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2.4 曲线与方程
1.已知Q为直线上的动点，点P满足，记P的轨迹为E，则( )
A.E是一个半径为的圆 B.E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为 D.E是两条平行直线
2.如图，这是某心形二次曲线C，则C的方程可能为( )
A. B.
C. D.
3.关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于对称 D.关于原点中心对称
4.自圆外一点引该圆的一条切线，切点为Q，的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
5.已知圆，圆，过动点P分别作圆，圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
6.点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
7.（多选）在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点和点连线的斜率之和等于2，则关于曲线C的结论正确的有( )
A.曲线C是轴对称图形
B.曲线C上所有的点都在圆外
C.曲线C是中心对称图形
D.曲线C上所有点的横坐标x满足
8.（多选）已知曲线，则以下结论正确的是( )
A.y的范围是
B.若，则曲线C具有周期性
C.曲线C既是轴对称图形又是中心对称图形
D.曲线C与圆有公共点
9.（多选）四照花美观而鲜艳，具有清热解毒、收敛止血的功能.曲线的轨迹和四照花颇为相似，下列说法正确的是：( )
A.曲线C所表示的图形有条对称轴
B.能完全覆盖曲线C的最小圆的面积为
C.直线是曲线C与圆的公切线
D.P为曲线C上第一象限的点，直线与坐标轴交于E、F两点，不存在点P使得的直角
10.在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一.对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“t-距离”，其中表示p，q中较大者.设是平面中一定点，，我们把平面上到点的“t-距离”为r的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r为半径的“t-圆”，则以原点O为圆心，以为半径的“t-圆”的面积为_______.
11.方程表示的曲线的形状是__________.
12.过点作两条互相垂直的直线，，交x轴于A点，交y轴于B点.若点M是线段AB上的点，且满足，则点M的轨迹方程是__________.
13.已知过原点的动直线l与圆.
（1）求直线l与圆相交时，它的斜率k的取值范围；
（2）当l与圆相交于不同的两点A，B时，求线段AB的中点M的轨迹方程.
14.分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
（1）过点平行于y轴的直线上的点与方程之间的关系；
（2）与两坐标轴的距离的积等于10的点与方程之间的关系.
15.已知圆.
(1)若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程；
(2)设点，点E在圆C上，M为线段的中点，求M的轨迹的长度.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设，由，则，由在直线上，故，化简得，即P的轨迹E为直线且与直线l平行，E上的点到l的距离，故A、B、D错误，C正确.故选：C.
2.答案：A
解析：显然图象关于y轴对称，即把x换成，方程不变，可知CD错误；令，可得，解得或，不合题意，可知B错误.故选A.
3.答案：D
解析：对于A，用-y换方程中的y，得，方程发生变化，即曲线关于x轴不对称，A错误；
对于B，用-x换方程中的x，得，方程发生变化，即曲线关于y轴不对称，B错误；
对于C，用x换y，y换x，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，C错误；
对于D，将点代入原方程仍为，因此曲线关于原点中心对称D正确.故选：D
4.答案：D
解析：由题意得，圆心C的坐标为，半径，如图.因为，且，所以，所以，即，所以点P的轨迹方程为.故选：D
5.答案：D
解析：
由，得．易知，因为两圆的半径均为1，则．设，且，则，即．所以点P的轨迹方程为．故选：D
6.答案：A
解析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，
因为在圆上，所以，即，
化为，故选：A.
7.答案：BC
解析：设，.由，得，整理得，所以曲线C是中心对称图形，不是轴对称图形，故C正确，A错误.
由，所以曲线C上所有的点都在圆外，故B正确.
由可知，且，，故D错误.故选BC.
8.答案：BCD
解析：曲线，则，，A选项错误；
当，则曲线，，所以是周期，所以曲线C具有周期性，B选项正确；
代入曲线成立，所以曲线C关于x轴成轴对称图形，
代入曲线成立，所以曲线C关于对称图形，
所以曲线C既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确；
曲线，C与圆有公共点，D选项正确；故选：BCD.
9.答案：ABD
解析：对于A：设为曲线上任意一点，将点，，，方程，显然满足，所以曲线关于对称，故A正确，
当，时，，再结合A中对称性，可得
对于B：在第一象限，可知曲线对应的圆心坐标为，半径为，所以曲线在第一象限内的点到原点距离最大值为，所以能完全覆盖曲线C的最小圆，应该是以为圆心，以为半径的圆，面积为，B正确；
对于C：在第一象限，可知曲线对应的圆心坐标为，半径为，圆心到的距离为，所以直线是曲线C不相切，错误；
对于D：，，则以为直径的圆，圆心坐标为：，半径为：，
所以圆的方程为，即，第一象限曲线，两方程相减可得：，代入，可得，解得：，此点在轴上，所以不存在点P使得的直角，D正确，故选：ABD
10.答案：1
解析：设是以原点O为圆心，以为半径的圆上任一点，则．
若，则；若，则有，
由此可知，以原点O为圆心，以为半径的“圆”的图形如图所示：
则“圆”的面积为.故答案为：1
11.答案：两条线段
解析：由已知方程两边平方得，结合，，，.方程表示的曲线是两条线段.
12.答案：
解析：设，当时，；，当时，.则，.设，由点M在线段AB上，且可得，由向量的坐标公式可得，所以消去k，得.
13.答案：（1）
（2），其中
解析：（1）圆，整理可得标准方程为，
圆的圆心坐标为，半径为2.
设直线l的方程为，即，直线l与圆相交，
圆心到直线l的距离，解得，
即k的取值范围是.
（2）由（1）知直线l的方程为，.设，.
将直线l与圆的方程联立，消去y可得.
由根与系数的关系可得.
线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为其中，
线段AB的中点M的轨迹C的方程为，其中.
14.答案：（1）不是过点平行于y轴的直线的方程
（2）与两坐标轴的距离的积等于10的点的轨迹方程不是
解析：（1）过点平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程的解；
但以方程的解为坐标的点不一定都在过点且平行于y轴的直线上.
因此，不是过点平行于y轴的直线的方程.
（2）与两坐标轴的距离的积等于10的点的坐标不一定满足方程；
但以方程的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于10.
因此，与两坐标轴的距离的积等于10的点的轨迹方程不是.
15.答案：(1)或
(2)
解析：(1)圆C的标准方程为：
，点在圆外，
故过点A且与圆C相切的直线有2条，
①当直线l的斜率不存在时，，
圆心到直线l的距离，直线l与圆C相切.
(2)当直线l的斜率存在时，可设直线，即
圆心C到直线l的距离，由题意，
解得，此时，即，
综上所述，直线l的方程为或.
(2)设，，因为M为的中点，所以，
点E在圆C上，即，即，
所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，M的轨迹的长度为.

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