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(共54张PPT)
4.2.2
等差数列的前n项和公式
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等差数列的前 n 项和公式，理解等差数列
的前 n 项和公式和通项公式的关系 逻辑推理、
数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并
解决相应的问题 数学建模、
数学运算
第1课时
等差数列的前n项和公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.
【问题】　文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　
知识点　等差数列的前 n 项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用公式 Sn ＝ Sn ＝
提醒　等差数列{ an }的求和公式 Sn ＝ 与梯形面积公式 S梯
形＝ 类似，可对比记忆为上底是“ a1”，下底是
“ an ”，高是“ n ”.
　
na1＋ d 　
【想一想】
　 Sn ＝ na1＋ d （ d ≠0）与二次函数有什么关系？
提示： Sn ＝ na1＋ d ＝ n2＋ n 是关于 n 的没有常数项
的二次函数.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）等差数列前 n 项和公式的推导方法是倒序相加法.
（　√　）
（2）若数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ kn （ k ∈R），则{ an }为常数列.
（　√　）
（3）等差数列的前 n 项和等于其首项、第 n 项的等差中项的 倍.
（　×　）
√
√
×
2. 已知等差数列{ an }的首项 a1＝1，公差 d ＝－2，则前10项和 S10＝
（　　）
A. －20 B. －40
C. －60 D. －80
解析：　由公式 Sn ＝ na1＋ × d ，得 S10＝10×1＋ ×
（－2）＝－80.
3. 已知数列{ an }为等差数列，若 a1＝15， a5＝25，则 S5＝ .
解析： S5＝ ＝ ＝100.
4. 等差数列{ an }中，若 a1＝－1， S25＝30，则公差 d ＝ .
解析：由 S25＝－25＋ ×24×25× d ＝30，解得 d ＝ .
100

典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　
题型一 等差数列前 n 项和公式的直接应用
【例1】　已知数列{ an }为等差数列.
（1）若 a1＝3， a30＝97，求 S30；
解： 根据等差数列前 n 项和公式可得， S30＝
＝ ＝1 500.
（2）若 a1＝80， d ＝－2，求 S60；
解： 根据等差数列前 n 项和公式可得， S60＝60×80＋
×（－2）＝60×（80－59）＝1 260.
（3）若 a25＝12，求 S49.
解： 因为{ an }为等差数列，所以 a1＋ a49＝2 a25，
故 S49＝ ＝49 a25＝49×12＝588.
通性通法
　　当已知首项、末项和项数时，用公式 Sn ＝ 较为简
便；当已知首项、公差和项数时，用公式 Sn ＝ na1＋ d 较为
简便.在运用公式 Sn ＝ 时，注意结合等差数列的性质.
【跟踪训练】
　已知数列{ an }中， a1＝1， an ＝ an－1＋ （ n ≥2），则数列{ an }的
前9项和等于 .
解析：因为 a1＝1， an ＝ an－1＋ （ n ≥2），所以数列{ an }是首项为
1，公差为 的等差数列，所以前9项和 S9＝9＋ × ＝27.
27
题型二 利用等差数列前 n 项和公式求基本量
【例2】　（1）已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 S10＝45， a5＝
7，则该数列的公差为（　　）
A. －5 B. 5
C. －3 D. 3
解析：由题意得， a5＝7， S10＝ ＝45，
即 ＝45，解得 a6＝2，所以公差 d ＝ a6－ a5＝－5.
故选A.
（2）已知 a1＝ ， d ＝－ ， Sn ＝－15，求 n 和 a12.
解：因为 Sn ＝ n ＋ ×（－ ）＝－15，
整理得 n2－7 n －60＝0.
解得 n ＝12或 n ＝－5（舍去）.
由题得 a12＝ ＋（12－1）×（－ ）＝－4.
所以 n ＝12， a12＝－4.
通性通法
等差数列中基本量计算的两个技巧
（1）利用基本量求值
（2）利用等差数列的性质解题
【跟踪训练】
1. 记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和.若 a4＋ a5＝24， S6＝48，则{ an }
的公差为（　　）
A. 1 B. 2
解析：　设等差数列{ an }的公差为 d ，∵ a4＋ a5＝24， S6＝48，
∴解得∴{ an }的公差为4.
C. 4 D. 8
2. 在4和67之间插入一个 n 项的等差数列后，组成一个 n ＋2项的新等
差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则 n 的值为 .
解析：由等差数列的求和公式可知：新等差数列的所有项之和 Sn＋2
＝ （4＋67）（ n ＋2）＝781，解得 n ＝20.
20
题型三 利用 Sn 证明一个数列是等差数列
【例3】　若数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝2 n2－3 n ，求数列{ an }的通项公
式，并判断数列{ an }是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说
明理由.
解：当 n ＝1时， a1＝ S1＝－1；
当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝2 n2－3 n －2（ n －1）2＋3（ n －1）＝4 n
－5，经检验，当 n ＝1时， a1＝－1满足上式，故 an ＝4 n －5.
数列{ an }是等差数列，证明如下：
因为 an＋1－ an ＝4（ n ＋1）－5－4 n ＋5＝4，
所以数列{ an }是等差数列.
通性通法
　　若 Sn 是关于 n 的二次多项式，且无常数项（即常数项为0），即
满足 Sn ＝ An2＋ Bn （ A ＋ B ＝ a1）的数列是等差数列.在求解选择题、
填空题时也可以运用 Sn ＝ n2＋（ a1－ ） n 来快速求解.
【跟踪训练】
　若数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝2 n2－3 n －1，求数列{ an }的通项
公式，并判断数列{ an }是否是等差数列.若是，请证明；若不是，
请说明理由.
解：∵ Sn ＝2 n2－3 n －1，　①
当 n ＝1时， a1＝ S1＝2－3－1＝－2，
当 n ≥2时， Sn－1＝2（ n －1）2－3（ n －1）－1，　②
①－②得 an ＝ Sn － Sn－1＝2 n2－3 n －1－[2（ n －1）2－3（ n －1）－
1]＝4 n －5，
经检验当 n ＝1时， an ＝4 n －5不成立，
故 an ＝
故数列{ an }不是等差数列，数列{ an }是从第二项起以4为公差的等差
数列.
1. 等差数列1，3，5，…的前10项和为（　　）
A. 81 B. 100
C. 121 D. 128
解析：　首项 a1＝1，公差 d ＝2，所以 S10＝10×1＋ ×2＝
100.
2. （2024·泰州月考）已知等差数列{ an }，若 a2＝10， a5＝1，则{ an }
的前7项的和是（　　）
A. 112 B. 51
C. 28 D. 18
解析：　设等差数列{ an }的公差为 d ，由题意，得
解得则 S7＝7 a1＋ d ＝28.故选C.
3. （2024·珠海月考）等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 S2＝4， S4＝
20，则数列{ an }的公差 d ＝ .
解析：由题意解得 d ＝3.
3
4. 记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和，已知 a1＝－1， S3＝3.
（1）求{ an }的通项公式；
解： 设数列{ an }的公差为 d ，则
解得所以 an ＝－1＋（ n －1）×2＝2 n －3.
（2）求 Sn .
解： 由（1）得 a1＝－1， an ＝2 n －3，
所以 Sn ＝ （ a1＋ an ）＝ （－1＋2 n －3）＝ n2－2 n .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，公差 d ＝2， S5＝15，则 a1＝
（　　）
A. －1 B. －2 C. －3 D. －4
解析：　由题意得 S5＝5 a1＋ ×2＝15，则 a1＝－1.故选A.
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2. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝2－3 n ， n ∈N*，则{ an }的前 n 项
和 Sn ＝（　　）
A. － n2＋ B. － n2－
C. n2＋ D. n2－
解析：　∵ an ＝2－3 n ，∴ a1＝2－3＝－1，且{ an }为等差数
列，∴ Sn ＝ ＝－ n2＋ .
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3. 在等差数列{ an }中，已知 a1＝10， d ＝2， Sn ＝580，则 n ＝
（　　）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 30
解析：　因为 Sn ＝ na1＋ n （ n －1） d ＝10 n ＋ n （ n －1）×2
＝ n2＋9 n ，所以 n2＋9 n ＝580，解得 n ＝20或 n ＝－29（舍）.
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4. （2024·滨州月考）已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn 且公差 d
≠0，若 S7＝3 a4，则（　　）
A. S3＝ S4 B. S3＝ S5
C. S4＝ S5 D. S4＝ S6
解析：　由题意可知， S7＝ ＝7 a4＝3 a4，所以 a4＝0.
所以 S3＝ S3＋0＝ S3＋ a4＝ S4.故选A.
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5. （多选）已知 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和，下列选项中可能是 Sn 的图象的是（　　）
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解析： 因为 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和，所以 Sn ＝ an2＋ bn （ a ， b 为常数， n ∈N*），则其对应函数为 y ＝ ax2＋ bx .当 a ＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；
当 a ≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如
选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.
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6. （多选）（2024·平顶山月考）记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和，
已知 S9＝72， a7＝10，则（　　）
A. an ＝ n ＋3 B. an ＝2 n －4
C. Sn ＝ n2＋ n D. Sn ＝ n2－ n
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解析：　因为 S9＝72， a7＝10，所以解
得所以 an ＝4＋（ n －1）×1＝ n ＋3，则 Sn ＝
＝ n2＋ n .故选A、C.
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7. 已知{ an }是等差数列， a4＋ a6＝6，其前5项和 S5＝10，则其首项 a1
＝ ，公差 d ＝ .
解析： a4＋ a6＝ a1＋3 d ＋ a1＋5 d ＝6，①， S5＝5 a1＋ ×5×（5－
1） d ＝10，②，由①②联立解得 a1＝1， d ＝ .
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8. （2024·泉州月考）已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ， S3＋ S6＝
27，则 a2＋ a4＝ .
解析：设等差数列{ an }的公差为 d .因为 S3＋ S6＝3 a1＋3 d ＋6 a1＋
15 d ＝9 a1＋18 d ＝27，所以 a1＋2 d ＝3，所以 a2＋ a4＝ a1＋ d ＋ a1
＋3 d ＝2 a1＋4 d ＝2（ a1＋2 d ）＝2×3＝6.
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9. 在等差数列{ an }中，已知 a1＝－12， S13＝0，则使得 an ＞0的最小
正整数 n ＝ .
解析：由 S13＝ ＝0，得 a13＝12，则 a1＋12 d ＝12，得
d ＝2，∴数列{ an }的通项公式为 an ＝－12＋（ n －1）×2＝2 n －
14，由2 n －14＞0，得 n ＞7，即使得 an ＞0的最小正整数 n ＝8.
8 　
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10. 在等差数列{ an }中：
（1）已知 a1＝1， an ＝－512， Sn ＝－1 022，求公差 d ；
解： 由 Sn ＝ ＝ ＝－1 022，解
得 n ＝4.
又由 an ＝ a1＋（ n －1） d ，
即－512＝1＋（4－1） d ，解得 d ＝－171.
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（2） a5＋ a10＝58， a4＋ a9＝50，求 S10.
解：法一　由已知条件，得
解得
所以 S10＝10 a1＋ d ＝10×3＋ ×4＝210.
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法二　由已知条件，得
所以 a1＋ a10＝42，
所以 S10＝ ＝5×42＝210.
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11. 若数列{ an }为等差数列，公差为 ，且 S100＝145，则 a2＋ a4＋…
＋ a100＝（　　）
A. 60 B. 85
解析：　设 a1＋ a3＋…＋ a99＝ S1，则 a2＋ a4＋…＋ a100＝ S1＋50
d .依题意，有 S1＋ S1＋50 d ＝145.又 d ＝ ，所以 S1＝60，所以 a2
＋ a4＋…＋ a100＝60＋25＝85.
C. D. 185
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12. （多选）（2024·惠州质检）若数列{ an }是等差数列，首项 a1＜
0， a203＋ a204＞0， a203· a204＜0，则（　　）
A. a204＞0 B. d ＜0
C. S405＜0 D. S406＞0
解析： 　由 a203＋ a204＞0 a1＋ a406＞0 S406＞0，又由 a1＜
0，且 a203· a204＜0，知 a203＜0， a204＞0，所以公差 d ＞0，则数列
{ an }的前203项都是负数，那么2 a203＝ a1＋ a405＜0，所以 S405＜0.
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13. 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn .若 S3＝ S10， S6＝ Sk ，则 k
＝ .
解析：∵等差数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ n2＋（ a1－ ） n 可看作
是关于 n 的二次函数且 S3＝ S10，∴对称轴方程为 n ＝ ＝ .又
∵ S6＝ Sk ，∴ ＝ ，解得 k ＝7.
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14. 已知 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和， bn ＝ （ n ∈N*）.求证：数
列{ bn }是等差数列.
证明：法一　设等差数列{ an }的公差为 d ，
则 Sn ＝ na1＋ n （ n －1） d ，
所以 bn ＝ ＝ a1＋ （ n －1） d ，
所以 bn＋1－ bn ＝ a1＋ nd － a1－ （ n －1） d ＝ （常数），
所以数列{ bn }是等差数列.
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法二　设等差数列{ an }的公差为 d ，
则 Sn ＝ na1＋ n （ n －1） d ，
所以 bn ＝ ＝ a1＋ （ n －1） d ，
所以 bn＋1＝ a1＋ nd ， bn＋2＝ a1＋ （ n ＋1） d ，
所以 bn＋2＋ bn ＝ a1＋ （ n ＋1） d ＋ a1＋ （ n －1） d ＝2 a1＋ nd ＝2
bn＋1，
所以数列{ bn }是等差数列.
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15. （2024·济南质检）对于数列{ an }，定义数列{ an＋1－ an }为数列
{ an }的“差数列”，若 a1＝1，{ an }的“差数列”的通项公式为
an＋1－ an ＝2，则数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ .
解析：依题意知， a1＝1， a2－ a1＝2， a3－ a2＝2， a4－ a3＝
2，…， an － an－1＝2，进行累加求和得 an ＝1＋2（ n －1）＝2 n
－1，故数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝2（1＋2＋3＋…＋ n ）－ n ＝2×
－ n ＝ n2.
n2
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16. 已知 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和， a1＝1， S3＝9.
（1）求{ an }的通项公式；
解： 因为{ an }为等差数列，设其公差为 d ，则
即解得所以 an
＝ a1＋（ n －1） d ＝1＋（ n －1）×2＝2 n －1.
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（2）设 bn ＝ a2 n－1＋ a2 n ，求数列{ bn }的前 n 项和 Tn .
解： 由（1）知 an ＝2 n －1，所以 a2 n－1＝2（2 n －1）
－1＝4 n －3， a2 n ＝2×2 n －1＝4 n －1，
所以 bn ＝ a2 n－1＋ a2 n ＝8 n －4.
当 n ＝1时， b1＝4；
当 n ≥2时， bn － bn－1＝8 n －4－8（ n －1）＋4＝8，
所以{ bn }是首项为4，公差为8的等差数列，
所以 Tn ＝ ＝4 n2，所以{ bn }的前 n 项和 Tn ＝4 n2.
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谢 谢 观 看！第1课时　等差数列的前n项和公式
1.等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝2，S5＝15，则a1＝（　　）
A.－1 B.－2
C.－3 D.－4
2.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn＝（　　）
A.－n2＋ B.－n2－
C.n2＋ D.n2－
3.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n＝（　　）
A.10 B.15
C.20 D.30
4.（2024·滨州月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn且公差d≠0，若S7＝3a4，则（　　）
A.S3＝S4 B.S3＝S5
C.S4＝S5 D.S4＝S6
5.（多选）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是（　　）
6.（多选）（2024·平顶山月考）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝72，a7＝10，则（　　）
A.an＝n＋3 B.an＝2n－4
C.Sn＝n2＋n D.Sn＝n2－n
7.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其首项a1＝　　　　，公差d＝　　　　.
8.（2024·泉州月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＋S6＝27，则a2＋a4＝　　　　.
9.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n＝　　　　.
10.在等差数列{an}中：
（1）已知a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差d；
（2）a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10.
11.若数列{an}为等差数列，公差为，且S100＝145，则a2＋a4＋…＋a100＝（　　）
A.60 B.85
C. D.185
12.（多选）（2024·惠州质检）若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，a203·a204＜0，则（　　）
A.a204＞0 B.d＜0
C.S405＜0 D.S406＞0
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝S10，S6＝Sk，则k＝　　　　.
14.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn＝（n∈N*）.求证：数列{bn}是等差数列.
15.（2024·济南质检）对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝　　　　.
16.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝9.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝a2n－1＋a2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
第1课时　等差数列的前n项和公式
1.A　由题意得S5＝5a1＋×2＝15，则a1＝－1.故选A.
2.A　∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，且{an}为等差数列，∴Sn＝＝－n2＋.
3.C　因为Sn＝na1＋n（n－1）d＝10n＋n（n－1）×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29（舍）.
4.A　由题意可知，S7＝＝7a4＝3a4，所以a4＝0.所以S3＝S3＋0＝S3＋a4＝S4.故选A.
5.ABC　因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn（a，b为常数，n∈N*），则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.
6.AC　因为S9＝72，a7＝10，所以解得所以an＝4＋（n－1）×1＝n＋3，则Sn＝＝n2＋n.故选A、C.
7.1　　解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①，S5＝5a1＋×5×（5－1）d＝10，②，由①②联立解得a1＝1，d＝.
8.6　解析：设等差数列{an}的公差为d.因为S3＋S6＝3a1＋3d＋6a1＋15d＝9a1＋18d＝27，所以a1＋2d＝3，所以a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2a1＋4d＝2（a1＋2d）＝2×3＝6.
9.8　解析：由S13＝＝0，得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋（n－1）×2＝2n－14，由2n－14＞0，得n＞7，即使得an＞0的最小正整数n＝8.
10.解：（1）由Sn＝＝＝－1 022，解得n＝4.
又由an＝a1＋（n－1）d，
即－512＝1＋（4－1）d，解得d＝－171.
（2）法一　由已知条件，得
解得
所以S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210.
法二　由已知条件，得
所以a1＋a10＝42，
所以S10＝＝5×42＝210.
11.B　设a1＋a3＋…＋a99＝S1，则a2＋a4＋…＋a100＝S1＋50d.依题意，有S1＋S1＋50d＝145.又d＝，所以S1＝60，所以a2＋a4＋…＋a100＝60＋25＝85.
12.ACD　由a203＋a204＞0 a1＋a406＞0 S406＞0，又由a1＜0，且a203·a204＜0，知a203＜0，a204＞0，所以公差d＞0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405＜0，所以S405＜0.
13.7　解析：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋（a1－）n可看作是关于n的二次函数且S3＝S10，∴对称轴方程为n＝＝.又∵S6＝Sk，∴＝，解得k＝7.
14.证明：法一　设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n（n－1）d，
所以bn＝＝a1＋（n－1）d，
所以bn＋1－bn＝a1＋nd－a1－（n－1）d＝（常数），
所以数列{bn}是等差数列.
法二　设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n（n－1）d，
所以bn＝＝a1＋（n－1）d，
所以bn＋1＝a1＋nd，bn＋2＝a1＋（n＋1）d，
所以bn＋2＋bn＝a1＋（n＋1）d＋a1＋（n－1）d＝2a1＋nd＝2bn＋1，
所以数列{bn}是等差数列.
15.n2　解析：依题意知，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2，进行累加求和得an＝1＋2（n－1）＝2n－1，故数列{an}的前n项和Sn＝2（1＋2＋3＋…＋n）－n＝2×－n＝n2.
16.解：（1）因为{an}为等差数列，设其公差为d，则
即解得
所以an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）×2＝2n－1.
（2）由（1）知an＝2n－1，所以a2n－1＝2（2n－1）－1＝4n－3，a2n＝2×2n－1＝4n－1，
所以bn＝a2n－1＋a2n＝8n－4.
当n＝1时，b1＝4；
当n≥2时，bn－bn－1＝8n－4－8（n－1）＋4＝8，
所以{bn}是首项为4，公差为8的等差数列，
所以Tn＝＝4n2，
所以{bn}的前n项和Tn＝4n2.
1 / 24.2.2　等差数列的前n项和公式
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系 逻辑推理、数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 数学建模、数学运算
第1课时　等差数列的前n项和公式
　　在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.
【问题】　文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用公式 Sn＝　　　 Sn＝　　　
提醒　等差数列{an}的求和公式Sn＝与梯形面积公式S梯形＝类似，可对比记忆为上底是“a1”，下底是“an”，高是“n”.
【想一想】
　Sn＝na1＋d（d≠0）与二次函数有什么关系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.（　　）
（2）若数列{an}的前n项和Sn＝kn（k∈R），则{an}为常数列.（　　）
（3）等差数列的前n项和等于其首项、第n项的等差中项的倍.（　　）
2.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前10项和S10＝（　　）
A.－20 B.－40 C.－60 D.－80
3.已知数列{an}为等差数列，若a1＝15，a5＝25，则S5＝　　　　.
4.等差数列{an}中，若a1＝－1，S25＝30，则公差d＝　　　　.
题型一 等差数列前n项和公式的直接应用
【例1】　已知数列{an}为等差数列.
（1）若a1＝3，a30＝97，求S30；
（2）若a1＝80，d＝－2，求S60；
（3）若a25＝12，求S49.
通性通法
　　当已知首项、末项和项数时，用公式Sn＝较为简便；当已知首项、公差和项数时，用公式Sn＝na1＋d较为简便.在运用公式Sn＝时，注意结合等差数列的性质.
【跟踪训练】
　已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），则数列{an}的前9项和等于　　　　.
题型二 利用等差数列前n项和公式求基本量
【例2】　（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝45，a5＝7，则该数列的公差为（　　）
A.－5 B.5
C.－3 D.3
（2）已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n和a12.
通性通法
等差数列中基本量计算的两个技巧
（1）利用基本量求值
（2）利用等差数列的性质解题
【跟踪训练】
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　）
A.1 B.2
C.4 D.8
2.在4和67之间插入一个n项的等差数列后，组成一个n＋2项的新等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n的值为　　　　.
题型三 利用Sn证明一个数列是等差数列
【例3】　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.
通性通法
　　若Sn是关于n的二次多项式，且无常数项（即常数项为0），即满足Sn＝An2＋Bn（A＋B＝a1）的数列是等差数列.在求解选择题、填空题时也可以运用Sn＝n2＋（a1－）n来快速求解.
【跟踪训练】
　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
1.等差数列1，3，5，…的前10项和为（　　）
A.81 B.100
C.121 D.128
2.（2024·泰州月考）已知等差数列{an}，若a2＝10，a5＝1，则{an}的前7项的和是（　　）
A.112 B.51
C.28 D.18
3.（2024·珠海月考）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d＝　　　　.
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－1，S3＝3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn.
第1课时　等差数列的前n项和公式
【基础知识·重落实】
知识点
　　na1＋d
想一想
　提示：Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的没有常数项的二次函数.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×
2.D　由公式Sn＝na1＋×d，得S10＝10×1＋×（－2）＝－80.
3.100　解析：S5＝＝＝100.
4.　解析：由S25＝－25＋×24×25×d＝30，解得d＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）根据等差数列前n项和公式可得，S30＝＝＝1 500.
（2）根据等差数列前n项和公式可得，S60＝60×80＋×（－2）＝60×（80－59）＝1 260.
（3）因为{an}为等差数列，所以a1＋a49＝2a25，
故S49＝＝49a25＝49×12＝588.
跟踪训练
　27　解析：因为a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和S9＝9＋×＝27.
【例2】　（1）A　由题意得，a5＝7，S10＝＝45，即＝45，解得a6＝2，所以公差d＝a6－a5＝－5.故选A.
（2）解：因为Sn＝n＋×（－）＝－15，
整理得n2－7n－60＝0.
解得n＝12或n＝－5（舍去）.
由题得a12＝＋（12－1）×（－）＝－4.
所以n＝12，a12＝－4.
跟踪训练
1.C　设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a5＝24，S6＝48，∴解得∴{an}的公差为4.
2.20　解析：由等差数列的求和公式可知：新等差数列的所有项之和Sn＋2＝（4＋67）（n＋2）＝781，解得n＝20.
【例3】　解：当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2（n－1）2＋3（n－1）＝4n－5，
经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，
故an＝4n－5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an＋1－an＝4（n＋1）－5－4n＋5＝4，
所以数列{an}是等差数列.
跟踪训练
　解：∵Sn＝2n2－3n－1， ①
当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2，
当n≥2时，Sn－1＝2（n－1）2－3（n－1）－1， ②
①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2（n－1）2－3（n－1）－1]＝4n－5，
经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立，
故an＝
故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列.
随堂检测
1.B　首项a1＝1，公差d＝2，所以S10＝10×1＋×2＝100.
2.C　设等差数列{an}的公差为d，由题意，得解得则S7＝7a1＋d＝28.故选C.
3.3　解析：由题意解得d＝3.
4.解：（1）设数列{an}的公差为d，
则解得
所以an＝－1＋（n－1）×2＝2n－3.
（2）由（1）得a1＝－1，an＝2n－3，
所以Sn＝（a1＋an）＝（－1＋2n－3）＝n2－2n.
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