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相似形 单元达标检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知，若，，则的长为（　　）
A．1 B．4 C．8 D．16
2．如图，在中，点D、E、F分别是边上的点，，，且，那么（　　）
A． B． C． D．
3．如图，，，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中的相似三角形共有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
4．如图，中，，，．将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④
5．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP～△BPH；③；④DP2＝PH PC；其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．①②④
7．如图，，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形EFGH的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形EFGH的边长为（　　）cm．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
9．如图，点是的重心，过点作AC的平行线，分别交AB，BC手点D，E.作，交AC于点.则DF：BE的值为（　　）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．3：4
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将BCD沿射线BD平移a个单位长度（a>0）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（　　）
A． B． C．或 D．或3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若，则的值为　 　．
12．已知 ，且 ，则 　 　．
13．如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是　 　．
14．已知点P是线段的黄金分割点，，那么　 　．
15．如图，已知双曲线y＝ （x＜0）和y＝ （x＞0）， 与直线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝ ，与y轴分别交于点 ，与双曲线y＝ 交于点 ，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，则k的值为　 　.
16．如图，在中，，，点从开始沿向以的速度运动，点从点开始沿向以的速度向动，如果点、同时运动，那么　 　秒时，与相似．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，甲楼高18米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（结果保留根号）
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，0A=4，OC=2.点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP，DA.
（1）当t=2时，点D的坐标是　 　；
（2）请用含t的代数式表示出点D的坐标　 　；
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形 若能，求t的值.若不能，请说明理由.
19．如图，在中，，点是上一点，，．
（1）求证：∽；
（2）若，，的面积为1，求的面积．
20．已知：如图，在中，点D，点E分别是边、上的点，和相交于点O，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
21．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D为AB边上一点，连结CD，过D作DE⊥AB交AC于E.
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若CD=CB，，求.
22．如图，已知是等边三角形，分别是边上的点，且．在的延长线上取点F，使得，联结．
（1）求证：；
（2）求证：．
23．
（1）如图1，为的角平分线，，点在上，．求证：平分；
（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连接交于点G.若，，，求的长．
24．如图，在 中，AD是角平分线，点E在边AC上，且 ，连接DE.
（1）求证： .
（2）若 ， ，求AC的长.
25．如图，四边形中，已知，且.
（1）求证：；
（2）记的面积为，的面积为.
①求证：；
②过点B作的垂线，过点A作的平行线，两直线相交于M，延长至P，使得，连接.当取得最大值时，求的大小.
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相似形 单元达标检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知，若，，则的长为（　　）
A．1 B．4 C．8 D．16
【答案】B
2．如图，在中，点D、E、F分别是边上的点，，，且，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
3．如图，，，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中的相似三角形共有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AE∥FD，
∴△BFH∽△BAG，
△BAG∽△CEG，
△BFH∽△CDH，
△CEG∽△CDH，
∴△CDH∽△BAG，△BFH∽△CEG.
∴相似三角形共有6对.
故答案为：C.
【分析】利用平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似，可得△BFH∽△BAG，△BAG∽△CEG，△BFH∽△CDH，△CEG∽△CDH，进而根据相似三角形的传递性可得△CDH∽△BAG，△BFH∽△CEG，由此可得到图形中相似三角形的对数.
4．如图，中，，，．将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④
【答案】D
5．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP～△BPH；③；④DP2＝PH PC；其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．①②④
【答案】D
7．如图，，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
8．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形EFGH的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形EFGH的边长为（　　）cm．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：设正方形的边长为xcm，AD与EH交点为P，
∵四边形EFGH是正方形，
∴AP＝AD﹣PD＝（6﹣x）cm，
∵EHBC，
∴，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
∴，
解得：x＝4，
∴正方形的边长为4．
故答案为：D．
【分析】设正方形的边长为xcm，AD与EH交点为P，先证明△AEH∽△ABC，可得，再将数据代入计算即可。
9．如图，点是的重心，过点作AC的平行线，分别交AB，BC手点D，E.作，交AC于点.则DF：BE的值为（　　）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．3：4
【答案】A
【解析】【解答】解：
连接BP并延长交AC于G，由重心的性质得，
，
，
又，DF∥EC，
∴CEDF是平行四边形，
∴DF=EC，
∴DF：BE=CE：BE=1：2，
故答案为：A.
【分析】连接BP并延长交AC于G，则，然后证明CEDF是平行四边形，即可解题.
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将BCD沿射线BD平移a个单位长度（a>0）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（　　）
A． B． C．或 D．或3
【答案】C
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若，则的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，设，
∴，
故答案为：．
【分析】设，将其代入运算即可。
12．已知 ，且 ，则 　 　．
【答案】38
【解析】【解答】解：由 可设 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：38．
【分析】由 可设 ，然后代入，求出k值即可得出a，b，c的值，然后代入代数式计算即得.
13．如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是　 　．
【答案】
14．已知点P是线段的黄金分割点，，那么　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设的长为，由黄金分割点可知
∴
去分母得：
解得（舍去）或
经检验是方程的解
∴的长为cm
故答案为：．
【分析】设的长为，由黄金分割点可知，再将数据代入计算即可。
15．如图，已知双曲线y＝ （x＜0）和y＝ （x＞0）， 与直线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝ ，与y轴分别交于点 ，与双曲线y＝ 交于点 ，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，则k的值为　 　.
【答案】﹣3
【解析】【解答】解：如图连接OB，OC，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BE⊥y轴于点E，
∵OA∥BC，
∴S△OBC＝S△ABC＝6，
∵ ，
∴S△OPB＝4，S△OPC＝2，
∵S△OBE＝
∴
轴， 轴，
∵△BEP∽△CFP，
∴
∴S△OCF＝ ，
∴ .
故答案为：-3.
【分析】如图连接OB，OC，CF⊥y轴于F，过B作BE⊥y轴于点E，由于OA∥BC，根据同底等高的两个三角形面积相等求出△OBC的面积， 然后根据同高三角形的面积关系求出△OBC和△ABC的面积，再证明△BEP∽△CFP，根据相似三角形的性质求出△CFP的面积，从而求出△OCF的面积，最后根据反比例函数的k的几何意义即可解答.
16．如图，在中，，，点从开始沿向以的速度运动，点从点开始沿向以的速度向动，如果点、同时运动，那么　 　秒时，与相似．
【答案】或
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，甲楼高18米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（结果保留根号）
【答案】甲楼的影子落在乙楼上有米
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，0A=4，OC=2.点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP，DA.
（1）当t=2时，点D的坐标是　 　；
（2）请用含t的代数式表示出点D的坐标　 　；
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形 若能，求t的值.若不能，请说明理由.
【答案】（1）（3，1）
（2）
（3）解：解：能构成直角三角形.
①当∠PDA= 90°时，PC // AD，
由勾股定理得， ，
即 ，
解得，t=2或t=-6 (舍去).
∴t=2秒.
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB.上，
可知， ，
，
，
∴PA=1，
即1+1=4，t=3秒.
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形.
【解析】【解答】解：（1）∵t=2，∴OC=OP=2，∠OPC=∠OCP=45°，PC=
设CP中点为F，且DE⊥OA相交于点E.
∴∠DPE=180°-90°-45°=45°.PD=PF=
∴PE=DE=
∴点D坐标为（3，1）.
（2）解：∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动.
∴OP=t，OC=2，点P坐标（t，0），CP中点为F，且DE⊥OA相交于点E.
∴点F坐标（.∠CPD=90°.
∴∠DPE+∠OPC=90°.
∠POC=90°，∠OPC+OCP=90°.
∠OCP=∠EPD.△OCP∽△EPD.
∴
PE=
∴点D坐标为（
【分析】（1），设出点P的坐标，在写出CP两个坐标之间的中点坐标，利用相似求出点D的坐标.
（2）由第1小问的方式求出含字母t的坐标.
（3）先需要判断出可以由哪些角可以成直角，第一种情况，∠PAD成直角的时候，第二种情况，∠PDA为直角的时候，分别算出t的值进行分类讨论，综合1以上两种情况求出最终t的值.
19．如图，在中，，点是上一点，，．
（1）求证：∽；
（2）若，，的面积为1，求的面积．
【答案】（1）证明： ，
，
， ，
，
∽ ；
（2）解：由（1）可得 ≌ ，
，
，
，
解得： ．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠EDB=∠CBA，利用垂直的定义可得到∠C=∠EBD；然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC的面积.
20．已知：如图，在中，点D，点E分别是边、上的点，和相交于点O，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）由，，证出，得出，再证出，得出，即可推出，即可得出结论；
（2）由（1）得，根据相似三角形的对应边成比例即可得解。
21．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D为AB边上一点，连结CD，过D作DE⊥AB交AC于E.
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若CD=CB，，求.
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，DE⊥AB交AC于E，
∴∠ACB=∠ADE=90°.
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB
（2）过点C作CF⊥AB于点F，
∴∠CDE+∠DCF=90°.
∵DE⊥AB，
∴∠CDE+∠BDC=90°.
∴∠DCF=∠CDE.
∵CD=CB，
∴∠B=∠BDC.
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°.
∴∠CDE=∠A.
∵∠ACD=∠DCE，
∴△ACD∽△DCE，
∴ .
∵ ，
∴ ，即 .
易证△AFC∽△BFC，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 = .
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ACB=∠ADE=90°，图形中隐含公共角∠A，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用垂直的定义和余角的性质，可证得∠DCF=∠CDE，利用等边对等角可证得∠B=∠BDC，再证明∠CDE=∠A，可证得△ACD∽△DCE，利用相似三角形的对应边成比例，可表示出CD的长；然后证明△AFC∽△BFC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD与BD的比值.
22．如图，已知是等边三角形，分别是边上的点，且．在的延长线上取点F，使得，联结．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：如图，联结，
∵，且，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先证出，可得，再结合，，求出即可；
（2）连接AF，先证出，可得，再结合， ，求出，即可得到。
23．
（1）如图1，为的角平分线，，点在上，．求证：平分；
（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连接交于点G.若，，，求的长．
【答案】（1）证明：在与中，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即平分.
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）先证出，可得，再结合，可得，即可得到平分；
（2）先证出，可得，再将数据代入可得，最后求出即可。
24．如图，在 中，AD是角平分线，点E在边AC上，且 ，连接DE.
（1）求证： .
（2）若 ， ，求AC的长.
【答案】（1）解： 是 的角平分线，
.
，
，
∽ ；
（2）解： ∽ ，
.
， ，
，即 .
又 ，
∽ ，
，即 ，
.
【解析】【分析】（1）由AD是 的角平分线可得出 ，由 可得出 ，进而即可证出 ∽ ；
（2）由 ∽ 可得出 ，根据三角形内角和定理及平角等于 ，即可得出 ，结合公共角相等可得出 ∽ ，再利用相似三角形的性质即可求出AC的长度.
25．如图，四边形中，已知，且.
（1）求证：；
（2）记的面积为，的面积为.
①求证：；
②过点B作的垂线，过点A作的平行线，两直线相交于M，延长至P，使得，连接.当取得最大值时，求的大小.
【答案】（1）证明：如图，设，相交于点O.
∵，
∴，.
又∵，
∴；
（2）解：①如图，过点B作于点E，过点C作于点F，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴.
∵，，
∴.
∵，，
∴，
∴.
又∵，
∴
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴.
∵，，
∴.
又∵，
∴；
②如图，延长与相交于点N，连接，
∵且，
∴，，
∴，
∴，
∴.
∵，即，
∴.
∵，，
∴，即.
又∵，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴点P在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，
∴当M，A，P三点共线时，取得最大值，如图.
∵
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1） 设AC，BD相交于点O ，根据对顶角相等及等角的余角相等可得∠ABD=∠ACD；
（2）① 过点B作BE⊥DA于点E，过点C作CF⊥AD于点F，根据同角的余角相等得∠ABE=∠CAF，进而利用AAS判断出△ABE≌△CAF，根据全等三角形对应边相等得BE=AF，再判断出△AOB∽△DOC，根据相似三角形对应边成比例得 ，进而再判断出△AOD∽△BOC，根据相似三角形的性质及三角形的内角和定理可判断出∠CDF=∠FCD，根据等角对等边得DF=CF，进而根据三角形面积计算公式即可得出结论；② 延长CA与BM相交于点N，连接PN， 判断出△BON∽△COP，△NOP∽△BOC，根据相似三角形的性质及等角对等边可得 ，故点P在以点A为圆心，AC长为半径的圆上运动， 当M，A，P三点共线时，MP取得最大值 ，进而根据等边对等角、平行线的性质可得∠APB=∠CBD，从而即可得出答案.
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