资源简介

2.3.1 圆的标准方程
1.如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为x轴，过圆心的竖直直线为y轴，则门的轮廓所在圆的方程为( )
A. B.
C. D.
2.过三点，，的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
3.已知圆C（C为圆心，且C在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆C的方程为( )
A. B.
C. D.
4.已知复数，则复平面内点Z满足的图形的面积是( )
A.2 B.4 C. D.
5.已知点在以原点O为圆心，半径的圆上，则的最小值为( )
A. B. C. D.1
6.已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
7.（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
8.（多选）已知圆C经过点，，为直角三角形，则圆C的方程为( )
A. B.
C. D.
9.（多选）已知圆M的标准方程为，则下列说法正确的是( )
A.圆M的圆心为 B.点在圆内
C.圆M的半径为5 D.点在圆内
10.圆C的圆心在x轴上，并且经过点，，若在圆C内，则m的范围为________.
11.过四点，，，中的三点的一个圆的方程为__________.
12.已知，，，若过点A的直线l、直线BC及x轴正半轴、y轴正半轴围成的四边形有外接圆，则该圆的一个标准方程为___________.
13.在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点.
（1）求的最小值；
（2）问经过A，B，C三点的圆是否经过定点（与m，n无关） 请证明你的结论.
14.赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥.如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径.
15.已知圆C的圆心在直线上，且过点，.
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知点是圆C上的一点，求的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设该圆的半径为r，如图，
由题意知：，，，由勾股定理得：，即，解得：，，即圆的圆心为，则圆的方程为.故选：A.
2.答案：D
解析：因为，所以三角形是直角三角形，其外接圆圆心为的中点，半径为，故所求为.故选：D.
3.答案：D
解析：依题意，圆C经过点，，可设且，半径为r，则，解得，所以圆C的方程为.故选：D.
4.答案：D
解析：因为，所以，因为，所以，即，所以复平面内点Z满足的图形是以为圆心，以2为半径的圆，所以它的面积为，故选：D.
5.答案：D
解析：由题意可得点P的坐标满足，所以，.因此，.
当且仅当时，即，时取等号.故选：D.
6.答案：C
解析：由线段的中点坐标公式，求得圆心.直径.
故以为直径的圆的标准方程为.故选：C
7.答案：AB
解析：由题意设，，所以，在中，如图所示，有两种情况：
故圆心C的坐标为或，故所求圆的标准方程为故选：AB.
8.答案：BC
解析：根据题意，设圆心，半径为r，则解得所以圆C的方程为或.故选BC.
9.答案：ABC
解析：圆的圆心为，半径为5，AC正确；
由，得点在圆内，B正确；
由，得点在圆外，D错误.故选：ABC
10.答案：
解析：设圆心为，由得，所以，则半径，故圆C的方程为，又在圆C内，
所以，解得.故答案为：.
11.答案：或或或（写出一个即可）
解析：若圆过，根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上，设，，，易得AB的中垂线方程为，AC的中垂线方程为.联立解得圆心坐标为.此时圆的半径.所以圆的方程为.同理，其他三种情况下圆的方程分别为，，.
12.答案：（答案不唯一）
解析：当过点A的直线与直线BC平行时，围成的四边形是等腰梯形，外接圆就是过，，的圆.设该外接圆的圆心坐标为，则，，所以半径，此时圆的标准方程为.当过点A的直线与BC垂直时，外接圆就是以线段AC的中点为圆心，AC为直径的圆，其圆心坐标为，半径，此时圆的标准方程为.
13.答案：（1）
（2）圆M恒过点，证明见解析
解析：（1）因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以，得
设，，则有，，二次函数与y轴交于点C，得，
所以，，所以
设，由二次函数的性质知，当时，取得最小值，
即的最小值为.
（2）方法一：设经过A，B，C三点的圆为圆M，
易知的垂直平分线为，的垂直平分线为，
联立，解得，即，
圆M的半径，所以圆M的方程为，
即，所以当，，等式恒成立，故圆M恒过点.
方法二：设经过A，B，C三点的圆M为，
又因为，，解之得：，，，
故所求圆的方程为，即
所以当，，等式恒成立，故圆M恒过点.
14.答案：
解析：作出示意图如图所示，其中AB表示跨度，O为AB中点，OC为圆拱高.以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
根据已知条件有，.
可以看出，圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上，因此可设圆心的坐标为，半径为r，
因为B，C都在圆上，所以由此可解得.
15.答案：(1)
(2)
解析：(1)因为圆C的圆心在直线上，
可设，又圆C过点，，
所以，解得，所以，
所以圆C的半径，
所以圆C的标准方程为.
(2)设，又点是圆C上的一点，
所以直线与圆C有公共点，所以，
解得，即的取值范围是.

展开更多......

收起↑