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中考数学题型专项训练 单选题
一．选择题（共20小题）
1．（2025秋 禹城市期末）数形结合A，B，C三个住宅区分别住有某公司职工30人、15人、10人，且这三个住宅区在一条大道上（A，B，C三点共线），如图所示，已知AB＝100m，BC＝200m，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此区间内设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　）
A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点B，C之间
2．（2025秋 沙坪坝区校级月考）对一组代数式：a，b，c（a，b，c≠0）进行如下操作：任意相邻的两个代数式，都用右边的代数式除以左边的代数式，所得之商写在这两个代数式之间，可以产生一个新的代数式列：a，，b，，c，记为代数式列1；将代数式列1按上述方法再做一次操作，可以得到代数式列2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：
①代数式列2为：a，，，a，b，，，b，c；
②代数式列3共18个代数式；
③代数式列3的所有代数式的积是代数式列2的所有代数式积的倍；
④代数式列2023的所有代数式的积为．
上述四个结论正确的有（　　）个
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2025秋 天台县模拟）如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在⊙O上，且点D的坐标为（0，2），现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°，点B运动到了⊙O上点B1处，点A、D分别运动到了点A1、D1处，即得到正方形A1B1C1D1（点C1与C重合）；再将正方形A1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°，点A1运动到了⊙O上点A2处，点D1、C1分别运动到了点D2、C2处，即得到正方形A2B2C2D2（点B2与B1重合），…，按上述方法旋转2020次后，点A2020的坐标为（　　）
A．（0，2） B．（2，﹣1）
C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣2）
4．（2018秋 诸暨市期末）某企业接到为地震灾区生产活动房的任务，此企业拥有九个生产车间，现在每个车间原有的成品活动房一样多，每个车间的生产能力也一样．有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员前两天时间将第一、二车间的所有成品（原来的和这两天生产的）检验完毕后，再去检验第三、四车间所有成品，又用去三天时间；同时这五天时间B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，那么B组检验员人数为（　　）
A．8人 B．10人 C．12人 D．14人
5．（2025秋 盘州市期末）清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后由中国近代数学家李善兰改译为《代数学》．该书中记载，形如x2+10x＝56的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为的矩形，则大正方形的面积为56+25＝81，则原方程的正数解为9﹣5＝4”．小聪按此方法解关于y的方程y2+20y+m＝0时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为156，则该方程的正数解为（　　）
A．6 B．8 C．16 D．
6．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是（x+x+5）2同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（　　）
A．m＝2，n＝3 B．，n＝2
C．，n＝2 D．m＝2，
7．（2025秋 佳木斯三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元．（　　）
A．45 B．50 C．55 D．60
8．（2025秋 罗山县校级月考）生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（　　）
A．9 B．10 C．﹣10 D．9或10
9．（2025秋 岳阳县期中）如图，已知太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△DFE的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
10．（2025秋 长春月考）杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要长度可能是（　　）
A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米
11．（2025秋 驿城区期末）王林在美术课上将等腰△ABC通过平移设计得到“一棵树”，已知底边AB上的高CD为5cm，沿CD方向向下平移3cm到△A1B1C1的位置，再经过相同的平移到△A2B2C2的位置，下方树干EF长为4cm，则树的高度CF长为（　　）
A．19cm B．17cm C．16cm D．15cm
12．（2025秋 洛宁县月考）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠BCF＝（　　）
A． B． C． D．
13．（2025秋 龙口市一模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1．当点A位于最高点时，∠AOM＝120°．此时，点A到地面的距离为（　　）
A．米 B．5米 C．6米 D．7米
14．（2025秋 安次区二模）如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度AB为60cm，桌面平放时高度DE为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角（∠ABC）的度数为α，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（　　）
A．（60sinα+70）cm B．（60cosα+70）cm
C．（60tanα+70）cm D．130cm
15．（2025秋 南安市模拟）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC．已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为α，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为β，若表AC的长为m，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为（　　）
A．mtanα﹣mtanβ B．
C．msinα﹣mcosβ D．
16．（2025秋 无锡期末）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC，sin∠AOB，则tanC的值为（　　）
A． B． C． D．
17．（2025秋 通榆县一模）“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示，AC⊥BC，AC＝3米，测得某地夏至正午时“表”的影长CD＝1米，冬至时的正午太阳高度角∠ABC＝α，则夏至到冬至，影长差BD的长为（　　）
A．（3sinα﹣1）米 B．米
C．（3tanα﹣1）米 D．米
18．（2025秋 深圳三模）小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出，已知i＝30°，AB＝15cm，BC＝5cm，则该玻璃透镜的折射率n为（　　）
A．1.8 B．1.6 C．1.5 D．1.4
19．（2025秋 长春月考）如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（　　）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
20．（2025秋 顺德区期中）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm．
A． B．4 C． D．5
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．（2025秋 禹城市期末）数形结合A，B，C三个住宅区分别住有某公司职工30人、15人、10人，且这三个住宅区在一条大道上（A，B，C三点共线），如图所示，已知AB＝100m，BC＝200m，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此区间内设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　）
A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点B，C之间
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】A
【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．
∴该停靠点的位置应设在点A；
故选：A．
【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．
2．（2025秋 沙坪坝区校级月考）对一组代数式：a，b，c（a，b，c≠0）进行如下操作：任意相邻的两个代数式，都用右边的代数式除以左边的代数式，所得之商写在这两个代数式之间，可以产生一个新的代数式列：a，，b，，c，记为代数式列1；将代数式列1按上述方法再做一次操作，可以得到代数式列2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：
①代数式列2为：a，，，a，b，，，b，c；
②代数式列3共18个代数式；
③代数式列3的所有代数式的积是代数式列2的所有代数式积的倍；
④代数式列2023的所有代数式的积为．
上述四个结论正确的有（　　）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．
【专题】计算题；猜想归纳；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据新定义进行计算验证即可解决．
【解答】解：根据题意，由a，b，c（a，b，c≠0），
∴代数列1为：a，，b，，c，
则代数列2为：a，，，a，b，，，b，c，故①对；
代数列3为：a，，，a，，，a，，b，，，b，，，b，，c共17个代数式，故②错误；
∵代数式列2的所有代数式积为：aa×bb×c，
代数式列3的所有代数式的积是：aaabbbc，
∴代数式列3的所有代数式的积是代数式列2的所有代数式积的倍，故③对；
∵代数式列1的所有代数式的积是abc＝bc2＝bc2×（）1﹣1，
代数式列2的所有代数式的积是：bc2×（）2﹣1，
代数式列3的所有代数式的积是：bc2×（）3﹣1，
.....．
故代数式列2023的所有代数式的积是：bc2×（）2023﹣1，故④对，
故答案选：D．
【点评】本题考查列代数式以及根据新定义解决问题，难度较大切繁琐，细心认真耐心是解决问题的关键．
3．（2025秋 天台县模拟）如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在⊙O上，且点D的坐标为（0，2），现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°，点B运动到了⊙O上点B1处，点A、D分别运动到了点A1、D1处，即得到正方形A1B1C1D1（点C1与C重合）；再将正方形A1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°，点A1运动到了⊙O上点A2处，点D1、C1分别运动到了点D2、C2处，即得到正方形A2B2C2D2（点B2与B1重合），…，按上述方法旋转2020次后，点A2020的坐标为（　　）
A．（0，2） B．（2，﹣1）
C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣2）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．
【专题】动点型；规律型；应用意识．
【答案】B
【分析】如图，由题意发现12次一个循环，由2020÷12＝168余数为4，推出A2020的坐标与A4相同，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意发现12次一个循环，
∵2020÷12＝168余数为4，
∴A2020的坐标与A4相同，
∵A4（2，﹣1），
∴A2020（2，﹣1），
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
4．（2018秋 诸暨市期末）某企业接到为地震灾区生产活动房的任务，此企业拥有九个生产车间，现在每个车间原有的成品活动房一样多，每个车间的生产能力也一样．有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员前两天时间将第一、二车间的所有成品（原来的和这两天生产的）检验完毕后，再去检验第三、四车间所有成品，又用去三天时间；同时这五天时间B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，那么B组检验员人数为（　　）
A．8人 B．10人 C．12人 D．14人
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】C
【分析】设A组所检验的每个车间原有成品a件，每个车间1天生产b件，可得A组前两天检验的总件数和后三天检验的总件数为．根据检验员的检验速度相同，可列式等式得到a和b的关系，即可得A组一名检验员每天检验的成品数．再根据B组检验员的人数＝五个车间的所有成品÷A组一名检验员每天检验的成品数，列式即可得解．
【解答】解：设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，根据检验速度相同得：
，
解得a＝4b；
则A组每名检验员每天检验的成品数为：2（a+2b）÷（2×8）＝12b÷16b．
那么B组检验员的人数为：5（a+5b）÷（b）÷5＝45bb÷5＝12（人）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题是一道叙述比较长的题目，解题时应认真读题，理解各种量之间的关系列出等式．
5．（2025秋 盘州市期末）清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后由中国近代数学家李善兰改译为《代数学》．该书中记载，形如x2+10x＝56的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为的矩形，则大正方形的面积为56+25＝81，则原方程的正数解为9﹣5＝4”．小聪按此方法解关于y的方程y2+20y+m＝0时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为156，则该方程的正数解为（　　）
A．6 B．8 C．16 D．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，利用大正方形的面积＝阴影部分的面积+4×小正方形的面积，可得出大正方形的面积，再利用该方程的正数解＝大正方形的边长﹣2×小正方形的边长，即可得出结论．
【解答】解：先构造一个面积为y2的正方形，再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为5y的矩形，
∵阴影部分的面积为156，
∴y2+4×5y＝y2+20y＝156，
∴大正方形的面积＝156+4×52＝256，
∴大正方形的边长16，
∴方程y2+20y+m＝0的正数解为16﹣2×5＝16﹣10＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，模仿案例，构造出符合题意的大正方形是解题的关键．
6．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是（x+x+5）2同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（　　）
A．m＝2，n＝3 B．，n＝2
C．，n＝2 D．m＝2，
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】画出方程x2+mx﹣n＝0的拼图过程，由面积之间的关系得m2＝4，4n+4＝14，即可得出结论．
【解答】解：如图，
由题意得：m2＝4，4n+4＝14，
∴m2，n，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键．
7．（2025秋 佳木斯三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元．（　　）
A．45 B．50 C．55 D．60
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】设每件售价应定为x元，根据按每件60元销售，每天可卖出20件．每降低1元，日销售量增加2件．日利润保持不变．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设每件售价应定为x元，
根据题意得：（x﹣40）[20+2（60﹣x）]＝（60﹣40）×20，
解得：x1＝50，x2＝60（不符合题意，舍去），
即商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2025秋 罗山县校级月考）生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（　　）
A．9 B．10 C．﹣10 D．9或10
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是91，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
根据题意得：1+x+x2＝91，
整理得：x2+x﹣90＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣10（不合题意，舍去），
即这种植物每个支干长出的小分支个数是9，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2025秋 岳阳县期中）如图，已知太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△DFE的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【考点】平行投影；全等图形；全等三角形的判定．
【专题】投影与视图；应用意识．
【答案】B
【分析】先根据题意得出AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH＝DT，进而得∠AGH＝∠DKT，∠AHG＝∠DTK＝90°，据此即可判定△AGH和△DKT全等，从而得出答案．
【解答】解：如图，
，
∵AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH＝DT，
∴∠AGH＝∠DKT，∠AHG＝∠DTK＝90°，
在△AGH和△DKT中，
，
∴△AGH≌△DKT（AAS），
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解答此题的关键是理解题意，找出AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH＝DT，进而找出判定三角形全等的判定条件．
10．（2025秋 长春月考）杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要长度可能是（　　）
A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米
【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】C
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，由等腰三角形的性质得BE＝CE＝4米，中由勾股定理求出AE＝3米，然后由AE≤AD＜AC，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5米，BC＝8米，
∴BE＝CEBC8＝4（米），
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE3（米），
由题意可知，AE≤AD＜AC，
即3米≤AD＜5米，
故这根木头需要长度可能是4米，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
11．（2025秋 驿城区期末）王林在美术课上将等腰△ABC通过平移设计得到“一棵树”，已知底边AB上的高CD为5cm，沿CD方向向下平移3cm到△A1B1C1的位置，再经过相同的平移到△A2B2C2的位置，下方树干EF长为4cm，则树的高度CF长为（　　）
A．19cm B．17cm C．16cm D．15cm
【考点】勾股定理的应用；平移的性质；等腰三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】D
【分析】根据平移的性质得到CC1＝C1C2＝3cm，根据题意计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知：CC1＝C1C2＝3cm，
由题意得：底边AB上的高CD为5cm，沿CD方向向下平移3cm，
∴C2E＝5cm，EF＝4cm，
∴CF＝CC1+C1C2+C2E+EF
＝3+3+5+4＝15（cm），
故选：D．
【点评】本题考查的是图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键．
12．（2025秋 洛宁县月考）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠BCF＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形的应用；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力；应用意识．
【答案】C
【分析】设EF＝x，则AH＝3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE＝4x，再根据勾股定理可得AB＝5x，即可求出sin∠ABE的值．
【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x，
∵△ABE≌△DAH≌△BCF，四边形EFGH为正方形，
∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x，∠ABE＝∠BCF，
∴AE＝4x，
∵∠AEB＝90°，
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：，
∴，
∵∠ABE＝∠BCF，
∴sin∠BCF，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．（2025秋 龙口市一模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1．当点A位于最高点时，∠AOM＝120°．此时，点A到地面的距离为（　　）
A．米 B．5米 C．6米 D．7米
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于G，求出∠AOE＝30°，进而求出AG＝AO×sin30°＝2，即可求解．
【解答】解：过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于G，
∵AB＝6米，OA：OB＝2：1，
∴OA＝4米，
∵∠AOM＝120°，∠EOM＝90°，
∴∠AOE＝30°，
在Rt△AOG中，AG＝AO sin30°＝2（米），
点A位于最高点时到地面的距离为2+3＝5（米），
所以点A到地面的距离为5米；
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据题目条件，构造直角三角形．
14．（2025秋 安次区二模）如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度AB为60cm，桌面平放时高度DE为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角（∠ABC）的度数为α，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（　　）
A．（60sinα+70）cm B．（60cosα+70）cm
C．（60tanα+70）cm D．130cm
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题意可得：AC⊥CB，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AC⊥CB，
在Rt△ACB中，AB＝60cm，∠ABC＝α，
∴AC＝AB sinα＝60sinα（cm），
∵DE＝70cm，
∴桌沿（点A）处到地面的高度h＝AC+DE＝（60sinα+70）cm，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．（2025秋 南安市模拟）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC．已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为α，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为β，若表AC的长为m，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为（　　）
A．mtanα﹣mtanβ B．
C．msinα﹣mcosβ D．
【考点】解直角三角形的应用；平行投影．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ACD中，AC＝m，∠ADC＝β，
∴CD，
在Rt△ACB中，∠ABC＝α，
∴BC，
∴BD＝BC﹣CD，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
16．（2025秋 无锡期末）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC，sin∠AOB，则tanC的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】设AB＝3x，则BC＝3x，由sin∠AOB，可得BO＝7x，因tanC，可得tanC的值．
【解答】解：设AB＝3x，则BC＝3x，
∵sin∠AOB，
∴BO＝7x，
∴tanC，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是掌握正切、正弦的定义．
17．（2025秋 通榆县一模）“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示，AC⊥BC，AC＝3米，测得某地夏至正午时“表”的影长CD＝1米，冬至时的正午太阳高度角∠ABC＝α，则夏至到冬至，影长差BD的长为（　　）
A．（3sinα﹣1）米 B．米
C．（3tanα﹣1）米 D．米
【考点】解直角三角形的应用；平行投影．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝α，AC＝3米，
∴BC（米），
∵CD＝1米，
∴BD＝BC﹣CD＝（1）米，
∴影长差BD的长为（1）米，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
18．（2025秋 深圳三模）小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出，已知i＝30°，AB＝15cm，BC＝5cm，则该玻璃透镜的折射率n为（　　）
A．1.8 B．1.6 C．1.5 D．1.4
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先利用互余关系说明∠A＝r，再利用直角三角形的边角间关系求出∠A的正弦值，最后利用折射率公式得结论．
【解答】解：∵折射光线沿垂直AC边的方向射出，
∴β+∠A＝90°．
∵法线垂直于AB，
∴γ+β＝90°．
∴γ＝∠A．
∴sinγ＝sinA．
n
＝1.5．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、计算折射率的公式及“同角的余角相等”等知识点是解决本题的关键．
19．（2025秋 长春月考）如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（　　）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】设y（k＞0），过4班点，2班点作y轴的平行线交反比例函数于A，B，设1班点为（x1，y1），2班点（x2，y2），3班点为（x3，y3），4班点（x4，y4），点A为（x4，y4'），点B为（x2，y2'），由图象得到y1＞y4'，y3＜y2'，依题意得：x1y1，x2y2，x3y3，x4y4分别为1班、2班、3班、4班的优秀人数．于是得到结论．
【解答】解：设y（k＞0），
过4班点，2班点作y轴的平行线交反比例函数于A，B，
设1班点为（x1，y1），2班点（x2，y2），3班点为（x3，y3），4班点（x4，y4），点A为（x4，y4'），点B为（x2，y2'），
由图象可知：y1＞y4'，y3＜y2'，
依题意得：x1y1，x2y2，x3y3，x4y4分别为1班、2班、3班、4班的优秀人数．
由题意可得：
k＝x4y4'＝x2y2'＝x1y1，
∵y1＞y4'，y3＜y2'，
∴x1y1＞x4y4'＝k，x3y3＜x2y2'＝k，
∴x4y4＞x1y1＝x3y3＞x2y2，
即：4班优秀人数＞1班优秀人数＝3班优秀人数＞2班优秀人数，
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
20．（2025秋 顺德区期中）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm．
A． B．4 C． D．5
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解．
【解答】解：已知物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形的性质得，
解得，
即蜡烛火焰的高度是，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，解答本题的关键要明确：相似三角形对应高线的比等于相似比．
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