资源简介

(共57张PPT)
5.1.2
导数的概念及其几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时
变化率的数学表达 数学抽象
2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义 数学抽象、
直观想象
3.会求简单函数的导函数，根据导数的几何意义，
会求曲线上某点处的切线方程 数学运算、
直观想象
第1课时　导数的概念
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如：
（1）摩托车的运动方程为 s ＝8＋3 t2，
其中 s 表示位移， t 表示时间，知道
它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛；
（2）冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；
（3）净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.
【问题】　上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学
意义上，这些实际上是某个函数量的瞬时变化率，它在数学上
称为什么？
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　
知识点一　函数的平均变化率
　对于函数 y ＝ f （ x ），设自变量 x 从 x0变化到 x0＋Δ x ，相应地，函
数值 y 就从 f （ x0）变化到 f （ x0＋Δ x ）.这时， x 的变化量为Δ x ， y 的
变化量为Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）.我们把比值 ，即
＝ 叫做函数 y ＝ f （ x ）从 x0到 x0＋Δ x 的平均
变化率.
　
提醒　 的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之
比，它的意义是刻画函数的函数值在某区间上的平均变化情况.
知识点二　导数的概念
1. 定义：如果当Δ x →0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的
值，即 有 ，则称 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处 ，并把
这个确定的值叫做 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数（也称为瞬时变化
率）.
2. 写法：记作f'（ x0）或y' ，即f'（ x0）＝ ＝
.
极限　
可导　
提醒　对导数概念的再理解：①函数应在点 x0的附近有定义，否则
导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数 y ＝ f （ x ）在 x
＝ x0及其附近的函数值有关，与Δ x 无关；③导数的实质是一个极
限值.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数在 x ＝ x0处的导数反映了函数在区间[ x0， x0＋Δ x ]上变
化的快慢程度. （　×　）
（2）函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数值与Δ x 的正、负无关.
（　√　）
（3）设 x ＝ x0＋Δ x ，则Δ x ＝ x － x0，则Δ x 趋近于0时， x 趋近于x0，
因此，f'（ x0）＝ ＝ . （　√　）
×
√
√
2. 设函数 y ＝ f （ x ）＝ x2－1，当自变量 x 由1变为1.1时，函数的平均
变化率为（　　）
A. 2.1 B. 1.1
C. 2 D. 0
解析：　 ＝ ＝ ＝2.1.
3. 设 f （ x ）＝2 x ＋1，则f'（1）＝ .
解析：f'（1）＝
＝ ＝2.
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求函数的平均变化率
【例1】　已知函数 h （ x ）＝－4.9 x2＋6.5 x ＋10.
（1）计算从 x ＝1到 x ＝1＋Δ x 的平均变化率，其中Δ x 的值为①2；
②1；③0.1；④0.01；
解：∵Δ y ＝ h （1＋Δ x ）－ h （1）＝－4.9（Δ x ）2－3.3Δ x ，
∴ ＝－4.9Δ x －3.3.
①当Δ x ＝2时， ＝－4.9Δ x －3.3＝－13.1；
②当Δ x ＝1时， ＝－4.9Δ x －3.3＝－8.2；
③当Δ x ＝0.1时， ＝－4.9Δ x －3.3＝－3.79；
④当Δ x ＝0.01时， ＝－4.9Δ x －3.3＝－3.349.
（2）根据（1）中的计算，当Δ x 越来越小时，函数 h （ x ）在区间
[1，1＋Δ x ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解： 当Δ x 越来越小时，函数 h （ x ）在区间[1，1＋Δ x ]上
的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
通性通法
求函数平均变化率的三个步骤
（1）求自变量的改变量Δ x ＝ x2－ x1；
（2）求函数值的改变量Δ y ＝ f （ x2）－ f （ x1）；
（3）求平均变化率 ＝ .
【跟踪训练】
　（多选）（2024·青岛月考）已知函数 f （ x ）的图象如图，则函数
f （ x ）在区间[1，7]上的平均变化率情况是（　　）
A. 在区间[1，2]上的平均变化率最小
B. 在区间[2，3]上的平均变化率大于0
C. 在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大
D. 在区间[4，7]上的平均变化率最大
解析：　函数 f （ x ）在区间上的平均变化率为 ，由函数图象可
得，在区间[4，7]上， ＜0，即函数 f （ x ）在区间[4，7]上的平均
变化率小于0，即选项D错误；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时，
＞0且Δ x 相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的 最大，故选项
A错误，B、C正确.
题型二 求函数在某点处的导数
【例2】　求函数 y ＝ x － 在 x ＝1处的导数.
解：因为Δ y ＝（1＋Δ x ）－ －（1－ ）＝Δ x ＋ ，所以 ＝
＝1＋ ，
所以 ＝ （1＋ ）＝2，
所以y'｜ x＝1＝2，即函数 y ＝ x － 在 x ＝1处的导数为2.
通性通法
求函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数的步骤
（1）求函数值的变化量Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）；
（2）求平均变化率 ＝ ；
（3）取极限，得导数f'（ x0）＝ .
【跟踪训练】
1. 函数 y ＝ 在 x ＝1处的导数为 　 　.
解析：∵Δ y ＝ －1， ＝ ＝ ，
＝ ，∴y'｜ x＝1＝ .

2. （2024·开封月考）设函数 f （ x ）在 x ＝1处的导数为2，则
＝ 　 　.
解析：根据导数定义可知， ＝
＝ ×2＝ .

题型三 导数在实际问题中的意义
【例3】　某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润 c （单位：万
元）与产量 x （单位：千台）之间的关系式为 c （ x ）＝－2 x2＋7 x ＋
6.求c'（1）与c'（2），并说明它们的实际意义.
解：根据导数的定义，
＝ ＝ ＝－2Δ x ＋3，
所以c'（1）＝ ＝ （－2Δ x ＋3）＝3，
同理可得c'（2）＝－1.
c'（1）的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获利3万元；
c'（2）的实际意义：当产量为2 000台时，多生产1台旋切机少获利1万元.
通性通法
认识瞬时变化率的关键点
（1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限；
（2）函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）反映了函数在 x ＝ x0处
的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况.
【跟踪训练】
　一只昆虫爬行的位移 s （单位：米）是关于时间 t （单位：分）的函
数： s ＝求s'（1）与s'（4），并解释它们
的实际意义.
解：当0≤ t ＜3时， s （ t ）＝3 t2，
＝ ＝ ＝6＋3Δ t ，
∴s'（1）＝ ＝ （6＋3Δ t ）＝6.
当 t ≥3时， s （ t ）＝15＋3（ t －1）2，
＝
＝ ＝18＋3Δ t ，
∴s'（4）＝ ＝ （18＋3Δ t ）＝18.
s'（1）＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，
s'（4）＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分.
1. 如图，函数 y ＝ f （ x ）在[1，3]上的平均变化率为（　　）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析：　 ＝ ＝ ＝－1.
2. （2024·深圳月考）已知函数 f （ x ）可导，且满足
＝2，则函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝3处的导数为
（　　）
A. －1 B. －2
C. 1 D. 2
解析：　由题意，知f'（3）＝ ＝－2，
故选B.
3. （2024·三明月考）设函数 f （ x ）＝ ax ＋3，若f'（1）＝3，则 a
＝ .
解析：∵f'（1）＝
＝ ＝ a ，又f'（1）＝3，∴ a ＝3.
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4. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高
点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h （单位：m）与时间 t （单位：
s）之间的关系式为 h （ t ）＝－4.9 t2＋14.7 t ，求烟花在 t ＝1 s时
的瞬时速度.
解：烟花在 t ＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值.
因为 ＝ ＝4.9－4.9Δ t ，
所以h'（1）＝ ＝ （4.9－4.9Δ t ）＝4.9.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝ x2－1在区间[1， m ]（ m ＞1）上的平均变化率为
3，则实数 m 的值为（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 4
解析：　由已知得 ＝3，所以 m ＋1＝3，所以 m ＝2.
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2. 已知 f （ x ）＝ x3，则f'（0）＝（　　）
A. －1 B. 1 C. D. 0
解析：　f'（0）＝ ＝ ＝
（Δ x ）2＝0.
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3. （2024·深圳月考）已知函数 y ＝ f （ x ）＝ ，且f'（ m ）＝－ ，
则 m 的值为（　　）
A. －4 B. 2
C. －2 D. ±2
解析：　∵ ＝ ＝ ＝ ，
∴f'（ m ）＝ ＝－ ，∴－ ＝－ ， m2＝4，
解得 m ＝±2.
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4. 若可导函数 f （ x ）的图象过原点，且满足 ＝－1，则
f'（0）＝（　　）
A. －2 B. 2 C. －1 D. 1
解析：　∵ f （ x ）图象过原点，∴ f （0）＝0，∴f'（0）＝
＝ ＝－1，故选C.
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5. （多选）已知函数 y ＝ f （ x ），下列说法正确的是（　　）
A. Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）叫做函数值的增量
B. ＝ 叫做函数在[ x0， x0＋Δ x ]上的平均变化率
C. y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数记为y'
D. y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数记为f'（ x0）
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解析： A中，Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）叫做函数值的改变量，即函数值的增量，A正确；B中， ＝ 叫做函数 f （ x ）在 x0到 x0＋Δ x 之间的平均变化率，B正确；由导数的定义知函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数记为f'（ x0）或y' ，故C错误，D正确.故选A、B、D.
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6. （多选）（2024·东营月考）已知函数 f （ x ）和 g （ x ）在区间
[ a ， b ]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）
A. f （ x ）在[ a ， b ]上的平均变化率等于 g （ x ）
在[ a ， b ]上的平均变化率
B. f （ x ）在[ a ， b ]上的平均变化率小于 g （ x ）
在[ a ， b ]上的平均变化率
C. 对于任意 x0∈（ a ， b ），函数 f （ x ）在 x ＝ x0处的瞬时变化率总大于函数 g （ x ）在 x ＝ x0处的瞬时变化率
D. 存在 x0∈（ a ， b ），使得函数 f （ x ）在 x ＝ x0处的瞬时变化率小于函数 g （ x ）在 x ＝ x0处的瞬时变化率
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解析：对于A、B，∵ f （ x ）在[ a ， b ]上的平均变化率是 ， g （ x ）在[ a ， b ]上的平均变化率是 ，由题图可知， f （ b ）＝ g （ b ）， f （ a ）＝ g （ a ），∴ ＝ ，∴选项A正确，B错误；对于C、D，函数 f （ x ）（ g （ x ））在 x ＝ x0处的瞬时变化率即为函数 f （ x ）（ g （ x ））在 x ＝ x0处的导数，即函数 f （ x ）（ g （ x ））在该点处的切线的斜率，由题图知，选项C错误，D正确.故选A、D.
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7. 函数 y ＝ f （ x ）＝ x2＋2 c （ c ∈R）在区间[1，3]上的平均变化率
为 .
解析：函数 y ＝ f （ x ）＝ x2＋2 c （ c ∈R）在区间[1，3]上的平均
变化率为 ＝ ＝ ＝4.
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8. （2024·三门峡月考）已知函数 y ＝ f （ x ）＝2 x2＋1在 x ＝ x0处的瞬
时变化率为－8，则 f （ x0）＝ .
解析：由题知－8＝ ＝ ＝4
x0，得 x0＝－2，所以 f （ x0）＝2×（－2）2＋1＝9.
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9. 函数 y ＝2 x2＋4 x 在 x ＝3处的导数是 .
解析：Δ y ＝2（3＋Δ x ）2＋4（3＋Δ x ）－（2×32＋4×3）＝12Δ x
＋2（Δ x ）2＋4Δ x ＝2（Δ x ）2＋16Δ x ，∴ ＝ ＝
2Δ x ＋16.∴y'｜ x＝3＝ ＝ （2Δ x ＋16）＝16.
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10. 一条水管中流过的水量 y （单位：m3）与时间 t （单位：s）之间
的函数关系为 y ＝ f （ t ）＝3 t .求函数 y ＝ f （ t ）在 t ＝2时的导数
f'（2），并解释它的实际意义.
解：因为 ＝ ＝ ＝3，所以f'（2）＝
＝3.
f'（2）的实际意义：水流在 t ＝2时的瞬时流速为3 m3/s.
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11. （2024·泉州月考）如图，函数 y ＝ f （ x ）在下列几个区间内，平
均变化率最大的一个区间是（　　）
A. [ x1， x2] B. [ x2， x3]
C. [ x1， x3] D. [ x3， x4]
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解析：　由平均变化率的定义可知，函数 y ＝ f （ x ）在区间
[ x1， x2]，[ x2， x3]，[ x1， x3]，[ x3， x4]上平均变化率分别为
， ， ，
，结合题图可以发现函数 y ＝ f （ x ）的平均变化率
最大的一个区间是[ x3， x4].
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12. （多选）对于函数 f （ x ），若f'（ x0）＝2，则当 h 无限趋近于0
时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（　　）
A. B.
C. D.
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解析：因为 ＝f'（ x0）＝2，故A正确；因为 ＝f'（ x0）＝2，故B正确；
因为 ＝2f'（ x0）＝4，故C错误；
因为 ＝f'（ x0）＝2，故D正确.故选A、B、D.
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13. 如图，函数 f （ x ）的图象是折线段 ABC ，其中 A ， B ， C 的坐标
分别为（0，4），（2，0），（6，4），则 f （ f （0））
＝ ； ＝ .（用数字作答）
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－2　
解析：由于 f （0）＝4， f （4）＝2，所以 f （ f （0））＝2.易求得直线 AB 的方程为 y ＝－2 x ＋4，所以 ＝ ＝－2.
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14. 建造一栋底面积为 x m2的房屋需要成本 y 万元， y 是 x 的函数， y
＝ f （ x ）＝ ＋ ＋0.3，求f'（100），并解释它的实际意义.
解：根据导数的定义，得f'（100）＝
＝
＝
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＝ （ ＋ ）
＝ ［ ＋ ］
＝ ＋ ＝0.105.
f'（100）＝0.105表示当建筑房屋底面积为100 m2时，成本增加的
速度为1 050元/m2.
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15. （2024·杭州月考）已知二次函数 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c 的导数为f'
（ x ），已知f'（0）＞0，且对于任意实数 x ，有 f （ x ）≥0，则
的最小值为 .
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解析：由导数的定义，得f'（0）＝ ＝
＝ [ a ·（Δ x ）＋ b ]＝ b ＞0.又
∴ ac ≥ ，∴ c ＞0.∴ ＝ ≥
≥ ＝2，当且仅当 a ＝ c ＝ 时等号成立.
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16. 设 f （ x ）在R上可导，求 f （－ x ）在 x ＝ a 处的导数与 f （ x ）在 x
＝－ a 处的导数之间的关系.
解：设 f （－ x ）＝ g （ x ），则 f （－ x ）在 x ＝ a 处的导数为g'
（ a ），于是g'（ a ）＝ ＝ .
而f'（－ a ）＝ ，令 x ＝－ t ，则当 x →－ a 时，
t → a ，所以f'（－ a ）＝ ＝－
＝－g'（ a ）.这说明 f （－ x ）在 x ＝ a 处的导数与 f （ x ）在 x
＝－ a 处的导数互为相反数.
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谢 谢 观 看！第1课时　导数的概念
1.函数f（x）＝x2－1在区间[1，m]（m＞1）上的平均变化率为3，则实数m的值为（　　）
A.3　　　　 B.2　　　　 C.1　　　　 D.4
2.已知f（x）＝x3，则f'（0）＝（　　）
A.－1 B.1 C. D.0
3.（2024·深圳月考）已知函数y＝f（x）＝，且f'（m）＝－，则m的值为（　　）
A.－4 B.2 C.－2 D.±2
4.若可导函数f（x）的图象过原点，且满足＝－1，则f'（0）＝（　　）
A.－2 B.2 C.－1 D.1
5.（多选）已知函数y＝f（x），下列说法正确的是（　　）
A.Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）叫做函数值的增量
B.＝叫做函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率
C.y＝f（x）在x＝x0处的导数记为y'
D.y＝f（x）在x＝x0处的导数记为f'（x0）
6.（多选）（2024·东营月考）已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）
A.f（x）在[a，b]上的平均变化率等于g（x）在[a，b]上的平均变化率
B.f（x）在[a，b]上的平均变化率小于g（x）在[a，b]上的平均变化率
C.对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D.存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
7.函数y＝f（x）＝x2＋2c（c∈R）在区间[1，3]上的平均变化率为　　　　.
8.（2024·三门峡月考）已知函数y＝f（x）＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f（x0）＝　　　　.
9.函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数是　　　　.
10.一条水管中流过的水量y（单位：m3）与时间t（单位：s）之间的函数关系为y＝f（t）＝3t.求函数y＝f（t）在t＝2时的导数f'（2），并解释它的实际意义.
11.（2024·泉州月考）如图，函数y＝f（x）在下列几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（　　）
A.[x1，x2]　　　　　B.[x2，x3] C.[x1，x3] D.[x3，x4]
12.（多选）对于函数f（x），若f'（x0）＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（　　）
A. B.
C. D.
13.如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝　　　　；＝　　　　.（用数字作答）
14.建造一栋底面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f（x）＝＋＋0.3，求f'（100），并解释它的实际意义.
15.（2024·杭州月考）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f'（x），已知f'（0）＞0，且对于任意实数x，有f（x）≥0，则的最小值为　　　　.
16.设f（x）在R上可导，求f（－x）在x＝a处的导数与f（x）在x＝－a处的导数之间的关系.
第1课时　导数的概念
1.B　由已知得＝3，所以m＋1＝3，所以m＝2.
2.D　f'（0）＝＝＝（Δx）2＝0.
3.D　∵＝＝＝，∴f'（m）＝＝－，∴－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
4.C　∵f（x）图象过原点，∴f（0）＝0，∴f'（0）＝＝＝－1，故选C.
5.ABD　A中，Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）叫做函数值的改变量，即函数值的增量，A正确；B中，＝叫做函数f（x）在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，B正确；由导数的定义知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数记为f'（x0）或y'，故C错误，D正确.故选A、B、D.
6.AD　对于A、B，∵f（x）在[a，b]上的平均变化率是，g（x）在[a，b]上的平均变化率是，由题图可知，f（b）＝g（b），f（a）＝g（a），∴＝，∴选项A正确，B错误；对于C、D，函数f（x）（g（x））在x＝x0处的瞬时变化率即为函数f（x）（g（x））在x＝x0处的导数，即函数f（x）（g（x））在该点处的切线的斜率，由题图知，选项C错误，D正确.故选A、D.
7.4　解析：函数y＝f（x）＝x2＋2c（c∈R）在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝＝4.
8.9　解析：由题知－8＝＝＝4x0，得x0＝－2，所以f（x0）＝2×（－2）2＋1＝9.
9.16　解析：Δy＝2（3＋Δx）2＋4（3＋Δx）－（2×32＋4×3）＝12Δx＋2（Δx）2＋4Δx＝2（Δx）2＋16Δx，∴＝＝2Δx＋16.∴y'｜x＝3＝＝（2Δx＋16）＝16.
10.解：因为＝＝＝3，
所以f'（2）＝＝3.
f'（2）的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s.
11.D　由平均变化率的定义可知，函数y＝f（x）在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x1，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为，，，，结合题图可以发现函数y＝f（x）的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
12.ABD　因为＝f'（x0）＝2，故A正确；因为
＝f'（x0）＝2，故B正确；因为＝2f'（x0）＝4，故C错误；因为＝f'（x0）＝2，故D正确.故选A、B、D.
13.2　－2　解析：由于f（0）＝4，f（4）＝2，所以f（f（0））＝2.易求得直线AB的方程为y＝－2x＋4，所以＝（－）＝－2.
14.解：根据导数的定义，得f'（100）＝＝＝
＝（＋）＝［＋］
＝＋＝0.105.
f'（100）＝0.105表示当建筑房屋底面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2.
15.2　解析：由导数的定义，得f'（0）＝＝
＝[a·（Δx）＋b]＝b＞0.又∴ac≥，∴c＞0.∴＝≥≥＝2，当且仅当a＝c＝时等号成立.
16.解：设f（－x）＝g（x），则f（－x）在x＝a处的导数为g'（a），于是g'（a）＝
＝.
而f'（－a）＝，
令x＝－t，则当x→－a时，t→a，
所以f'（－a）＝＝－＝－g'（a）.
这说明f（－x）在x＝a处的导数与f（x）在x＝－a处的导数互为相反数.
2 / 25.1.2　导数的概念及其几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达 数学抽象
2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义 数学抽象、直观想象
3.会求简单函数的导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程 数学运算、直观想象
第1课时　导数的概念
　　在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如：
（1）摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛；
（2）冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；
（3）净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.
【问题】　上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个函数量的瞬时变化率，它在数学上称为什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　函数的平均变化率
　对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0＋Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）.我们把比值，即＝　　　　　叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率.
提醒　的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之比，它的意义是刻画函数的函数值在某区间上的平均变化情况.
知识点二　导数的概念
1.定义：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有　　　，则称y＝f（x）在x＝x0处　　　，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率）.
2.写法：记作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝.
提醒　对导数概念的再理解：①函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数y＝f（x）在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度.（　　）
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.（　　）
（3）设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，则Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，f'（x0）＝＝ .（　　）
2.设函数y＝f（x）＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（　　）
A.2.1　　　B.1.1　　　C.2　　　D.0
3.设f（x）＝2x＋1，则f'（1）＝　　　　.
　
题型一 求函数的平均变化率
【例1】　已知函数h（x）＝－4.9x2＋6.5x＋10.
（1）计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01；
（2）根据（1）中的计算，当Δx越来越小时，函数h（x）在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
通性通法
求函数平均变化率的三个步骤
（1）求自变量的改变量Δx＝x2－x1；
（2）求函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）；
（3）求平均变化率＝.
【跟踪训练】（多选）（2024·青岛月考）已知函数f（x）的图象如图，则函数f（x）在区间[1，7]上的平均变化率情况是（　　）
A.在区间[1，2]上的平均变化率最小
B.在区间[2，3]上的平均变化率大于0
C.在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大
D.在区间[4，7]上的平均变化率最大
题型二 求函数在某点处的导数
【例2】　求函数y＝x－在x＝1处的导数.
通性通法
求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的步骤
（1）求函数值的变化量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；
（2）求平均变化率＝；
（3）取极限，得导数f'（x0）＝.
【跟踪训练】
1.函数y＝在x＝1处的导数为　　　　.
2.（2024·开封月考）设函数f（x）在x＝1处的导数为2，则＝　　　　.
题型三 导数在实际问题中的意义
【例3】　某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：万元）与产量x（单位：千台）之间的关系式为c（x）＝－2x2＋7x＋6.求c'（1）与c'（2），并说明它们的实际意义.
通性通法
认识瞬时变化率的关键点
（1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限；
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）反映了函数在x＝x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况.
【跟踪训练】
　一只昆虫爬行的位移s（单位：米）是关于时间t（单位：分）的函数：s＝求s'（1）与s'（4），并解释它们的实际意义.
1.如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为（　　）
A.1 B.－1 C.2 D.－2
2.（2024·深圳月考）已知函数f（x）可导，且满足＝2，则函数y＝f（x）在x＝3处的导数为（　　）
A.－1　 　 B.－2 C.1　 　 D.2
3.（2024·三明月考）设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝　　　　.
4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，求烟花在t＝1 s时的瞬时速度.
第1课时　导数的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
　
知识点二
1.极限　可导
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）√
2.A　＝＝＝2.1.
3.2　解析：f'（1）＝
＝＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）∵Δy＝h（1＋Δx）－h（1）＝－4.9（Δx）2－3.3Δx，
∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；
③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
（2）当Δx越来越小时，函数h（x）在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
跟踪训练
　BC　函数f（x）在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间[4，7]上，＜0，即函数f（x）在区间[4，7]上的平均变化率小于0，即选项D错误；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时，＞0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的最大，故选项A错误，B、C正确.
【例2】　解：因为Δy＝（1＋Δx）－－（1－）＝Δx＋，所以＝＝1＋，
所以＝（1＋）＝2，
所以y'｜x＝1＝2，即函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
跟踪训练
1.　解析：∵Δy＝－1，＝＝，＝，∴y'｜x＝1＝.
2.　解析：根据导数定义可知，
＝
＝×2＝.
【例3】　解：根据导数的定义，
＝＝
＝－2Δx＋3，
所以c'（1）＝＝（－2Δx＋3）＝3，
同理可得c'（2）＝－1.
c'（1）的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获利3万元；
c'（2）的实际意义：当产量为2 000台时，多生产1台旋切机少获利1万元.
跟踪训练
　解：当0≤t＜3时，s（t）＝3t2，
＝
＝＝6＋3Δt，
∴s'（1）＝＝（6＋3Δt）＝6.
当t≥3时，s（t）＝15＋3（t－1）2，
＝
＝
＝18＋3Δt，
∴s'（4）＝＝（18＋3Δt）＝18.
s'（1）＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，
s'（4）＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分.
随堂检测
1.B　＝＝＝－1.
2.B　由题意，知f'（3）＝＝－2，故选B.
3.3　解析：∵f'（1）＝
＝＝a，又f'（1）＝3，∴a＝3.
4.解：烟花在t＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值.
因为＝＝4.9－4.9Δt，
所以h'（1）＝＝（4.9－4.9Δt）＝4.9.
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