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第二十四章 相似三角形 单元综合复习卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝5，DE＝6，EF＝3，则AC的长为（　　）
A．2.5 B．4.5 C．6.5 D．7.5
2．如图，树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（　　）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②
4．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（　　）
A．1：4 B．1：9 C．1：16 D．1：25
5．如图△ABC的边上有D，E，F三点，若，，，，，，则四边形ADEF与△ABC的面积之比为（　　）
A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：8
6．若，则的值为(　　)
A． B． C． D．
7．如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转得到，当点落在边上时，的延长线恰好经过点，则的长为（　　）
A．1 B． C．-1+ D．
8．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC．若S△BDC：S△ADC＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（　　）
A．0.36 平方米 B．0. 81 平方米
C．2 平方米 D．3.24 平方米
10．如图中，，，，，为中点，若点为直线下方一点（在异侧），且与相似，则下列结论：
①若，与相交于，则点必为的重心；
②若，则的最大值为；
③若，，则的长为；
④若，则当时，取得最大值．其中正确的为　　
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在矩形中，，将其沿对角线折叠，顶点C的对应点为E（如图1），交于点F；再折叠，使点D落在F处，折痕交于点M，交于点N（如图2．则折痕的长为　 　．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝3 ，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是　 　．
13．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转一定的角度得，且点D恰好落在边上，与交于点F．
（1）求　 　；
（2）当时，　 　．
14．如图， 是 以点 为位似中心经过位似变换得到的，若 ，则 的周长与 的周长比是　 　．
15．△ABC中，AB=9cm，AC=6cm，D是AC上的一点，且AD=2cm，过点D作直线DE交AB于点E，使所得的三角形与原三角形相似，则AE=　 　cm．
16．如图，在正方形中，，点是的中点，连接，将沿折叠至，连接，延长，交于点；，交于点，则　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平面直角坐标系内，已知点，点．动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为．
（1）求出的长度；
（2）用含有的式子表示和；
（3）当为何值时，与相似？
18．如图，已知正方形ABCD，AB=6，点M为边CD上的动点，射线AM交BD于E交射线BC于F，过点C作CQ⊥CE，交AF于点Q.
（1）当点M是CD中点时，求BE长；
（2）求证：∠QCF=∠QFC；
（3）若 ，求证：△CMQ是等边三角形.
19．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设 =λ(λ>0)．
（1）若λ=1，求证：CE=FE．
（2）若AB=3，AD=4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．
20．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的值．
（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
21．如图，已知在 中，AD是 的中线，∠DAC=∠B，点E在边AD上，CE=CD.
（1）求证： ；
（2）求证： .
22．在△ABC和△ADE中，点E在BC上，已知∠B＝∠D，∠DAB＝∠EAC．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若AC∥DE，∠AEC＝45°，求∠C的度数．
23．如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知，．
（1）求；
（2）若以H为圆心、HB为半径的圆恰好经过点D，求的值．
24．已知线段a，b满足 ，且a+b=14，
（1）求a，b，c的值；
（2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值．
25．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接AC，将三角形ABC沿AC翻折，使B点落在E点处，连接EC，AE，AE交DC于F点．
（1）求DF的长．
（2）若将△CEF沿着射线CA方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点C沿CA方向所经过的线段长度）．当点F平移到线段AD上时，如图②，求出相应的m的值．
（3）如图③，将△CEF绕点C逆时针旋转一个角a（0°＜a＜∠ECB），记旋转中的△CEF为△CE′F′，过E′作E′G⊥AD于G点，在旋转过程中，当△DCE′为等腰三角形时，求出线段E′G的长度．
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第二十四章 相似三角形 单元综合复习卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝5，DE＝6，EF＝3，则AC的长为（　　）
A．2.5 B．4.5 C．6.5 D．7.5
【答案】D
2．如图，树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
3．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（　　）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②
【答案】D
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AO＝AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE＝CE，
∵ADBC，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝，
∵AD＝BC，
∴AF＝AD，
∴＝；故①符合题意；
∵S△AEF＝3，，
∴S△BCE＝27；故②符合题意；
∵，
∴，
∴S△ABE＝9，故③不符合题意；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④不符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质，相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
4．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（　　）
A．1：4 B．1：9 C．1：16 D．1：25
【答案】B
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴AE＝BE，AF＝ AD＝ BC，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△BGE，
∴ ，
∵AE＝BE，
∴AF＝BG＝ BC，
∴
∵AD∥BC，
∴△AFO∽△CGO，
∴ ，
即S△AOF：S△COG＝1：9，
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而推出△AFE∽△BGE，可得，再证明△AFO∽△CGO，可得.
5．如图△ABC的边上有D，E，F三点，若，，，，，，则四边形ADEF与△ABC的面积之比为（　　）
A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：8
【答案】D
【解析】【解答】解：∵BE=7，EF=4，FC=5；
∴BC=7+4+5=16
∵∠B=∠FAC，∠C=∠C；
∴△AFC∽△BAC
∴=
∴=BC×FC=16×5=80，解得AC=；
∴===
∵∠B=∠B，∠BDE=∠C；
∴△BED∽△BAC
∴====
∴=（16-5-5）：16=3：8
故答案为：D.
【分析】根据有两对对应角相等的三角形相似，判定△AFC∽△BAC和△BED∽△BAC；根据三角形相似，对应两对边成比例，列代数式，可得AC的长；根据相似三角形的面积之比对应边之比的平方，可得三角形AFC和三角形BAC的面积之比，三角形BED和三角形BAC的面积之比，进而可得四边形ADEF和三角形ABC的面积之比.
6．若，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】先根据题意得到，然后代入计算即可.
7．如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转得到，当点落在边上时，的延长线恰好经过点，则的长为（　　）
A．1 B． C．-1+ D．
【答案】C
8．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC．若S△BDC：S△ADC＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴BD∶AD=1∶3，
∴BD∶AB=1∶4
∵，
∴△BDE∽△BAC，
∴
∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∴S△DEO∶S△CAO=.
故答案为：D.
【分析】由同高三角形的面积之比就等于底之比可得BD∶AD=1∶3，则BD∶AB=1∶4，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BDE∽△BAC，由相似三角形对应边成比例得进而根据平行于三角形一边的直线，解其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△DEO∽△CAO，进而根据相似三角形的面积之比等于底之比可得结论.
9．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（　　）
A．0.36 平方米 B．0. 81 平方米
C．2 平方米 D．3.24 平方米
【答案】B
【解析】【解答】解：构造如下图形，由题意可得：DE= 米，FG=1米，AG=3米，DE∥BC，AF和AG分别为△ADE和△ABC的高
∴△ADE∽△ABC
∴
即
解得：BC=
∴地面上阴影部分的面积为
故答案为：B.
【分析】先求其直径，二直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出。
10．如图中，，，，，为中点，若点为直线下方一点（在异侧），且与相似，则下列结论：
①若，与相交于，则点必为的重心；
②若，则的最大值为；
③若，，则的长为；
④若，则当时，取得最大值．其中正确的为　　
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④
【答案】C
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在矩形中，，将其沿对角线折叠，顶点C的对应点为E（如图1），交于点F；再折叠，使点D落在F处，折痕交于点M，交于点N（如图2．则折痕的长为　 　．
【答案】
12．如图，矩形ABCD中，AB＝3 ，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是　 　．
【答案】
【解析】【解答】如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3 ，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝ AD＝6
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，
∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝ ×180°＝90°，
∴∠FEC＝∠D＝90°，
又∵∠DCE＝∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴ ，
∵EC＝ ，
∴ ，
∴FE＝2
故答案为：
【分析】由翻折知△AEF≌△GEF，进而证明△FEC∽△EDC，在利用三角形相似的性质可得到EF的长
13．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转一定的角度得，且点D恰好落在边上，与交于点F．
（1）求　 　；
（2）当时，　 　．
【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】（1）如图，过点A作于点G．
设，则．
由旋转的性质知，
∴．
在中，．
∵，∠B=∠B
∴．
∴，即，
得．
∵，
∴．
∴，
故答案为：
（2）如图，过A点作交于点M．
由（1）知．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
即，
解得，
故答案为：
【分析】（1）过点A作于点G，设，则．由旋转的性质知，利用勾股定理得出BC的值，证出，得出，代入计算即可；
（2）过A点作交于点M．由（1），由，得出，由平行线的性质得出，推出，代入求解即可。
14．如图， 是 以点 为位似中心经过位似变换得到的，若 ，则 的周长与 的周长比是　 　．
【答案】2：3
【解析】【解答】解：由题意可得出，
∵ 的周长与 的周长比=
故答案为：2：3．
【分析】根据位似三角形的性质，可得出两个三角形的周长比等于位似比等于边长比求解即可．
15．△ABC中，AB=9cm，AC=6cm，D是AC上的一点，且AD=2cm，过点D作直线DE交AB于点E，使所得的三角形与原三角形相似，则AE=　 　cm．
【答案】cm或3cm
16．如图，在正方形中，，点是的中点，连接，将沿折叠至，连接，延长，交于点；，交于点，则　 　．
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平面直角坐标系内，已知点，点．动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为．
（1）求出的长度；
（2）用含有的式子表示和；
（3）当为何值时，与相似？
【答案】（1）
（2），
（3）或
18．如图，已知正方形ABCD，AB=6，点M为边CD上的动点，射线AM交BD于E交射线BC于F，过点C作CQ⊥CE，交AF于点Q.
（1）当点M是CD中点时，求BE长；
（2）求证：∠QCF=∠QFC；
（3）若 ，求证：△CMQ是等边三角形.
【答案】（1）解：已知正方形ABCD，AB=6，
∴BD= ，AB=DC
又∵AB∥DM
∴
又∵点M是DC中点，
∴
∴BE=2DE
∴BE= BD=
（2）证明：∵正方形ABCD
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE
在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE，
又∵CQ⊥CE，DC⊥CF，
∴∠DCE=∠QCF，
又∵AD∥BF，
∴∠DAE=∠CFQ，
∴∠QCF=∠QFC
（3）证明：由(2)可知，∠DCE=∠CFQ，
又∵∠MEC=∠CEF，
∴△ECM∽△EFC
∴ =
∴EC2=EM·EF，
由△ADE≌△CDE可知AE=EC，
∴AE2=EM·EF，
又∵
∴EM·EF=EF·FQ，即EM=FQ，
在Rt△MCF中，∠QCF=∠QFC，
可知Q是MF中点，MQ=FQ=CQ，
∴EM=FQ=MQ，即CM是Rt△ECQ斜边上的中线，
∴CM=MQ=CQ，
即△CMQ是等边三角形.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理可得BD=，AB=DC，根据中点的概念可得，结合平行线分线段成比例的性质可得BE=2DE，则BE=BD，据此计算；
（2）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADE=∠CDE，证明△ADE≌△CDE，得到∠DAE=∠DCE，根据同角的余角相等可得∠DCE=∠QCF，由平行线的性质可得∠DAE=∠CFQ，据此可得结论；
（3）由（2）可知∠DCE=∠CFQ，证明△ECM∽△EFC，根据相似三角形的性质得EC2=EM·EF，根据全等三角形的性质得AE=EC，则AE2=EM·EF，结合已知条件得EM=FQ，由（2）知 ∠QCF=∠QFC ，则Q是MF中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得MQ=FQ=CQ，推出CM是Rt△ECQ斜边上的中线，得到CM=MQ=CQ，据此证明.
19．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设 =λ(λ>0)．
（1）若λ=1，求证：CE=FE．
（2）若AB=3，AD=4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．
【答案】（1）证明：连接DE，
∵，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∴∠AED=∠DEC
∵矩形ABCD，DF⊥AE，
∴∠C=∠DFE=90°
在△DEF和△DEC中，
∴△DEF≌△DEC（AAS），
∴CE=FE．
（2）解：如下图，
∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
∴，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADB=90°
∴∠BAE=∠ADB，
∵∠ABE=∠BAD=90°，
∴△ABE∽△ADB，
∴即
解之：
∴.
【解析】【分析】（1）连接DE，利用等边对等角可证得∠ADE=∠AED ，利用平行线的性质可推出∠DEC=∠ADE，可证得∠AED=∠DEC，利用AAS证明△DFE≌△DEC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用勾股定理求出BD的长，再利用余角的性质可证得∠BAE=∠ADB，由此证明△ABE∽△ADB，利用相似三角形的对应边成比例可求出AE的长；然后求出λ的值.
20．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的值．
（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
【答案】（1）解：当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE=OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；
（2）解：的大小不变；
理由：如图2所示：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴，，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM=AB=3，DN=OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴．
（3）解：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3-t，
由△DMF∽△DNE得：MF=，
∴，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（，），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为：，
把点G（，）代入得：；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t-3，
由△DMF∽△DNE得：MF=，
∴，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（，），
把点G代入直线AD的解析式，
解得：；
【解析】【分析】（1）当t=3时，点E为AB的中点，点D为OB的中点，根据三角形中位线定理可得DE∥OA，DE=OA=4，再由四边形OABC是矩形，OA⊥AB，∠OAB=∠DEA=90°，可证四边形DFAE是矩形，得出DF=AE=3；
（2）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N， 证明四边形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA， 由平行线得出比例 ，， 由三角形中位线定理可得DM=AB=3，DN=OA=4， 证△DMF∽△DNE，；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，NE=3-t，由△DMF∽△DNE得：MF=，，根据点G为EF的三等分点，
可得G（，），利用待定系数法求出直线AD的解析式为：，把点G（，）代入得：；
②当点E越过中点之后，NE=t-3，同理可得 。
21．如图，已知在 中，AD是 的中线，∠DAC=∠B，点E在边AD上，CE=CD.
（1）求证： ；
（2）求证： .
【答案】（1）证明：∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵CD=CE，
∴BD=CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE=∠B+∠BAD，∠CED=∠DAC+∠ACE，∠DAC=∠B，
∴∠BAD=∠ACE
∵△ACE∽△BAD，
∴
∴ ；
（2）证明：∵△ACE∽△BAD，
∴ ，
∴BD CE=AE AD，
∴DC2=AD AE①．
∵∠DAC=∠B，∠ACD=∠ACB，
∴△ACD∽△BCA，
∴
∴AC2=BC·CD=2CD2②，
∴由①②可得， .
【解析】【分析】（1）由CE=CD=BD转化比例式，再证出△ACE∽△BAD即可；（2）由（1）中相似可得出，DC2=AD AE①，再证△ACD∽△BCA，得出AC2=BC·CD=2CD2②，结合①②即可得出结果．
22．在△ABC和△ADE中，点E在BC上，已知∠B＝∠D，∠DAB＝∠EAC．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若AC∥DE，∠AEC＝45°，求∠C的度数．
【答案】（1）证明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠AED＝∠EAC，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠C，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠AEC＝45°，
∴∠C＝（180°-45°）÷2＝67.5°，
∴∠C的度数为67.5°．
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即证；
（2） 利用平行线的性质及相似三角形的性质可得∠EAC=∠AED＝∠C， 根据三角形内角和定理即可求解.
23．如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知，．
（1）求；
（2）若以H为圆心、HB为半径的圆恰好经过点D，求的值．
【答案】（1）解：过点D作DF⊥BC交BC于点F
∵，AH为△的高，
∴∠
∵∠
∴△
∴
∴
∵
∴
设，则
∴
∵
∴
∴
∴
∵∠
∴△
∴
∴
∴
（2）解：以H为圆心，HB为半径作圆，如图，
∵
∴BC是⊙O的直径
∴∠
由（1）知，
∵
∴设
∴
∴
在中，
在中，
∴
∴
∵
∴
在中，
【解析】【分析】（1）做辅助线，得到三角形相似，再利用相似求比各线段的比例
（2）根据圆的性质可知∠BDC为90°，根据（1）的相似比，以及勾股定理得出线段长度关系比，求出cosB
24．已知线段a，b满足 ，且a+b=14，
（1）求a，b，c的值；
（2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：设 ，则a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b=14，
∴3k+4k=7k=14，
解得k=2，
∴a=6，b=8，c=10
（2）解：∵b=8，c=10，x是b，c的比例中项，
∴x2=8×10=80，
解得
【解析】【分析】（1）利用已知条件a=3k，b=4k，c=5k，根据a+b=14，可求出k的值，然后求出a，b，c的值.
（2）利用x是b，c的比例中项， 可得到x2=bc，代入可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
25．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接AC，将三角形ABC沿AC翻折，使B点落在E点处，连接EC，AE，AE交DC于F点．
（1）求DF的长．
（2）若将△CEF沿着射线CA方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点C沿CA方向所经过的线段长度）．当点F平移到线段AD上时，如图②，求出相应的m的值．
（3）如图③，将△CEF绕点C逆时针旋转一个角a（0°＜a＜∠ECB），记旋转中的△CEF为△CE′F′，过E′作E′G⊥AD于G点，在旋转过程中，当△DCE′为等腰三角形时，求出线段E′G的长度．
【答案】（1）解：如图①，
四边形是矩形，AB=8，AD=6，
‖CD，，
由折叠可知∠1=∠2，
又‖CD，
∠1=∠3，
∠2=∠3，
AF=CF，
设AF=CF=x ，则DF=，
在中，，，DF=，
由勾股定理得：，
解得，
则DF=．
（2）解：设平移中的三角形为△，如图②所示：
由勾股定理得：，
由（1）知，
由平移性质可知，， ，
，
又，
，
，
，
解得，
.
（3）解：①当时，△DCE'为等腰三角形，
E'在DC的垂直平分线上，过E'作E'H⊥CD于点H，则四边形DGE'H为矩形，．
②当时，△DCE'为等腰三角形，
过E'作E'H⊥CD于点H，则四边形DGE'H为矩形，连接DE'，
设，则，
由勾股定理得：，
综合可得：，
，解得，
．
【解析】【分析】（1）设AF=CF=x ，则DF=，利用勾股定理可得，求出x的值，再求出DF的长即可；
（2）先证出，可得，再将数据代入求出，最后求出即可；
（3）分类讨论： ①当时，△DCE'为等腰三角形，②当时，△DCE'为等腰三角形， 再分别画出图象并求解即可。
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