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2.5.1 椭圆的标准方程
1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.“椭圆的焦点在y轴”的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3.已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
4.已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.如图，已知椭圆C的中心为原点O，为C的左焦点，P为C上一点，满足且，则椭圆C的方程为( )
A. B. C. D.
6.设，“曲线为椭圆”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.（多选）椭圆=1的焦距为4，则m的值可能是（ ）
A.12 B.10 C.6 D.4
8.（多选）已知椭圆C以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆C的标准方程可以是( )
A. B. C. D.
9.（多选）若方程所表示的曲线为C，则( )
A.曲线C可能是圆
B.当时，表示焦点在x轴上的椭圆，焦距为
C.若，则C为椭圆
D.若C为椭圆，且焦点在x轴上，则
10.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________.
11.已知，，q：方程表示焦点在y轴上的椭圆.若“”为真，“”为真，求k的取值范围________.
12.如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是____.
13.若方程表示椭圆，求k的取值范围.
14.已知，当m为何值时，
(1)方程表示椭圆；
(2)方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆.
15.已知p：方程表示圆：q：方程表示焦点在y轴上的椭圆.
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题为真，为假，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由，即，由题有，所以，故选：A.
2.答案：A
解析：若椭圆的焦点在y轴，则，解得.
对于A，由能推出，反之不成立，符合题意；
对于B，由不能推出，不符合题意；
对于C，显然为充要条件，不符合题意；
对于D，由不能推出，不符合题意；故选：A
3.答案：D
解析：由题意，得，且焦点在x轴上，则，则椭圆的标准方程为故选：D.
4.答案：A
解析：曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即.所以当时，成立，所以p是q的充分条件，反之当时，不一定成立.所以p是q的充分不必要条件.故选：A.
5.答案：C
解析：由题意可得，设右焦点为，连接，由知，
在中，由勾股定理，得，由椭圆的定义，得，从而，，于是，椭圆C的方程为.故选：C.
6.答案：A
解析：若曲线为椭圆，则椭圆的标准方程为（）.因为椭圆中分母须大于0，所以且，又因为，那么且，所以由“曲线为椭圆”可以推出“”，充分性成立.
当时，比如，，此时曲线方程为，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“”不能推出“曲线为椭圆”，必要性不成立.所以“曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件.故选：A.
7.答案：AD
解析：因为椭圆的焦距为，则，
当焦点在x轴上时，，，，由，即，解得；
当焦点在y轴上时，，，，由，即，解得.故或12.故选：AD.
8.答案：BC
解析：当椭圆C焦点在x轴上时，已知椭圆C过点，故，因为长轴长是短轴长的2倍，所以，即，所以椭圆C的方程为；
当椭圆C的焦点在y轴上时，已知椭圆C过点，故，因为长轴长是短轴长的2倍，所以，即，所以椭圆C的方程为．综上所述，椭圆C的方程为或．故选：BC．
9.答案：AD
解析：对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确；
对于B，当时，方程为表示焦点在x轴上的椭圆，且，，所以，解得，焦距为，故B错误；
对于C，由A知，表示圆，故C错误；
对于D，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故D正确.故选：AD.
10.答案：或.
解析：方程表示焦点在轴上的椭圆，，或.
故答案为或.
11.答案：
解析：∵“”为真，“”为真，∴p假q真，则命题“，”是真命题，∴，解得.若q真，由，得，又∵椭圆的焦点在y轴上，∴，即.∴当p假q真时，，即k的取值范围是.故答案为：.
12.答案：
解析：因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，显然，则方程可化为，
所以，解得，所以实数k的取值范围是.故答案为.
13.答案：且
解析：因为方程表示椭圆，则，解得且.
14.答案：(1)或
(2)
(3)
解析：(1)若方程表示椭圆，则，解得或.
(2)方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得.
(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，命题p：方程，可化得，则，解得，所以实数m的取值范围.
（2）命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则，当p为真，q为假时，，解得.当p为假，q为真时，，解得.综上，实数m的取值范围为：.

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