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2024-2025学年河南省商丘市夏邑县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图是一次函数的图象，则关于x的方程的解为( )
A.
B.
C.
D. 或
5.王林参加“优秀社区干部”评选，责任心、组织能力、群众基础三项得分十分制分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按3：5：2的比例确定最终成绩，则王林的最终成绩为( )
A. 8分 B. 分 C. 分 D. 分
6.《宋史司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中.众皆弃去，光持石击瓮破之，水进，儿得活.下面图比较符合故事情节.
A. B.
C. D.
7.的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是( )
A. B.
C. ：：：2：3 D. ，，
8.已知四边形ABCD为平行四边形，从下列条件中：①；②；③；④，任选其中两个，不能判定四边形ABCD为正方形的组合是( )
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④
9.将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为( )
A. 11
B. 12
C. 9
D. 10
10.在平面直角坐标系中，平行四边形ABCO如图所示，A，C两点的坐标分别为，，将直线沿x轴向左平移个单位长度后与边BC有交点，则m值不可能为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若有意义，则实数x的取值范围是______.
12.甲、乙两位选手5次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，，则______选手成绩更稳定填“甲”或“乙”
13.已知点和点是一次函数图象上的点，则______填“<”“>”或“=”
14.如图，DE是的中位线，的平分线交DE于点P，若，，则PE的长为______.
15.在矩形ABCD中，的平分线交AD于点E，作点E关于BD的对称点F，若点F落在矩形ABCD的边上，则AB的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题10分
计算：
；
17.本小题9分
随着数字AI技术的日渐成熟，智能化学习与巩固已经成为大势所趋，某校进行了“数字AI智能学习”专题培训，为了解培训效果，随机抽取若干名学生进行测试，并对成绩单位：分，满分100分进行分组整理，得出如表不完整的统计表，已知成绩在这一组数据为：70，71，72，73，73，74，76，77，77，78，79，
数字AI智能学习测试成绩频数分布表
分数段分 频数 百分比 等级
7 差
9 a 中
12 良
b 优
6 优
根据以上信息，回答下列问题：
本次抽样调查的样本容量为______，表格中的a，b依次为______，______；
小文得知此次测试的平均成绩为分，而其成绩为77分，他说：“我的成绩高于一半学生的成绩.”你认为该说法正确吗？请说明理由.
18.本小题9分
如图， ABCD中，的平分线交AD于
请用无刻度的直尺和圆规作，射线PQ交BC于点保留作图痕迹，不写作法；
求证：四边形ABQP是菱形.
19.本小题9分
如图，在高速公路l同侧有C、D两个村庄，且两点到公路的距离，是AB的中点，且现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等.
判断点E的位置______填“在点F左侧”“和点F重合”或“在点F右侧”
求AE的长.
20.本小题9分
河南有许多著名的花卉，如洛阳的牡丹，被誉为“花中之王”，开封的菊花也是重要花卉之一，象征着清净和高洁.河南某中学计划采购洛阳牡丹和开封菊花两种花卉用于校园美化.经问询知购买2份洛阳牡丹和3份开封菊花共需要39元；购买3份洛阳牡丹和2份开封菊花共需要36元.
分别求洛阳牡丹和开封菊花的单价.
若学校经过规划最终决定购买洛阳牡丹和开封菊花共计950份，且要求采购洛阳牡丹的份数不超过开封菊花份数的，请你设计一种费用最少的采购方案，并求出最少费用.
21.本小题9分
如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上，且，OE与DA的延长线交于点M，OF与AB的延长线交于点N，连接
求证：；
若正方形ABCD的边长为2，E为OM的中点，求MN的长.
22.本小题10分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点，且与坐标轴交于、B两点.
求m的值及一次函数解析式；
求的面积；
在第一象限内是否存在点P，使得四边形OCPB为平行四边形，若存在请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由.
23.本小题10分
【定义阅读】若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐点”.
【定义理解】如图1，点A与点P都在线段BC的垂直平分线上，且均在直线BC上侧：
①AB与AC的数量关系是______；
②若，且点A与点P关于BC互为“和谐点”，则______；
【性质操作】如图2，矩形ABCD中，点E为AD边上一点，且，BF平分，射线BF交CD于点点B与点F是否关于EC互为“和谐点”？说明理由；
【思维拓展】在矩形ABCD中，，，点F是直线CD上的动点，点E是平面内一点，在点F运动过程中，当点E与点C关于BF互为“和谐点”，且A，B，E三点共线时，请直接写出AF的长.
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.C
5.D
6.D
7.D
8.A
9.C
10.D
11.
12.甲
13.>
14.1
15.4或
16.解：
；
17.解：本次抽样调查的样本容量为：，
，，
故答案为：50，，16；
小文的说法不正确，
理由：由题目中的数据可知，中位数为，
，
小文的成绩低于一半学生的成绩，
故小文的说法不正确．
18. 解：图形如图所示：
证明：平分，
又，
，
四边形ABCD为平行四边形，
，
四边形ABQP为平行四边形．
，
，
，
四边形ABQP为菱形．
19.解：是AB的中点，且，
，
如图所示，取，则，
在和中，
，
≌，
，
点E即为所求，
，
点E在点F右侧，
故答案为：在点F右侧；
如图，由知
20.解：设洛阳牡丹的单价为a元，开封菊花的单价为b元．
根据题意，得，
解得
答：洛阳牡丹的单价为6元，开封菊花的单价为9元．
设采购开封菊花x份，则采购洛阳牡丹份．
根据题意，得，
解得，
设费用为W元，则，
，
随x的增大而增大，
，
当时W最小，，
份
答：采购开封菊花380份、洛阳牡丹570份费用最少，最少费用为6840元．
21.证明：四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD交于点O，
，，，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：过点O作于点H，于点K，如图所示：
，
四边形ABCD是正方形，且边长为2，
，，，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
又，
四边形OHAK是正方形，
，
点E为OM的中点，
，
在和中，
，
≌
，
，
在中，由勾股定理得：，
由可知：≌，
，
，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：
22.解：当时，，
，
将点C、A代入中，
，
解得，
；
当时，，
，
的面积；
存在点P，使得四边形OCPB为平行四边形，理由如下：
四边形OCPB为平行四边形，
，，
23.解：①点A与点P都在线段BC的垂直平分线上，且均在直线BC上侧，
，
故答案为：；
②点A与点P关于BC互为“和谐点”，且，
，
又点A与点P都在线段BC的垂直平分线上，
，，
，，
，
故答案为：；
点B与点F是关于EC互为“和谐点”；理由如下：
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
又，均为等腰三角形，其中，，
点B与点F关于EC互为“和谐点”；
的长为或理由如下：
在矩形ABCD中，，，
，，，
分三种情况讨论：
当点F在线段CD上时，不存在，故不存在点E与点C关于BF互为“和谐点”；
当点F在CD的延长线上时，如图3，
点E与点C关于BF互为“和谐点”，，
，，，
，
在中，，
；
当点F在DC的延长线上时，如图4，
点E与点C关于BF互为“和谐点”，，
，，，
，
在中，，
由勾股定理得：；
综上所述，满足条件的AF的长为或

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