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中考数学题型专项训练 选择题
一．选择题（共20小题）
1．（2025秋 华龙区校级一模）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力，当石块入水后，F拉力＝C重力﹣F浮力．）则以下说法正确的是（　　）
A．当石块下降3cm时，此时石块在水里
B．当6≤x≤10时，F拉力（N）与x（cm）之间的函数表达式为F拉力
C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底
2．（2025秋 潍坊模拟）弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械字家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，其边长为半径画弧得到的三角形．
在大片的麦田或农田中，由农作物倒状形成的几何图案被称为“麦田怪圈”．图1中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形．如图2，成员甲先借绳子绕行一周画出⊙O，再将⊙O三等分，得到A，B，C三点．接着，成员乙分别以A，B，C为圆心画出图中的弧三角形．研究小组在A，B，C，O四点中的某一点放置了检测仪器，记成员甲所在的位置为P，成员乙所在的位置为Q，若将射线OB绕着点O逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量x（单位：°，0≤x＜360），甲、乙两人到检测仪器的距离分别记为y1和y2（单位：m），绘制出两个函数的图象（如图3）．结合以上信息判断，下列说法中正确的是（　　）
A．⊙O的半径为6m
B．图3中a的值为270
C．当x＝60时，y1取得最大值12
D．检测仪器放置在点A处
3．（2024春 青州市校级月考）下列生活中的做法与其背后的数学原理对应正确的是（　　）
A．砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙（两点确定一条直线）
B．在景区两景点之间设计“曲桥”（垂线段最短）
C．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框（三角形具有稳定性）
D．车轱辘设计为圆形（圆上的点到圆心的距离相等）
4．（2025秋 潍城区一模）如图，圆柱体的母线长为2，BC是上底的直径．一只蚂蚁从下底面的点A处出发爬行到上底面的点C处．设沿圆柱体侧面由A处爬行到C处的最短路径长为l1，沿母线AB与上底面直径BC形成的折线段爬行到C处的路径的长为l2．当圆柱体底面半径r变化时，为比较l1与l2的大小，记d，则d是r的二次函数，下列说法正确的是（　　）
A．该函数的图象都在x轴上方
B．该函数的图象的对称轴为
C．当时，l1＝l2
D．当r≥2时，l1＞l2
5．（2025秋 宁波自主招生）小明进行投篮练习，共投了20次，已知第一次没投中，总共投中了17次．现依次计算小明投完前n次时的命中率rn（n＝1，2，…，20），则r1＝0，r20＝0.85．在下列数字中，一定会在r1，r2，…，r20中出现的是（　　）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
6．（2025秋 昌邑市校级二模）如图，一架梯子AB斜靠在某个走廊竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点D处，连接AD，F是线段AD的一点，且BF∥AC．若AC＝2米，BC＝1.5米，顶端D距离地面的高度DE比AC少0.5米，则下列结论成立的是（　　）
A．AB的长为2.5米
B．CE的长为3.5米
C．四边形ACED的面积是平方米
D．BF的长为米
7．（2025秋 诸城市校级月考）在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A地出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C．此时小霞在B地的（　　）
A．南偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．南偏西30°方向上 D．北偏西30°方向上
8．（2025秋 潍坊二模）张华、李颖两人沿同一条笔直的公路相向而行，张华从甲地前往乙地，李颖从乙地前往甲地．张华先出发3分钟后李颖才出发，当张华行驶到6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回甲地．拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，二人相距的路程y（米）与张华出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．李颖速度是张华提速前速度的
B．李颖的速度为240m/min
C．两人第一次相遇的时间是分钟
D．张华最终达到乙地的时间是分钟
9．（2025秋 湘潭）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟．某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数分布直方图：（数据分成3组：0＜x≤30，30＜x≤60，60＜x≤90）．则下列说法正确的是（　　）
A．该班有40名学生
B．该班学生当天完成作业时长在30＜x≤60分钟的人数最多
C．该班学生当天完成作业时长在0＜x≤30分钟的频数是5
D．该班学生当天完成作业时长在0＜x≤60分钟的人数占全班人数的80%
10．（2025秋 潍坊一模）为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：m3），绘制了统计表．
用水量（x m3） 频数（万户）
30≤x＜60 0.25
60≤x＜90 0.75
90≤x＜120 1.5
120≤x＜150 1.0
150≤x＜180 0.5
180≤x＜210 0.4
210≤x＜240 0.25
240≤x＜270 0.15
270≤x＜300 0.15
300≤x≤330 0.05
如表所示，下面四个推断合理的是（　　）
A．年用水量少于180m3的该市居民家庭按第一档水价交费
B．年用水量超过180m3但不超过240m3的该市居民家庭按第二档水价交费
C．年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费
D．该市居民家庭年用水量的中位数在120﹣150之间
11．（2019秋 沙坪坝区校级期末）在2019年全国信息学奥林匹克联赛中，重庆八中学子再创辉煌，竞赛成绩全市领先，共56人获得全国一等奖，同时摘下高一年级组冠军，高二年级组第二名，包揽初二年级组冠、亚、季军．在校内选拔赛时，某位同学连续答题40道，答对一题得5分，答错一题扣2分，最终该同学获得144分．请问这位同学答对多少道题？下面共列出4个方程，其中正确的是（　　）
A．设答对了x道题，则可列方程：5x﹣2（40﹣x）＝144
B．设答错了y道题，则可列方程：5（40﹣y）﹣2y＝144
C．设答对题目得a分，则可列方程：40
D．设答错题目扣b分，则可列方程40
12．（2025秋 临朐县期末）学校有n位师生乘坐m辆客车外出参观．若每辆车坐45人，则还有28人没上车；若每辆车坐50人，则空出一辆客车，并且有一辆车还可以坐12人，则下列等式成立的是（　　）
A．45m+28＝50（m﹣1）﹣12 B．
C．45m﹣28＝50（m﹣1）+12 D．
13．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地，乙车出发1（h）后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．甲车的速度是120km/h
B．乙车的速度是60km/h
C．A．B两地的距离是350km
D．乙车出发5.8h时甲车到达B地
E．甲车出发4.5h最终与乙车相遇
14．O是AB的中点，青蛙从A跳到B，称之为关于中心O作了一次“对称跳”，记为T（O）．
对任意给定的△ABC，一只青蛙从P0开始，T（A）至P1，然后T（B）至P2，再T（C）至P3；继续T（A）至P4，T（B）至P5，再T（C）至P6，…，以下正确的是（　　）
A．青蛙将越跳越远
B．青蛙将最终跳入三角形内
C．P6与P0重合，即六次跳动回到原处
D．P12与P0重合，即十二次跳动回到原处
E．是否跳回原地，与在三角形内还是三角形外无关
15．如图，A，B两地之间的路程为4500米，甲乙两人骑车都从A地出发，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，乙在A，B之间的C地追赶上甲，当乙追赶上甲后，乙立即返回A地，甲继续往B地前行，甲到达B地后停止骑行，乙骑行到达A地时也停止（乙在C地掉头时间忽略不计），在整个骑行过程中，甲和乙都保持各自速度匀速骑行，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．甲的速度为150m米/分
B．乙的速度为240米/分
C．图中M点的坐标为（24，3600）
D．乙到达A地时，甲与B地相距900米
16．（2025秋 湘西州期末）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，曾经有位养鸡人在从右到左依次排列的绳子上打结，且满六进一，用来记录每天鸡蛋个数，某天他一共捡到56枚鸡蛋，则在第2根绳子上的打结数不正确的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．（2023春 沙坪坝区校级期末）对两个整式A＝a+b，B＝a﹣b进行如下操作：将B加上A，结果为C1＝2a，称为第1次操作；将第1次操作的结果C1加上2B，结果为C2＝4a﹣2b，称为第2次操作；将第2次操作的结果C2加上3A，结果为C3＝7a+b，称为第3次操作：将第3次操作的结果C3加上4B，结果为C4＝11a﹣3b，称为第4次操作；…下列说法正确的有（　　）
A．第6次操作的结果为：C6＝22a﹣4b
B．第12次操作的结果与第11次操作的结果的差为：C12﹣C11＝12a+12b
C．当a＝﹣b时，C2023＝C2022
D．当 a＝b＝1 时，C85＝3698
18．（2025秋 沙坪坝区校级期中）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：a﹣（b+c）﹣（﹣d﹣e），其中称a为“数1”，b为“数2”，+c为“数3”，﹣d为“数4”，﹣e为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到：﹣e﹣（b+c）﹣（﹣d+a），则下列说法正确的是（　　）
A．代数式（a﹣b）+（c﹣d）﹣e进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果
B．代数式a﹣（b+c﹣d﹣e）进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果
C．代数式a+[b﹣（c﹣d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可能得到7种结果
D．代数式a﹣[b+c﹣（d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可能得到8种结果
19．（2025秋 沙坪坝区校级期中）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，b＝mn，（其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数）．当n＝1时，边长为5的直角三角形的周长为（　　）
A．12 B．24 C．30 D．40
20．（2025秋 衡南县模拟）随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（　　）
A．10月测试成绩为“优秀”的学生达到40人
B．9月体育测试中学生的及格率为30%
C．从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多
参考答案与试题解析
一．多选题（共20小题）
1．（2025秋 华龙区校级一模）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力，当石块入水后，F拉力＝C重力﹣F浮力．）则以下说法正确的是（　　）
A．当石块下降3cm时，此时石块在水里
B．当6≤x≤10时，F拉力（N）与x（cm）之间的函数表达式为F拉力
C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】跨学科；函数及其图象；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】BD
【分析】观察图象，解出6≤x10的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题．
【解答】解：A、由图得，当石块下降3cm时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意；
B、设F＝kx+b，代入（6，4）（10，2.5），得Fx，故B符合题意；
C、将x＝8代入Fx，得F，4，故C不符合题意；
D、将F＝3代入Fx，得x，16，故D符合题意；
故选：BD．
【点评】本题考查了函数图象的应用，对物理常识的掌握及数形结合的思想是解题关键．
2．（2025秋 潍坊模拟）弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械字家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，其边长为半径画弧得到的三角形．
在大片的麦田或农田中，由农作物倒状形成的几何图案被称为“麦田怪圈”．图1中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形．如图2，成员甲先借绳子绕行一周画出⊙O，再将⊙O三等分，得到A，B，C三点．接着，成员乙分别以A，B，C为圆心画出图中的弧三角形．研究小组在A，B，C，O四点中的某一点放置了检测仪器，记成员甲所在的位置为P，成员乙所在的位置为Q，若将射线OB绕着点O逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量x（单位：°，0≤x＜360），甲、乙两人到检测仪器的距离分别记为y1和y2（单位：m），绘制出两个函数的图象（如图3）．结合以上信息判断，下列说法中正确的是（　　）
A．⊙O的半径为6m
B．图3中a的值为270
C．当x＝60时，y1取得最大值12
D．检测仪器放置在点A处
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】阅读型；函数及其图象；圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】ACD
【分析】根据题意找出甲乙对应的图象，然后求得α对弈的角度为240°，以及AB＝6，∠AOB360°＝120°，进而求出元的半径，结合所求对每个选项逐一分析判断即可得出结论．
【解答】解：∵将射线OB绕着点O逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量x，成员乙所在的位置为Q，
∴根据图3所示，实线部分图象中距离先保持不变，再下降至0，然后再上升，可判断实线部分为乙的图象．（由于点Q在以A为圆心，AB为半径的上，则AQ的距离保持不变）．
∴当Q点从点B开始逆时针运动时，检测器应该在A点．
故选项D正确；
∵点Q从B点运动到A点，运动的角度为个圆周，
∴α＝360°240°．
故B选项不正确；
由图象3得：AB＝6，可得∠AOB360°＝120°，
连接OA，AB，过点O作OD⊥AB于点D，如图，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝60°，BDAB＝3．
在Rt△BOD中，
∵sin∠BOD，
∴OB＝6．
即⊙O的半径为6m．
故A选项正确；
由图2可知，当射线OB旋转至的中点时，此时点P在直线OA上，y1取最大值，长度为⊙O的直径12m，
此时射线OB转过的角度为60°，即x＝60．
故C选项正确；
综上，正确的选项有：A，C，D．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数的图象，圆周角与圆心角的度数，弦心距，解直角三角形，特殊角的三角函数值，等边三角形．本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．
3．（2024春 青州市校级月考）下列生活中的做法与其背后的数学原理对应正确的是（　　）
A．砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙（两点确定一条直线）
B．在景区两景点之间设计“曲桥”（垂线段最短）
C．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框（三角形具有稳定性）
D．车轱辘设计为圆形（圆上的点到圆心的距离相等）
【考点】三角形的稳定性；圆的认识；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；应用意识．
【答案】ACD
【分析】A．根据公理“两点确定一条直线”进行判断；B．根据线段的性质即可判断；C．根据三角形的稳定性判断；D．根据圆的性质进行判断．
【解答】解：A．砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙（两点确定一条直线），故本选项正确，符合题意；
B．在景区两景点之间设计“曲桥”，即是增加了桥的长度，即蕴含的数学知识是：两点之间线段最短，而不是垂线段最短，故本选项错误，不符合题意；
C．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框（三角形具有稳定性），故本选项正确，符合题意；
D．车轱辘设计为圆形（圆上的点到圆心的距离相等），故本选项正确，符合题意；
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了直线的性质，线段的性质，三角形的稳定性，圆的认识，将实际问题数学化是解决问题的关键．
4．（2025秋 潍城区一模）如图，圆柱体的母线长为2，BC是上底的直径．一只蚂蚁从下底面的点A处出发爬行到上底面的点C处．设沿圆柱体侧面由A处爬行到C处的最短路径长为l1，沿母线AB与上底面直径BC形成的折线段爬行到C处的路径的长为l2．当圆柱体底面半径r变化时，为比较l1与l2的大小，记d，则d是r的二次函数，下列说法正确的是（　　）
A．该函数的图象都在x轴上方
B．该函数的图象的对称轴为
C．当时，l1＝l2
D．当r≥2时，l1＞l2
【考点】二次函数的应用；平面展开﹣最短路径问题．
【专题】函数思想；二次函数的应用；应用意识．
【答案】BCD
【分析】沿圆柱体侧面由A处爬行到C处的最短路径长为l1，沿母线AB与上底面直径BC形成的折线段爬行到C处的路径的长为l2＝母线长+直径长，进而根据d，得到d关于r的关系式，画出相关函数图象，判断出各个选项的正误即可．
【解答】解：
∵沿圆柱体侧面由A处爬行到C处的最短路径长为l1，
∴l1．
∵沿母线AB与上底面直径BC形成的折线段爬行到C处的路径的长为l2，
∴l2＝2+2r．
∵d，
∴d＝π2r2+4﹣（2+2r）2＝π2r2+4﹣4﹣8r﹣4r2＝（π2﹣4）r2﹣8r．
当d＝0时，（π2﹣4）r2﹣8r＝0．
r[（π2﹣4）r﹣8]＝0．
解得：r1＝0，r2．
∴函数图象与x轴交于原点或（，0）．
相关图形如下：
函数图象一部分在x轴的上方，一部分在x轴的下方，故A错误，不符合题意；
函数图象的对称轴为：r，故B正确，符合题意；
当r时，d＝0，
∴．
∵l1＞0，l2＞0，
∴l1＝l2．
故C正确，符合题意；
由函数图象可得，当r时，d＞0，
∴．
∴l1＞l2．
∵2，
∴当r≥2时，l1＞l2．
故D正确，符合题意．
故选：BCD．
【点评】本题考查二次函数的应用．得到d关于r的函数解析式是解决本题的关键．根据函数图象判断各个选项的正误是解决本题的难点．
5．（2025秋 宁波自主招生）小明进行投篮练习，共投了20次，已知第一次没投中，总共投中了17次．现依次计算小明投完前n次时的命中率rn（n＝1，2，…，20），则r1＝0，r20＝0.85．在下列数字中，一定会在r1，r2，…，r20中出现的是（　　）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【考点】概率的意义．
【专题】分类讨论；概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】AD
【分析】根据第一个没进，依次对后面的投篮情况进行讨论即可．
【解答】解：因为第一个没进，
所以若第二个进了，则有r2．
若第二个没进，第三个没进，则有r4，r5，r6．
若第二个没进，第四个没进，则有r3，r4，r5，r6．
若第二个没进，第五个没进，则有r3，r4．
后续情况无需讨论，
由此可见0.5一定会在r1，r2，r3，…r20中出现．
因为0.6，
如果前五次有三次没进，则r5，r6，r4，……
由此可见这一种情况中0.6没有出现．
因为0.7，
如果前10次有一次或二次没进，则r10或，
由此可见这种情况下0.7没有出现．
因为0.8，
如果前五次只有第一次没进，则r5，
如果前五次有二次没进，同时前十次也是二次没进，则r10．
如果前五次有二次没进，前十次是三次没进，则r15．
如果前五次有三次没进，则r15．
由此可见0.8一定会在r1，r2，r3，…r20中出现．
故选：AD．
【点评】本题考查概率的意义，分类讨论思想的应用，正确的对没进的球进行讨论是解题的关键．
6．（2025秋 昌邑市校级二模）如图，一架梯子AB斜靠在某个走廊竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点D处，连接AD，F是线段AD的一点，且BF∥AC．若AC＝2米，BC＝1.5米，顶端D距离地面的高度DE比AC少0.5米，则下列结论成立的是（　　）
A．AB的长为2.5米
B．CE的长为3.5米
C．四边形ACED的面积是平方米
D．BF的长为米
【考点】勾股定理的应用；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】ABD
【分析】根据勾股定理求出AB、BE的长，得出△ACB≌△BED，证明∠ABD＝90°，利用勾股定理求出AD，再利用平行线得出相似和比例式，求出BF即可．
【解答】解：∵AC＝2m，BC＝1.5m，
∴，A成立，符合题意；
∵DE比AC少0.5m，
∴DE＝AC﹣0.5＝1.5（m），
∵AB＝BD＝2.5m，
∴，
∴EC＝CB+BE＝3.5m，B成立，符合题意；
∵AB＝BD，BC＝ED，AC＝BE，
∴△ACB≌△BED（SSS），
∴∠ABC＝∠BDE，
∵∠DBE+∠BDE＝90°，
∴∠DBE+∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°，，C不成立，不符合题意；
连接EF并延长，交直线AC于M，
∵BF∥AC，
∴，△DEF∽△AMF，△BEF∽△CEM，
∴，，
∵DE＝1.5m，
∴，
∵AC＝2m，
∴，
∴，D成立，符合题意；
故选：ABD．
【点评】本题考查了勾股定理和相似三角形的性质与判定，解题关键是熟练运用相关知识求出线段长．
7．（2025秋 诸城市校级月考）在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A地出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C．此时小霞在B地的（　　）
A．南偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．南偏西30°方向上 D．北偏西30°方向上
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】AB
【分析】由AC＝10千米，AB＝8千米，BC＝6千米得AC2＝AB2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠ABC＝90°，再利用平行线的性质和互余的性质得到∠1，求得∠2．
【解答】解：当点C在点B的北侧时，如图，
∵AC＝10千米，AB＝8千米，BC＝6千米，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC＝90°，
∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1＝90°﹣70°＝20°，
∴∠2＝∠1＝20°，
即C点在点B的北偏西20°的方向上；
当点C在点B的南侧时，如图，
∵AC＝10千米，AB＝8千米，BC＝6千米，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC＝90°，
∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1＝70°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝20°，
即C点在点B的南偏东20°的方向上；
所以选：AB．
【点评】本题考查了解直角三角形有关方向角的问题，掌握平行线的性质和解直角三角形求角，勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．（2025秋 潍坊二模）张华、李颖两人沿同一条笔直的公路相向而行，张华从甲地前往乙地，李颖从乙地前往甲地．张华先出发3分钟后李颖才出发，当张华行驶到6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回甲地．拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，二人相距的路程y（米）与张华出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．李颖速度是张华提速前速度的
B．李颖的速度为240m/min
C．两人第一次相遇的时间是分钟
D．张华最终达到乙地的时间是分钟
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】ABC
【分析】由CD∥x轴可知，李颖速度是张华提速前速度的，可判断选项A符合题意；设张华提速前速度是m米/分，则李颖速度为号m米/分，根据C点坐标得6m+（6﹣3）m＝4000﹣2320，即可解得张华提速前速度是160米分，李颖速度为号m160＝240 （米/分），可判断选项B符合题意；张华提速后速度为240米/分，故张华返回甲地所用时间是4分，张华拿到物品后再次从甲地出发的时间是第10分钟，设两人第一次相遇的时间是n分钟，可得240（n﹣10）+240（n﹣3）＝4000，即可解得两人第一次相遇的时间是分钟，可判断选项C符合题意；张华拿到物品后再次从甲地出发的时间是第10分钟，即得张华最终达到乙地的时间是（分），可判断选项D不符合题意．
【解答】解：A．∵张华先出发3分钟后李颖才出发，当张华行驶到6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回甲地，此时由图可知：CD∥x轴，
∴李颖速度是张华提速前速度的，
故此选项符合题意；
B．设张华提速前速度是m米/分，则李颖速度为m米/分，根据C点坐标得：
6m+（6﹣3）m＝4000﹣2320，
解得m＝160，
∴张华提速前速度是160米/分，李颖速度为m240（米/分），
故此选项符合题意；
C．张华提速后速度为240米/分，
∴张华返回甲地所用时间是4 （分），
∴张华拿到物品后再次从甲地出发的时间是第10分钟，
设两人第一次相遇的时间是n分钟，可得：
240（n﹣10）+240（n﹣3）＝4000，
解得：n，
∴两人第一次相遇的时间是分钟，
故此选项符合题意；
D．张华拿到物品后再次从甲地出发的时间是第10分钟，
张华最终达到乙地的时间是：
（分），
故此选项不符合题意．
故选：ABC．
【点评】本题考查了一次函数的应用及，一元一次方程等知识，解答本题的关键是明确题意，利用方程思想和数形结合的思想解答．
9．（2025秋 湘潭）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟．某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数分布直方图：（数据分成3组：0＜x≤30，30＜x≤60，60＜x≤90）．则下列说法正确的是（　　）
A．该班有40名学生
B．该班学生当天完成作业时长在30＜x≤60分钟的人数最多
C．该班学生当天完成作业时长在0＜x≤30分钟的频数是5
D．该班学生当天完成作业时长在0＜x≤60分钟的人数占全班人数的80%
【考点】频数（率）分布直方图．
【专题】统计的应用；应用意识．
【答案】AB
【分析】把三个组的频数加起来判断A选项；根据该班学生当天完成作业时长在30＜x≤60分钟的人数为25人判断B选项；根据该班学生当天完成作业时长在0＜x≤30分钟的频数是10判断C选项；根据该班学生当天完成作业时长在0＜x≤60分钟的人数占全班人数100%＝87.5%判断D选项．
【解答】解：A选项，10+25+5＝40（名），故该选项符合题意；
B选项，该班学生当天完成作业时长在30＜x≤60分钟的人数最多，故该选项符合题意；
C选项，该班学生当天完成作业时长在0＜x≤30分钟的频数是10，故该选项不符合题意；
D选项，该班学生当天完成作业时长在0＜x≤60分钟的人数占全班人数100%＝87.5%，故该选项不符合题意；
故选：AB．
【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，通过频数分布直方图得到三个组的频数分别为10，25，5是解题的关键．
10．（2025秋 潍坊一模）为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：m3），绘制了统计表．
用水量（x m3） 频数（万户）
30≤x＜60 0.25
60≤x＜90 0.75
90≤x＜120 1.5
120≤x＜150 1.0
150≤x＜180 0.5
180≤x＜210 0.4
210≤x＜240 0.25
240≤x＜270 0.15
270≤x＜300 0.15
300≤x≤330 0.05
如表所示，下面四个推断合理的是（　　）
A．年用水量少于180m3的该市居民家庭按第一档水价交费
B．年用水量超过180m3但不超过240m3的该市居民家庭按第二档水价交费
C．年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费
D．该市居民家庭年用水量的中位数在120﹣150之间
【考点】中位数；频数（率）分布表．
【专题】统计的应用；应用意识．
【答案】AB
【分析】由统计表中的频数可知约有4万户，约为样本的80%，可判断选项A；由，可判断选项B；由年用水量超过240m3的用户所占比例可知还有一部分按第二档交费，可判断选项C；由中位数的定义可判断中位数不一定在120﹣150之间，可判断选项D．
【解答】解：∵从统计表可知年用水量少于180m3的用户共有0.25+0.75+1.5+1+0.5＝4（万户），5×80%＝4（万户），
∴选项A符合题意；
∵年用水量超过180m3但小于270m3的用户共有0.4+0.25＝0.65（万户），，
∴年用水量超过180m3但不超过240m3的用户一定在第二档中，选项B符合题意；
∵年用水量超过240m3的用户所占比例为100%﹣80%﹣13%＝7%＞5%，
∴年用水量超过240m3的用户中还有一部分按第二档交费，选项C不符合题意；
∵中位数应为第25000户和第25001户的平均数，
第25000户的用水量在90≤x＜120之间，第25001户的用水量在120≤x＜150之间，
∴两者的平均数不一定在120﹣150之间，选项D不符合题意；
故选：AB．
【点评】本题考查了统计表的有关知识，掌握频数和中位数的含义是解决问题的关键．
11．（2019秋 沙坪坝区校级期末）在2019年全国信息学奥林匹克联赛中，重庆八中学子再创辉煌，竞赛成绩全市领先，共56人获得全国一等奖，同时摘下高一年级组冠军，高二年级组第二名，包揽初二年级组冠、亚、季军．在校内选拔赛时，某位同学连续答题40道，答对一题得5分，答错一题扣2分，最终该同学获得144分．请问这位同学答对多少道题？下面共列出4个方程，其中正确的是（　　）
A．设答对了x道题，则可列方程：5x﹣2（40﹣x）＝144
B．设答错了y道题，则可列方程：5（40﹣y）﹣2y＝144
C．设答对题目得a分，则可列方程：40
D．设答错题目扣b分，则可列方程40
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】ABC
【分析】A、若设答对了x道题，等量关系：5×答对数量﹣2（40﹣x）＝144；
B、若设答错了y道题，等量关系：5×（40﹣y）﹣2y＝144；
C、若设答对题目得a分，等量关系：答对的数量﹣答错数量＝40；
D、设答错题目扣b分，答对的数量﹣答错数量＝40．
【解答】解：A、若设答对了x道题，则可列方程：5x﹣2（40﹣x）＝144，故本选项符合题意；
B、若设答错了y道题，则可列方程：5（40﹣y）﹣2y＝144，故本选项符合题意；
C、若设答对题目得a分，则可列方程：40，故本选项符合题意；
D、设答错题目扣b分，则可列方程40，故本选项不符合题意．
故选：ABC．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
12．（2025秋 临朐县期末）学校有n位师生乘坐m辆客车外出参观．若每辆车坐45人，则还有28人没上车；若每辆车坐50人，则空出一辆客车，并且有一辆车还可以坐12人，则下列等式成立的是（　　）
A．45m+28＝50（m﹣1）﹣12 B．
C．45m﹣28＝50（m﹣1）+12 D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】AD
【分析】等量关系为：45×汽车辆数+28＝50×（汽车辆数﹣1）﹣12．依此列出方程即可求解．也可根据客车数量不变列出方程．
【解答】解：由题意得：
45m+28＝50（m﹣1）﹣12或，
故选：AD．
【点评】此题考查从实际问题中抽出一元一次方程，关键是正确理解题意，根据关键语句表示出学生人数，进而得到方程．
13．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地，乙车出发1（h）后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．甲车的速度是120km/h
B．乙车的速度是60km/h
C．A．B两地的距离是350km
D．乙车出发5.8h时甲车到达B地
E．甲车出发4.5h最终与乙车相遇
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】BD
【分析】由图象可知两车起始距离为60，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．
【解答】解：乙车先行1小时的路程是60千米，因此乙车的速度为60千米/小时，
故选项B正确，符合题意；
甲车出发1.5小时就追上乙，因此速度差为60÷1.5＝40（千米/小时），
故甲车的速度为100千米/小时，
故选项A不正确，不合题意；
甲车追上乙车后到两车距离为80千米需要时间为80÷40＝2（小时），
甲车行全程需要2+1.5＝3.5（小时），
全程为100×3.5＝350（千米），
故选项C不正确，不合题意；
此时乙车出发3.5+1＝4.5（小时），
故选项D正确，符合题意；
甲车休息小时准备返回时乙车行3.5+1+0.5＝5（小时），
此时乙车距B地350﹣60×5＝50（千米），
返回时相遇时间为50÷（100+60）（小时），
此时甲车行驶的时间为3.5+0.54（h），
故选项E不正确，不合题意．
故选：BD．
【点评】本题考查一次函数的应用，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．
14．O是AB的中点，青蛙从A跳到B，称之为关于中心O作了一次“对称跳”，记为T（O）．
对任意给定的△ABC，一只青蛙从P0开始，T（A）至P1，然后T（B）至P2，再T（C）至P3；继续T（A）至P4，T（B）至P5，再T（C）至P6，…，以下正确的是（　　）
A．青蛙将越跳越远
B．青蛙将最终跳入三角形内
C．P6与P0重合，即六次跳动回到原处
D．P12与P0重合，即十二次跳动回到原处
E．是否跳回原地，与在三角形内还是三角形外无关
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；运算能力；应用意识．
【答案】CDE
【分析】O是AB的中点，青蛙从A跳到B，称之为关于中心O作了一次”对称跳”，记为T（O）；对任意给定的△ABC，一只青蚁从P0开始，T（A）至P1，然后T（B）至P2，再T（C）至P3，继续T（A）至P4，T（B）至P5，再T（C）至P6，…，据此去分析选项即可作判断．
【解答】解：A、根据图中规律，P6将回到P0处，所以不是越跳越远，故A错误；
B、P0～P6位置一定，周期规律已出，没有出现在三角形内，故B错误；
C、P6将回到P0处，故C正确；
D、周期为6，P6，P12，P18，都会回到P0处，故D正确；
E、如P0在三角形外，则6次回到起点，若P在三角形外，就相当于在图中增加P0，然后跳到P0，则又按图中规律排列，故E正确；
故选：CDE．
【点评】本题主要考查图形的变换和对称，解答此题的关键是理解题意，读懂题目中的“对称跳”，找到图形运动规律．
15．如图，A，B两地之间的路程为4500米，甲乙两人骑车都从A地出发，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，乙在A，B之间的C地追赶上甲，当乙追赶上甲后，乙立即返回A地，甲继续往B地前行，甲到达B地后停止骑行，乙骑行到达A地时也停止（乙在C地掉头时间忽略不计），在整个骑行过程中，甲和乙都保持各自速度匀速骑行，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．甲的速度为150m米/分
B．乙的速度为240米/分
C．图中M点的坐标为（24，3600）
D．乙到达A地时，甲与B地相距900米
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】ACD
【分析】根据题意和函数图象可以得到甲、乙的速度，从而可以求得M点的坐标，乙到达A地时，甲与B地相距的路程．
【解答】解：由图象可得，
甲的速度为：900÷6＝150（米/分），
乙的速度为：150×15÷（15﹣6）＝250（米/分），
乙骑行到A地时，甲骑车用的时间为：15+（15﹣6）＝24（米/分），
乙骑行到达A地时，甲乙两人相距的路程150×24＝3600（米），故M点的坐标为（24，3600）；
故乙到达A地时，甲与B地相距的路程是：4500﹣150×24＝900（米），
综上所述，ACD说法正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
16．（2025秋 湘西州期末）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，曾经有位养鸡人在从右到左依次排列的绳子上打结，且满六进一，用来记录每天鸡蛋个数，某天他一共捡到56枚鸡蛋，则在第2根绳子上的打结数不正确的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】整式的加减；用数字表示事件．
【专题】整式；运算能力．
【答案】BCD
【分析】设在第2 根绳子上的打结数为x个，根据题意可知第3根绳子的1个打结数表示6×6，第2根绳子的1个打结数表示6，第1根绳子的1个打结数表示1，再根据一共有56枚鸡蛋列出方程求解即可．
【解答】解：设在第2 根绳子上的打结数为x个，
由题意得，1×6×6+6x+2＝56，
解得x＝3，
∴在第2 根绳子上的打结数为3个，
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确读懂题意是解题关键．
17．（2023春 沙坪坝区校级期末）对两个整式A＝a+b，B＝a﹣b进行如下操作：将B加上A，结果为C1＝2a，称为第1次操作；将第1次操作的结果C1加上2B，结果为C2＝4a﹣2b，称为第2次操作；将第2次操作的结果C2加上3A，结果为C3＝7a+b，称为第3次操作：将第3次操作的结果C3加上4B，结果为C4＝11a﹣3b，称为第4次操作；…下列说法正确的有（　　）
A．第6次操作的结果为：C6＝22a﹣4b
B．第12次操作的结果与第11次操作的结果的差为：C12﹣C11＝12a+12b
C．当a＝﹣b时，C2023＝C2022
D．当 a＝b＝1 时，C85＝3698
【考点】整式的加减；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；数感．
【答案】ACD
【分析】根据题中各步操作写出对应的式子，即可找到如下规律：C2﹣C1＝2B，C3﹣C2＝3A，C4﹣C3＝4B，C5﹣C4＝5A，C6﹣C5＝6B，C7﹣C6＝7A，……，有了这一规律，对于A、B、C、D四个选项逐个计算即可得出答案．
【解答】解：由题意可知如下规律：C2﹣C1＝2B，C3﹣C2＝3A，C4﹣C3＝4B，C5﹣C4＝5A，C6﹣C5＝6B，C7﹣C6＝7A，……，C12﹣C11＝12B，……，C85﹣C84＝85A，……，C2023﹣C2022＝2023A，……，
对于A选项：（ C2﹣C1）+（C3﹣C2）+（C4﹣C3）+（C5﹣C4）+（C6﹣C5）＝2B+3A+4B+5A+6B，
即：C6﹣C1＝12B+8A＝12（a﹣b）+8（a+b）＝20a﹣4b，
∴C6＝20a﹣4b+C1＝20a﹣4b+2a＝22a﹣4b，故A正确，A符合题意．
对于B选项：由规律可知：C12﹣C11＝12B＝12（a﹣b）＝12a﹣12b，故B错误，B不符合题意．
对于C选项：由规律可知：C2023﹣C2022＝2023A＝2023（a+b），
当a＝﹣b时，C2023﹣C2022＝2023×0＝0，
即：C2023＝C2022，故C正确，C符合题意．
对于D选项：当a＝b＝1时，A＝1+1＝2，B＝1﹣1＝0，
此时，（ C2﹣C1）+（C3﹣C2）+……+（C85﹣C84）＝2B+3A+4B+5A+……+84B+85A，
∴C85﹣C1＝3A+5A+……+85A＝2×（3+5+……+85）＝23696，
∴C85＝3696+C1＝3696+2a＝3696+2＝3698，故D正确，D符合题意．
故选：ACD．
【点评】对于此类找规律问题，一定要根据题意多些出对应的算式，再仔细多角度观察算式的特征，找出规律是解决问题的关键．
18．（2025秋 沙坪坝区校级期中）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：a﹣（b+c）﹣（﹣d﹣e），其中称a为“数1”，b为“数2”，+c为“数3”，﹣d为“数4”，﹣e为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到：﹣e﹣（b+c）﹣（﹣d+a），则下列说法正确的是（　　）
A．代数式（a﹣b）+（c﹣d）﹣e进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果
B．代数式a﹣（b+c﹣d﹣e）进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果
C．代数式a+[b﹣（c﹣d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可能得到7种结果
D．代数式a﹣[b+c﹣（d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可能得到8种结果
【考点】整式的加减．
【专题】计算题；新定义；整式；运算能力．
【答案】ABC
【分析】根据括号外面是“+”，去括号不改变括号里面式子的符号；括号外面是“﹣”，去括号改变括号里面式子的符号；依此即可求解．
【解答】解：A、代数式（a﹣b）+（c﹣d）﹣e进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果是正确的，符合题意；
B、代数式a﹣（b+c﹣d﹣e）进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果是正确的，符合题意；
C、代数式a+[b﹣（c﹣d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可能得到7种结果是正确的，符合题意；
D、代数式a﹣[b+c﹣（d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可能得到7种结果，不符合题意．
故选：ABC．
【点评】本题考查了整式的加减，属于新定义题型，关键是熟练掌握新定义的运算法则．
19．（2025秋 沙坪坝区校级期中）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，b＝mn，（其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数）．当n＝1时，边长为5的直角三角形的周长为（　　）
A．12 B．24 C．30 D．40
【考点】勾股数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】AC
【分析】由n＝1，得到a（m2﹣1）①，b＝m②，c（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．
【解答】解：当n＝1，a（m2﹣1）①，b＝m②，c（m2+1）③，
∵直角三角形有一边长为5，
∴分三种情况：
①当a＝5时，（m2﹣1）＝5，
∴m2＝11，此时b不是正整数，舍去；
②当b＝5时，即m＝5，
把m＝5代入①③得，a＝12，c＝13，
此时三角形的周长＝12+13+5＝30；
③当c＝5时，（m2+1）＝5，
∴m2＝9，
解得：m＝±3，
∵m＞0，
∴m＝3，
将m＝3代入①②得，a＝4，b＝3，
此时三角形的周长＝4+3+5＝12，
综上所述，直角三角形的周长为12或30．
故选：AC．
【点评】本题考查了勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键
20．（2025秋 衡南县模拟）随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（　　）
A．10月测试成绩为“优秀”的学生达到40人
B．9月体育测试中学生的及格率为30%
C．从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多
【考点】折线统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；几何直观；运算能力．
【答案】CD
【分析】根据条形统计图和折线统计图分别判断即可．
【解答】解：A、10月测试成绩为“优秀”的学生达到500×10%＝50（人），故不符合题意；
B、测试的学生人数为：10+250+150+90＝500（名），
9月体育测试中学生的及格率为100%＝82%，故不符合题意；
C、由折线统计图可知，从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故符合题意；
D、12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多，故符合题意．
故选：CD．
【点评】此题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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