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广东省清远市英德市2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）“一片甲骨惊天下”，安阳殷墟出土的甲骨文是我国目前发现最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文字是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）将花生油滴入水中，油会浮在水面上，这个事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上都不正确
3．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
4．（3分）如图，过点P作直线l的平行线，可作的平行线有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
5．（3分）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．同位角相等，两直线平行
6．（3分）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（　　）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
7．（3分）1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．（﹣3x）2＝6x2
C．8x4÷2x2＝4x2 D．（a+b）2＝a2+b2
9．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝108°，∠F＝32°，则∠B的度数为（　　）
A．32° B．40° C．50° D．108°
10．（3分）如图1，从边长为（a+5）cm的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）cm的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（　　）
A．9cm2 B．（6a﹣9）cm2
C．（6a+9）cm2 D．（6a+21）cm2
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）计算：x（x﹣3）＝　 　 ．
12．（3分）小杨在一个不透明的箱子里摸乒乓球，其中黄的有2个，白的有4个，那么一次摸到黄球的概率为 　 　 ．
13．（3分）如图，若∠1＝∠2，∠3＝44度，则∠4＝　 　 度．
14．（3分）如图，将平面镜放置在桌面AB上，光线CO经过平面镜反射形成光线OD．已知EO⊥AB，∠AOC＝35°，∠COE＝∠DOE，则∠DOB的度数为 　 　 ．
15．（3分）如图，AB＝DE，BC＝EF，若要用SSS定△ABC≌△DEF，还需要一个条件，则这个条件是 　 　
三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分。
16．（7分）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠B，∠C＝60°，求∠D的度数．
17．（7分）已知：如图，线段a、b、c．
求作：△ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（7分）第一小组同学们要测量池塘两端A，B的距离，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘直接到达点A和B；再连接AC，BC并分别延长到点D，E，使CD＝CA，CE＝CB；连接DE．你认为第一小组同学们这样设计得到的线段DE与AB有什么样的数量关系？并说明理由．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．
20．（9分）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
（1）如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得CA+CB有最小值，并说明作图依据：　 　 ；
（2）如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得PA+PB有最小值，并说明理由．
21．（9分）【阅读材料】
两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是10，对于这种特殊关系的两位数相乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联．例如：47×67＝3149，它们乘积的前两位是31，等于4×6+7，它们乘积的后两位是49，等于72，用速算方法计算可得：47×67＝100×（4×6+7）+72＝3149.13×93＝1209，它们乘积的前两位是12，等于1×9+3，它们乘积的后两位是9，等于32，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：13×93＝100×（1×9+3）+32＝1209．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性．
（1）观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算86×26＝ 　 　 ；
（2）推理与解释：
①对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为a，个位数字是b（a表示1～9的整数、b表示0～9的整数），则该两位数可表示为10a+b，另一个两位数可表示为 　 　 ；
②用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：　 　 ；
③请运用所学知识，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。
22．（13分）如图1，已知点P在直线l外，利用如下方法也可以作出过点P与直线l平行的直线：
在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B；以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线PC，则PC∥．
（1）这种作法用到了哪些你学过的基本尺规作图？（提示：连接PA）
（2）请说明这种作平行线方法的道理．
（3）连接PB，PA，AC，则∠PBA与∠ACP相等吗？请说明理由．
23．（14分）（1）提出问题：如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为 　 　 ．
（2）探究问题：①如图2，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，将①中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：如图4，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以2cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝12cm，BC＝16cm，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果）
广东省清远市英德市2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A D D B C B D
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．x2﹣3x．
12．．
13．136．
14．35°．
15．AC＝DF．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分。
16．解：∵∠A＝∠B，
∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行），
又∵AC∥BD（两直线平行，内错角相等），
∴∠C＝∠D＝60°．
17．解：如图所示：
△ABC就是所求的三角形．
18．解：DE＝AB，
理由：由题意知CD＝CA，CE＝CB，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．解：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）
＝x2+2x+1+4﹣x2
＝2x+5，
当x＝1时，原式＝2+5＝7．
20．解：（1）如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短；
（2）如图2中，点P即为所求．
理由：在直线l上任意取一点P′，连接AP′，BP′．
∵A，A′关于直线l对称，
∴PA＝PA′，P′A＝P′A′，
∵P′B+P′A＝P′B+P′A′≥BA′＝PA+PB，
∴点P即为所求的点P．
21．解：（1）86×26结果的前两位为：8×2+6＝22，后两位为：6×6＝36，
所以86×26＝2236，
故答案为：2236；
（2）①由题意可得，另一个两位数的十位数字为10﹣a，个位数字为b，
则另一个两位数可表示为：10（10﹣a）+b＝﹣10a+b+100；
故答案为：﹣10a+b+100；
②由题中所给速算方法可得：
这两位数相乘可得到结果可以表示为：100×[a（10﹣a）+b]+b2；
故答案为：100×[a（10﹣a）+b]+b2；
③（10a+b）（﹣10a+b+100）＝100×[a（10﹣a）+b]+b2
等号左边＝﹣100a2+10ab+1000a﹣10ab+b2＝﹣100a2+b2+1000a+100b，
等号右边＝100（﹣a2+10a+b）+b2＝﹣100a2+b2+1000a+100b，
所以左边＝右边，
因此这个等式成立，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。
22．解：（1）用到了作一条线段等于已知线段；
（2）理由：连接PB，PA，AC
由作图可知AB＝PC，PB＝AC，
∵PA＝AP，
∴△ABP≌△PCA（SSS），
∴∠BAP＝∠APC，
∴PC∥AB；
（3）结论：∠PBA＝∠ACP．
理由：由（2）可知△ABP≌△PCA（SSS），
∴∠PBA＝∠ACP．
23．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠1+∠BAC+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：∠1+∠2＝90°；
（2）①DE＝BD+CE，理由如下：
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE；
②DE＝BD+CE成立．证明如下：
如图2，
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠DAB＝∠DAB+∠CAE，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）①当E在BC上，D在AC上时，即，
CE＝（16﹣3t）cm，CD＝（12﹣2t）cm，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
∴CD＝CE，
∴16﹣3t＝12﹣2t，
∴t＝4；
②当E在AC上，D在AC上时，即，
CE＝（3t﹣16）cm，CD＝（12﹣2t）cm，
∴CD＝CE，
∴3t﹣16＝12﹣2t，
∴；
③当E到达A，D在BC上时，即6≤t≤14，
CE＝12cm，CD＝（2t﹣12）cm，
∴CD＝CE，
∴12＝2t﹣12，
∴t＝12．
综上所述，当t＝4或或12s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．

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