资源简介

1.2.1　命题与量词
1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
1.将“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是（　　）
A.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
B.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy
C.对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy
D.存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≥2xy
2.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（　　）
A. x∈R，｜x｜＞0 B. x∈R，｜x｜＞0
C. x∈R，｜x｜≤0 D. x∈R，｜x｜≤0
3.设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则（　　）
A. x∈Q，有x∈P
B. x Q，有x P
C. x Q，使得x∈P
D. x∈P，使得x Q
4.有下列命题：① x∈R，＋1＞0；② x∈N，x2＞0；③ x∈N，x∈[－3，－1）.其中真命题的个数为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.0
5.（多选）下列命题错误的是（　　）
A. x∈{－1，1}，2x＋1＞0
B. x∈Q，x2＝3
C. x∈R，x2－1＞0
D. x∈N，｜x｜≤0
6.给出下列命题，①存在a，b∈R，使得a2＋b2－2a－2b＋2＜0；②任何实数都有算术平方根；③某些四边形不存在外接圆；④ x，y∈R，都有x2＋｜y｜＞0.
其中正确命题的序号为　　　　.
7.能够说明“设x，y，z是任意实数.若x＞y＞z，则x＞y＋z”是假命题的一组整数x，y，z的值依次为　　　　.
8.已知命题p：“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是　　　　.
9.写出下列命题的否定，并判断真假：
（1）正方形都是菱形；
（2） x∈R，使4x－3＞x；
（3） x∈R，有x＋1＝2x；
（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集.
10.已知a＞0，函数y＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，当x＝m时的函数值记为M，则下列选项中的命题为假命题的是（　　）
A. x∈R，ax2＋bx＋c≤M
B. x∈R，ax2＋bx＋c≥M
C. x∈R，ax2＋bx＋c≤M
D. x∈R，ax2＋bx＋c≥M
11.若命题“ x∈R，x2＋3≤m”为假命题，则满足条件的一个自然数m的值为　　　.
12.已知命题p： 1≤x≤3，都有m≥x，命题q： 1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围.
13.某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“ x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”是假命题，求m范围.小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“ x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”是真命题，求m范围.你认为，两位同学题中m的范围是否一致？　　　　.（填“是”“否”中的一种）
14.从两个符号“ ”“ ”中任选一个补充在下面的问题中，并完成下面的问题.
已知集合A＝{x｜5≤x≤6}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若命题：　　　　x∈A，则x∈B是真命题，求m的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
1.2.1　命题与量词
1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
1.A　“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R都有x2＋y2≥2xy成立，故选项A正确.
2.C　由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，然后再否定结论，所以选C.
3.B　∵P∩Q＝P，∴P Q，如图，
∴A错误；B正确；C错误；D错误.故选B.
4.A　对于①， x∈R，≥0，则＋1＞0，①是真命题；
对于②，因x＝0时，x∈N，x2＝0，②是假命题；
对于③，因 x∈N，x≥0，即x [－3，－1），③是假命题.
所以真命题的序号是①，共1个.故选A.
5.ABC　对于A，x＝－1时，不合题意，A错误；
对于B，x＝±，B错误；
对于C，比如x＝0时，－1＜0，C错误；
D选项正确.故选A、B、C.
6.③　解析：①是假命题，因为对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1）2＋（b－12）≥0；
②是假命题，例如－4没有算术平方根；
③是真命题，因为只有对角互补的四边形有外接圆；
④为假命题，当x＝y＝0时，x2＋｜y｜＝0.
7.3，2，1（答案不唯一）　解析：由题意，整数x，y，z满足x＞y＞z，但不满足x＞y＋z，所以x，y，z的值依次可以为3，2，1.
8.5　解析：当x≥3时，2x≥6 2x－1≥5，因为“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5.
9.解：（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题.
（2）命题的否定： x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5＞2，所以“ x∈R，有4x－3≤x”是假命题.
（3）命题的否定： x∈R，使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“ x∈R，使x＋1≠2x”是真命题.
（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题.
10.C　方程2ax＋b＝0的解为m＝－.由当x＝m时的函数值记为M知A、B为真命题；
∵a＞0，∴函数y＝ax2＋bx＋c在x＝－＝m处取得最小值.∴M是函数y＝ax2＋bx＋c的最小值，因此D为真命题，C为假命题.故选C.
11.2（答案不唯一）　解析：因为x2＋3≥3，又命题 “ x∈R，x3＋3≤m”为假命题，所以m＜3，因为m为自然数，所以m为0，1，2都可以.
12.解：因为 q为假命题，所以q为真命题，
命题p： 1≤x≤3，都有m≥x， 为真命题，则m≥xmax，即m≥3.
命题q： 1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1.
因为命题p，q同时为真命题，所以解得m≥3，
故实数m的取值范围是[3，＋∞）.
13.是　解析：∵命题“ x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”的否定是“ x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”.而命题“ x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”是假命题，则其否定“ x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”为真命题.∴两位同学题中m的范围是一致的.
14.解：由已知集合A＝{x｜5≤x≤6}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}.
若选 ，则“ x∈A，则x∈B”是真命题，则A B，
所以解得≤m≤4.
若选 ，则p：“ x∈A，则x∈B”是真命题，
若 p即“ x∈A，则x B”为真命题，则m＋1＞2m－1或或
解得m＜3，或m＞5，故若p为真，只需3≤m≤5.
2 / 21.2　常用逻辑用语
1.2.1　命题与量词1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
新课程标准解读 核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 数学抽象
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象
　　“红豆生南国，春来发几枝.愿君多采撷，此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗.
【问题】　（1）在这4句诗中，哪几句是疑问句？哪几句是陈述句？
（2）疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　命题
1.命题：可供真假判断的　　　　　　.
2.真命题：　　　　　　的语句.
3.假命题：　　　　　　的语句.
提醒　若一个语句为命题，则需满足两点：①陈述句；②能够判断真假.
知识点二　全称量词与存在量词
全称量词 存在量词
量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个
符号
命题 含有　　　　　　的命题称为全称量词命题 含有　　　　　的命题称为存在量词命题
命题 形式 “对集合M中的所有元素x，r（x）”，可用符号简记为“　　　　　　” “存在集合M中的元素x， s（x）”，可用符号简记为“　　　　　　　”
【想一想】
1.如何判定全称量词命题为假命题？
2.如何判定存在量词命题为真命题？
知识点三　全称量词命题与存在量词命题的否定
q q 结论
全称量词命题 x∈M，q（x） x∈M， q（x） 全称量词命题的否定是　　　　　　　
存在量词命题 x∈M，p（x） 　　　　　 存在量词命题的否定是　　　　　　　
提醒　命题p与其否定 p，必定是一个真命题一个假命题.
1.下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（　　）
A. x∈R，有＝x
B.所有的质数都是奇数
C.至少有一个实数x，使x2≤0
D.有的正方形的四条边不相等
2.命题“ x∈R，｜x｜＋≥0”的否定是（　　）
A. x∈R，｜x｜＋≥0
B. x∈R，｜x｜＋＜0
C. x∈R，｜x｜＋＜0
D. x R，｜x｜＋＜0
3.选择适当的符号“ ”，“ ”表述下列命题：有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0：　　 　.
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
【例1】　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
（1）凸多边形的外角和等于360°；
（2）矩形的对角线不相等；
（3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）有些实数a，b能使｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜；
（5）方程3x－2y＝10有整数解.
尝试解答
通性通法
　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略.
【跟踪训练】
1.给出下列命题：
①存在实数x＞1，使x2＞1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数.
其中存在量词命题的个数为（　　）
A.1　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
2.用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题：
（1）当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
（2）对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
（3）有些整数既能被2整除，又能被3整除.
题型二 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
【例2】　（链接教科书第26页例）判断下列命题的真假：
（1） x∈Z，x3＜1；
（2）存在一个四边形不是平行四边形；
（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P；
（4） x∈N，x2＞0.
尝试解答
通性通法
全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧
（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可；
（2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.
【跟踪训练】
1.下列是全称量词命题且是真命题的为（　　）
A. x∈R，x2＞2x－1
B. x，y∈Q，都有x＋y∈Q
C. x∈Z，－x2＋1≥1
D. x，y∈R，｜x｜＋｜y｜＞0
2.下列命题中是假命题的是（　　）
A. x∈R，x2≥0
B. x∈R，使x2≤0
C. x∈R，使x2＜0
D. x∈R，使x2＞0
题型三 全称量词命题与存在量词命题的否定
【例3】　（链接教科书第30页例1）（1）命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（　　）
A.对任意实数x，都有x＞1
B.不存在实数x，使x≤1
C.对任意实数x，都有x≤1
D.存在实数x，使x≤1
（2）命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（　　）
A. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
B. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
D. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
尝试解答
通性通法
全称量词命题与存在量词命题的否定的思路
（1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论；
（2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.
【跟踪训练】
1.命题“ x∈R，x2＋1≥x”的否定为（　　）
A. x∈R，x2＋1≤x B. x∈R，x2＋1≤x
C. x∈R，x2＋1＜x D. x∈R，x2＋1＜x
2.已知命题p： a∈N，a≥100，则 p为（　　）
A. a∈N，a≤100
B. a∈N，a＜100
C. a∈N，a≤100
D. a∈N，a＜100
题型四 全称量词命题与存在量词命题的应用
【例4】　（1）若“ x∈R，x2＋2x－a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　　　　；
（2）已知命题p：“ x∈R，x2－2x＋m＞0”是真命题，则实数m的取值范围是　　　　.
尝试解答
通性通法
利用含量词的命题的真假求参数的范围的方法
（1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的取值范围，如： x∈m，a＞f（x） a＞f（x）max； x∈m，a＜f（x） a＜f（x）min；
（2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的范围，如： x∈m，a＞f（x） a＞f（x）min； x∈m，a＜f（x） a＜f（x）max.
【跟踪训练】
1.若 x∈R，x2－a＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A.a＞0　　　　　　B.a＜0
C.a≥0 D.a≤0
2.（多选）已知命题p： x∈R，x2＋2x＋2－a＝0为真命题，则实数a的取值可以是（　　）
A.1 B.0
C.3 D.－3
1.下列是存在量词命题且是真命题的是（　　）
A. x∈R，x3＞0
B. x∈Z，x2＞2
C. x∈N，x2∈N
D. x，y∈R，x2＋y2＜0
2.命题p： x∈N，x3＞x2的否定形式 p为（　　）
A. x∈N，x3≤x2 B. x∈N，x3＞x2
C. x∈N，x3＜x2 D. x∈N，x3≤x2
3.下列四个命题：
① x∈R，x2－x＋≥0；②不存在实数x，使x3＋1＝0；③ n∈R，n2≥n；④至少有一个实数x，使得x3＋1＝0.
其中真命题的序号是（　　）
A.①③ B.②③
C.②④ D.①④
4.若p：存在x＜5，使2x＋a＞0是真命题，则实数a的取值范围是　　　.
1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
【基础知识·重落实】
知识点一
1.陈述语句　2.判断为真　3.判断为假
知识点二
　全称量词　存在量词　 x∈M，r（x）　 x∈M，s（x）
想一想
1.提示：只要找到一个x∈M，r（x）不成立.
2.提示：只要找到一个x∈M，s（x）成立.
知识点三
　存在量词命题　 x∈M， p（x）　全称量词命题
自我诊断
1.A　对于A，是全称量词命题，且为真命题，所以A正确；
对于B，是全称量词命题，2是质数，但2不是奇数，所以此命题为假命题，所以B错误；
对于C，是存在量词命题，所以C错误；
对于D，是存在量词命题，且为假命题，所以D错误.故选A.
2.C　命题“ x∈R，｜x｜＋≥0”的否定是“ x∈R，｜x｜＋＜0”.故选C.
3. x∈R，有x2＋2x＋3＝0
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题.
（2）可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题.
（3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题.
（4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题.
（5）可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题.
跟踪训练
1.C　①③④为存在量词命题，②为全称量词命题，故选C.
2.解：（1） x∈Q，x2＋x＋1是有理数.
（2） a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解.
（3） x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
【例2】　解：（1）因为－1∈Z，且（－1）3＝－1＜1，所以“ x∈Z，x3＜1”是真命题.
（2）真命题，如梯形.
（3）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.
（4）因为0∈N，02＝0，所以命题“ x∈N，x2＞0”是假命题.
跟踪训练
1.B　A：当x＝1时，不等式x2＞2x－1不成立，因此命题是假命题，不符合题意；
B：因为 x，y∈Q，都有x＋y∈Q是真命题，且是全称命题，符合题意；
C：命题是存在量词命题，不符合题意；
D：因为当x＝y＝0时，｜x｜＋｜y｜＞0不成立，因此命题是假命题，不符合题意.故选B.
2.C　 x∈R，x2≥0，故A正确，C错误；因为02＝0，故B正确；因为12＞0，故D正确.故选C.
【例3】　（1）C　（2）D　解析：（1）利用存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.
（2）由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R， n∈N*，使得n＜x2”.
跟踪训练
1.C　由于全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“ x∈R，x2＋1≥x”的否定为“ x∈R，x2＋1＜x”.故选C.
2.D　∵命题p： a∈N，a≥100，∴ p：为 a∈N，a＜100.故选D.
【例4】　（1）{a｜a＞－1}　（2）（1，＋∞）
解析：（1）若“ x∈R，x2＋2x－a＜0”是真命题，
则Δ＞0，即4＋4a＞0，解得a＞－1，则实数a的取值范围是{a｜a＞－1}.
（2）p：“ x∈R，x2－2x＋m＞0”是真命题，即m＞－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，x∈R恒成立，
设函数y＝－（x－1）2＋1，由二次函数的性质知，
当x＝1时，y最大值＝1，
所以m＞y最大值＝1，
即实数m的取值范围是（1，＋∞）.
跟踪训练
1.B　因为 x∈R，x2－a＞0恒成立，所以 x∈R，x2＞a恒成立，即 x∈R，a＜（x2）min.因为当x∈R时，（x2）min＝0，所以a＜0.故选B.
2.AC　由于命题p： x∈R，x2＋2x＋2－a＝0为真命题，则Δ＝22－4（2－a）＝4a－4≥0，解得a≥1.符合条件的为A、C选项.故选A、C.
随堂检测
1.B　对于A， x∈R，x3＞0是全称量词命题，不合题意；
对于B， x∈Z，x2＞2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；
对于C， x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；
对于D， x，y∈R，x2＋y2＜0是存在量词命题，是假命题，不合题意，故选B.
2.D　命题p： x∈N，x3＞x2的否定形式是存在量词命题；所以 p：“ x∈N，x3≤x2”.故选D.
3.D　①，x2－x＋＝≥0，当x＝时等号成立. ①正确.
②④，x＝－1时，x3＋1＝0，②错误，④正确.
③，n＝时，n2＜n，③错误.所以正确的为①④.故选D.
4.{a｜a＞－10}　解析：存在x＜5，使2x＋a＞0，即存在x＜5，使a＞－2x，所以a＞－10.
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1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
新课程标准解读 核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词
的意义 数学抽象
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　“红豆生南国，春来发几枝.愿君多采撷，此物最相思.”这是唐
代诗人王维的《相思》诗.
【问题】　（1）在这4句诗中，哪几句是疑问句？哪几句是陈述句？
（2）疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　命题
1. 命题：可供真假判断的 .
2. 真命题： 的语句.
3. 假命题： 的语句.
提醒　若一个语句为命题，则需满足两点：①陈述句；②能够判断
真假.
陈述语句　
判断为真　
判断为假　
知识点二　全称量词与存在量词
全称量词 存在量词
量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个
符号
命题 含有 的命题称
为全称量词命题 含有 的命题称为
存在量词命题
命题 形式 “对集合 M 中的所有元素 x ，
r （ x ）”，可用符号简记为
“ ” “存在集合 M 中的元素 x ， s
（ x ）”，可用符号简记为
“ ”
全称量词　
存在量词　
x ∈ M ， r （ x ）　
x ∈ M ， s （ x ）　
【想一想】
1. 如何判定全称量词命题为假命题？
提示：只要找到一个 x ∈ M ， r （ x ）不成立.
2. 如何判定存在量词命题为真命题？
提示：只要找到一个 x ∈ M ， s （ x ）成立.
知识点三　全称量词命题与存在量词命题的否定
q q 结论
全称量词命题 x ∈
M ， q （ x ） x ∈ M ， q （ x ） 全称量词命题的否定
是
存在量词命题 x ∈
M ， p （ x ）
存在量词命题的否定
是
提醒　命题 p 与其否定 p ，必定是一个真命题一个假命题.
存在量词命题　
x ∈ M ， p
（ x ）　
全称量词命题　
1. 下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（　　）
A. x ∈R，有 ＝ x
B. 所有的质数都是奇数
C. 至少有一个实数 x ，使 x2≤0
D. 有的正方形的四条边不相等
解析：　对于A，是全称量词命题，且为真命题，所以A正确；对
于B，是全称量词命题，2是质数，但2不是奇数，所以此命题为假
命题，所以B错误；对于C，是存在量词命题，所以C错误；对于
D，是存在量词命题，且为假命题，所以D错误.故选A.
2. 命题“ x ∈R，｜ x ｜＋ ≥0”的否定是（　　）
A. x ∈R，｜ x ｜＋ ≥0
B. x ∈R，｜ x ｜＋ ＜0
C. x ∈R，｜ x ｜＋ ＜0
D. x R，｜ x ｜＋ ＜0
解析：　命题“ x ∈R，｜ x ｜＋ ≥0”的否定是“ x ∈R，｜
x ｜＋ ＜0”.故选C.
3. 选择适当的符号“ ”，“ ”表述下列命题：有一个实数 x ，使 x2
＋2 x ＋3＝0： .
x ∈R，有 x2＋2 x ＋3＝0　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
【例1】　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
（1）凸多边形的外角和等于360°；
解：可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题.
（2）矩形的对角线不相等；
解：可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题.
（3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
解：若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称
量词命题.
（4）有些实数 a ， b 能使｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜；
解：含存在量词“有些”，故为存在量词命题.
（5）方程3 x －2 y ＝10有整数解.
解：可改写为：存在一对整数 x ， y ，使3 x －2 y ＝10成
立，故为存在量词命题.
通性通法
　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一
般不能省略.
【跟踪训练】
1. 给出下列命题：
①存在实数 x ＞1，使 x2＞1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数 a ，使 ax2－ ax ＋1＝0的根为负数.
其中存在量词命题的个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　①③④为存在量词命题，②为全称量词命题，故选C.
2. 用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题：
（1）当 x 为有理数时， x2＋ x ＋1也是有理数；
解： x ∈Q， x2＋ x ＋1是有理数.
（2）对所有实数 a ， b ，方程 ax ＋ b ＝0恰有一个解；
解： a ， b ∈R，方程 ax ＋ b ＝0恰有一解.
（3）有些整数既能被2整除，又能被3整除.
解： x ∈Z， x 既能被2整除，又能被3整除.
题型二 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
【例2】　（链接教科书第26页例）判断下列命题的真假：
（1） x ∈Z， x3＜1；
解：因为－1∈Z，且（－1）3＝－1＜1，所以“ x ∈Z，
x3＜1”是真命题.
（2）存在一个四边形不是平行四边形；
解：真命题，如梯形.
（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（ x ， y ）都对应一点
P ；
解：由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.
（4） x ∈N， x2＞0.
解：因为0∈N，02＝0，所以命题“ x ∈N， x2＞0”是假命题.
通性通法
全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧
（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每
个元素 x 验证 p （ x ）成立；但要判定全称量词命题是假命题，
只要能举出集合 M 中的一个 x ，使得 p （ x ）不成立即可；
（2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合 M 中，能
找到一个 x 使 p （ x ）成立即可；否则，这个存在量词命题就是
假命题.
【跟踪训练】
1. 下列是全称量词命题且是真命题的为（　　）
A. x ∈R， x2＞2 x －1
B. x ， y ∈Q，都有 x ＋ y ∈Q
C. x ∈Z，－ x2＋1≥1
D. x ， y ∈R，｜ x ｜＋｜ y ｜＞0
解析：　A：当 x ＝1时，不等式 x2＞2 x －1不成立，因此命题是假
命题，不符合题意；B：因为 x ， y ∈Q，都有 x ＋ y ∈Q是真命
题，且是全称命题，符合题意；C：命题是存在量词命题，不符合
题意；D：因为当 x ＝ y ＝0时，｜ x ｜＋｜ y ｜＞0不成立，因此命
题是假命题，不符合题意.故选B.
2. 下列命题中是假命题的是（　　）
A. x ∈R， x2≥0 B. x ∈R，使 x2≤0
C. x ∈R，使 x2＜0 D. x ∈R，使 x2＞0
解析：　 x ∈R， x2≥0，故A正确，C错误；因为02＝0，故B正
确；因为12＞0，故D正确.故选C.
题型三 全称量词命题与存在量词命题的否定
【例3】　（链接教科书第30页例1）（1）命题“存在实数 x ，使 x ＞
1”的否定是（　C　）
A. 对任意实数 x ，都有 x ＞1 B. 不存在实数 x ，使 x ≤1
C. 对任意实数 x ，都有 x ≤1 D. 存在实数 x ，使 x ≤1
解析：利用存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定
为：对于任意的实数 x ，都有 x ≤1.
（2）命题“ x ∈R， n ∈N*，使得 n ≥ x2”的否定形式是（　D　）
A. x ∈R， n ∈N*，使得 n ＜ x2
B. x ∈R， n ∈N*，使得 n ＜ x2
C. x ∈R， n ∈N*，使得 n ＜ x2
D. x ∈R， n ∈N*，使得 n ＜ x2
解析：由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量
词命题的否定形式是存在量词命题，所以“ x ∈R， n ∈N*，
使得 n ≥ x2”的否定形式为“ x ∈R， n ∈N*，使得 n ＜ x2”.
通性通法
全称量词命题与存在量词命题的否定的思路
（1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题
是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，
然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量
词， 同时否定结论；
（2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含
量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.
【跟踪训练】
1. 命题“ x ∈R， x2＋1≥ x ”的否定为（　　）
A. x ∈R， x2＋1≤ x B. x ∈R， x2＋1≤ x
C. x ∈R， x2＋1＜ x D. x ∈R， x2＋1＜ x
解析：　由于全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“
x ∈R， x2＋1≥ x ”的否定为“ x ∈R， x2＋1＜ x ”.故选C.
2. 已知命题 p ： a ∈N， a ≥100，则 p 为（　　）
A. a ∈N， a ≤100 B. a ∈N， a ＜100
C. a ∈N， a ≤100 D. a ∈N， a ＜100
解析：　∵命题 p ： a ∈N， a ≥100，∴ p ：为 a ∈N， a ＜
100.故选D.
题型四 全称量词命题与存在量词命题的应用
【例4】　（1）若“ x ∈R， x2＋2 x － a ＜0”是真命题，则实数 a 的
取值范围是 ；
解析：若“ x ∈R， x2＋2 x － a ＜0”是真命题，
则Δ＞0，即4＋4 a ＞0，解得 a ＞－1，则实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ＞
－1}.
{ a ｜ a ＞－1}　
（2）已知命题 p ：“ x ∈R， x2－2 x ＋ m ＞0”是真命题，则实数 m
的取值范围是 .
解析： p ：“ x ∈R， x2－2 x ＋ m ＞0”是真命题，即 m ＞－ x2
＋2 x ＝－（ x －1）2＋1， x ∈R恒成立，
设函数 y ＝－（ x －1）2＋1，由二次函数的性质知，
当 x ＝1时， y最大值＝1，所以 m ＞ y最大值＝1，
即实数 m 的取值范围是（1，＋∞）.
（1，＋∞）　
通性通法
利用含量词的命题的真假求参数的范围的方法
（2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问
题来处理，可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的范围，如：
x ∈ m ， a ＞ f （ x ） a ＞ f （ x ）min； x ∈ m ， a ＜ f （ x ）
a ＜ f （ x ）max.
（1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可借
助判别式Δ、函数最值来确定参数的取值范围，如： x ∈ m ， a
＞ f （ x ） a ＞ f （ x ）max； x ∈ m ， a ＜ f （ x ） a ＜ f （ x ）
min；
【跟踪训练】
1. 若 x ∈R， x2－ a ＞0恒成立，则实数 a 的取值范围是（　　）
A. a ＞0 B. a ＜0
C. a ≥0 D. a ≤0
解析：　因为 x ∈R， x2－ a ＞0恒成立，所以 x ∈R， x2＞ a 恒
成立，即 x ∈R， a ＜（ x2）min.因为当 x ∈R时，（ x2）min＝0，所
以 a ＜0.故选B.
2. （多选）已知命题 p ： x ∈R， x2＋2 x ＋2－ a ＝0为真命题，则实
数 a 的取值可以是（　　）
A. 1 B. 0
C. 3 D. －3
解析：　由于命题 p ： x ∈R， x2＋2 x ＋2－ a ＝0为真命题，则
Δ＝22－4（2－ a ）＝4 a －4≥0，解得 a ≥1.符合条件的为A、C选
项.故选A、C.
1. 下列是存在量词命题且是真命题的是（　　）
A. x ∈R， x3＞0 B. x ∈Z， x2＞2
C. x ∈N， x2∈N D. x ， y ∈R， x2＋ y2＜0
解析：　对于A， x ∈R， x3＞0是全称量词命题，不合题意；对
于B， x ∈Z， x2＞2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；对
于C， x ∈N， x2∈N是全称量词命题，不合题意；对于D， x ， y
∈R， x2＋ y2＜0是存在量词命题，是假命题，不合题意，故选B.
2. 命题 p ： x ∈N， x3＞ x2的否定形式 p 为（　　）
A. x ∈N， x3≤ x2 B. x ∈N， x3＞ x2
C. x ∈N， x3＜ x2 D. x ∈N， x3≤ x2
解析：D　命题 p ： x ∈N， x3＞ x2的否定形式是存在量词命题；所
以 p ：“ x ∈N， x3≤ x2”.故选D.
3. 下列四个命题：
① x ∈R， x2－ x ＋ ≥0；
②不存在实数 x ，使 x3＋1＝0；
③ n ∈R， n2≥ n ；
④至少有一个实数 x ，使得 x3＋1＝0.
其中真命题的序号是（　　）
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
解析：　①， x2－ x ＋ ＝ ≥0，当 x ＝ 时等号成立. ①正
确.②④， x ＝－1时， x3＋1＝0，②错误，④正确.③， n ＝ 时， n2
＜ n ，③错误.所以正确的为①④.故选D.
4. 若 p ：存在 x ＜5，使2 x ＋ a ＞0是真命题，则实数 a 的取值范围
是 .
解析：存在 x ＜5，使2 x ＋ a ＞0，即存在 x ＜5，使 a ＞－2 x ，所以
a ＞－10.
{ a ｜ a ＞－10}　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 将“ x2＋ y2≥2 xy ”改写成全称量词命题，下列说法正确的是（　　）
A. 对任意 x ， y ∈R，都有 x2＋ y2≥2 xy
B. 存在 x ， y ∈R，使 x2＋ y2≥2 xy
C. 对任意 x ＞0， y ＞0，都有 x2＋ y2≥2 xy
D. 存在 x ＜0， y ＜0，使 x2＋ y2≥2 xy
解析：　“ x2＋ y2≥2 xy ”是指对任意 x ， y ∈R都有 x2＋ y2≥2 xy
成立，故选项A正确.
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2. 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（　　）
A. x ∈R，｜ x ｜＞0 B. x ∈R，｜ x ｜＞0
C. x ∈R，｜ x ｜≤0 D. x ∈R，｜ x ｜≤0
解析：　由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为
全称量词命题，然后再否定结论，所以选C.
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3. 设非空集合 P ， Q 满足 P ∩ Q ＝ P ，则（　　）
A. x ∈ Q ，有 x ∈ P B. x Q ，有 x P
C. x Q ，使得 x ∈ P D. x ∈ P ，使得 x Q
解析：　∵ P ∩ Q ＝ P ，∴ P Q ，如图，
∴A错误；B正确；C错误；D错误.故选B.
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4. 有下列命题：① x ∈R， ＋1＞0；② x ∈N， x2＞0；③ x
∈N， x ∈[－3，－1）.其中真命题的个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 0
解析：　对于①， x ∈R， ≥0，则 ＋1＞0，①是真
命题；
对于②，因 x ＝0时， x ∈N， x2＝0，②是假命题；
对于③，因 x ∈N， x ≥0，即 x [－3，－1），③是假命题.
所以真命题的序号是①，共1个.故选A.
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5. （多选）下列命题错误的是（　　）
A. x ∈{－1，1}，2 x ＋1＞0
B. x ∈Q， x2＝3
C. x ∈R， x2－1＞0
D. x ∈N，｜ x ｜≤0
解析：ABC　对于A， x ＝－1时，不合题意，A错误；
对于B， x ＝± ，B错误；
对于C，比如 x ＝0时，－1＜0，C错误；
D选项正确.故选A、B、C.
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6. 给出下列命题，①存在 a ， b ∈R，使得 a2＋ b2－2 a －2 b ＋2＜0；
②任何实数都有算术平方根；③某些四边形不存在外接圆；④ x ，
y ∈R，都有 x2＋｜ y ｜＞0.
其中正确命题的序号为 .
解析：①是假命题，因为对任意的 a ， b ∈R，都有 a2＋ b2－2 a －2
b ＋2＝（ a －1）2＋（ b －12）≥0；
②是假命题，例如－4没有算术平方根；
③是真命题，因为只有对角互补的四边形有外接圆；
④为假命题，当 x ＝ y ＝0时， x2＋｜ y ｜＝0.
③
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7. 能够说明“设 x ， y ， z 是任意实数.若 x ＞ y ＞ z ，则 x ＞ y ＋ z ”是假
命题的一组整数 x ， y ， z 的值依次为 .
解析：由题意，整数 x ， y ， z 满足 x ＞ y ＞ z ，但不满足 x ＞ y ＋ z ，
所以 x ， y ， z 的值依次可以为3，2，1.
3，2，1（答案不唯一）　
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8. 已知命题 p ：“ x ≥3，使得2 x －1≥ m ”是真命题，则实数 m 的最
大值是 .
解析：当 x ≥3时，2 x ≥6 2 x －1≥5，因为“ x ≥3，使得2 x －
1≥ m ”是真命题，所以 m ≤5.
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9. 写出下列命题的否定，并判断真假：
（1）正方形都是菱形；
解：命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题.
（2） x ∈R，使4 x －3＞ x ；
解：命题的否定： x ∈R，有4 x －3≤ x .因为当 x ＝2时，4×2－3＝5＞2，所以“ x ∈R，有4 x －3≤ x ”是假命题.
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（3） x ∈R，有 x ＋1＝2 x ；
解：命题的否定： x ∈R，使 x ＋1≠2 x .因为当 x ＝2时， x ＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“ x ∈R，使 x ＋1≠2 x ”是真命题.
（4）集合 A 是集合 A ∩ B 或集合 A ∪ B 的子集.
解：命题的否定：集合 A 既不是集合 A ∩ B 的子集也不是集合 A ∪ B 的子集，是假命题.
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10. 已知 a ＞0，函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ，若 m 满足关于 x 的方程2 ax ＋ b
＝0，当 x ＝ m 时的函数值记为 M ，则下列选项中的命题为假命题
的是（　　）
A. x ∈R， ax2＋ bx ＋ c ≤ M
B. x ∈R， ax2＋ bx ＋ c ≥ M
C. x ∈R， ax2＋ bx ＋ c ≤ M
D. x ∈R， ax2＋ bx ＋ c ≥ M
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解析：　方程2 ax ＋ b ＝0的解为 m ＝－ .由当 x ＝ m 时的函数值
记为 M 知A、B为真命题；
∵ a ＞0，∴函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝－ ＝ m 处取得最小值.
∴ M 是函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的最小值，因此D为真命题，C为假命
题.故选C.
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11. 若命题“ x ∈R， x2＋3≤ m ”为假命题，则满足条件的一个自然
数 m 的值为 .
解析：因为 x2＋3≥3，又命题 “ x ∈R， x3＋3≤ m ”为假命题，
所以 m ＜3，因为 m 为自然数，所以 m 为0，1，2都可以.
2（答案不唯一）　
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12. 已知命题 p ： 1≤ x ≤3，都有 m ≥ x ，命题 q ： 1≤ x ≤3，使 m ≥
x ，若命题 p 为真命题，命题 q 的否定为假命题，求实数 m 的取值
范围.
解：因为 q 为假命题，所以 q 为真命题，
命题 p ： 1≤ x ≤3，都有 m ≥ x ， 为真命题，则 m ≥ xmax，即 m
≥3.
命题 q ： 1≤ x ≤3，使 m ≥ x ，为真命题，则 m ≥ xmin，即 m ≥1.
因为命题 p ， q 同时为真命题，所以解得 m ≥3，
故实数 m 的取值范围是[3，＋∞）.
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13. 某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组小王同学给组内小
李同学出题如下：若命题“ x ∈R，函数 y ＝ x2＋2 x ＋ m 的图象在
x 轴的下方”是假命题，求 m 范围.小李略加思索，反手给了小王一
道题：若命题“ x ∈R，函数 y ＝ x2＋2 x ＋ m 的图象在 x 轴的上方
或 x 轴上”是真命题，求 m 范围.你认为，两位同学题中 m 的范围是
否一致？ .（填“是”“否”中的一种）
是　
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解析：∵命题“ x ∈R，函数 y ＝ x2＋2 x ＋ m 的图象在 x 轴的
下方”的否定是“ x ∈R，函数 y ＝ x2＋2 x ＋ m 的图象在 x 轴
的上方或 x 轴上”.而命题“ x ∈R，函数 y ＝ x2＋2 x ＋ m 的图
象在 x 轴的下方”是假命题，则其否定“ x ∈R，函数 y ＝ x2
＋2 x ＋ m 的图象在 x 轴的上方或 x 轴上”为真命题.∴两位同学
题中 m 的范围是一致的.
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14. 从两个符号“ ”“ ”中任选一个补充在下面的问题中，并完成
下面的问题.
已知集合 A ＝{ x ｜5≤ x ≤6}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －1}，若
命题： 　 　 x ∈ A ，则 x ∈ B 是真命题，求 m 的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：由已知集合 A ＝{ x ｜5≤ x ≤6}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －
1}.
若选 ，则“ x ∈ A ，则 x ∈ B ”是真命题，则 A B ，
所以≤ m ≤4.
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若选 ，则 p ：“ x ∈ A ，则 x ∈ B ”是真命题，
若 p 即“ x ∈ A ，则 x B ”为真命题，则 m ＋1＞2 m －1或
或
解得 m ＜3，或 m ＞5，故若 p 为真，只需3≤ m ≤5.
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