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章末检测（五）　一元函数的导数及其应用
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知函数f（x）＝sin x＋4x，则
＝（　　）
A.12 B.6
C.3 D.
2.设f（x）＝x2－2x－4ln x，则f（x）的单调递增区间为（　　）
A.（0，＋∞） B.（－1，0）∪（2，＋∞）
C.（2，＋∞） D.（－1，0）
3.函数f（x）＝xsin x的导函数f'（x）在区间[－π，π]上的图象大致为（　　）
4.已知曲线f（x）＝aln x＋x2在x＝1处的切线方程为x＋y＋b＝0，则ab＝（　　）
A.3 B.5
C.6 D.8
5.已知函数f（x）＝ex－－1（a≠0）在[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－∞，］ B.［，＋∞）
C.（0，］ D.［，］
6.若函数f（x）＝x2－x＋aln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A.（，＋∞） B.（－，0）
C.（－∞，） D.（0，）
7.已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（1）＝1，f'（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（　　）
A.（0，1）
B.（－1，0）∪（0，1）
C.（1，＋∞）
D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
8.设a＝e，b＝，c＝，则a，b，c大小关系是（　　）
A.a＜c＜b B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数f（x）＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c的值可以为（　　）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
10.已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的结论正确的有（　　）
x －1 0 2 4 5
f（x） 1 2 0 2 1
A.函数f（x）的极大值点有2个
B.函数f（x）在[0，2]上单调递减
C.若x∈[－1，t]，f（x）的最大值是2，则t的最大值为4
D.当1＜a＜2时，函数y＝f（x）－a有4个零点
11.定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动点”，则下列函数只有一个“新不动点”的是（　　）
A.g（x）＝x·2x B.g（x）＝－ex－2x
C.g（x）＝ln x D.g（x）＝sin x＋2cos x
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）＝　　　　.
①f（x1x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0；③f'（x）是奇函数.
13.若函数f（x）＝（－x2＋ax）ex在区间（－1，1）上存在减区间，则实数a的取值范围是　　　　.
14.已知f'（x）是函数f（x）的导函数，且对任意的实数x都有f'（x）＝ex（2x＋1）＋f（x），f（0）＝－2，则不等式f（x）＜4ex的解集为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）设函数f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f（x）在x＝3处取得极值.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在点A（1，16）处的切线方程.
16.（本小题满分15分）设函数f（x）＝a2ln x－x2＋ax（a＞0）.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求实数a的值，使e－1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立.
17.（本小题满分15分）某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与年广告费x（万元）之间的函数关系为Q＝（x≥0），已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
（1）试将年利润y（万元）表示为年广告费x（万元）的函数.如果年广告费投入100万元，那么该企业是亏损还是盈利？
（2）当年广告费投入多少万元时，该企业年利润最大？
18.（本小题满分17分）设函数f（x）＝ln（a－x），已知x＝0是函数y＝xf（x）的极值点.
（1）求a的值；
（2）设函数g（x）＝，证明：g（x）＜1.
19.（本小题满分17分）在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.如图所示的光滑曲线C：y＝f（x）上的曲线段，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ（它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义＝｜｜为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K＝｜｜＝（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率（其中y'，y″分别表示y＝f（x）在点A处的一阶、二阶导数）.
（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆＋y2＝1在（，）处的曲率；
（3）定义φ（y）＝为曲线y＝f（x）的“柯西曲率”.求曲线f（x）＝xln x－2x在点P（e，－e）处的柯西曲率.
章末检测（五）　一元函数的导数及其应用
1.B　由题可得f'（x）＝cos x＋4，∴f'（π）＝3，∴＝2＝2f'（π）＝6.故选B.
2.C　f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝2x－2－＝＝，由f'（x）＞0，可得x＞2，所以f（x）的单调递增区间为（2，＋∞）.
3.C　因为f（x）＝xsin x，所以f'（x）＝sin x＋xcos x，所以f'（－x）＝－sin x－xcos x＝－f'（x），所以f'（x）为奇函数，由此可排除A、B、D.
4.C　f（x）＝aln x＋x2的导数为f'（x）＝＋2x，可得曲线在x＝1处的切线斜率为k＝f'（1）＝a＋2，由切线方程为x＋y＋b＝0，可得k＝－1，即a＋2＝－1，解得a＝－3，又f（1）＝1，则1＋1＋b＝0，所以b＝－2，所以ab＝6.
5.C　因为在[1，2]上，f'（x）＝ex－，f（x）单调递减，所以f'（x）＝ex－≤0恒成立，即≥ex恒成立，因为（ex）max＝e2，所以≥e2 0＜a≤.
6.D　因为f（x）＝x2－x＋aln x有两个不同的极值点，所以f'（x）＝x－1＋＝＝0在（0，＋∞）有2个不同的零点，所以x2－x＋a＝0在（0，＋∞）有2个不同的零点，所以解得0＜a＜.
7.C　设g（x）＝f（x）－x，因为f（1）＝1，f'（x）＞1，所以g（1）＝f（1）－1＝0，g'（x）＝f'（x）－1＞0，所以g（x）在R上是增函数，且g（1）＝0.所以f（x）＞x的解集即是g（x）＞0的解集（1，＋∞）.故选C.
8.A　构造函数f（x）＝，则f'（x）＝，当x＞e时，f'（x）＞0，则f（x）在（e，＋∞）上单调递增.又e＜3＜π，∴f（e）＜f（3）＜f（π），即＜＜，故a＜c＜b.故选A.
9.AD　因为f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），所以f（x）的单调递增区间为（－∞，－1），（1，＋∞），单调递减区间为（－1，1），所以f（x）的极大值为f（－1），极小值为f（1）.又f（x）＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，所以只需满足f（－1）＝0或f（1）＝0，即c＝－2或2.
10.ABD　由导数的正负性可知，函数y＝f（x）的单调递增区间为（－1，0），（2，4），单调递减区间为（0，2），（4，5），B正确；函数f（x）有2个极大值点，A正确；当x∈[－1，5]时，函数y＝f（x）的最大值是2，t的最大值为5，而不是4，C错误；作出函数y＝f（x）的图象如图所示，由图可知，当1＜a＜2时，函数y＝a与函数y＝f（x）的图象有四个交点，D正确.
11.ABC　对于A，g'（x）＝2x＋x·2x·ln 2，由g（x）＝g'（x），得x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，解得x＝，∴g（x）只有一个“新不动点”；对于B，g'（x）＝－ex－2，由g（x）＝g'（x），得－ex－2x＝－ex－2，解得x＝1，∴g（x）只有一个“新不动点”；对于C，g'（x）＝，易知y＝ln x和y＝的图象在第一象限内只有一个交点，∴g（x）只有一个“新不动点”；对于D，g'（x）＝cos x－2sin x，由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，得3sin x＝－cos x，即tan x＝－，易知方程tan x＝－有无数个解，∴g（x）有无数个“新不动点”.故选A、B、C.
12.x4（答案不唯一）　解析：取f（x）＝x4，则f（x1x2）＝（x1x2）4＝＝f（x1）f（x2），满足①；f'（x）＝4x3，当x＞0时有f'（x）＞0，满足②；f'（x）＝4x3的定义域为R，又f'（－x）＝－4x3＝－f'（x），故f'（x）是奇函数，满足③.
13.（－∞，）　解析：f（x）＝（－x2＋ax）ex，则f'（x）＝ex（－x2＋ax－2x＋a），函数f（x）＝（－x2＋ax）ex在区间（－1，1）上存在减区间，只需－x2＋ax＋a－2x＜0在区间（－1，1）上有解，记g（x）＝－x2＋（a－2）x＋a，对称轴x＝，开口向下，g（－1）＝－1－（a－2）＋a＝1＞0，只需g（1）＜0，所以－1＋a－2＋a＜0，解得a＜.
14.（－3，2）　解析：由题意得＝2x＋1，所以［］'＝2x＋1.令＝x2＋x＋c，则f（x）＝ex·（x2＋x＋c），因为f（0）＝－2，所以c＝－2，所以f（x）＝ex·（x2＋x－2），所以不等式f（x）＜4ex等价于x2＋x－2＜4，解得－3＜x＜2.
15.解：（1）f'（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a.
因为f（x）在x＝3处取得极值，
所以f'（3）＝6×9－6（a＋1）×3＋6a＝0，
[WT][WTBX]
[WT][WTBX]解得a＝3.
所以f（x）＝2x3－12x2＋18x＋8.
（2）易知点A在f（x）上，
由（1）可知f'（x）＝6x2－24x＋18，
f'（1）＝6－24＋18＝0，
所以切线方程为y＝16.
16.解：（1）∵f（x）＝a2ln x－x2＋ax，其中x＞0，
∴f'（x）＝－2x＋a＝－，
由于a＞0，∴f（x）的增区间为（0，a），减区间为（a，＋∞）.
（2）由（1）知f（x）在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a＝e.
17.解：（1）由题意，每年销售Q万件，成本共计为（32Q＋3）万元，年销售收入为（32Q＋3）·150%＋x·50%，
∴由年利润＝年收入－年成本－年广告费，得
y＝（32Q＋3）·150%＋x·50%－（32Q＋3）－x
＝（32Q＋3－x）＝（32×＋3－x）
＝（x≥0），
∴所求的函数关系式为y＝（x≥0）.
∵当x＝100时，y＜0，
∴年广告费投入100万元时，该企业亏损.
（2）由y＝f（x）＝（x≥0），
得f'（x）＝（x≥0）.
令f'（x）＝0，则x2＋2x－63＝0，∴x＝－9（舍去）或x＝7.
∵当x∈（0，7）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（7，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）极大值＝f（7）＝42.
又f（x）在区间（0，＋∞）上只有一个极值点，
∴f（x）max＝f（x）极大值＝f（7）＝42.
故当年广告费投入7万元时，该企业年利润最大.
18.解：（1）由题意得y＝xf（x）＝xln（a－x），
则y'＝ln（a－x）＋x[ln（a－x）]'.
因为x＝0是函数y＝xf（x）的极值点，
所以y'｜x＝0＝ln a＝0，所以a＝1，经检验a＝1符合题意.
（2）证明：由（1）可知，f（x）＝ln（1－x），其定义域为{x｜x＜1}，
当0＜x＜1时，ln（1－x）＜0，此时xf（x）＜0，
当x＜0时，ln（1－x）＞0，此时xf（x）＜0.
易知g（x）的定义域为{x｜x＜1且x≠0}，
故要证g（x）＝＜1，只需证x＋f（x）＞xf（x），
即证x＋ln（1－x）－xln（1－x）＞0.
令1－x＝t，则t＞0且t≠1，则只需证1－t＋ln t－（1－t）ln t＞0，即证1－t＋tln t＞0.
令h（t）＝1－t＋tln t，则h'（t）＝－1＋ln t＋1＝ln t，
所以h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0，
即g（x）＜1成立.
19.解：（1）＝｜｜＝＝1.
（2）y＝，y'＝－（1－，y″＝－（1－－（1－，
故y'＝－，y″＝－2，故K＝＝.
（3）f'（x）＝ln x－1，f″（x）＝，故φ（y）＝＝，
所以f（x）＝xln x－2x在点P（e，－e）处的柯西曲率为φ（－e）＝＝.
3 / 3(共34张PPT)
章末检测（五）
一元函数的导数及其应用
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知函数 f （ x ）＝ sin x ＋4 x ，则 ＝（　　）
A. 12 B. 6
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C. 3 D.
解析：由题可得f'（ x ）＝ cos x ＋4，∴f'（π）＝3，
∴ ＝2 ＝2f'（π）＝
6.故选B.
2. 设 f （ x ）＝ x2－2 x －4ln x ，则 f （ x ）的单调递增区间为（　　）
A. （0，＋∞） B. （－1，0）∪（2，＋∞）
C. （2，＋∞） D. （－1，0）
解析：　 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），f'（ x ）＝2 x －2－ ＝
＝ ，由f'（ x ）＞0，可得 x ＞2，所以 f （ x ）
的单调递增区间为（2，＋∞）.
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3. 函数 f （ x ）＝ x sin x 的导函数f'（ x ）在区间[－π，π]上的图象大致
为（　　）
解析：　因为 f （ x ）＝ x sin x ，所以f'（ x ）＝ sin x ＋ x cos x ，所
以f'（－ x ）＝－ sin x － x cos x ＝－f'（ x ），所以f'（ x ）为奇函
数，由此可排除A、B、D.
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4. 已知曲线 f （ x ）＝ a ln x ＋ x2在 x ＝1处的切线方程为 x ＋ y ＋ b ＝
0，则 ab ＝（　　）
A. 3 B. 5
C. 6 D. 8
解析：　 f （ x ）＝ a ln x ＋ x2的导数为f'（ x ）＝ ＋2 x ，可得曲
线在 x ＝1处的切线斜率为 k ＝f'（1）＝ a ＋2，由切线方程为 x ＋ y
＋ b ＝0，可得 k ＝－1，即 a ＋2＝－1，解得 a ＝－3，又 f （1）＝
1，则1＋1＋ b ＝0，所以 b ＝－2，所以 ab ＝6.
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5. 已知函数 f （ x ）＝e x － －1（ a ≠0）在[1，2]上单调递减，则实
数 a 的取值范围是（　　）
A. （－∞， ］ B. ［ ，＋∞）
C. （0， ］ D. ［ ， ］
解析：　因为在[1，2]上，f'（ x ）＝e x － ， f （ x ）单调递减，
所以f'（ x ）＝e x － ≤0恒成立，即 ≥e x 恒成立，因为（e x ）max＝
e2，所以 ≥e2 0＜ a ≤ .
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6. 若函数 f （ x ）＝ x2－ x ＋ a ln x 有两个不同的极值点，则实数 a 的
取值范围是（　　）
A. （ ，＋∞） B. （－ ，0）
C. （－∞， ） D. （0， ）
解析：因为 f （ x ）＝ x2－ x ＋ a ln x 有两个不同的极值点，所以f'（ x ）＝ x －1＋ ＝ ＝0在（0，＋∞）有2个不同的零点，所以 x2－ x ＋ a ＝0在（0，＋∞）有2个不同的零点，所以解得0＜ a ＜ .
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7. 已知 y ＝ f （ x ）是定义在R上的函数，且 f （1）＝1，f'（ x ）＞1，
则 f （ x ）＞ x 的解集是（　　）
A. （0，1） B. （－1，0）∪（0，1）
C. （1，＋∞） D. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
解析：　设 g （ x ）＝ f （ x ）－ x ，因为 f （1）＝1，f'（ x ）＞
1，所以 g （1）＝ f （1）－1＝0，g'（ x ）＝f'（ x ）－1＞0，所以 g
（ x ）在R上是增函数，且 g （1）＝0.所以 f （ x ）＞ x 的解集即是
g （ x ）＞0的解集（1，＋∞）.故选C.
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8. 设 a ＝e， b ＝ ， c ＝ ，则 a ， b ， c 大小关系是（　　）
A. a ＜ c ＜ b B. b ＜ c ＜ a
C. c ＜ b ＜ a D. c ＜ a ＜ b
解析：　构造函数 f （ x ）＝ ，则f'（ x ）＝ ，当 x ＞e
时，f'（ x ）＞0，则 f （ x ）在（e，＋∞）上单调递增.又e＜3＜
π，∴ f （e）＜ f （3）＜ f （π），即 ＜ ＜ ，故 a ＜ c ＜ b .
故选A.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数 f （ x ）＝ x3－3 x ＋ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c
的值可以为（　　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
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解析：因为f'（ x ）＝3 x2－3＝3（ x ＋1）（ x －1），所以 f （ x ）的单调递增区间为（－∞，－1），（1，＋∞），单调递减区间为（－1，1），所以 f （ x ）的极大值为 f （－1），极小值为 f （1）.又 f （ x ）＝ x3－3 x ＋ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，所以只需满足 f （－1）＝0或 f （1）＝0，即 c ＝－2或2.
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10. 已知函数 f （ x ）的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表， f （ x ）的导函数f'（ x ）的图象如图所示，下列关于函数 f （ x ）的结论正确的有（　　）
x －1 0 2 4 5
f （ x ） 1 2 0 2 1
A. 函数 f （ x ）的极大值点有2个
B. 函数 f （ x ）在[0，2]上单调递减
C. 若 x ∈[－1， t ]， f （ x ）的最大值是2，则 t 的最大值为4
D. 当1＜ a ＜2时，函数 y ＝ f （ x ）－ a 有4个零点
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解析：由导数的正负性可知，函数 y ＝ f （ x ）的单调递增区间为（－1，0），（2，4），单调递减区
间为（0，2），（4，5），B正确；
函数 f （ x ）有2个极大值点，A正确；
当 x ∈[－1，5]时，函数 y ＝ f （ x ）的
最大值是2， t 的最大值为5，而不是4，C错误；作出函数 y ＝ f （ x ）的图象如图所示，由图可知，当1＜ a ＜2时，函数 y ＝ a 与函数 y ＝
f （ x ）的图象有四个交点，D正确.
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11. 定义方程 f （ x ）＝f'（ x ）的实数根 x0叫做函数 f （ x ）的“新不动
点”，则下列函数只有一个“新不动点”的是（　　）
A. g （ x ）＝ x ·2 x B. g （ x ）＝－e x －2 x
C. g （ x ）＝ln x D. g （ x ）＝ sin x ＋2 cos x
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解析：对于A，g'（ x ）＝2 x ＋ x ·2 x ·ln 2，由 g （ x ）＝g'（ x ），得 x ·2 x ＝2 x ＋ x ·2 x ·ln 2，解得 x ＝ ，∴ g （ x ）只有一个“新不动点”；对于B，g'（ x ）＝－e x －2，由 g （ x ）＝g'（ x ），得－e x －2 x ＝－e x －2，解得 x ＝1，∴ g （ x ）只有一个“新不动点”；对于C，g'（ x ）＝ ，易知 y ＝ln x 和 y ＝ 的图象在第一象限内只有一个交点，∴ g （ x ）只有一个“新不动点”；对于D，g'（ x ）＝ cos x －2 sin x ，由 sin x ＋2 cos x ＝ cos x －2 sin x ，得3 sin x ＝－ cos x ，即tan x ＝－ ，易知方程tan x ＝－ 有无数个解，∴ g （ x ）有无数个“新不动点”.故选A、B、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f （ x ）＝
.
① f （ x1 x2）＝ f （ x1） f （ x2）；②当 x ∈（0，＋∞）时，f'
（ x ）＞0；③f'（ x ）是奇函数.
x4（答案不
唯一）
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解析：取 f （ x ）＝ x4，则 f （ x1 x2）＝（ x1 x2）4＝ ＝ f （ x1）
f （ x2），满足①；f'（ x ）＝4 x3，当 x ＞0时有f'（ x ）＞0，满足
②；f'（ x ）＝4 x3的定义域为R，又f'（－ x ）＝－4 x3＝－f'
（ x ），故f'（ x ）是奇函数，满足③.
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13. 若函数 f （ x ）＝（－ x2＋ ax ）e x 在区间（－1，1）上存在减区
间，则实数 a 的取值范围是 .
解析： f （ x ）＝（－ x2＋ ax ）e x ，则f'（ x ）＝e x （－ x2＋ ax －2 x
＋ a ），函数 f （ x ）＝（－ x2＋ ax ）e x 在区间（－1，1）上存在
减区间，只需－ x2＋ ax ＋ a －2 x ＜0在区间（－1，1）上有解，记
g （ x ）＝－ x2＋（ a －2） x ＋ a ，对称轴 x ＝ ，开口向下， g
（－1）＝－1－（ a －2）＋ a ＝1＞0，只需 g （1）＜0，所以－1
＋ a －2＋ a ＜0，解得 a ＜ .
（－∞， ）
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14. 已知f'（ x ）是函数 f （ x ）的导函数，且对任意的实数 x 都有f'
（ x ）＝e x （2 x ＋1）＋ f （ x ）， f （0）＝－2，则不等式 f （ x ）
＜4e x 的解集为 .
解析：由题意得 ＝2 x ＋1，所以［ ］'＝2 x ＋
1.令 ＝ x2＋ x ＋ c ，则 f （ x ）＝e x ·（ x2＋ x ＋ c ），因为 f
（0）＝－2，所以 c ＝－2，所以 f （ x ）＝e x ·（ x2＋ x －2），所
以不等式 f （ x ）＜4e x 等价于 x2＋ x －2＜4，解得－3＜ x ＜2.
（－3，2）
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）设函数 f （ x ）＝2 x3－3（ a ＋1） x2＋6 ax ＋
8，其中 a ∈R. 已知 f （ x ）在 x ＝3处取得极值.
（1）求 f （ x ）的解析式；
解：f'（ x ）＝6 x2－6（ a ＋1） x ＋6 a .
因为 f （ x ）在 x ＝3处取得极值，
所以f'（3）＝6×9－6（ a ＋1）×3＋6 a ＝0，
解得 a ＝3.所以 f （ x ）＝2 x3－12 x2＋18 x ＋8.
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（2）求 f （ x ）在点 A （1，16）处的切线方程.
解：易知点 A 在 f （ x ）上，
由（1）可知f'（ x ）＝6 x2－24 x ＋18，
f'（1）＝6－24＋18＝0，
所以切线方程为 y ＝16.
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16. （本小题满分15分）设函数 f （ x ）＝ a2ln x － x2＋ ax （ a ＞0）.
（1）求 f （ x ）的单调区间；
解：∵ f （ x ）＝ a2ln x － x2＋ ax ，其中 x ＞0，
∴f'（ x ）＝ －2 x ＋ a ＝－ ，
由于 a ＞0，∴ f （ x ）的增区间为（0， a ），减区间为
（ a ，＋∞）.
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（2）求实数 a 的值，使e－1≤ f （ x ）≤e2对 x ∈[1，e]恒成立.
解：由（1）知 f （ x ）在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤ f （ x ）≤e2对 x ∈[1，e]恒成立，
只要
解得 a ＝e.
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17. （本小题满分15分）某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产
品进行促销，在一年内，预计年销量 Q （万件）与年广告费 x
（万元）之间的函数关系为 Q ＝ （ x ≥0），已知生产此产品
的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元.若每
件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广
告费的50%”之和.
（1）试将年利润 y （万元）表示为年广告费 x （万元）的函数.如
果年广告费投入100万元，那么该企业是亏损还是盈利？
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解：由题意，每年销售 Q 万件，成本共计为（32 Q ＋3）万元，年销售收入为（32 Q ＋3）·150%＋ x ·50%，
∴由年利润＝年收入－年成本－年广告费，得
y ＝（32 Q ＋3）·150%＋ x ·50%－（32 Q ＋3）－ x
＝ （32 Q ＋3－ x ）＝ （32× ＋3－ x ）＝ （ x ≥0），∴所求的函数关系式为 y ＝ （ x ≥0）.
∵当 x ＝100时， y ＜0，
∴年广告费投入100万元时，该企业亏损.
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（2）当年广告费投入多少万元时，该企业年利润最大？
解：由 y ＝ f （ x ）＝ （ x ≥0），
得f'（ x ）＝ （ x ≥0）.
令f'（ x ）＝0，则 x2＋2 x －63＝0，∴ x ＝－9（舍去）或 x＝7.
∵当 x ∈（0，7）时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增；
当 x ∈（7，＋∞）时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减，
∴ f （ x ）极大值＝ f （7）＝42.
又 f （ x ）在区间（0，＋∞）上只有一个极值点，
∴ f （ x ）max＝ f （ x ）极大值＝ f （7）＝42.
故当年广告费投入7万元时，该企业年利润最大.
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18. （本小题满分17分）设函数 f （ x ）＝ln（ a － x ），已知 x ＝0是
函数 y ＝ xf （ x ）的极值点.
（1）求 a 的值；
解：由题意得 y ＝ xf （ x ）＝ x ln（ a － x ），
则y'＝ln（ a － x ）＋ x [ln（ a － x ）]'.
因为 x ＝0是函数 y ＝ xf （ x ）的极值点，
所以y'｜ x＝0＝ln a ＝0，所以 a ＝1，经检验 a ＝1符合题意.
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（2）设函数 g （ x ）＝ ，证明： g （ x ）＜1.
解：证明：由（1）可知， f （ x ）＝ln（1－ x ），其定义域为{ x ｜ x ＜1}，当0＜ x ＜1时，ln（1－ x ）＜0，此时 xf （ x ）＜0，
当 x ＜0时，ln（1－ x ）＞0，此时 xf （ x ）＜0.
易知 g （ x ）的定义域为{ x ｜ x ＜1且 x ≠0}，
故要证 g （ x ）＝ ＜1，只需证 x ＋ f （ x ）＞ xf （ x ），
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即证 x ＋ln（1－ x ）－ x ln（1－ x ）＞0.
令1－ x ＝ t ，则 t ＞0且 t ≠1，则只需证1－ t ＋ln t －（1－
t ）ln t ＞0，即证1－ t ＋ t ln t ＞0.
令 h （ t ）＝1－ t ＋ t ln t ，则h'（ t ）＝－1＋ln t ＋1＝ln t ，
所以 h （ t ）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调
递增，所以 h （ t ）＞ h （1）＝0，
即 g （ x ）＜1成立.
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19. （本小题满分17分）在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，
为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.如图所示的光滑曲线 C ： y ＝
f （ x ）上的曲线段 ，其弧长为Δ s ，当动点从 A 沿曲线段 运
动到 B 点时， A 点的切线 lA 也随着转动到 B 点的切线 lB ，记这两条
切线之间的夹角为Δθ（它等于 lB 的倾斜角与 lA 的倾斜角之差）.
显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程
度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度
越大，因此可以定义 ＝｜ ｜为曲线段 的
平均曲率；显然当 B 越接近 A ，即Δ s 越小，
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（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
解： ＝｜ ｜＝ ＝1.
K 就越能精确刻画曲线 C 在点 A 处的弯曲程度，因此定义 K ＝ ｜
｜＝ （若极限存在）为曲线 C 在点 A 处的曲率（其
中y'， y ″分别表示 y ＝ f （ x ）在点 A 处的一阶、二阶导数）.
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（2）求椭圆 ＋ y2＝1在（ ， ）处的曲率；
解： y ＝ ，y'＝－ （1－ ， y ″＝－ （1－ － （1－ ，
故y' ＝－ ， y ″ ＝－2，
故 K ＝ ＝ .
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（3）定义φ（ y ）＝ 为曲线 y ＝ f （ x ）的“柯西曲率”.求曲线 f （ x ）＝ x ln x －2 x 在点 P （e，－e）处的柯西曲率.
解：f'（ x ）＝ln x －1， f ″（ x ）＝ ，故φ（ y ）＝ ＝
，所以 f （ x ）＝ x ln x －2 x 在点 P （e，－e）处的柯西曲率为φ（－e）＝ ＝ .
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