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第29讲 与圆有关的计算
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
孤长的有关计算 会计算圆的弧长、扇形的面积
扇形面积的有关计算
圆锥的有关计算
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分类研究·深度理解
考点一 弧长公式与扇形面积公式
弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径).
【注意】在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
【补充】在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°为圆心角所对的弧长).
【补充】
1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可．
【典例1】如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B．2π C． D．
【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质．.
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】作AF⊥BC，由勾股定理求出AF，然后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE得出答案．
【解答】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，
设切点为F，连接AF，则AF⊥BC．
在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，
∴CF＝BF＝1．
在Rt△ACF中，AF，
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE
2
，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积﹣扇形的面积是解题的关键．
【典例2】（2025·江苏苏州·中考真题）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可．
【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为，
∴摩天轮的半径为，
∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B，
∴，
∴该轿厢所经过的路径长度为：
．
故答案为：．
【典例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E是斜边上一点，以为直径的经过点D，交于点F，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，由角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定可得 ，从而可得，再根据切线的判定即可得出结论；
（2）连接，，由，，可得，，再由直角三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，根据角平分线的定义可得，利用锐角三角函数求得，再由直角三角形的性质可得 ，证明是等边三角形，可得，从而证明是等边三角形，可得垂直平分，再由，可得，从而可得，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：连接，

∵，是的半径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴于点D，
又∵为的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，，
∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴ ，
∵平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∵，，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定、直角三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质及扇形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
考点二 圆锥的侧面展开图及圆锥的侧面积
母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥侧面积公式：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
圆锥全面积公式：（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足.
【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系.
【易错点】注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念．
【典例1】（ 2025·黑龙江龙东）若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 　15π　 ．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：圆锥的母线长5，
所以圆锥侧面展开图的面积2π×3×5＝15π．
故答案为：15π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【典例2】（2025·黑龙江·中考真题）若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据勾股定理求出母线长，再根据侧面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴圆锥的母线长为，
∴圆锥侧面展开图的面积为；
故答案为：．
【典例3】．（2024 通辽）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 　60π　cm2（结果用含π的式子表示）．
【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2计算即可．
【解答】解：这个扇形纸片的面积是为×2π×5×12＝60π（cm2）．
故答案为：60π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算和扇形面积的计算，熟练掌握圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2是关键．
专项训练·深度理解
专项训练二十九：与圆有关的计算
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. ．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：连接相交于O，
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴，，
∴，，
∴图中阴影部分的面积是．
故选D．
2. ．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可．
【详解】解：根据弧长公式：，其中，
代入得：
解得：
故选：A．
3. （2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ）
A．（千米） B．（千米）
C．（千米） D．（千米）
【答案】C
【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解；由题意得，，
∴劣弧的长为千米，
故选：C．
4. （2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长．
设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径．
【详解】解：设圆锥底面圆半径为，
由题意得：，
解得，
因此，该圆锥的底面圆半径为，
故选：B．
5. （2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键；
先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可
【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长，
∴该圆锥的底面圆的半径为；
故选：A
6. （2024 吉林）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D．OA＝1m，OB＝10m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为（ ）（结果保留π）．
A．110π B．11π C．12π D．13π
【分析】根据扇形的面积公式（），用扇形BOC的面积减去扇形AOD的面积即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：阴影部分的面积为：＝＝11π（m2）．
故答案为：11π．
故选B.
【点评】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解答本题的关键．
7. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　）
A．m B．m C．m D．（2）m
【考点】弧长的计算；勾股定理；矩形的性质．.
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】先作出合适的辅助线，然后根据题意和图形，可以求得优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，
由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，
∴tan∠DCA，AC4（m），
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，
∴改建后门洞的圆弧长是：（m），
故选：C．
【点评】本题考查弧长公式、勾股定理、圆周角定理、矩形的性质，解答本题的关键是求出优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径．
8. （2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
9. （2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可．
【详解】如图所示，过点A作于点D
∵是直径
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∵
∴，
∴
∴，
∴该粒米落在扇形内的概率为．
故选：D．
【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
10. （2024 泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，得三角形AOO′是等边三角形，求出AB＝，S弓形AO′＝S扇形AOO′﹣S△AOO′＝﹣，再根据S阴影＝S弓形AO′+S扇形AO′O，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，
∵OA＝OO′＝AO′＝2，
∴三角形AOO′是等边三角形，
∴∠AOO′＝60°，OB＝OO′＝1，
∴AB＝＝，
∴S弓形AO′＝S扇形AOO′﹣S△AOO′
＝﹣2××
＝﹣，
∴S阴影＝S弓形AO′+S扇形AO′O
＝﹣+
＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，熟练掌握扇形的面积公式是关键．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2025·四川达州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的相关计算，明确扇形的弧长=圆锥底面圆的周长是解题的关键；
根据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长计算求解即可．
【详解】解：扇形的弧长=圆锥底面圆的周长；
故答案为：．
12. （2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为 度．
【答案】160
【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．圆锥的底面半径为，则底面圆的周长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是，母线长为即侧面展开图的扇形的半径长是．根据弧长公式即可计算．
【详解】解：根据弧长的公式得到：
，
解得．
即侧面展开图的圆心角为160度．
故答案为：160．
13. （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴劣弧，
故答案为：．
14. （ 2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　2　 ．
【解答】解：∵边CD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥CD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∴AF＝FBAB4＝2，
由圆周角定理得：∠AOE＝2∠ABE＝30°，
∴OA＝2AF＝4，
由勾股定理得：OF2，
则S阴影部分＝S扇形AOE﹣S△AOF2×22，
故答案为：2．
15. （2025·四川德阳·中考真题）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，利用弧长计算公式计算即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴这个等宽曲线的周长为．
故答案为：
16. （2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为 ．（结果用表示）
【答案】
【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键．
【详解】解: ∵黄金矩形中，且，
∴，
∵四边形是正方形，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
∵四边形是正方形，
，
∴“黄金螺线”的长为，
．
故答案为：．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
(1)如图1，连接，求的度数；
(2)如图2，若点为的中点，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可；
（2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
在四边形中，∵
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为：．
18. （6分）（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，求的长（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质．
（1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，再得，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
且是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：在中，，
∴，
设，
∴，
解得，
∵，
∴的长为：．
19. （6分）（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论；
（2）如图：连接，有圆周角定理可得，再解直角三角形可得，进而得到，然后说明，最后根据弧长公式即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接

∵，
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴。
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图：连接
∵是的直径，
∴,
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
20. （8分）（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：）
(1)求圆心角的度数；
(2)求的弧长（结果精确到米）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）由圆的切线的性质得到，再由直角三角形锐角互余即可求解；
（2）先解，设，，再解得到，求出，求出半径，再由弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与所在相切于点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵直线与所在相切于点，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的弧长为：，
答：的弧长为．
21. （8分）（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
(3)连接，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线；
（2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可；
（3）由直径所对的圆周角是直角得到，解得到，设，由勾股定理可得；证明，进而证明，得到，则，，进而可求出，再根据余弦的定义可得答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵是的直径，
∴，
在中，，
设，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
22. （8分）（ 2025·河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为．
（1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数；
（2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；
（3）当∠EOF＝150°时，求的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为边长为5的正方形，
∴AD＝BC＝5，∠ADC＝90°，
∵AE＝3，
∴DE＝2，
∵DE＝DF，
∴DE＝DF＝2．
∵OE＝OF＝2，
∴DE＝DF＝OE＝OF＝2，
∴四边形OEDF为正方形，
∴∠EOF＝90°，
∴∠EMFEOF＝45°；
（2）连接EF，交BD于点H，如图，
∵四边形OEMF为菱形，
∴OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD，
∵OM＝OE＝OF＝2，
∴△OEM，△OFM为等边三角形，
∴∠OEM＝∠OME＝∠OMF＝∠OFM＝60°，
∴EH＝ME sin60°＝2．
∵四边形ABCD为边长为5的正方形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝45°，
∴△EDH为等腰直角三角形，
∴DH＝EH，
∴DEDH；
（3）当∠EOF＝150°时，如图，
∴的长；
当∠EOF＝150°时，如图，
∴的长．
综上，当∠EOF＝150°时，的长为或．
23. （10分）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，　①（答案不唯一）　．求证：　②（答案不唯一）　；
从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；
（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；圆周角定理；直线与圆的位置关系．.
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；证明过程见解答；
（2）阴影部分的面积为．
【分析】（1）若选择：①作为条件，②作为结论，先根据切线的性质可得∠ODE＝90°，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得AE∥DO，然后利用平行线的性质可得∠AED＝90°，即可解答；
若选择：②作为条件，①作为结论，先根据垂直定义可得∠AED＝90°，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得AE∥DO，然后利用平行线的性质可得∠ODE＝90°，即可解答；
（2）连接OF，DF，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而在Rt△ADB中，利用含30度角的直角三角形性质可得BD＝3，AD＝3，再利用角平分线的定义可得∠EAD＝∠DAB＝30°，从而在Rt△AED中，利用含30度角的直角三角形性质可得DE，AE，然后利用圆周角定理可得∠DOB＝∠DOF＝60°，从而可得△DOF都是等边三角形，进而可得∠DOB＝∠ODF＝60°，再利用平行线的判定可得DF∥AB，从而可得△ADF的面积＝△ODF的面积，最后根据阴影部分的面积＝△AED的面积﹣扇形DOF的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）若选择：①作为条件，②作为结论，
如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE与⊙O相切，求证：DE⊥AC，
证明：连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥DO，
∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，
∴DE⊥AC；
若选择：②作为条件，①作为结论，
如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE⊥AC，求证：DE与⊙O相切，
证明：连接OD，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥DO，
∴∠ODE＝180°﹣∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
故答案为：①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；
（2）连接OF，DF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，∠BAD＝30°，
∴BDAB＝3，ADBD＝3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB＝30°，
在Rt△AED中，DEAD，AEDE，
∵∠EAD＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，∠DOF＝2∠EAD＝60°，
∵OD＝OF，
∴△DOF都是等边三角形，
∴∠ODF＝60°，
∴∠DOB＝∠ODF＝60°，
∴DF∥AB，
∴△ADF的面积＝△ODF的面积，
∴阴影部分的面积＝△AED的面积﹣扇形DOF的面积
AE DE
，
∴阴影部分的面积为．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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第29讲 与圆有关的计算
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
孤长的有关计算 会计算圆的弧长、扇形的面积
扇形面积的有关计算
圆锥的有关计算
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 弧长公式与扇形面积公式
弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径).
【注意】在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
【补充】在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°为圆心角所对的弧长).
【补充】
1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可．
【典例1】如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B．2π C． D．
【典例2】（2025·江苏苏州·中考真题）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为 ．（结果保留）
【典例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E是斜边上一点，以为直径的经过点D，交于点F，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
考点二 圆锥的侧面展开图及圆锥的侧面积
母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥侧面积公式：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
圆锥全面积公式：（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足.
【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系.
【易错点】注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念．
【典例1】（ 2025·黑龙江龙东）若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 　 　 ．
【典例2】（2025·黑龙江·中考真题）若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 ．
【典例3】．（2024 通辽）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 　 　cm2（结果用含π的式子表示）．
专项训练·深度理解
专项训练二十九：与圆有关的计算
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. ．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2. ．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ）
A． B． C． D．
3. （2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ）
A．（千米） B．（千米）
C．（千米） D．（千米）
4. （2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
5. （2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．5
6. （2024 吉林）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D．OA＝1m，OB＝10m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为（ ）（结果保留π）．
A．110π B．11π C．12π D．13π
7. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　）
A．m B．m C．m D．（2）m
8. （2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9. （2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
10. （2024 泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2025·四川达州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是 ．
12. （2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为 度．
13. （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ．
14. （ 2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　 　 ．
15. （2025·四川德阳·中考真题）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是 ．
16. （2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为 ．（结果用表示）
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
(1)如图1，连接，求的度数；
(2)如图2，若点为的中点，且，求的长．
18. （6分）（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，求的长（结果保留）．
19. （6分）（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
20. （8分）（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：）
(1)求圆心角的度数；
(2)求的弧长（结果精确到米）．
21. （8分）（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
(3)连接，若，求的值．
22. （8分）（ 2025·河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为．
（1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数；
（2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；
（3）当∠EOF＝150°时，求的长．
23. （10分）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，　①（答案不唯一）　．求证：　②（答案不唯一）　；
从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；
（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．
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