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2.5.2 椭圆的几何性质
1.已知椭圆的离心率为，则其短轴长为( )
A.4 B. C.8 D.
2.已知椭圆与矩形的四条边都相切，若该矩形关于坐标轴对称，且，则E的离心率为( )
A. B. C. D.
3.已知焦点在x轴上的椭圆，点，当时，C上有且仅有一点到点P的距离最小，则C的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是( )
A.椭圆的长轴长为2
B.椭圆的焦点坐标为，
C.椭圆关于直线对称
D.当点在椭圆上时，
5.已知，，以A，B为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，分别为椭圆的左、右焦点，经过坐标原点的直线与C交于A，B，若，则( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值可能为( )
A. B. C. D.
8.（多选）已知椭圆，直线与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得，则离心率e的值可以为( )
A.0.8 B.0.85 C.0.9 D.0.95
9.（多选）如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆M的( )
A.长半轴长为 B.短半轴长为 C.焦距为4 D.离心率为
10.已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则C的离心率为________________.
11.已知椭圆（且）的焦点为，，P为C上的一点，若的周长为18，则椭圆C的离心率为________________.
12.已知椭圆的离心率为，则C的长轴长为_____________.
13.已知椭圆的离心率为，长轴长为4.
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，求.
14.已知椭圆的左顶点为A，右顶点为B，点在椭圆C上（与点A、B不重合），过且与x轴垂直的直线交直线于点G，交直线于点H.
(1)求椭圆C的短轴长和离心率；
(2)若线段的中点为D，求点P坐标.
15.已知椭圆的下焦点为，其离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆C交于P，Q两点（直线与坐标轴不垂直），过P，Q作y轴的垂线，垂足分别为M，N，若直线与交于点H，证明：点H的纵坐标为定值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由知，离心率为，解得，故短轴长为.故选：B.
2.答案：A
解析：根据题意，不妨设，，，，则，，且，即，则.故选：A
3.答案：A
解析：设椭圆上任意一点，则，由椭圆的对称性知在时取得最小值，又图象的对称轴方程为，所以，即，所以，又，所以.故选：A
4.答案：D
解析：对于A、B，由得，，，∴长轴长，焦点为，.故A、B不正确；
对于C，将x，y互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确；
对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确.
故选：D
5.答案：C
解析：不妨设，，该椭圆的离心率为，解得或，因为，所以，所以.所以的取值范围为.故选：C.
6.答案：A
解析：由椭圆方程可知：，，，即，
因为，且，可得，在中，，由椭圆性质可知：，，即四边形为平行四边形，所以.故选：A.
7.答案：AB
解析：设，，由椭圆的定义可得，可设，则，即有①.由得，，即②.
由可得，令，可得，，，，即有，，解得.
故选AB.
8.答案：BCD
解析：由题可设，，则，则，，两式相减得：，则，所以，
所以，则椭圆的离心率，故离心率e的值可以为0.85，0.9，0.95，故选：BCD.
9.答案：AD
解析：，，，解得.该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值，短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值，，，椭圆M的焦距为，椭圆M的离心率，A，D项正确，B，C项错误.故选：AD.
10.答案：
解析：设椭圆的半焦距为c，由题意可得，整理得，因此，所以C的离心率为.故答案为：.
11.答案：
解析：若C的长半轴为3，即，又，，所以的周长小于12，不符题意.所以C的长半轴为，所以，解得，所以椭圆，所以C的离心率为.故答案为：.
12.答案：
解析：由题意得，，，，，椭圆离心率，解得，，，的长轴长为.
故答案为：.
13.答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得.
由题意得，则，又，所以.
所以C的方程为.
（2）由题意得l的斜率存在，设，代入消去y并化简得，
由，得，
设，，则.
，解得.
所以.
14.答案：(1)，
(2)或
解析：(1)设椭圆的半焦距为c.
由椭圆方程可得，所以椭圆的短轴长，离心率.
(2)由题意可知：直线的方程为，令，得，即.
直线的方程为，令，得，即，
因为的中点为，则，
若，则，与A，B重合，舍去；
若，则，解得，
将代入，得，即或.
综上所述：点P坐标为或.
15.答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）由题意可知，，解得，，故椭圆C的标准方程为.
（2）设直线的方程为，，，则，，
由，得，且，
则，，
易知直线与的斜率均存在，
则直线的方程为①，直线的方程为②，
联立①②消去x得，，
故点H的纵坐标为定值.

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