资源简介

1.2.3 直线与平面的夹角
1.正方体中，直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
2.在四棱锥中，为等边三角形，四边形为矩形，且，平面平面，则直线AC与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.1
3.在正方体中，直线与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
4.在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于( )
A. B. C. D.
5.如图，在正四棱锥中，O为顶点S在底面ABCD内的射影，P为侧棱SD的中点，且，则直线CD与平面PAC的夹角是( )
A. B. C. D.
6.已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，D为的中点，则与平面所成的角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.（多选）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别为，的中点，则( )
A.
B.平面
C.直线与平面所成角的正切值为
D.三棱锥外接球的表面积为
8.（多选）如图，在边长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是( )
A.若平面CEF，则点P的轨迹长度为
B.若AP=，则点P的轨迹长度为
C.若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是
D.若Р是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
9.（多选）如图，四棱锥中，面面，且，，是棱的中点，，则（ ）
A.平面
B.平面
C.和平面所成角的正弦值为
D.四面体外接球的表面积为
10.在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为__________.
11.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_______________.
12.《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱是一“堑堵”，，，点D为的中点.则①所在直线与平面所成线面角为___________；②三棱锥的外接球表面积为___________.
13.如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线DF与平面所成角的最大值．
14.如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，E为AB的中点，M为CE的中点.
(1)证明：；
(2)若，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为，求四棱锥的体积.
15.如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，连接，，，
设正方体的棱长为，则，，，，可得，，，设面的法向量为，得到，令，解得，，故，
设直线与平面所成的角为，故，故D正确.故选：D
2.答案：C
解析：是边长为2的正三角形，其面积为：.因为三棱锥的体积为1和底面积，得解得：.设直线与平面所成角为，所以.故选：C
3.答案：A
解析：
取棱的中点F，连接，，又E是棱的中点，所以，因为平面，所以平面，则是直线与平面所成的角.设，则，，.在中，由余弦定理可得，则，所以，故选：A.
4.答案：B
解析：
如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设底面正方形边长为a，
则，，，则，，设平面的法向量为，则，可取，所以，，因直线与平面所成角的余弦值为，故直线与平面所成角的正弦值为，所以
，解得，故正四棱柱的体积为，故选：B.
5.答案：C
解析：如图，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.设，则，，，，，
则，，.设平面PAC的法向量为，则，，可取.设直线CD与平面PAC的夹角为，
则，又，.故选C.
6.答案：B
解析：
取中点O，则，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，由图可知，平面的法向量为.设与平面所成的角为，则，故与平面所成的角的正弦值为.故选：B.
7.答案：ACD
解析：由题设，，则，由平面，平面，则，都在平面内，则平面，平面，则，A对；
由平面，即为平面，又平面，，所以平面，即与平面相交，B错；由平面，则直线与平面所成角为，又所以，C对；
由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径，由平面，，则三棱锥外接球半径，所以外接球的表面积，D对.故选：ACD.
8.答案：ACD
解析：
分别取棱，的中点M，N，连接DM，DN，MN，易证，，平面，平面，所以平面，且平面，平面，所以平面，又，，平面，则平面平面，因为平面，且P是正方形内的动点，所以点Р的轨迹是线段.因为，所以，因为，所以，故A正确.
因为，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆，则点Р的轨迹长度为，则B错误.
以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图1所示的空间直角坐标系.由题中数据可知，，，，，，则，，.设平面CEF的法向量为，则，得.设直线AР与平面CEF所成的角为，则.因为，所以，所以，所以，则，故C正确.
Р是棱的中点，则外接圆的圆心为正方形的中心，半径为2.如图2，设，则三棱锥的外接球的半径满足，解得，从而三棱锥的外接球的表面积是，故D正确.故选：ACD
9.答案：ACD
解析：
如图，作，因为面面，面面，所以面，且作，因为，，所以，是的中点，，，对于A，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，所以，，，，，，因为是棱的中点，所以，所以，，，设面的法向量，所以，令，解得，，所以，可得，故平面成立，故A正确，
对于B，，，设面的法向量为，所以，令，解得，，得到，故不平行于，所以平面不成立，故B错误，
对于C，，，设面的法向量为，所以，令，解得，故，设和平面所成角为，且，所以，故C正确，
对于D，设四面体外接球的方程为，
将四点代入球的方程，可得，
，利用加减消元法得到，解得，再利用加减消元法得到，解得，现在将，代入方程组，得到，此时解得，故原方程解得，故球的方程为，设球的表面积为，则，故D正确.故选：ACD
10.答案：
解析：因为，所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：
11.答案：
解析：取的中点D，连接、，因为，，所以，且，又平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，所以直线与平面所成角，又平面，平面，所以，所以，所以，则，即直线与平面所成角的大小为.故答案为：.
12.答案：；
解析：在三棱柱中，平面，因平面，则，因，面，，则平面，故所在直线与平面所成线面角为；由图，三棱锥即三棱锥，因，即底面是边长为2的等边三角形，设其中心为点H，设三棱锥的外接球球心为点O，半径为R，连，则平面，连接，，则，则，由图可得：，解得，则外接球表面积，故答案为：；.
13.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为，，，平面，，
所以平面．
因为平面，所以．
又因为，，平面，，
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
(2)连结FK，由(1)可知，直线DF与平面所成角为，记．
在图1中，因为，所以，
又因为，所以．
又因为，所以．
设（），由，得，解得．
在图2中，因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以的最大值为，
即直线DF与平面所成角的最大值为．
14.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)在梯形ABCD中，连接交BD于CE一点，
因为且，所以四边形CDBE为平行四边形，
所以BD与CE的交点即为CE中点M.
由已知可得，，，，
由余弦定理得，所以三角形为直角三角形，所以，
又，，所以，且，所以平面PBD，
又平面PBD，所以.
(2)由(1)知，平面PDM，如图，
以D为坐标原点，分别以DB，DC为x，y轴，垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，
设，则，，平面PDM的一个法向量为，
设直线AN与平面PDM所成角为，
则，
化简得.由，可得，求得，.
故.
15.答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）证明：连接，
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
又平面，则，
因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，所以，
因为，、平面，所以平面，
又平面，则.
（2）因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直，
所以以A为原点，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，则，
令可得.
设与平面所成角为，
所以，
即与平面成角的正弦值为，
所以与平面成角的余弦值为.

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