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2025--2026年 高一年级上学期数学人教版A版必修第一册期末综合基础练习试卷1
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
2．已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．若 ，则 ( )
A． B． C． D．
4．若 ，则( )
A． B． C． D．
5．已知集合 ， ,则满足条件 的集合 的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知，，为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， 为锐角， ， ，则 的值为( )
A． B． C． D．
8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后来西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且 ，设 ， ，则该图形可以完成的无字证明为( )
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若函数，则下列选项正确的是（ ）
A．若函数的最小正周期为 ，则
B．当时，在区间上单调递增
C．当时，点为函数图象的一个对称中心
D．若在上有且只有两个零点，则
10．已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A．函数的零点的个数为2
B．实数的取值范围为
C．函数无最值
D．函数在上单调递增
11．设 为常数， , ，则( ).
A． B． 恒成立
C． D．满足条件的 不止一个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若含有三个实数的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0},则a2 022-b2 023=　　　　.
13．已知,，且，则的最小值为____.
14．已知 ，那么 的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知集合 , .
（1）若 ，求 ；
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
16．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．
(1)判函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求mn的取值范围；
(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值．
17．已知集合,.
（1） 若 ，求实数的取值集合.
（2） 若的子集有两个，求实数的取值集合.
（3） 若且，求实数的取值集合.
18．已知函数 .
（1）当 时，求 的值域；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围.
19．已知函数，.
(1)求函数的值域；
(2)设函数，证明：有且只有一个零点，且.
参考答案
1．【答案】 D　
【详解】由x2－4x－5＞0，得x＜－1或x＞5，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)(提示：复合函数问题重要前提是考虑定义域问题).函数f(x)＝lg(x2－4x－5)由函数y＝lg u，u＝x2－4x－5，x∈(－∞，－1)∪(5，＋∞)复合而成.因为函数y＝lg u在(0，＋∞)单调递增，u＝x2－4x－5在(－∞，－1)单调递减，在(5，＋∞)单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(5，＋∞).因为f(x)在(a，＋∞)单调递增，所以a≥5，即a的取值范围是[5，＋∞).故选D．
2．【答案】C
【详解】因为的定义域为，
所以所以
所以，即的定义域为.故选.
3．【答案】B
【详解】 .
【易错警示】不能探寻“ ”与“ ”之间的特殊关系，导致错解.
4．【答案】A
【详解】由 ，可得 .
设 ，则 .
易知 在 上为增函数，所以 ，则 ，所以 ，故 正确， 错误.
而当 ， 时， ，故 , 错误.故选 .
5．【答案】C
【详解】由题得 ， .因为 ，所以根据子集和真子集的定义，集合 必须含有元素2,5，所以 或 或 .故选 .
【多种解法】因为 中有2个元素， 中有4个元素，且 ，则 有 （个）.
【二级结论】若集合 中有 个元素，集合 中有 个元素，且 .当 时，集合 有 个；当 时，集合 有 个；当 时，集合 有 个；当 时，集合 有 个.
6．【答案】D
【详解】令，则，，，，
在平面直角坐标系中画出，，的图象及直线，结合图象知．
【多种解法】令，则，
易得，，，
又当时，函数在上单调递增，且，
，
，即．故选.
7．【答案】A
【详解】 ， ， , .
又 ， .
又 ， ，
.
又 ， ,
，
.
故选 .
8．【答案】D
【详解】由图形可知， ， ，
由勾股定理可得 .
在 中，由 可得 .故选 .
9．【答案】BC
【详解】由题意可得，
.
对于，若函数的最小正周期为 ，则 ，得，故错误；
对于，当时，，若，则，
因为函数在上单调递增，所以在区间上单调递增，故正确；
对于，当时，，因为，所以点 是函数图象的一个对称中心，故正确；
对于，当时，,，若在上有且只有两个零点，
则 ,即，解得，即，故错误.
故选.
10．【答案】ABC
【分析】
根据分段函数图像可以判断ABD，而选项C，结合分段函数的图像性质，分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.
【详解】
因为函数，可得函数图像如图：
由图知函数有2个零点，故A选项正确；
函数没有最值，故C选项正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；
由于方程有4个不同的实数根，
令则有4个不同的实数根，
因为恒成立，
设两个不等的实根为，
由韦达定理知：，
则异号，由图可知：，
所以，解得，故B选项正确；
故选：ABC
11．【答案】ABC
【详解】令 ，可得 ，因为 ，所以 , 正确.
令 ,可得 ，代入 ，可得 ，同理 ，即原等式变形为 ， 正确.
令 ，可得 ，即函数取值非负.
令 可得 ，即 ，解得 ，只有1个，故 正确， 错误.故选 .
12．【答案】1
【详解】由={a2,a+b,0}以及集合元素的性质可知a≠0且a≠1,则a≠a2,∴a=a+b,∴b=0,则a2=1,∴a=-1,∴a2 022-b2 023=(-1)2 022=1.
13．【答案】6
【详解】因为,,，
所以,，
令，则，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，此时,.
14．【答案】32
【详解】因为 ，所以 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，又 ，所以 ， 时， 取得最小值32.
15．【答案】见解析
【详解】（1）因为 ，所以 ,由 解得 ，所以 .
由 ，可得 解得 ，则 ,所以 .
（2）因为 是 的充分条件，所以 ，若 ，即 ，则 ,由 可得 解得 ；
若 ，即 ，则 ，满足 ；
若 ，即 ，则 ,
由 可得 无解.
综上，实数 的取值范围为 .
16．【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；
（2）先根据题意得到，解得，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；
（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.
【详解】（1）不是“依赖函数”，
当时，当且仅当，即时取等号；
当时，当且仅当，即时取等号；
所以，
所以存在，，则无解，故不是“依赖函数”；
（2）因为在上单调递增，故，即，解得，
由，故，解得，
从而，又函数在上单调递增，
所以，即.
（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；
②若，故在上单调递减，
从而，即，解得(舍)或，
从而存在使得对任意的，有不等式都成立，
即对恒成立，
由，得.
由，可得，
又在上单调递减，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为.
17．【答案】
（1） 【解】因为 ，所以 .
当时，，与题意矛盾；
当时，则，解得.
综上所述，实数的取值集合为.
（2） 因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素.
当时，，符合题意；当时，则，解得.
综上所述，实数的取值集合为.
（3） 因为，所以，解得，
所以.当时，；
当时，，因为，所以或，解得或.
综上所述，实数的取值集合为,,.
18．【答案】见解析
【详解】（1）当 时， ,故 的值域为 .
（2）由 得 ,所以 解得 ,
即实数 的取值范围为 .
（3） .
若 在区间 上单调递增，则 且 ,所以 ,
即实数 的取值范围为 .
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，
所以，
则，
所以为偶函数，
当时，
令，则，令，，
，又，，
所以，
即当时，
根据偶函数关于轴对称可得当时，
综上可得.
（2）因为，
当时，函数与函数均在上单调递增，
故在上单调递增，
又，，
故存在唯一零点，
当时，，，故，
当时，，，故，
故当时，无零点，
综上所述，有且只有一个零点，且该零点；
由上可知，且有，则，
即，
由函数在区间上单调递增，
故.
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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．角的终边经过点，则
A． B． C． D．
3．已知命题，，下列形式正确的是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．， D．，
4．下列各式正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，把直截面半径为的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为单位：，面积为单位：，那么把表示为的函数的解析式为（ ）
A．
B．，
C．
D．，
6．下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于非空数集M,定义f(M)表示该集合中所有元素的和.给定集合S={1,2,3,4},定义集合T={f(A)|A S,A≠ },则下列说法正确的是 (　　)
A.7∈T B.8 T
C.集合T中有10个元素 D.集合T中有11个元素
11．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，则 ．
13．当且时，函数的图象一定经过定点
14．已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知关于x的不等式的解集为或（）.
（1）求a，b的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.
16．已知函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值域．
17．已知，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
18．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域.
19．已知函数.
（1）求的对称轴和单调递增区间;
（2）当,求的值域．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意，得 ，
则 ．
故选： D ．
2．【答案】D
【解析】先求出，然后根据三角函数的定义即可得出
【详解】由点得
所以
故选：D
3．【答案】B
【分析】全称命题的否定是特称命题，否定量词，否定结论.
【详解】否定量词，否定结论，即，使得.
故选B.
【思路导引】本题考查了全称命题的否定.
4．【答案】A
【详解】对于①，元素与集合的关系用符号，应为，故①错误；
对于②，任何集合都是本身的子集，故②正确；
对于③，空集是任何集合的子集，故③正确；
对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，故④错误；
所以正确的个数有2个.
故选：A.
5．【答案】B
【详解】如图,
圆的直径,矩形的边. ,
由勾股定理,得,
矩形的面积,
又,.故选.
6．【答案】C
【详解】对于A，的最小正周期，故A错误；
对于B，为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
对于D，为偶函数，故D错误.
故选：C.
7．【答案】C
【详解】由题得函数为偶函数，在单调递增，
则对任意的，不等式恒成立，
则不等式，恒成立，
则，恒成立，
得，得，恒成立，
则且，或且，恒成立，
即当时，且，
或且，
又当，有，，
所以，
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
8．【答案】B
【详解】
，
由，得，
因为在上无零点，
所以，得，
因为，所以，
因为，，所以解得，
因为，所以解得，
因为，所以或，
当时，，当时，，
所以的取值范围是，
故选B.
9．【答案】AD
【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，故A正确；
对于B选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为奇函数，故B错误；
对于C选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为非奇非偶函数，故C错误；
对于D选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，故D正确，
故选AD.
10．【答案】AC
【详解】①当A为单元素集合时,集合A可取{1},{2},{3},{4},f(A)可取1,2,3,4;
②当A中的元素个数为2时,集合A可取{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},f(A)可取3,4,5,6,7;
③当A中的元素个数为3时,集合A可取{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},f(A)可取6,7,8,9;
④当A=S时,f(A)=10.
综上所述,T={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.故选AC.
11．【答案】AC
【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D.
【详解】关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，A正确；
且方程的两根为、4，由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，B错误；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，C正确；
对于D，，D错误.选AC.
12．【答案】
【详解】由已知，，则．
故答案为：.
13．【答案】
【分析】令可求出定点.
【详解】令，可得当时，，所以图象一定经过定点.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】将函数零点个数问题转化成方程解的个数问题，进一步转化成图像的交点个数问题.
【详解】函数在区间上有两个零点，
即在区间上有两个不同的解，
即在区间上有两个不同的解，
转化成与在区间上有两个不同的交点，
结合对勾函数的性质可知在单调递减，在单调递增，
且，所以，解得，
故答案为：.
15．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）解：方法一：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
所以，解得
方法二：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
由1是的根，有，
将代入，
得或，
∴；
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意有，即，
得，
所以k的取值范围为.
16．【答案】
(1)
(2)
【分析】
（1）先考虑函数定义域，再运用对数函数单调性求解不等式即得；
（2）根据求函数值域的从内到外的原则，先由 的范围求 的范围，再运用对数函数单调性求 的范围，最后即得函数值域.
【详解】
（1）由 可知 ，即得： ，
由 得： ，即 ，
因 在定义域内是增函数，故得 ，即 ，
又因 ，故 的取值范围 .
（2）由 可得 ，
因 在定义域内是增函数，则 ，故得： ，
即函数 的值域为 .
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，解得，
所以；
（2）因为，且，所以，所以.
所以，
又因为，，所以，所以.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的周期，在区间的长度为的，故，
计算得：，故，，
即，解得，，又因为，故.
所以.
（2）在上，，故，
因此，即在上的值域.
19．【答案】（1），；（2）
【详解】（1）令,解得,
的对称轴为,
又由,
解得,
的单调递增区间为;
(2)由,则,
,.
的值域为.
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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生 B．2020年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于的正整数
2．已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．2 B．3
C．4 D．6
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．基本再生数与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为（ ）(参考数据：)
A．2天 B．3天 C．4天 D．5天
6．下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 ， ，，则x，y，z的大小关系为（ ）
A．x8．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．至少有一个实数，使
B．“”是“”的充分不必要条件
C．命题“，”的否定是真命题
D．“在上单调递增”是“”的必要不充分条件
11．给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．
B．（，）过定点
C．圆心角为，弧长为的扇形面积为
D．“”是“”的充分不必要条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12． 已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
13．若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是______．
14．给出以下四个命题：
①函数的零点是；
②函数与为同一个函数；
③函数的定义域为R，则a的取值范围为；
④若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为{5，10}的“孪生函数”共有4个．
其中正确的命题有 ．（写出所有正确命题的序号）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设函数，，．
(1)求函数在上的单调区间；
(2)若，，使成立，求实数a的取值范围；
(3)求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过x的最大整数，如，）．
参考数据：，．
16．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．
(1)判函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求mn的取值范围；
(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值．
17．已知函数（且）为奇函数.
(1)求函数的定义域及解析式；
(2)若，函数的最大值比最小值大2，求的值.
18．函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师Johan Jensen在1905年提出来的．其中对于凸函数的定义如下:设连续函数的定义域为（或开区间或,或都可以）,若对于区间上任意两个数，均有成立，则称为区间上的凸函数.容易证明譬如都是凸函数.Johan Jensen在1906年将上述不等式推广到了个变量的情形，即著名的Jensen不等式:若函数为其定义域上的凸函数,则对其定义域内任意个数,均有成立,当且仅当时等号成立．
(1)若函数为上的凸函数，求的取值范围：
(2)在中，求的最小值；
(3)若连续函数的定义域和值域都是，且对于任意均满足下述两个不等式：，证明：函数为上的凸函数．（注：）
19．若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的上凸函数；若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的下凸函数.
上述不等式可以推广到取区间的任意个点，即若是上凸函数，则对任意，恒有（当且仅当时等号成立）；若是下凸函数，则对任意恒有（当且仅当时等号成立）.
应用以上知识解决下列问题：
(1)判断函数在是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；
(2)利用（1）的结果证明：对任意，都有，当且仅当时等号成立；
(3)设，其中且，则当，求最小值.
参考答案
1．【答案】B
【分析】由集合元素的确定性即可判断.
【详解】2020年高考数学难题，无法界定故错误；其它三个都是明确可知，故正确.
故选B.
2．【答案】C　
【详解】依题意A∩B的元素是直线x+y=8上满足x,y∈N*且y≥x的点,即点(1,7),(2,6),(3,5),(4,4).故选C．
3．【答案】D
【详解】由知，
.
所以.
故选D.
4．【答案】C
【详解】，
因为，所以
因为函数在区间上单调递增，
所以函数在上单调递增，且，即.
因为，
所以，函数在上单调增，
等价于或，
所以，解不等式得或，所以，的取值范围是.
故选C.
5．【答案】D
【解析】根据已知数据先求出，可得，则由解出即可.
【详解】，，即，解得，
，则，
解得，则，
故累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为5天.
故选：D.
6．【答案】C
【详解】对于A，的最小正周期，故A错误；
对于B，为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
对于D，为偶函数，故D错误.
故选：C.
7．【答案】C
【解析】由已知得，，且，由此可判断得选项.
【详解】因为，，且，所以，
故选：C.
8．【答案】D　
【详解】奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则f(x)在(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝0.由xf(x－1)≥0，得或即或解得－1≤x≤0或1≤x≤3.故选D．
【关键点拨】
利用奇函数图象关于原点对称判断函数的单调性，分类讨论求解不等式.
9．【答案】ACD
【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
由任意，恒成立， 所以，
符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错；
故选：ACD
10．【答案】BCD
【详解】对于A，由，得，则不存在实数使得方程成立，故A错误；
对于B，若，则，充分性成立；
假设，，满足，此时不成立，必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，命题“，”的否定是“，”，
因为恒成立，所以“，”是真命题，
即命题“，”的否定是真命题，故C正确；
对于D，由，
得二次函数的开口向下，对称轴方程为，则单调递增区间为，
若在上单调递增，则，
所以，解得，故充分性不成立；
若，则，此时，所以在上单调递增，故必要性成立；
所以“在上单调递增”是“”的必要不充分条件，故D正确；
故选：BCD
11．【答案】BCD
【分析】根据对数的运算可对A判断；根据过的定点可对B判断；根据扇形面积计算公式可对C项判断；根据函数的单调性可对D项判断.
【详解】对于A：，故A项错误.
对于B：（，）恒过点，故B正确；
对于C：圆心角为，弧长为，则半径，则得扇形面积为，故C正确；
对于D：，解得，所以可得，但不一定得到，
所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确；
故选BCD.
12．【答案】．
【详解】由题意得恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，，解得．
综上．
故答案为：．
13．【答案】
【详解】因为函数与是区间上的“2阶依附函数”，
所以在上恒成立，
又在上单调递增，则，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
，
令，，设，
，则在上单调递增，
所以，
所以．
故答案为：．
14．【答案】③
【分析】对①，由零点的定于判断；
对②，由定义域不同判断即可；
对③，等价于恒成立，对a分类讨论即可；
对④，根据“孪生函数”定义，列举出函数的可能定义域即可.
【详解】对①，函数的零点是-1，①错；
对②，函数定义域为，函数定义域为，不是同一个函数，②错；
对③，当时，，定义域为R，符合题意；
当时，则，得，解得．
综上，a的取值范围是．③对；
对④，，值域为，时，由时，，时，
用列举法得函数的定义域可能为：，，，，，，，，，，，，，，，3，，，，，，，3，，
即9个“孪生函数”，④错.
故答案为：③．
15．【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是和；
(2)；
(3)证明见解析，.
【分析】（1）根据余弦函数的单调区间求出的单调区间；
（2）由已知得到的值域为的值域的子集，转化为求函数最值的问题；
（3）根据函数单调性判断函数的零点个数，求出零点的范围，进而求解.
【详解】（1）令，，解得，，
又，得的单调递增区间是和；
令，，解得，，
又，得的单调递减区间是和.
所以函数在上的单调递增区间是和，单调递减区间是和；
（2）若，，使成立，
则，，的值域应为的值域的子集.
由（1）知，在单调递减，
所以的值域为，
因为，当时，令，
则，开口方向向上，对称轴是，，
当时，在单调递减，不符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，
所以，即，解得，
所以；
（3）由（1）知在上是单调递减函数，易知在上是单调递增函数，
所以在上是单调递减函数，
又，，
根据零点存在性定理知在上有唯一零点，
当时，，，
所以，
即在上无零点，
综上，在上有且只有一个零点.
因为，
所以，
所以，
所以.
【方法点拨】本题第（2）问考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
16．【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；
（2）先根据题意得到，解得，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；
（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.
【详解】（1）不是“依赖函数”，
当时，当且仅当，即时取等号；
当时，当且仅当，即时取等号；
所以，
所以存在，，则无解，故不是“依赖函数”；
（2）因为在上单调递增，故，即，解得，
由，故，解得，
从而，又函数在上单调递增，
所以，即.
（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；
②若，故在上单调递减，
从而，即，解得(舍)或，
从而存在使得对任意的，有不等式都成立，
即对恒成立，
由，得.
由，可得，
又在上单调递减，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为.
17．【答案】(1)定义域为，；
(2)或
【详解】（1）要使函数有意义，则，可得，
因为为奇函数，所以，即，所以的定义域为，
由可得，所以，
此时，是奇函数，符合题意.
（2），
①当时，函数单调递减，
所以，
，
所以，
解得.
②当时，函数单调递增，
所以，，
所以，
解得.
综上，或.
18．【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由凸函数的定义有
，
故．
（2）由基本不等式有
，
当且仅当时取等号．
由Jensen不等式有，
从而有，即的最小值为．
当且仅当时取等号，
故的最小值为．
（3）证明：
，
从而，进而有，
所以函数为上的凸函数．
【思路导引】(1)根据凸函数的定义可知，即，结合可得，从而解得的取值范围.
将展开得，由基本不等式可得该式的最小值，结合Jensen不等式可得的最小值．
利用条件和凸函数的定义，证明即可.
19．【答案】(1)是上凸函数，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）是上凸函数，理由如下：
任意取
当且仅当时等号成立，
而
即，当且仅当时等号成立，
故是上凸函数.
（2）由（1）知是上凸函数，
对任意恒有，
即
又在上增函数
（*）
当且仅当时等号成立
将不等式（*）中替换成
所以.
（3）
利用不等式（*）可得,
当且仅当，即时等号成立,
所以当时，取得最小值.
【方法总结】(1)基本不等式的变形形式≥≥ab要熟练掌握和运用;(2)先利用“乘1法”转化,使用基本不等式求最值是已知和为定值求倒数和的最值的有利方法.
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第 page number 页，共 number of pages 页2025--2026年 高一年级上学期数学人教版A版必修第一册期末综合提高练习试卷2
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．命题的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3．若 ，则( )
A． B． C． D．
4．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．设函数的定义域为是偶函数，是奇函数，且当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．3
7．函数f(x)=|x2﹣2x|，x1 x2 x3 x4满足：f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=m，x1A． B． C．1 D．
8．若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各项不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.则（ ）
A．
B．是偶函数
C．在上单调递减
D．（注：）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图.定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数” .

13．已知，设函数在的最大值为，最小值为，那么的值为 ．
14．已知函数，若，，且，则的最小值是
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数是定义域上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
16．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求m，n的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
17．若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的上凸函数；若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的下凸函数.
上述不等式可以推广到取区间的任意个点，即若是上凸函数，则对任意，恒有（当且仅当时等号成立）；若是下凸函数，则对任意恒有（当且仅当时等号成立）.
应用以上知识解决下列问题：
(1)判断函数在是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；
(2)利用（1）的结果证明：对任意，都有，当且仅当时等号成立；
(3)设，其中且，则当，求最小值.
18．已知函数，.
(1)求函数的值域；
(2)设函数，证明：有且只有一个零点，且.
19．若定义在上的函数满足对任意的区间，存在正整数，使得，则称为上的“阶交汇函数”．对于函数，记，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定．
(1)若，函数的定义域为，求并判断是否为上的“2阶交汇函数”；
(2)若函数，试比较和的大小；
(3)设，若函数的定义域为，且表达式为，试证明对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为的定义域为，
所以所以
所以，即的定义域为.故选.
2．【答案】C
【详解】命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，
所以其否定为.
故选：C.
3．【答案】A
【详解】由 ，可得 .
设 ，则 .
易知 在 上为增函数，所以 ，则 ，所以 ，故 正确， 错误.
而当 ， 时， ，故 , 错误.故选 .
4．【答案】D
【详解】由题可知，函数的定义域为，
又，
所以 为定义域上的偶函数，图象关于对称，可排除A；
又，可排除B；
当时，，则，可排除C.
故选：D.
5．【答案】D
【详解】令，则，，，，
在平面直角坐标系中画出，，的图象及直线，结合图象知．
【多种解法】令，则，
易得，，，
又当时，函数在上单调递增，且，
，
，即．故选.
6．【答案】B
【详解】是偶函数，
是奇函数，且，
且.
根据所得的关系式，
可得.
由，解得，
.
故选B.
7．【答案】B
【详解】 ，由题意有4个实数根
由的图像可知
所以为的两个实数根，由求根公式可得
则为的两个实数根，由求根公式可得
由，所以
故 解得
故选：B
8．【答案】C
【详解】因，所以，又，
根据，得，同时也能确定.
因为，，，所以.
.
将转化为.
所以
因为，，所以.
在这个区间内，时，.
故选C.
9．【答案】CD
【分析】由不等式性质判断A；特殊值法判断B，作差法判断C、D.
【详解】由，则，A错；
当时，B错；
，即，C对；
，即，D对.
故选：CD
10．【答案】ABC
【分析】根据n次方根的概念和性质可判断A,C，根据对数的运算性质和换底公式可判断B,D.
【详解】对于A，当时，，当时，，故A错误；
对于B，由对数的运算性质可知B错误；
对于C，由n次方根的性质，当为奇数时，，当为偶数时，，故C错误；
对于D，.故D正确.
故选：ABC.
11．【答案】ACD
【详解】由对任意，总有，
令，则，则，
令，则，
则有，故
则是奇函数，故选项B判断错误；
又由，可得，
则，故选项A判断正确；
设任意，，
则，
又，则，则，
则在上单调递减. 故选项C判断正确；
，
又由，可得
则
故选：ACD
12．【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意可得一定为奇函数，且图象是一条连续不断的曲线，进而写出符合题意的答案即可.
【详解】由题意，“完美函数”能平分圆的周长和面积，且图象是一条连续不断的曲线，
所以圆心在坐标原点时，“完美函数”一定为奇函数，
则符合题意的一个“完美函数”为（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
13．【答案】
【分析】由题目化简，得到，然后根据函数单调性即可得出结果.
【详解】
，
则
，
所以，
又因为和是上的增函数，
所以和是上的减函数，
所以是上的增函数，
即是上的增函数，
所以.
故答案为：
14．【答案】8
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式；
（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；
（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，
即，化简得，因此，；
（2）任取、，且，即，
则，
，，，，，，.
，，因此，函数在区间上是减函数；
（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，
由得，所以，解得.
因此，不等式的解集为.
16．【答案】(1)，；
(2)单调递增，证明见解析；
(3)
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，且，
则，解得，所以函数，
经检验，函数为奇函数，所以，.
（2）在上单调递增．证明如下：
设，则，
其中，，，
则，即，
所以函数在上单调递增.
（3）因为对任意的，总存在，使得，则，
因为在上单调递增，可得，
当时，，所以恒成立，符合题意；
当时，在上单调递增，则，
即，解得；
当时，函数在上单调递减，
则，即，解得；
综上所述，实数的取值范围为．
17．【答案】(1)是上凸函数，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）是上凸函数，理由如下：
任意取
当且仅当时等号成立，
而
即，当且仅当时等号成立，
故是上凸函数.
（2）由（1）知是上凸函数，
对任意恒有，
即
又在上增函数
（*）
当且仅当时等号成立
将不等式（*）中替换成
所以.
（3）
利用不等式（*）可得,
当且仅当，即时等号成立,
所以当时，取得最小值.
【方法总结】(1)基本不等式的变形形式≥≥ab要熟练掌握和运用;(2)先利用“乘1法”转化,使用基本不等式求最值是已知和为定值求倒数和的最值的有利方法.
18．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，
所以，
则，
所以为偶函数，
当时，
令，则，令，，
，又，，
所以，
即当时，
根据偶函数关于轴对称可得当时，
综上可得.
（2）因为，
当时，函数与函数均在上单调递增，
故在上单调递增，
又，，
故存在唯一零点，
当时，，，故，
当时，，，故，
故当时，无零点，
综上所述，有且只有一个零点，且该零点；
由上可知，且有，则，
即，
由函数在区间上单调递增，
故.
19．【答案】(1)，为上的“2阶交汇函数”;
(2);
(3)证明见解析
【详解】（1）因为函数在上单调递增，
所以当时，，所以，
当时，，所以，
因为，
所以为上的“2阶交汇函数”.
（2）由，，
则，，，
根据周期性可得，
，，，
根据周期性可得，
所以.
（3）证明：对于任意有限的区间，记表示区间的长度，如果一个集合A是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和，
对于任意的区间，，，
不妨设，，
若，则，，
若，则，，
若，则，，
所以，
对于任意的区间，显然存在正整数，使得，
因此在，，，…，（它们的长度和大于1）中，
必然存在正整数，使得，
因此必存在，使得，
又，则，
则当时，，
当时，，
又，因此对任意的，，
所以，，…，，
这表示，取，
所以对任意的区间，存在正整数，使得，
即对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”．
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