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第四章 指数函数与对数函数
§ 4.1 指数与指数函数
§ 4.1.1 实数指数
§ 4.1.1.1 实数指数（一）
2.正整数指数幂的运算法则
(1)am·an=　　　　 ;
(2)(am)n=　　　　 ;
(3)(ab)m=　　 =　　　　 .
3.规定: a0=　　　　　(a≠0).a-n=　　　　　(a≠0,n∈N+).
注意:对于零指数与负整数指数,底数　　　　　.(为什么 )

【答案】(1)6　(2)9　(3)3　(4)-7
【答案】D
【解析】D项应为(ax)2=a2x.
8.若2x=3,2y=5,则23x-y=　　　　　.

§ 4.1.1.2 实数指数（二）
一、知识回顾
有理指数幂的运算法则(α,β为有理数)
(1)aα·aβ=　　　　　;
(2)(aα)β=　　　　　;
(3)(ab)α=　　　　　.
实数指数幂的运算法则(α,β为有理数)
(1)aα·aβ=　　　　　;
(2)(aα)β　　　　　;
(3)(ab)α=　　　　　.

【答案】D
解:原式=0.5+2.5-1-1.5=0.5.
§ 4.1.2 指数函数
§ 4.1.2.1 指数函数（一）
二、学习新知
指数函数
形如　　　　　的函数,叫做指数函数.
当x=　　　　 时,y=　　　　 ,指数函数图象过定 点　　　　　.
指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质
a a>1 0图象
性

质 定义域
值域
定点
增减性
奇偶性
四、巩固新知
1.下列函数中是指数函数的是 ( )
A.y=2·x3 B.y=x2 C.y=3x D.y=2x+1
【答案】C
【解析】y=3x符合指数函数y=ax的形式.

【答案】　
4.已知函数f(x)= 2x,计算f(0)-f(-1),f(2)-f(1),f(4)-f(3),f(5)-f(6).
5.已知指数函数y=f(x)的图象经过点(2,9),求f(3)和f(-1).
6.已知f(x)是偶函数,且x≥0时f(x)=3x,则f(-2)=　　　　　.
【解析】由f(x)是偶函数,知f(-2)=f(2)=32=9.
9
7.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1,b是实数)的图象经过点(1,7)与(0,4),则f(x)的解析式是 (　　)
A.f(x)=5x+2 B.f(x)=4x+3
C.f(x)=3x+4 D.f(x)=2x+5
§ 4.1.2.2 指数函数（二）
一、知识回顾
若函数y=f(x)在x∈R为单调增函数,且x1若函数y=f(x)在x∈R为单调减函数,且x1二、学习新知
指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质
a a>1 0图象
性

质 定义域
值域
定点
增减性
奇偶性
四、巩固新知
1.利用指数函数的单调性,比较下列各题中两个值的大小.
(1)30.8和30.7; (2)0.75-0.1和0.750.1;
(3)1.012和1.013.5; (4)0.993和0.994.5.
(1)>　【解析】由y=3x为增函数可知;
(2)>　【解析】由y=0.75x为减函数可知;
(3)<　【解析】由y=1.01x为增函数可知;
(4)>　【解析】由y=0.99x为减函数可知.
解:(1)由3x-3≥0,得x≥1,
故原函数的定义域为{x|x≥1}.
(2)由1-2x>0,得x<0,
故原函数的定义域为{x|x<0}.
【答案】D
【解析】∵1-2x≥0,∴2x≤1,得x≤0.
(1,+∞)
【答案】A
§ 4.1.3 指数与指数函数 习题课
指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质
a a>1 0图象
性

质 定义域
值域
定点
增减性
奇偶性
4.指数函数图象与性质
2.指数函数的图象与性质
【例3】　函数y=2-x是 (　　)
A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数
【例4】　比较下列各小题中两个实数的大小.
(1)0.53与0.53.1; (2)3.145与3.146.
【答案】D
【解析】(ax)3=a3x.
【答案】D
【解析】(-a2)3=-(a2)3=-a6.
3.已知函数y=5x与函数y=5-x的图象之间的关系是 (　　)
A.关于原点对称 B.关于x轴对称
C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称
【答案】B
【解析】由2x-1≥0,则x≥0,故原函数的定义域为{x|x≥0}.
【答案】A
【解析】由1=0.30,y=0.3x为减函数,5.1>0>-5.1,知0.35.1<1<0.3-5.1.
6.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(1个分裂为2个),经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成 ( )
A.511 个 B.512个 C.1023个 D.1024个
【答案】B
【解析】29=512.
7.已知f(x)是奇函数,且x≥0时f(x)=3x,则f(-2)=　　　　　.
8.若10x=3,10y=4,则10x-y=　　　　　.
【解析】由f(x)是奇函数,知f(-2)=-f(2)=-32=-9.
-9


{x|x≥0}
(1,+∞)　
§ 4.2 对数与对数函数
§ 4.2.1 对数
二、学习新知
对数的概念
一般地, ab=N((a>0,且a≠1,N>0),称幂指数b是以a为底N的对数.
一般地,我们把“以a为底N的对数b”记作:b=logaN (a>0,且a≠1).
其中,log右下角的数a叫做底数,N叫做真数,b是以a为底N的对数.
即ab=N b=logaN..
常用对数:底是10的对数叫做常用对数.
三、掌握新知
【例1】把下列指数式改成对数式.
　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　
(1)23=8; (2)62=36.
【例2】把下列对数式改成指数式,并检验原等式是否正确.
(1)log39=2; (2)log416=2.


【答案】 (1)5.　(2)7.
5.求下列各对数的值.
(1)lg 10000; 　　(2)lg 1; 　　　　(3)lg 106.
【答案】 (1)4.　(2)0.　(3)6.


【答案】(1)5.　(2)-2.　(3)-1.　(4)-5.
【答案】 (1)2.　(2)-3.

§ 4.2.2 积、商、幂的对数
一、知识回顾
1.指数式与对数式的关系:　　　　　 　　　　　.
2.指数幂的运算法则
(1)am·an=　　　　　;
(2)(am)n=　　　　　;
(3)(ab)n=　　　　　.


【答案】 D

【答案】 C　
【解析】由题可得f(1)=log31=0,f(0)=20=1.
【答案】 B
7.(2017年高考题)下列运算不正确的是(　　)
A.log210-log25=1 B.log210+log25=log215
C.20=1 D.210÷28=4
§ 4.2.3换底公式与自然对数
一、知识回顾
对数运算法则
(1)logaM+logaN=　　　　　;
(2)logaM-logaN=　　　　　;
(3)logaMb=　　　　　.
二、学习新知
1.换底公式
logbN= 　　　　　
2.自然对数
在科学技术中,常常使用以无理数e=2.7182818…为底的对数.以e为底的对数叫做自然对数.
logeN通常记作:ln N.
三、掌握新知
【例1】若lg 3=a,lg 2=b,求值:log23=　　　　　(用a,b表示).
【例2】求log89×log2732的值.
【例3】求证:logxy·logyz=logxz.
四、巩固新知
1.已知log53=a,log54=b,求值:log2512(用a,b表示).
2.计算.
(1)log54×log225; (2)log59×log225×log34.


4.计算:log54×log85.
5.已知lg 2=0.3010,lg 7=0.8451,求lg 35的值.
　 【答案】 解:由lg 2+lg 5=1,lg 2=0.3010,
　得lg 5=0.6990,
　则lg 35=lg 5+lg 7=0.8451+0.6990=1.5441.
6.计算:log23×log2764.
2
§ 4.2.4 对数函数
§ 4.2.4.1 对数函数（一）
二、学习新知
　对数函数
一般地,函数y=logax(a>0,a≠1,x>0),叫做对数函数.
当x=　　　　时,y=　　　　,对数函数图象过定点　　　　.
对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)的图象和性质
a a>1 0图象
性

质 定义域
值域
定点
增减性
奇偶性
三、掌握新知
【例1】指出下列四个函数各属于哪一类初等函数.
(1)y=5x; (2)y=x5; (3)y=log3x; (4)y=5x.
【例2】画出对数函数y=log2x的简图.
【答案】C
【解析】对数函数y=logax.
【答案】
4.已知函数f(x)=log2x,计算f(2)-f(1),f(4)-f(8),f(34)-f(17).
【答案】C
【解析】f(2)=log22=1.
6.已知函数f(x)=log3(x-9)+|2-x|,则f(10)= (　　)
A.6 B.8 C.9 D.11
【答案】 B　
【解析】由f(x)=log3(x-9)+|2-x|,
得f(10)=log3(10-9)+|2-10|=log31+8=8.
　
§ 4.2.4.2 对数函数（二）
一、知识回顾
若函数y=f(x)在x∈R为单调增函数,且x1若函数y=f(x)在x∈R为单调减函数,且x1二、学习新知
对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)的图象和性质
a a>1 0图象
性

质 定义域
值域
定点
增减性
奇偶性
三、掌握新知
【例1】求下列函数的定义域(a>0,且a≠1).
(1)y=logax2; (2)y=loga(4-x).
【例2】利用对数函数的性质,比较下列各组数中两个值的大小.
(1)log23与log23.5; (2)log0.23与log0.23.5.
【例3】解对数方程.
(1)log3x+log3(x+6)=3; (2)log3(log2x)=0.
【例4】若log3x<-1,求x的取值范围.
【答案】 解:(1)由y=log3x,x∈R时为增函数,
　且3.8>3.5,得log33.8>log33.5.
　(2)由y=log0.5x,x∈R时为减函数,
　且3.9>3.5,得log0.53.92.利用对数函数的性质,比较下列各组数中两个值的大小.
(1)log33.8与log33.5; (2)log0.53.9与log0.53.5.
3.解对数方程:log2x+log2(x+1)=1.
【答案】解:由原方程得log2[x(x+1)]=log22,
　则x2+x=2,解得x1=-2,x2=1,
　经检验,x=1符合题意.
　即对数方程log2x+log2(x+1)=1的根为x=1.
　∴原不等式的解集为{x|04.求x的取值范围.
(1)log2x≥2; (2)log0.5x≥2.
【答案】解:(1)由原不等式得log2x≥log24,
　则x≥4,∴原不等式的解集为{x|x≥4}.
　(2)由原不等式得log0.5x≥log0.50.52,
　则x≤0.25.又x>0,
6.根据下列各式,确定a的取值范围.
(1)loga0.8>loga1.2; (2)loga3.9(3)log0.2a>log0.23; (4)log2a>0.
【答案】解:(1)∵0.8<1.2,loga0.8>loga1.2,
∴y=logax为减函数,则a∈(0,1).
　(2)∵3.9>3.5,loga3.9∴y=logax为减函数,则a∈(0,1).
　(3)∵y=log0.2x,x>0时为减函数,且log0.2a>log0.23,∴a∈(0,3).
　(4)由题可得log2a>log21,则a>1,即a∈(1,+∞).
7.(2019年高考题)函数y=lg(x+2)的定义域是 (　　)
A.(-2,+∞) B.[-2,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-∞,-2]
【答案】A
【解析】由题可得x+2>0,则x>-2.
9.函数y=lg(x-1)的定义域是 (　　)
A.(1,+∞) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,1)
【答案】 A
【解析】由题可得x-1>0,则x>1.
§ 4.2.5对数与对数函数 习题课
4.对数函数y=logax( (a>0,a≠1)的图象和性质
a a>1 0图象
性

质 定义域
值域
定点
增减性
奇偶性
三、巩固提高
1.将28=256写成对数式 (　　)
A.log8256=2 B.log2568=2
C.log2256=8 D.log82=256
.
【答案】C
2.求值:log39=(　　)
A.1 B.2 C.5 D.0
【答案】B
【解析】log39=log332=2log33=2.
3.求值:log54×log225= (　　)
A.4 B.2 C.3 D.8
4.已知log2a>log23,则a的取值范围是(　　)
A.(3,+∞) B.(0,+∞) C.(0,3) D.(1,+∞)
【答案】 A　
【解析】由y=log2x为增函数,且log2a>log23,得a>3.
6.如果log3(log2x)=1,那么x=(　　)
A.4 B.8 C.9 D.1
【答案】B　
【解析】由log3(log2x)=1=log33,得log2x=3,则x=23=8.
【解析】由y=log0.5x为减函数,且log0.5mn.
<
>
【解析】由y=log2x为增函数,且5<6,得log25{x|x>1且x≠2}
3
2
【解析】　f(1)=log4(2+14)=log416=2.
11.解下列不等式.
(1)log3(3-x)<0; (2)log2(5-x)一、知识回顾
1.请在同一平面直角坐标系中,画出指数函数y=2x、对数函数y=log2x及正比例函数y=x的函数图象.
2.指数函数y=2x与对数函数y=log2x的函数图象有什么关系
§ 4.2 指数、对数函数的应用
二、学习新知
反函数
指数函数y=ax 与对数函数y =logax (a>0,a≠1)的函数图象
关于　　　　　对称.
指数函数 y= ax与对数函数y =logax (a>0,a≠1)互
为　　　　　　函数.
指、对数函数模型:N(1+p)n
其中:N是指初始状态;p是指增长率(或降低率);n是一个时间变量.
三、掌握新知
【例1】2021年5月11日,国家统计局公布第七次全国人口普查的主要情况,数据显示,我国人口总数约是14.1亿,若人口的年自然增长率控制在0.5%,则大约几年后我国的人口总数将不小于14.5亿
(结果保留整数)
【例2】设在离海平面高度为x m处的大气压是y kPa,y与x的函数关系是y=Cekx,,这里的C,k都是常量.已知某地某天在海平面与1000 m高空的大气压强分别是101 kPa及90 kPa,求在600 m高空的大气压强和大气压强为96 kPa处的高度.(结果保留整数)
四、巩固新知
1.一种产品的年产量原来是a件,在今后的m年内,计划使年产量平均每年比上一年增加p%.写出年产量随着年数变化的关系式.
【答案】解:设x年后,年产量为y件,
　则y=a(1+p%)x,0≤x≤m且x为整数.
2.种产品原来的成本是a元,在今后的m年内,计划使成本每年比上一年降低p%.写出成本随着年数变化的函数关系式.
【答案】解:设x年后,成本为y元,
　则y=a(1-p%)x,0≤x≤m且x为整数.
3.仓库库存的某种商品价值是50万元,如果每年的损耗是4.5%,那么经过多少年,它的价值降为20万元 (只写表达式即可)
【答案】解:设x年后,它的价值降为20万元,
　则50(1-4.5%)x=20.
4.快递小哥陈铭2024年年收入为12万元,若到2029年,其年收入为25万元,则年平均增长率是多少 (只写表达式即可)
【答案】解:由题可设年平均增长率为p,
　则12(1+p)5=25.
5.用清水洗涤衣服,若每次能洗去污垢的3/4,要使存留的污垢不超过1%,则至少洗涤多少次 (lg 2=0.3010)
6.函数f(x)=b+logax的图象经过点(8,2),其反函数y=f-1(x)的图象经过点(0,2),那么a=　　　　　,b=　　　　　.
7.已知函数y=f(x)是函数y=ax的反函数,若f(8)=3,则a=(　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
【答案】 A　
【解析】由题可得,将点(3,8)代入y=ax中,得8=a3,则a=2.
2
-1
第四章 指数函数与对数函数 复习课
3.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与性质
a a>1 0图象
性

质 定义域
值域
定点
增减性
奇偶性
6.对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质
a a>1 0图象
性

质 定义域
值域
定点
增减性
奇偶性
第四章 指数函数与对数函数 复习练习
一、选择题
1. x5·x2= (　　)
A.x2 B.x5 C.x7 D.x10
【答案】C　
【解析】 x5·x2=x5+2=x7.
　
2.计算:log39= (　　)
A.-1 B.-2 C.1 D.2
【答案】 D
【解析】log39=log332=2log33=2.

【答案】 D　
【解析】由y=3.1x为增函数,得3.12>3.11.8.
4.若2m<2n,则 (　　)
A.m>n B.mC.m=n D.不能确定
【答案】 B　
【解析】由y=2x为增函数,且2m<2n,得m
【答案】 B
【答案】 A　
【解析】由3a>3-2,得a>-2.
8.函数y=ax-2+1(a>0且a≠1)的图象过定点 (　　)
A.(0,1) B.(2,1) C.(2,2) D.(1,2)
【答案】C
【解析】∵y=ax的图象过定点(0,1),
　∴当x-2=0,即x=2时,y=ax-2+1为定值2.
　∴y=ax-2+1的图象过定点(2,2).

【答案】 C　
【解析】将点(2,9)代入y=ax,得a2=9,即a=3.
10.计算:log23×log98= (　　)
A.43 B.32 C.34 D.23
【答案】D　
【解析】对数函数底数大于1时为增函数.

12.函数y=loga(a-3)在定义域内是增函数,则a的取值范围是
(　　)
A.(1,+∞) B.(3,+∞)
C.(0,1) D.(1,3)

二、填空题
16. x=logab写成指数式为　　　　　.
17.若6x=2,log612=y,则y-x=　　　　　.
ax=b
1
【解析】由6x=2,得x=log62,
则　y-x=log612-log62=log66=1.

4
【解析】由log3(log4x)=log31,得log4x=1,即x=4.
4(1+0.2)x
22.若lg 5=a,lg 3=b,用a,b表示下列代数式的值.
(1)lg 15; 　　(2)lg 45; 　　　　(3)log524.

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