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1.2.4 二面角
1.正方体中，直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
2.在四棱锥中，为等边三角形，四边形为矩形，且，平面平面，则直线AC与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.1
3.在正方体中，直线与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线，互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为( )
A. B. C. D.
5.在正方体中，则二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为( )
A. B. C. D.
7.（多选）如图，在正方体中，O为底面的中心，M为棱的中点，则下列结论中正确的是( )
A.平面 B.平面
C.二面角等于 D.异面直线与所成的角等于
8.（多选）已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4.正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则( )
A.圆台的体积
B.与底面所成的角为
C.二面角小于
D.正四棱台的外接球的表面积为
9.（多选）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为，.又测得的长为10m，的长为，则( )
A.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为
B.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为
C.直线与水库底面所成角的正弦值为
D.直线与水库底面所成角的正弦值为
10.中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵中，已知，，则二面角的大小为________.
11.如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线l上取线段，，，，，，则二面角的大小为._____________
12.在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点E的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是__________.
13.如图，长方体的底面是正方形，E，F，G分别为，，的中点，.
(1)证明：平面.
(2)求二面角的余弦值.
14.如图，在直角梯形中，，，，沿对角线将折至的位置，记二面角的平面角为.
(1)当时，求证：平面平面；
(2)若E为的中点，当时，求二面角的正切值.
15.在四面体中，，.
(1)若为正三角形，平面平面，求四面体体积；
(2)若，，求二面角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则，，，，，，，，，，，，.又，平面，是平面的一个法向量，，直线与平面所成角的正弦值为.
故选：C
2.答案：A
解析：平面平面，又平面平面，平面，，则平面，又平面，故平面平面，取的中点M，连接，，如图所示，
平面平面，平面平面，为等边三角形，则，故平面，则直线AC与平面所成角即为，令，则，，，故.故选：A
3.答案：D
解析：在正方体中，设，，
又因为平面，所以直线与平面所成角为，所以正切值.故选：D.
4.答案：C
解析：取AB的中点E，连接OE，SE，
因为，E为的中点，则，由垂径定理可得，所以二面角的平面角为，因为平面，平面，则，因为，，则为等腰直角三角形，，则，则，所以，所以，因为，故，即二面角的大小为.故选：C
5.答案：D
解析：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示
则，，，，设平面的一个法向量为，因为，，所以，即，取，则，，故.平面，故平面的一个法向量为，设二面角为，则，因为为锐角，所以，故二面角的余弦值为.故选：D.
6.答案：A
解析：若E为中点，连接，，由为等边三角形，则，又，且，
面，又面，即，由题设，，，而，，即，又，面，面，而面，则面面，由上可得：，则，故为等腰直角三角形，综上，四面体的球心O为的中心，即靠近E的三等分点，若F为中点，连接，，易知：即为二面角的平面角，由上、且，面，可得面，又面，则，即，，而，，.故选：A.
7.答案：ABD
解析：对于A，连接，交于E，连接、，则由正方体性质可知且，
所以四边形为平行四边形，故.因为平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B，连接，因为O为底面的中心，M为棱的中点，所以，由正方体性质有、平面，因为平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，、平面，所以平面，故平面，故B正确；
对于C，由正方体性质可知，又平面，所以平面，又平面，所以，，又，所以为二面角的平面角，显然不等于，故C错误；
对于D，因为，所以为异面直线与所成的角，由正方体性质可知为等边三角形，所以，故D正确.故选：ABD.
8.答案：ABD
解析：根据题意，作图如下：
过作，作截面的平面图，易知为等腰梯形，且为中点，易得，，，，
故，即圆台的高，又，，又，，即四棱台的上下底面长分别为和；对A：圆台的体积
，故A正确；
对B：易得即为与底面所成角，在三角形中
又，故，即与底面所成的角为，故B正确；
对C：过P作，垂足为Q，连接，由面，，则面，又面，故，又，，，面，故面，又面，故，则即为二面角的平面角；，，又，故，由B选项知，结合在单调递增可知，故C错误；
对D：设外接球半径为R，球心到下底距离为x，在的平面图中，为球心，
则，，，故，解得；故表面积，故D正确；故选：ABD
9.答案：BC
解析：如图，作且，连接，又，则是矩形，，又，所以是所求二面角的平面角.，，则，又，，，平面，所以平面，而平面，所以，
，所以，，，所以，故A错误，B正确，
为等腰三角形，故面积为，
，设点C到水库底面的距离为h，则，故，故直线与水库底面所成角的正弦值为，故C正确，D错误，故选：BC.
10.答案：
解析：在堑堵中，平面，平面，则，而，，平面，因此平面，又平面，则，是二面角的平面角，在中，，则.故答案为：
11.答案：
解析：如下图，在平面内过A作且，由，易知为矩形，连接，，由，则，又，且都在面内，所以面，面，则，由，，则，由，，易知为二面角的平面角，又，，所以.
故答案为：
12.答案：
解析：由题意知，和是等边三角形，取中点，连接，取的外心，则是的外心，
过点作平面，则三棱锥的外接球球心在l上，过点作平面交l于点O，则点O即为三棱锥的外接球球心，由，知，为二面角的平面角，则，设，则，又，所以，
因为平面，平面，所以，所以三棱锥的外接球半径，所以三棱锥外接球的表面积.故答案为：
13.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)
设，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
设平面的法向量为，则，即，令，则.
证明：，，.因为，
所以，平面，所以平面.
(2)易知为平面的一个法向量，且.
.易得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
14.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)当时，平面平面.
在直角梯形中，，
所以，所以，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
(2)取的中点F，连接，因为，所以.
因为为的中点，连接，则为的中位线，所以.
因为，所以，所以为二面角的平面角，即.
因为，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
因为平面平面，
所以过作，交于点O，则平面.
平面，，过O作与点G，连结，.
所以.所以为二面角的平面角.
在中，，，.
在中，.
在中，，
所以，故二面角的正切值为.
15.答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，，则为等腰直角三角形，，
又为正三角形，故，
取BC的中点E，连接DE，则，
又平面平面，平面平面，平面DBC，
故平面，是三棱锥的高，
则其体积；
(2)由(1)且，，又，
则，且，又，所以二面角的平面角为，
且.所以二面角的余弦值为.

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