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1.2.5 空间中的距离
1.已知点在平面内，点在平面外，且平面的一个法向量为，则点B到平面的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知点，平面过原点O，且垂直于向量，则点M到平面的距离是( )
A. B. C. D.
3.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
4.在直四棱柱中，底面是正方形，，，点N在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为( )
A.1 B. C. D.
5.如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.（多选）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(被称作阿基米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为，下列结论正确的有( )
A.平面 B.该石凳的体积为
C.A，F，C，D四点共面 D.点B到平面的距离为
8.（多选）已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则下列结论正确的是( )
A. B.点P的轨迹长度为
C.线段长度的最小值为 D.的最小值为
9.（多选）在棱长为1的正方体中，点P在棱上运动，则( )
A.若点P为的中点，则平面平面
B.
C.异面直线，所成角的取值范围是
D.点P到平面距离的最小值为
10.已知直线l过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线l的距离为_________.
11.已知三棱柱，点P在内，D，E，F分别为三边的一个三等分点，为面的一个法向量，且.若P到面的距离为2，则______.
12.已知空间A，B，C，D四点中任意两点间的距离都等于，则点A到平面的距离为________.
13.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形.平面，E，F分别是，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求点F到平面的距离.
14.如图，在长方体中，，，求：
（1）点到直线BD的距离；
（2）点到平面的距离；
（3）异面直线，之间的距离.
15.如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点.
（1）证明：；
（2）求点F到平面的距离.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，所以点B到平面的距离为.故选：A.
2.答案：D
解析：由题意，，，则，所以点M到平面的距离为.故选：D.
3.答案：D
解析：设平面的一个法向量为，则，令，可得，；所以，则点P到平面的距离为.故选：D
4.答案：C
解析：由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示，则，，，设.
因为，平面，平面，故平面，故直线到平面的距离为到平面的距离.，，，设平面的法向量为，则由，可得，取，故到平面的距离，故，故，故选：C.
5.答案：C
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
，，．设平面的法向量为，则．令，则，， ．点B到平面的距离．故选：C.
6.答案：B
解析：设，，因为，则，则，所以D，E，C，P四点共面，当平面时，有最小值.由，，若平面的一个法向量，则，取，则，，所以为平面的一个法向量，所以O到平面的距离.故选：B
7.答案：AC
解析：“阿基米德体”是由如图所示得到的，即“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点.
A选项：由图可知平面，故A选项正确；
B选项：，故B选项错误；
C选项：A，F，C，D四点均是正方体个棱上中点，
，，，且这个六条边长全相等，A，F，C，D四点共面，故C选择正确；
D选项：如图建立空间直角坐标系，
，正方体棱长为4，，，，，
所以，设平面的一个法向量为，则，解得，即，，点B到平面的距离，故D选项错误.故选：AC
8.答案：ACD
解析：以D为原点，分别以，，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
正方体的内切球的球心为正方体的中心，半径，平面的法向量：，，设，由，即，令，则，，所以.
对于选项A，，因为平面，所以，而，
所以，即，A正确.
对于选项B，因为平面，平面平面，所以点P的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为.设平面与正方体的中心O的距离d，设平面的法向量为，，，设，由，可得，令，则.，∴点O到平面的距离为，∴圆的半径为，∴圆的周长，即点P的轨迹长度为，B错误.
对于选项C，，点P在球面上，
线段长度的最小值为，C选项正确.
对于选项D，设与夹角为，，.在平面直角坐标系中，，，，，，，
所以，令，，
，所以的最小值为，D选项正确.故选：ACD
9.答案：BC
解析：
如图建系易得：，，，，，，
对于A：若点P为的中点，则，设平面的法向量为，，，则即，设，可得，
则，设平面的法向量为，，则，即，设，则，，所以，显然，不平行，即平面平面不成立，故错误；
对于B：设，则，，则，所以，故B正确；
对于C：，，，，，，，设异面直线，所成角为，则，因为，易得：，所以，所以，又，所以，C正确；
对于D：由A知平面的一个法向量为，，所以点P到平面距离为，因为，所以当时，取得最小值为，故D错误；故选：BC
10.答案：3
解析：，故，所以，设直线与直线l所成的角为，则，可得，因此点到直线l的距离为.故答案为：3
11.答案：
解析：过点P作平面于点，则，由三棱柱性质可得平面平面，
故，则，由、、平面，故，又，，，
则.
故答案为：.
12.答案：/
解析：由于A、B、C、D这四点中任意两点间距离相等，所以这四点构成一个正四面体，可以补成正方体，且正方体的棱长为1，如图所示，先求正四面体的体积V，可以看做长方体体积减去4个全等的三棱锥体积，即，又可把正四面体底面看作是由四个全等的等边三角形，每个底面积，设点A到平面的距离为d，
由等体积法得，，解得.故答案为：.
13.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)
连接交于点O，连接，在正方形中，O为的中点，
因为E为的中点，所有，又平面，所有平面，
又平面，所以平面平面.
(2)以A为原点，以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，，则，，，，则，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
易得平面的一个法向量为，则，解得，
则，，即，所以点F到平面的距离为.
14.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）以点D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.因为，，则，，，，，，所以，，
所以在上的投影向量的模为，
又，所以点到直线BD的距离.
（2）由（1）知，，.
设平面的法向量，则所以
取，可得，，所以是平面的一个法向量.
向量在法向量上的投影向量的模为
，所以点到平面的距离为.
（3）由（1）知，，所以.
又平面，平面，所以平面，
所以异面直线，之间的距离与点C到平面的距离相等，
设平面的法向量，因为，则所以
取，可得，，所以是平面的一个法向量，
向量在法向量上的投影向量的模为
，
所以点C到平面的距离为，故异面直线，之间的距离为.
15.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，，，故，因此，故
（2）因，，设平面的一个法向量，
则，则满足条件的一个，
因为，故点F到平面的距离.

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