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1.2.2 空间中的平面与空间向量
1.已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，，，，则平面ABC的一个法向量为( )
A. B. C. D.
3.已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是( )
A. B. C. D.
4.平面的一个法向量，，，则点Q的坐标可以是( )
A. B. C. D.
5.已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是( )
A. B. C. D.
6.若直线，且l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则为( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知空间中三点，，，则（ ）
A.与是共线向量
B.与向量方向相同的单位向量是
C.与夹角的余弦值是
D.平面的一个法向量是
8.（多选）给出下列命题，其中正确的是( )
A.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是
C.若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线
D.平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则
9.（多选）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是( )
A.与是共线向量
B.与同向的单位向量是
C.在方向上的投影向量是
D.平面ABC的一个法向量是
10.若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________.
11.已知，分别是平面，的法向量，若，则_____________
12.已知直线平面，且直线l的方向向量为，平面的法向量为，则________.
13.已知是正方体，求平面的一个法向量.
14.已知四面体ABCD中，，，点M为棱BC的中点，指出平面ADM的一个法向量.哪两个平面互相垂直？为什么？
15.已知，，，求平面ABC的一个法向量的坐标.
答案以及解析
1.答案：C
解析：显然与不平行，设该平面的一个法向量为，则有，即，令，得，，所以，故A，B错误，
令，得，，则此时法向量为，故D错误.故选：C.
2.答案：A
解析：由已知，，设平面ABC的一个法向量为，
取，解得，选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.故选：A.
3.答案：C
解析：由，，，得，，设是平面的一个法向量，则即，取，则，，故，则与共线的向量也是法向量，经验证，只有C正确..故选：C.
4.答案：D
解析：设点在平面上，因为，所以，由，得，依次验证选项，只有D满足.故选：D
5.答案：A
解析：对于A，，则，则此点在平面内，故正确；
对于B，，则，则此点不在平面内吗，故错误；
对于C，，则，则此点不在平面内，故错误；
对于D，，则，则此点在不平面内，故错误.故选：A.
6.答案：B
解析：2.B因为，片以l的方向向量与平面的法向量垂直，所以，所以，故选B
7.答案：CD
解析：因为，，，所以，，因为不存在实数使得，所以与不共线，故A错误.
因为，所以与向量方向相同的单位向量是，故B错误.
又，所以与夹角的余弦值是，故C正确.
不妨令，则，，即且，所以是平面的法向量，故D正确.故选：CD
8.答案：ACD
解析：对于A，，，不共面，则不共面，所以也是空间的一个基底，故正确；
对于B，点关于坐标平面yOz的对称点是，故错误；
对于C，由可得，即，所以A，B，C三点共线，故正确；
对于D，由平面平行可得，所以，解得，故正确.故选：ACD
9.答案：BCD
解析：对于A，，，设，则得，显然无解，故与不是共线向量，A错误；
对于B，与同向的单位向量是，B正确；
对于C，在方向上的投影向量为，C正确；
对于D，，，即坐标为的向量，与、都垂直，因此平面ABC的一个法向量是，D正确.故选：BCD
10.答案：
解析：因为，，，所以，.
又因为所以解得所以.
11.答案：
解析：由，可知，则，解得，故答案为：.
12.答案：/0.5
解析：因为直线平面，所以，直线l的方向向量与平面的法向量垂直，所以，解得.故答案为：.
13.答案：
解析：如图所示，连接，.
底面ABCD，是在平面ABCD内的投影.
，（三垂线定理）.
同理可证.
又，平面.
向量是平面的一个法向量.
14.答案：见解析
解析：是平面ADM的一个法向量，平面平面ABC，平面平面BCD.
15.答案：
解析：易得，.
设平面ABC的一个法向量为，
则，，，.
令，则，..

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