为1，公差为1的等差数列，当 n ≥1时，
a10 n ， a10 n＋1，…， a10（ n＋1）是公差为 dn 的等差数列.
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谢 谢 观 看！第1课时　等差数列的概念及通项公式
1.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n＝（　　）
A.90　　 B.96
C.98 D.100
2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋6，则a5＝（　　）
A.25 B.30
C.32 D.64
3.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是（　　）
A.a＝－b B.a＝3b
C.a＝－b或a＝3b D.a＝b＝0
4.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是（　　）
A.第7项 B.第8项
C.第9项 D.第10项
5.（多选）下列通项公式表示的数列为等差数列的是（　　）
A.an＝3n＋1 B.an＝n2＋1
C.an＝1 D.an＝1－2n
6.（多选）在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，公差为d，则（　　）
A.a4＝ B.a3＝1
C.d＝ D.d＝
7.在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝　　　　.
8.设a＞0，b＞0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a＋b＝　　　　.
9.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为　　　　.
10.在等差数列{an}中.
（1）若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项；
（2）若a2＝11，a8＝5，求a10.
11.已知数列是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
12.若首项为－21的等差数列{an}从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（　　）
A.（3，＋∞） B.（－∞，）
C.［3，） D.（3，］
13.在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有　　　　个.
14.（2024·盐城月考）在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且＝a2·a9.
（1）求数列{an}的首项和公差；
（2）设bn＝，若bm＋bm＋1＝bm＋3，求正整数m的值.
15.（2024·泉州质检）已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a22＝　　　　.
16.已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d（d≠0）的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列.
（1）若a20＝40，求d；
（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，以此类推，把已知数列推广为无穷数列.
第1课时　等差数列的概念及通项公式
1.D　由题意知1＋3（n－1）＝298，解得n＝100.
2.A　由an＋1＝an＋6得an＋1－an＝6，所以{an}是以6为公差的等差数列，又a1＝1，所以a5＝a1＋（5－1）×6＝1＋24＝25，故选A.
3.C　由等差中项的定义知x＝，x2＝，所以＝（）2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.
4.B　∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋（n－1）×（－3）＝23－3n，∴a7＝2＞0，a8＝－1＜0.故数列中第一个负数项是第8项.
5.ACD　对于A，∵an＋1－an＝3（n＋1）＋1－（3n＋1）＝3为常数.∴此数列为等差数列，A正确.对于B，an＋1－an＝（n＋1）2＋1－（n2＋1）＝2n＋1，不是一个常数，故该数列不是等差数列，B不正确.对于C，an＋1－an＝1－1＝0为常数，该数列是等差数列，C正确.对于D，an＋1－an＝1－2（n＋1）－（1－2n）＝－2为常数，该数列是等差数列，D正确.故选A、C、D.
6.ABD　由题意得
解得因此＝＋3d＝，故a4＝，＝＋2d＝，解得a3＝1.
7.16　解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得解得所以a9＝a1＋8d＝16.
8.2　解析：∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，∴2ln 3＝ln 9a＋ln 3b，∴ln 32＝ln（9a·3b）＝ln 32a＋b，∴32＝32a＋b，∴2a＋b＝2.
9.an＝2（n＋1）2　解析：由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋（n－1）＝n＋，故an＝2（n＋1）2.
10.解：（1）由题意得解得
所以an＝7＋2（n－1）＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项.
（2）由题意得解得
所以an＝12＋（n－1）×（－1）＝13－n，
所以a10＝13－10＝3.
11.B　若“数列为等差数列”成立，必有“2a2＝a1＋a3”，而仅有“2a2＝a1＋a3”成立，不能断定“数列为等差数列”成立，必须满足对任意的n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2成立才可以，故“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的必要不充分条件.
12.D　由题意可知an＝－21＋（n－1）d.∵从第8项起开始为正数，∴a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d＞0，解得3＜d≤.故选D.
13.45　解析：先考虑不存在0的情况，由题意可知，公差最大为4，公差为0有9个，公差为±1有14个，公差为±2有10个，公差为±3有6个，公差为±4有2个；当三位数有0时，有4个，综上所述，构成等差数列的共有45个.
14.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知可得
或即数列{an}的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3.
（2）由（1）可知an＝4或an＝1＋3（n－1）＝3n－2，当an＝4时，bn＝＝1，
又bm＋bm＋1＝bm＋3，而1＋1＝2＞1，不满足题意；
当an＝3n－2时，bn＝＝，
又bm＋bm＋1＝bm＋3，
所以＋＝，
整理得m2－5m－6＝0，因为m为正整数，
所以m＝6.
15.　解析：设第三行的四个数的公差为d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝2，所以a32＝1＋2＝3，因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等差中项，所以a22＝＝＝.
16.解：（1）依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以d＝3.
（2）a30＝a20＋10d2＝10（1＋d＋d2）（d≠0），
故a30＝10［（d＋）2＋］，
当d∈（－∞，0）∪（0，＋∞）时，a30∈［，＋∞）.
（3）所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n＋1，…，a10（n＋1）是公差为dn的等差数列.
2 / 24.2.1　等差数列的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等差数列、等差中项的概念 数学抽象
2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题 逻辑推理、数学运算
3.体会等差数列与一元一次函数的关系 数学抽象、数学建模
第1课时　等差数列的概念及通项公式
（1）我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，龙年的年份为2024，2036， 2048，2060，2072，2084，…；
（2）我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；
（3）2024年1月中，每个星期一的日期为1，8，15，22，29.
【问题】　这些数列的后一项与前一项之间的关系是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　等差数列的概念
文字语言 一般地，如果一个数列从第　　　项起，每一项与它的　　　　的差都等于　　　　　　，那么这个数列就叫做等差数列，这个　　　　叫做等差数列的公差，公差通常用字母　　　表示
符号语言 an＋1－an＝d（d为常数，n∈N*）
提醒　对等差数列概念的再理解：①“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：（ⅰ）作差的顺序；（ⅱ）这两项必须相邻；③定义中的“同一个常数”是指全部的后一项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
知识点二　等差中项
1.条件：如果三个数a，A，b成　　　　数列.
2.结论：那么A叫做a与b的等差　　　　.
3.满足的关系式：2A＝　　　　.
【想一想】
　任何两个数都有等差中项吗？
知识点三　等差数列的通项公式
　首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝　　　　　　.
提醒　由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋（a1－d），如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列4，4，4，…是等差数列.（　　）
（2）数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列.（　　）
（3）若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（　　）
（4）若三个数a，b，c满足a＋c＝2b，则a，b，c一定是等差数列.（　　）
2.2与8的等差中项是（　　）
A.－5 B.5 C.4 D.±4
3.已知数列是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d＝（　　）
A. B.1 C. D.2
4.已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是（　　）
A.1，4　B.－1，－4 C.4，1　D.－4，－1
　
题型一 等差数列的概念
【例1】　（多选）下列数列是等差数列的是（　　）
A.an＝－2n＋3（n∈N*） B.4，7，10，13，16
C.，，1，， D.－3，－2，－1，1，2
通性通法
利用定义判断等差数列的策略
　　从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
【跟踪训练】
　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d.
（1）1，3，5，7，9，…；（2）9，6，3，0，－3，…；
（3）1，3，4，5，6，…；（4）7，7，7，7，7，…；
（5）1，，，，，….
题型二 等差中项及应用
【例2】　（1）已知a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，则3a－5和4a＋6的等差中项为　　　　；
（2）（2024·洛阳月考）已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为　　　　.
通性通法
等差中项的应用策略
（1）求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝；
（2）证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.
【跟踪训练】
1.若a＝，b＝，则a，b的等差中项为（　　）
A. B.
C. D.
2.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
题型三 等差数列通项公式的应用
角度1　等差数列基本量的计算
【例3】　在等差数列{an}中.
（1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
（2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
角度2　等差数列通项公式的应用
【例4】　已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
【母题探究】
（变设问）若例4条件不变，求a38及a30＋a46的值，并判断2a38与a15＋a61是否相等？a30＋a46与a15＋a61是否相等？
通性通法
等差数列通项公式的求法与应用技巧
（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可；
（2）等差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，即“知三求一”.
【跟踪训练】
1.2 024是等差数列4，6，8，…的（　　）
A.第1 009项 B.第1 010项
C.第1 011项 D.第1 012项
2.在等差数列{an}中，
（1）已知a4＝10，a14＝70，则an＝　　　　；
（2）已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝　　　　；
（3）已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15＝　　　　.
1.下列数列是等差数列的是（　　）
A.，， B.lg 5，lg 6，lg 7
C.1，， D.2，3，5
2.（2024·扬州月考）已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（　　）
A.2　　　　B.3 C.6　　　　D.9
3.已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为　　　　.
4.在等差数列{an}中，
（1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；
（2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n.
第1课时　等差数列的概念及通项公式
【基础知识·重落实】
知识点一
　2　前一项　同一个常数　常数　d
知识点二
1.等差　2.中项　3.a＋b
想一想
　提示：任何两个数都有等差中项.
知识点三
　a1＋（n－1）d
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√
2.B　设2与8的等差中项是x，则2x＝2＋8，解得x＝5.
3.B　由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2，所以a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2.
4.B　n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
【典型例题·精研析】
【例1】　ABC　A项，由an＝－2n＋3（n∈N*），则a1＝1，a2＝－1，a3＝－3，…，由等差数列的定义，故是等差数列；B项d＝3，故是等差数列；C项d＝，故是等差数列；D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.
跟踪训练
　解：（1）是，a1＝1，d＝2.
（2）是，a1＝9，d＝－3.
（3）不是.
（4）是，a1＝7，d＝0.
（5）不是.
【例2】　（1）11　（2）等边三角形
解析：（1）因为a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，所以2（a＋3）＝（2a－1）＋（2a＋1），解得a＝3，则3a－5＝4，4a＋6＝18，所以3a－5和4a＋6的等差中项为＝11.
（2）因为a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，所以则4b＝（＋）2＝a＋c＋2，即a＋c＝2，所以（－）2＝0，故a＝c＝b.所以△ABC为等边三角形.
跟踪训练
1.A　由题知a，b的等差中项为（＋）＝（－＋＋）＝.
2.解：∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
【例3】　解：（1）∵a5＝－1，a8＝2，
∴解得
（2）设数列{an}的公差为d，
由已知得，
解得
∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1，
∴a9＝2×9－1＝17.
【例4】　解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋（n－1）d，
由已知得
解得
所以an＝－23＋（n－1）×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第45项.
母题探究
　解：由例4知a15＋a61＝33＋217＝250，
an＝4n－27，
所以a38＝4×38－27＝125，
a30＋a46＝4×30－27＋4×46－27＝250，
故2a38＝a15＋a61，a30＋a46＝a15＋a61.
跟踪训练
1.C　∵此等差数列的公差d＝2，a1＝4，∴an＝4＋（n－1）×2＝2n＋2，令2 024＝2n＋2，解得n＝1 011.
2.（1）6n－14　（2）－　（3）58
解析：（1）设公差为d，则解得所以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14.
（2）由题意得解得
（3）由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋（n－1）d，得an＝2＋（n－1）×4＝4n－2，所以a15＝4×15－2＝58.
随堂检测
1.C　对于A，－≠－，A不是等差数列；对于B，lg 6－lg 5≠lg 7－lg 6，B不是等差数列；对于C，－1＝－，C是等差数列；对于D，3－2≠5－3，D不是等差数列.故选C.
2.B　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3.
3.487　解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.
4.解：（1）a10＝a1＋（10－1）d＝2＋9×3＝29.
（2）由an＝a1＋（n－1）d，得3＋2（n－1）＝21，解得n＝10.
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