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(共58张PPT)
4.3.2
等比数列的前n项和公式
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等比数列的前 n 项和公式，理解等比数
列的通项公式与前 n 项和公式的关系 逻辑推理、
数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，
并解决相应的问题 数学建模、
数学运算
第1课时
等比数列的前n项和公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3
个不同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后，又都传给
了3个不同的好友（称为第2轮传播），……，依此下去，假设信息在
传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数
就构成了一个等比数列：1，3，9，27，81，….
【问题】　如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？
　　　　　　
　　　　　　　　 　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
知识点　等比数列的前 n 项和公式
已知量 首项 a1与公比 q 首项 a1，末项 an 与公比 q
公式 Sn ＝
Sn ＝
　
　
提醒　求等比数列的前 n 项和，需对公比分 q ＝1与 q ≠1两种情况进行
讨论，当 q ＝1时，应利用公式 Sn ＝ na1求和.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）等比数列前 n 项和 Sn 不可能为0. （　×　）
（2）若首项为 a 的数列既是等比数列又是等差数列，则其前 n 项和
等于 na . （　√　）
（3）若 a ∈R，则1＋ a ＋ a2＋…＋ an－1＝ . （　×　）
（4）若某数列的前 n 项和公式为 Sn ＝－ aqn ＋ a （ a ≠0， q ≠0且 q
≠1， n ∈N*），则此数列一定是等比数列. （　√　）
×
√
×
√
2. 已知等比数列{ an }的首项 a1＝3，公比 q ＝2，则 S5＝（　　）
A. 93 B. －93 C. 45 D. －45
解析：　 S5＝ ＝ ＝93.
3. 在等比数列{ an }中，若 a1＝1， a4＝ ，则该数列的前10项和 S10＝
（　　）
A. 2－ B. 2－
C. 2－ D. 2－
解析：　易知公比 q ＝ ，则 S10＝ ＝2－ .
4. （2024·六盘水月考）已知等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，公比为
2，且 S4＝15，则 a1＝ .
解析：依题意， a1＋ a2＋ a3＋ a4＝15，故 a1＋2 a1＋4 a1＋8 a1＝
15，解得 a1＝1.
1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列前 n 项和公式的直接应用
【例1】　求下列等比数列前8项的和：
（1） ， ， ，…；
解： 因为 a1＝ ， a2＝ ，可得 q ＝ ，
所以 S8＝ ＝ .
（2） a1＝27， a9＝ ， q ＜0.
解： 由 a1＝27， a9＝ ，可得 ＝27· q8.
又由 q ＜0，可得 q ＝－ ，
所以 S8＝ ＝ ＝ ＝ .
通性通法
　　求等比数列的前 n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公
比，注意公比 q ＝1是否成立.
【跟踪训练】
1. 在等比数列{ an }中， a1＝2， q ＝3，则 S3＝ .
解析： S3＝ ＝26.
2. 求数列{（－1） n }的前100项的和.
解：法一　 a1＝（－1）1＝－1， q ＝－1.
∴ S100＝ ＝0.
26
法二　数列{（－1） n }为－1，1，－1，1，…，
∴ S100＝50×（－1＋1）＝0.
题型二 利用等比数列前 n 项和公式求基本量
【例2】　在等比数列{ an }中，
（1）若 a1＋ a3＝10， a4＋ a6＝ ，求 S5；
解：由题意知解得从而 S5＝
＝ .
（2）若 a1＝ ， an ＝16 ， Sn ＝11 ，求 n 和 q ；
解： 由 Sn ＝ 得11 ＝ ，解得 q ＝－2，又
由 an ＝ a1 qn－1得，16 ＝ （－2） n－1，解得 n ＝5.
（3）若 a2＝1， a4＝ ，且 an ＞0，求 S10－ S5.
解： 设等比数列{ an }的公比为 q （ q ＞0），
由 a4＝ a2 q2，得 q2＝ ，解得 q ＝ 或 q ＝－ （舍去），则 a1＝
＝2，所以 S10－ S5＝ － ＝ .
通性通法
与等比数列前 n 项和公式有关的基本量的求解
　　在等比数列前 n 项和公式中，共可涉及五个量： a1， an ， n ， q ， Sn ，其中首项 a1和公比 q 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.
【跟踪训练】
1. （2024·临沂月考）在14与 之间插入 n 个数，组成所有项的和为
的等比数列，则此数列的项数为 .
解析：设此数列的公比为 q （易知 q ≠1），则解得
故此数列共有5项.
5　
2. 在等比数列{ an }中， S3＝ ， S6＝ ，求 an .
解：设等比数列{ an }的公比为 q .由已知条件知 S6≠2 S3，则 q ≠1.
由 S3＝ ， S6＝ ，得
②÷①，得1＋ q3＝9，∴ q ＝2.
将 q ＝2代入①，解得 a1＝ .
因此 an ＝ a1 qn－1＝2 n－2.
题型三 利用等比数列前 n 项和公式判断等比数列
【例3】　数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝3 n －2.求{ an }的通项公式，并判
断{ an }是否是等比数列.
解：当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝（3 n －2）－（3 n－1－2）＝2·3 n－1.
当 n ＝1时， a1＝ S1＝31－2＝1，不适合上式.
所以 an ＝
法一　由于 a1＝1， a2＝6， a3＝18，显然 a1， a2， a3不是等比数列，
即{ an }不是等比数列.
法二　由等比数列{ bn }的公比 q ≠1时的前 n 项和 Sn ＝ A · qn ＋ B 满足的
条件为 A ＝－ B ，对比可知 Sn ＝3 n －2，2≠1，故{ an }不是等比数列.
通性通法
　　由 Sn ＝ Aqn ＋ B （ AB ≠0， q ≠0且 q ≠1）判断等比数列的
注意事项
　　若数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ Aqn ＋ B （ AB ≠0， q ≠0且 q
≠1），当 A ＋ B ＝0时，{ an }是等比数列；当 A ＋ B ≠0时，
{ an }不是等比数列.
【跟踪训练】
　等比数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ m ·4 n－1＋ t （其中 m ， t 为常数且 mt
≠0），则 ＝ .
解析：法一　 a1＝ S1＝ m ＋ t ， a2＝ S2－ S1＝3 m ， a3＝ S3－ S2＝12
m ，因为{ an }为等比数列，则 ＝ a1 a3，所以9 m2＝12 m （ m ＋ t ），
即 m ＝－4 t ，故 ＝－4.
－4
法二　 Sn ＝ m ·4 n－1＋ t ＝ m ·4 n ＋ t ，因为{ an }是等比数列，故 m ＝
－ t ，则 ＝－4.
1. 数列1，5，52，53，54，…的前10项和为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　 S10＝ ＝ （510－1）.
2. 已知等比数列{ an }中， a1＝2， q ＝2，前 n 项和 Sn ＝126，则 n ＝
（　　）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
解析：　由等比数列前 n 项和公式，知 ＝2 n＋1－2＝
126， n ＝6，故选D.
3. 若数列{ an }是等比数列，且其前 n 项和为 Sn ＝3 n＋1－2 k ，则实数 k
＝ .
解析：∵ Sn ＝3 n＋1－2 k ＝3×3 n －2 k ，且{ an }为等比数列，∴3－2
k ＝0，即 k ＝ .

4. （2024·开封月考）数列{ an }的通项公式是 an ＝ an （ a ≠0），则其
前 n 项和为 Sn ＝ .
解析：因为 a ≠0， an ＝ an ，所以{ an }是以 a 为首项， a 为公比的等
比数列.当 a ＝1时， Sn ＝ n ；当 a ≠1时， Sn ＝ .
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在数列{ an }中，已知 an＋1＝2 an ，且 a1＝1，则数列{ an }的前5项的
和等于（　　）
A. －25 B. 25
C. －31 D. 31
解析：　因为 an＋1＝2 an ，且 a1＝1，所以数列{ an }是首项为1，
公比为2的等比数列，所以数列{ an }的前5项的和为 ＝31.
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2. 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 S3＝15， a3＝5，则公比 q ＝
（　　）
A. － B. 1
C. － 或1 D. 或1
解析：　当 q ≠1时，∵ S3＝15， a3＝5，∴解
得 q ＝－ .当 q ＝1时，{ an }为各项均为5的常数列，符合题意.
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3. 已知等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，下表给出了 Sn 的部分数据：
n 1 2 3 4 5 6 …
Sn －1 － …
则数列{ an }的第4项 a4＝（　　）
A. B.
C. － 或 D. － 或
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解析：　由题意得，在等比数列{ an }中，
∴ a5＝－ q4＝－ ，
解得 q ＝－ ，
∴ a4＝－（－ ）3＝ .
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4. （2024·福州月考）已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ an －1（ a 是不为
零的常数），则数列{ an }（　　）
A. 一定是等差数列
B. 一定是等比数列
C. 或是等差数列，或是等比数列
D. 既非等差数列，也非等比数列
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解析：　由 Sn ＝ an －1知，当 a ＝1时， Sn ＝0，此时数列{ an }为
等差数列（ an ＝0）.当 a ≠1时， a1＝ a －1， an ＝ Sn － Sn－1＝（ an
－1）－（ an－1－1）＝ an － an－1＝（ a －1） an－1， n ≥2， n ＝1时
也符合上式，故数列{ an }是首项为 a －1，公比为 a （ a ≠1）的等
比数列.故选C.
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5. （多选）已知等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，公比为 q ，若 a1≠
a2， a3 a4＝2 a1， a3－ a2＝2（ a4－ a3），则下列结论正确的是
（　　）
A. q ＝ B. a7＝2
C. a8＝8 D. S6＝126
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解析： 　因为等比数列{ an }中， a1≠ a2，所以 q ≠1，因为 a3· a4
＝2 a1， a3－ a2＝2（ a4－ a3）＝2 q （ a3－ a2），所以 q5＝2 a1，
且2 q ＝1，即 q ＝ ，A正确；所以 a1＝64， a7＝64× ＝1，B
错误； a8＝ a1 q7＝64× ＝ ，C错误； S6＝ ＝126，
D正确.故选A、D.
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6. （多选）设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若8 a2＋ a5＝0，则下列
式子中数值确定的是（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　由8 a2＋ a5＝0得8 a2＋ a2 q3＝0，∵ a2≠0，∴ q3＝－
8，∴ q ＝－2.A中， ＝ q2＝4；B中， ＝ ＝ ＝
；C中， ＝ ＝ ＝ ；D中， ＝
与 n 有关，不确定.故选A、B、C.
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7. 设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn （ n ∈N*），若 a2＝2， a3＝4，则
a1＝ ， S4＝ .
解析：因为 a2＝2， a3＝4，所以解得所
以 S4＝ ＝15.
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8. 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ （ an －1），则数列{ an }的通项公
式是 an ＝ .
解析： Sn ＝ an － ，所以 ＝ ， ＝ ，于是 a1＝－ ， q ＝
－ ，从而 an ＝ .

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9. （2024·宁波月考）一个等比数列的前 n 项和 Sn ＝（1－2λ）＋λ·2
n ，则λ＝ .
解析：设等比数列{ an }的公比为 q ，当 q ＝1时， a1＝ S1＝（1－
2λ）＋2λ＝1，则 Sn ＝ n ，显然与题设不符，∴ q ≠1，即等比数
列不是常数列，∴ Sn ＝ － ＝（1－2λ）＋λ·2 n ，则
可得λ＝1.
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10. 在等比数列{ an }中， a1＝1， a5＝4 a3.
（1）求{ an }的通项公式；
解：设等比数列{ an }的公比为 q ，
由题意得 an ＝ qn－1， q4＝4 q2，
解得 q ＝0（舍去）， q ＝－2或 q ＝2.
故 an ＝（－2） n－1或 an ＝2 n－1.
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（2）记 Sn 为{ an }的前 n 项和.若 Sm ＝63，求 m .
解： 若 an ＝（－2） n－1，则 Sn ＝ .
由 Sm ＝63得 ＝63，
即（－2） m ＝－188，此方程没有正整数解.
若 an ＝2 n－1，则 Sn ＝2 n －1.由 Sm ＝63得2 m －1＝63，即2 m
＝64，解得 m ＝6.综上， m ＝6.
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11. （2024·广州月考）已知数列{ an }是首项为1的等比数列， Sn 是数
列{ an }的前 n 项和且9 S3＝ S6，则数列{ }的前5项和为（　　）
A. 或5 B. 或5
C. D.
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解析：　设数列{ an }的公比为 q ，由9 S3＝ S6，得 q ≠1，则
＝ ，即1＋ q3＝9，解得 q ＝2.所以数列{ }是首项
为1，公比为 的等比数列，则数列{ }的前5项和为 T5＝
＝ ，故选C.
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12. （多选）（2024·云浮月考）已知等比数列{ an }是递增数列，其前
n 项和为 Sn ，若 a2＋ a4＝10， a2 a3 a4＝64，则（　　）
A. Sn＋1－ Sn ＝2 n＋1 B. an ＝2 n－1
C. Sn ＝2 n －1 D. Sn ＝2 n－1－1
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解析： 　设等比数列{ an }的公比为 q （ q ≠0），由 a2 a3 a4＝
64，得 ＝43，则 a3＝4，由 a2＋ a4＝10，得 ＋4 q ＝10，即2 q2
－5 q ＋2＝0，解得 q ＝2或 q ＝ .又因为数列{ an }是递增数列，所
以 q ＝2，所以2 a1＋8 a1＝10，解得 a1＝1.所以 an ＝2 n－1， Sn ＝
＝2 n －1，所以 Sn＋1－ Sn ＝2 n＋1－1－（2 n －1）＝2 n .
故选B、C.
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13. 等比数列{ an }的公比为 q ，前 n 项和 Sn ＞0（ n ＝1，2，3，…），
则 q 的取值范围是 .
解析：因为数列{ an }为等比数列， Sn ＞0，所以 a1＝ S1＞0， q
≠0.当 q ＝1时， Sn ＝ na1＞0；当 q ≠1时， Sn ＝ ＞0，
即 ＞0，所以或所以－1＜ q ＜1或
q ＞1.综上， q 的取值范围为（－1，0）∪（0，＋∞）.
（－1，0）∪（0，＋∞）
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14. （2024·温州质检）设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，其中 an ≠0， a1
为常数，且－ a1， Sn ， an＋1成等差数列.
（1）求{ an }的通项公式；
解：依题意，得2 Sn ＝ an＋1－ a1.
当 n ≥2时，有
两式相减， 得 an＋1＝3 an （ n ≥2）.
当 n ＝1时， a2＝2 S1＋ a1＝3 a1， an ≠0，
所以数列{ an }是首项为 a1，公比为3的等比数列.
因此 an ＝ a1·3 n－1（ n ∈N*）.
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（2）设 bn ＝1－ Sn ，问：是否存在 a1，使数列{ bn }为等比数列？
若存在，求出 a1的值；若不存在，请说明理由.
解： 存在.因为 Sn ＝ ＝ a1·3 n － a1，
所以 bn ＝1－ Sn ＝1＋ a1－ a1·3 n .
要使{ bn }为等比数列，则1＋ a1＝0，
即 a1＝－2.此时 bn ＝3 n ，符合题意.
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15. （2024·厦门质检）设 f （ x ）是定义在R上的恒不为零的函数，且
对任意的实数 x ， y ，都有 f （ x ）· f （ y ）＝ f （ x ＋ y ）.若 a1＝ ，
an ＝ f （ n ）（ n ∈N*），则数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ .
1－
解析：令 x ＝ n ， y ＝1，则 f （ n ）· f （1）＝ f （ n ＋1），又 an ＝ f
（ n ），∴ ＝ ＝ f （1）＝ a1＝ ，∴数列{ an }是以
为首项， 为公比的等比数列，∴ Sn ＝ ＝1－ .
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16. 将数列{ an }中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多
一项”的规则排成如下数表.
a1 a2 a3
a4 a5 a6 a7
a8 a9 a10 a11 a12
…
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①在数列{ bn }中， b1＝1，对于任何 n ∈N*，都有（ n ＋1） bn＋1－
nbn ＝0；
②表中每一行的数从左到右均构成公比为 q （ q ＞0）的等比
数列；
③ a66＝ .
记表中的第一列数 a1， a4， a8，…构成的数列为{ bn }，已知：
请解答以下问题：
（1）求数列{ bn }的通项公式；
解：由（ n ＋1） bn＋1－ nbn ＝0，得数列{ nbn }为常数
列，故 nbn ＝1· b1＝1，∴ bn ＝ .
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（2）求上表中第 k （ k ∈N*）行所有项的和 S （ k ）.
解： ∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共
含有{ an }的前63项， a66在表中第十行第三列.
故 a66＝ b10· q2，
又 a66＝ ，而 b10＝ ， q ＞0，∴ q ＝2.
故 S （ k ）＝ ＝ （2 k＋2－1）.
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谢 谢 观 看！第1课时　等比数列的前n项和公式
　　
1.在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于（　　）
A.－25　　　B.25 C.－31　　　D.31
2.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，a3＝5，则公比q＝（　　）
A.－ B.1
C.－或1 D.或1
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，下表给出了Sn的部分数据：
n 1 2 3 4 5 6 …
Sn －1 － …
则数列{an}的第4项a4＝（　　）
A. B.
C.－或 D.－或
4.（2024·福州月考）已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1（a是不为零的常数），则数列{an}（　　）
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.或是等差数列，或是等比数列
D.既非等差数列，也非等比数列
5.（多选）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1≠a2，a3a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3），则下列结论正确的是（　　）
A.q＝ B.a7＝2
C.a8＝8 D.S6＝126
6.（多选）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值确定的是（　　）
A. B.
C. D.
7.设等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），若a2＝2，a3＝4，则a1＝　　　　，S4＝　　　　.
8.已知数列{an}的前n项和Sn＝（an－1），则数列{an}的通项公式是an＝　　　　.
9.（2024·宁波月考）一个等比数列的前n项和Sn＝（1－2λ）＋λ·2n，则λ＝　　　　.
10.在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.
11.（2024·广州月考）已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为（　　）
A.或5 B.或5
C. D.
12.（多选）（2024·云浮月考）已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，则（　　）
A.Sn＋1－Sn＝2n＋1 B.an＝2n－1
C.Sn＝2n－1 D.Sn＝2n－1－1
13.等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是　　　　.
14.（2024·温州质检）设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由.
15.（2024·厦门质检）设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f（x）·f（y）＝f（x＋y）.若a1＝，an＝f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn＝　　　　.
16.将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则排成如下数表.
a1 a2 a3
a4 a5 a6 a7
a8 a9 a10 a11 a12
…
记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：
①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有（n＋1）bn＋1－nbn＝0；
②表中每一行的数从左到右均构成公比为q（q＞0）的等比数列；
③a66＝.
请解答以下问题：
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求上表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）.
第1课时　等比数列的前n项和公式
1.D　因为an＋1＝2an，且a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{an}的前5项的和为＝31.
2.C　当q≠1时，∵S3＝15，a3＝5，∴解得q＝－.当q＝1时，{an}为各项均为5的常数列，符合题意.
3.B　由题意得，在等比数列{an}中，∴a5＝－q4＝－，解得q＝－，∴a4＝－（－）3＝.
4.C　由Sn＝an－1知，当a＝1时，Sn＝0，此时数列{an}为等差数列（an＝0）.当a≠1时，a1＝a－1，an＝Sn－Sn－1＝（an－1）－（an－1－1）＝an－an－1＝（a－1）an－1，n≥2，n＝1时也符合上式，故数列{an}是首项为a－1，公比为a（a≠1）的等比数列.故选C.
5.AD　因为等比数列{an}中，a1≠a2，所以q≠1，因为a3·a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3）＝2q（a3－a2），所以q5＝2a1，且2q＝1，即q＝，A正确；所以a1＝64，a7＝64×＝1，B错误；a8＝a1q7＝64×＝，C错误；S6＝＝126，D正确.故选A、D.
6.ABC　由8a2＋a5＝0得8a2＋a2q3＝0，∵a2≠0，∴q3＝－8，∴q＝－2.A中，＝q2＝4；B中，＝＝＝；C中，＝＝＝；D中，＝与n有关，不确定.故选A、B、C.
7.1　15　解析：因为a2＝2，a3＝4，所以解得所以S4＝＝15.
8.　解析：Sn＝an－，所以＝，＝，于是a1＝－，q＝－，从而an＝.
9.1　解析：设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，a1＝S1＝（1－2λ）＋2λ＝1，则Sn＝n，显然与题设不符，∴q≠1，即等比数列不是常数列，∴Sn＝－＝（1－2λ）＋λ·2n，则可得λ＝1.
10.解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
由题意得an＝qn－1，q4＝4q2，
解得q＝0（舍去），q＝－2或q＝2.
故an＝（－2）n－1或an＝2n－1.
（2）若an＝（－2）n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得＝63，
即（－2）m＝－188，此方程没有正整数解.
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m－1＝63，即2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.
11.C　设数列{an}的公比为q，由9S3＝S6，得q≠1，则＝，即1＋q3＝9，解得q＝2.所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，则数列{}的前5项和为T5＝＝，故选C.
12.BC　设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由a2a3a4＝64，得＝43，则a3＝4，由a2＋a4＝10，得＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.又因为数列{an}是递增数列，所以q＝2，所以2a1＋8a1＝10，解得a1＝1.所以an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，所以Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－（2n－1）＝2n.故选B、C.
13.（－1，0）∪（0，＋∞）　解析：因为数列{an}为等比数列，Sn＞0，所以a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝＞0，即＞0，所以或所以－1＜q＜1或q＞1.综上，q的取值范围为（－1，0）∪（0，＋∞）.
14.解：（1）依题意，得2Sn＝an＋1－a1.
当n≥2时，有
两式相减， 得an＋1＝3an（n≥2）.
当n＝1时，a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，
所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列.
因此an＝a1·3n－1（n∈N*）.
（2）存在.因为Sn＝＝a1·3n－a1，
所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n.
要使{bn}为等比数列，则1＋a1＝0，
即a1＝－2.此时bn＝3n，符合题意.
15.1－　解析：令x＝n，y＝1，则f（n）·f（1）＝f（n＋1），又an＝f（n），∴＝＝f（1）＝a1＝，∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，∴Sn＝＝1－.
16.解：（1）由（n＋1）bn＋1－nbn＝0，得数列{nbn}为常数列，故nbn＝1·b1＝1，∴bn＝.
（2）∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项，a66在表中第十行第三列.
故a66＝b10·q2，
又a66＝，而b10＝，q＞0，∴q＝2.
故S（k）＝＝（2k＋2－1）.
2 / 24.3.2　等比数列的前n项和公式
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 逻辑推理、数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 数学建模、数学运算
第1课时　等比数列的前n项和公式
　　
　　如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友（称为第2轮传播），……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列：1，3，9，27，81，….
【问题】　如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q
公式 Sn＝　　　 Sn＝　　　
提醒　求等比数列的前n项和，需对公比分q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）等比数列前n项和Sn不可能为0.（　　）
（2）若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.（　　）
（3）若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.（　　）
（4）若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*），则此数列一定是等比数列.（　　）
2.已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5＝（　　）
A.93 B.－93 C.45 D.－45
3.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝（　　）
A.2－ B.2－ C.2－ D.2－
4.（2024·六盘水月考）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为2，且S4＝15，则a1＝　　　　.
题型一 等比数列前n项和公式的直接应用
【例1】　求下列等比数列前8项的和：
（1），，，…；
（2）a1＝27，a9＝，q＜0.
通性通法
　　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，注意公比q＝1是否成立.
【跟踪训练】
1.在等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则S3＝　　　　.
2.求数列{（－1）n}的前100项的和.
题型二 利用等比数列前n项和公式求基本量
【例2】　在等比数列{an}中，
（1）若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
（2）若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q；
（3）若a2＝1，a4＝，且an＞0，求S10－S5.
通性通法
与等比数列前n项和公式有关的基本量的求解
　　在等比数列前n项和公式中，共可涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.
【跟踪训练】
1.（2024·临沂月考）在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，则此数列的项数为　　　　.
2.在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.
题型三 利用等比数列前n项和公式判断等比数列
【例3】　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列.
通性通法
　　由Sn＝Aqn＋B（AB≠0，q≠0且q≠1）判断等比数列的注意事项
　　若数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B（AB≠0，q≠0且q≠1），当A＋B＝0时，{an}是等比数列；当A＋B≠0时，{an}不是等比数列.
【跟踪训练】
　等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n－1＋t（其中m，t为常数且mt≠0），则＝　　　　.
1.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为（　　）
A. B.
C. D.
2.已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝（　　）
A.9 B.8
C.7 D.6
3.若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝　　　　.
4.（2024·开封月考）数列{an}的通项公式是an＝an（a≠0），则其前n项和为Sn＝　　　　.
第1课时　等比数列的前n项和公式
【基础知识·重落实】
知识点
　　
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√
2.A　S5＝＝＝93.
3.B　易知公比q＝，则S10＝＝2－.
4.1　解析：依题意，a1＋a2＋a3＋a4＝15，故a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15，解得a1＝1.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为a1＝，a2＝，可得q＝，
所以S8＝＝.
（2）由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q＜0，可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
跟踪训练
1.26　解析：S3＝＝26.
2.解：法一　a1＝（－1）1＝－1，q＝－1.
∴S100＝＝0.
法二　数列{（－1）n}为－1，1，－1，1，…，
∴S100＝50×（－1＋1）＝0.
【例2】　解：（1）由题意知解得从而S5＝＝.
（2）由Sn＝得11＝，解得q＝－2，又由an＝a1qn－1得，16＝（－2）n－1，解得n＝5.
（3）设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由a4＝a2q2，得q2＝，解得q＝或q＝－（舍去），则a1＝＝2，所以S10－S5＝－＝.
跟踪训练
1.5　解析：设此数列的公比为q（易知q≠1），则解得故此数列共有5项.
2.解：设等比数列{an}的公比为q.
由已知条件知S6≠2S3，则q≠1.
由S3＝，S6＝，
得
②÷①，得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①，解得a1＝.
因此an＝a1qn－1＝2n－2.
【例3】　解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n－2）－（3n－1－2）＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不适合上式.
所以an＝
法一　由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.
法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，2≠1，故{an}不是等比数列.
跟踪训练
　－4　解析：法一　a1＝S1＝m＋t，a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m，因为{an}为等比数列，则＝a1a3，所以9m2＝12m（m＋t），即m＝－4t，故＝－4.
法二　Sn＝m·4n－1＋t＝m·4n＋t，因为{an}是等比数列，故m＝－t，则＝－4.
随堂检测
1.B　S10＝＝（510－1）.
2.D　由等比数列前n项和公式，知＝2n＋1－2＝126，n＝6，故选D.
3.　解析：∵Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝.
4.　解析：因为a≠0，an＝an，所以{an}是以a为首项，a为公比的等比数列.当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝.
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