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二次函数和反比例函数 单元质量检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．小敏在一次投掷实心球的训练中，掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致满足二次函数，则小敏此次成绩为（　　）
A． B． C． D．
2．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（　　）
A． B．函数图象分布在第二、四象限
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小
3．正比例函数y＝2x与反比例函数的图象有一个交点为（1，2)，则另一个交点的坐标为（　　）
A．（-1，-2） B．（-1，2） C．（1，-2） D．（1，2）
4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．已知抛物线不经过第二象限，与轴交于，两点，其顶点．这条抛物线关于轴对称的抛物线顶点为，若四边形是正方形，则的值为（　　）
A． B． C． D．或
6．在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
7．若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．函数y＝ 与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）.
A． B．
C． D．
10．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（　　）
A．先增大后减小，最大面积为8 B．先减小后增大，最小面积为6
C．始终不变，面积为6 D．始终不变，面积为8
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数与轴的交点坐标　 　．
12．设函数 与 的图象的交点坐标为 ，则 值是　 　.
13．若 是二次函数，则m的值是　 　.
14．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为10，则k的值是　 　．
15．已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是　 　．
16．如图，在平面角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点A，F，且的面积为18，则k的值为　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．教师办公室有一台可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热．每分钟水温上升10℃，待加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温y（℃）和通电时间x（ ）成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（ ）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当 和 时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在通电多长时间内接水？
18．为响应党中央乡村振兴号召，某村党支部带领果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量是亩产约1000千克.
（1）预计明年这种水果产量将达到亩产1210千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少？
（2）某水果店专营这种水果，并以每千克30元的批发价从果农处购进这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为45元，则每天可售出200千克，若每千克的平均销售价每降低1元，每天可多卖出40千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）
19．疫情期间，某口罩公司销售一种成本为每盒60元的口罩，规定试销期间销售单价不低于成本价，且获利不得高于30%，经试销发现，销售量y（万盒）与销售单价x（元）之同的函数图象如图.
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：
（2）求当销售单价为多少时，销售利润最大，最大利润为多少万元？
20．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各40盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共80盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
21．如图，点O是坐标原点，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上．已知点B的坐标为（12，16），∠BAO＝∠OCD＝90°，OD＝10，反比例函数的图象经过点D，交AB边于点E．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求BE的长．
22．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．
（1）求I关于R的函数解析式；
（2）当时，求I的值．
23．已知反比例函数 的图象经过点 ，点 与点 关于原点 对称， 轴于点 ， 轴于点
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）求 的面积.
24．某工厂加工成本为30元/千克的产品，以不低于成本价销售该产品，经市场调查发现：该产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）将该产品的销售单价定为多少元时，工厂每天销售这种产品获得的利润最大？最大利润是多少元？
25．公司经销的一种产品，按要求必须在15天内完成销售任务．已知该产品的销售价为62元件，推销员小李第x天的销售数量为y件，y与x满足如下关系：
（1）小李第几天销售的产品数量为70件？
（2）设第x天销售的产品成本为m元件，m与x的函数图象如图，小李第x天销售的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？
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二次函数和反比例函数 单元质量检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．小敏在一次投掷实心球的训练中，掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致满足二次函数，则小敏此次成绩为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
2．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（　　）
A． B．函数图象分布在第二、四象限
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
3．正比例函数y＝2x与反比例函数的图象有一个交点为（1，2)，则另一个交点的坐标为（　　）
A．（-1，-2） B．（-1，2） C．（1，-2） D．（1，2）
【答案】A
【解析】【解答】解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标为(1，2)，
∴它的另一个交点的坐标是( 1， 2)，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数图象的对称性可得：正比例函数与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，据此不难得到另一个交点的坐标.
4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
5．已知抛物线不经过第二象限，与轴交于，两点，其顶点．这条抛物线关于轴对称的抛物线顶点为，若四边形是正方形，则的值为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】B
6．在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由函数经过点（1，0） ，则排除A、C；
B、由一次函数经过一三象限，则-k＞0，∴k＜0，
由图象位于一三象限，则k＞0，矛盾，故不符合题意；
D、由一次函数经过一三象限，则-k＞0，∴k＜0，
由图象位于二四象限，则k＜0，一致，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据一次函数与反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可.
7．若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，
而
故答案为：A．
【分析】将各点的横坐标代入求出纵坐标，排列出顺序即可
8．函数y＝ 与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：①当k＞0，则﹣k＜0，双曲线在二、四象限，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上；
②k＜0时，则﹣k＞0，双曲线在一、三象限，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上；
故答案为：B符合题意；
故答案为：B.
【分析】y=（k≠0），当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限；
y=ax2+b（a≠0），当a>0，图象开口向上；当a＜0，图象开口向下，据此一一判断得出答案.
9．若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由图象可知：抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b异号，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0；
在一次函数y=ax+b中，a＞0，b＜0，
∴图象经过一三四象限；
在反比例函数 中，c＞0，
∴图象的两支分布在一三象限，
综上只有B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】观察图象：由拋物线开口向上，可得到a＞0 ；由对称轴在y轴的右侧，可得到a，b异号，则 b＜0 ；由拋物线与y轴的交点在x轴的上方，可得到c＞0 ；一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一三象限，当k＜0时，图象的两支分布在二四象限，据此判断可得答案.
10．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（　　）
A．先增大后减小，最大面积为8 B．先减小后增大，最小面积为6
C．始终不变，面积为6 D．始终不变，面积为8
【答案】D
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数与轴的交点坐标　 　．
【答案】
12．设函数 与 的图象的交点坐标为 ，则 值是　 　.
【答案】 或
【解析】【解答】解：∵函数 与y＝-3x﹣9的图象的交点坐标为（a，b），
∴
化简得：a（-3a﹣9）＝3，即
解得： 或 ，
当 时，
∴
当 时，
∴
故答案为： 或 .
【分析】把点的坐标分别代入两函数解析式，联立方程解出a，b即可得出答案.
13．若 是二次函数，则m的值是　 　.
【答案】3
【解析】【解答】解：由题意，得
m2-2m-1=2且m+1≠0，解得m=3，
故答案为：3.
【分析】根据形如“y=ax2（a≠0）”的函数就是二次函数可得答案.
14．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为10，则k的值是　 　．
【答案】8
15．已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴没有交点，
∴△<0，即，
解得：，
故答案为：.
【分析】将二次函数与x轴的交点个数问题转换为一元二次方程根的判别式问题，再列出不等式求解即可.
16．如图，在平面角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点A，F，且的面积为18，则k的值为　 　．
【答案】12
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．教师办公室有一台可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热．每分钟水温上升10℃，待加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温y（℃）和通电时间x（ ）成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（ ）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当 和 时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在通电多长时间内接水？
【答案】（1）解：当 时，设y和x之间的函数关系式为： （ ），
将 ， 分别代入 中，
则 ，解得 ，
∴当 时，一次函数解析式为 ；
当 时，设y和x之间的函数关系式为： （ ），
将 代入 ，解得 ．
∴当 时，反比例函数的解析式为 ．
（2）解：将 代入 ，得 ，即 ．
（3）解：对于 ，当 时， ，
所以，要想喝到不低于40℃的开水，x需满足 ．（即在通电8~20 内（包括端点）接水可喝到不低于40℃的开水．）
【解析】【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当 时，得出答案；
（3）当 时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
18．为响应党中央乡村振兴号召，某村党支部带领果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量是亩产约1000千克.
（1）预计明年这种水果产量将达到亩产1210千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少？
（2）某水果店专营这种水果，并以每千克30元的批发价从果农处购进这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为45元，则每天可售出200千克，若每千克的平均销售价每降低1元，每天可多卖出40千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）
【答案】（1）解：设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为x，由题意得：
，
解得：（舍），
答：平均每年的增长率为10%；
（2）解：设每千克的平均销售价为m元，由题意得：
∵，
∴当时，w取最大值为4000，
答：当每千克平均销售价为40元时，一天的利润最大，最大利润是4000元.
【解析】【分析】（1）此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，列直接开平方法求解并检验即可；
（2） 设每千克的平均销售价为m元 ，则每千克水果的利润为（m-30）元，每天的销售量为[200+40(45-m)]千克，根据每千克的利润×每天的销售数量=总利润建立出w与m的函数关系式，进而根据所得函数的性质求解即可.
19．疫情期间，某口罩公司销售一种成本为每盒60元的口罩，规定试销期间销售单价不低于成本价，且获利不得高于30%，经试销发现，销售量y（万盒）与销售单价x（元）之同的函数图象如图.
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：
（2）求当销售单价为多少时，销售利润最大，最大利润为多少万元？
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：.
故y与x之间的函数关系式为：y=x+120，
∵成本为每盒60元的口罩，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于30%，
∴，
∴60≤x≤78；
（2）解：设销售利润为w（万元），
w=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤78，
故当x=78时，w=（78-60）×（120-78）=756.
答：当销售价定为78元/件时，商家可以获得最大利润，最大利润是756元.
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将（63，57）、（70，50）代入求出k、b的值，进而可得y与x的函数关系式，根据销售单价不低于成本单价，且获利不得高于30%可得销售单价的最大值为60×(1+30%)=78，据此解答；
（2）设销售利润为w万元，根据利润=(售价-成本)×销售量可得w与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答.
20．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各40盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共80盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
【答案】（1）解：W1＝（40+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+80x+6400，即W1＝﹣2x2+80x+6400，
W2＝19[80﹣（40+x）]＝﹣19x+760；
（2）解：W总＝W1+W2＝（﹣2x2+80x+6400）+（﹣19x+760）＝﹣2x2+61x+7160
∵a＝﹣2＜0，x＝ ＝ ＝15.25，且x是整数，
∴当x＝15或16时，W总最大 ，
当x＝15时，W总＝﹣2×152+61×15+7160＝7625（元），
当x＝16时，W总＝﹣2×162+61×16+7160＝7624（元），
∵7625＞7624
∴当x＝15时，W总最大＝7625（元）
答：当x＝15时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是7625元．
【解析】【分析】（1）根据“盆景的总利润＝盆景的数量×每盆盆景的利润及花卉的总利润＝花卉的数量×每盆花卉的利润”可得函数解析式；（2）根据总利润＝盆景的总利润+花卉的总利润列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解可得．
21．如图，点O是坐标原点，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上．已知点B的坐标为（12，16），∠BAO＝∠OCD＝90°，OD＝10，反比例函数的图象经过点D，交AB边于点E．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求BE的长．
【答案】（1）解： ，
．
， ，
．
在 中， ，
，
不妨令 ，
，
，
解得：
， ．
．
点 在函数 的图象上，
．
．
（2）解： 是 图象与 的交点，
．
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的性质，勾股定理和待定系数法求解即可；
（2）根据题意先求出AE=4，再计算求解即可。
22．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．
（1）求I关于R的函数解析式；
（2）当时，求I的值．
【答案】（1）
（2）
23．已知反比例函数 的图象经过点 ，点 与点 关于原点 对称， 轴于点 ， 轴于点
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）求 的面积.
【答案】（1）解：将B点坐标代入函数解析式，得 =2，解得k=6，
反比例函数的解析式为y=
（2）解：由B（3，2），点B与点C关于原点O对称，得C（﹣3，﹣2）．
由BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D，得A（3，0），D（﹣3，0）．
S△ACD= AD CD= [3﹣（﹣3）]×|﹣2|=6．
【解析】【分析】（1）由题意把点B的坐标代入解析式可得关于k的方程，解方程即可求解；
（2）根据关于原点对称的点的横纵坐标都变为原来的相反数可求得点C的坐标，结合题意易求得点D的坐标，则AD的长可求解，于是根据S△ACD=可求解。
24．某工厂加工成本为30元/千克的产品，以不低于成本价销售该产品，经市场调查发现：该产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）将该产品的销售单价定为多少元时，工厂每天销售这种产品获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为 ，
将 ， 代入得 ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
（2）解：设销售这种产品每天获利w元，
由题意得， ，
∵ ，
∴当 时，w最大， ．
答：产品的销售单价定为44元时，每天销售这种产品获得的利润最大，最大利润是9800元．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设销售这种产品每天获利w元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
25．公司经销的一种产品，按要求必须在15天内完成销售任务．已知该产品的销售价为62元件，推销员小李第x天的销售数量为y件，y与x满足如下关系：
（1）小李第几天销售的产品数量为70件？
（2）设第x天销售的产品成本为m元件，m与x的函数图象如图，小李第x天销售的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：若 ，得 ，不符合题意；
则 ，解得 ．
答：小李第12天销售的产品数量为70件
（2）解：由函数图象可知：
当 ， ，
当 时，设 ，
将 代入，得
，解得 ， ．
当 时， ，
随x的增大而增大， 当 时，w最大为880；
当 时， ，
当 时，w最大为810．
， 当 时，w取得最大值为880元．
【解析】【分析】（1）根据题意，列方程求解即可；
（2）将点的坐标 代入 ，求出m和x之间的函数关系式，再根据利润公式求解即可。
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