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高 2026 届高三第一次适应性考试 x2C : y
2
8．已知双曲线 2 - 2 =1 b > a > 0 ，右焦点 F c,0 ，过点 D 2c,0 且斜率为1的直线 l交C 于 A、 Ba b
数学试卷
两点，且 DA DB =16b2，则C 的离心率为( )。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
y = x3 + ln 2 - x 2 15 511．函数 的定义域为( )。 A． B． C． 3 D．
2 6
A． 0,2 B． 0,2 C． - , 2 D． - , 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对
2．已知集合 A = x Z x -1 1 ， B = {1,2,3,4}，则 AU B = ( )。
的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
A． 1,2 B． 0,1,2,3,4 C． -1,0,1,2,3,4 D． 1,2,3,4
9．已知 1- 2x2 1+ x n = a0 + a1x + a x2 + a x32 3 + a x44 + a5x5 + a6x6 + a 77 x ，则( )。
3．“ 3 a > 3 b ”是“ a > b ”的( )。 A． n = 5 B． a0 =1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C． a4 = 25 D． a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = 32
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．设函数 f x 的定义域为 R，且满足 f x +1 = f 1- x ， f 2x -1 为奇函数，则下列说法正确的是( )。
4 cos π 3 5p ．已知 a + ÷ = ，0 < a < p ，则 sin -a ÷ = ( )。
è 6 3 è 6 A． y = f x -1 为偶函数 B． f x 关于 -1,0 对称
6 6 3 3
A． B．- C． D．- C． f 2023 = 0 D． f x 的导函数 f x 的周期为8
3 3 3 3
l n 11．已知正实数 x 、 y 满足 xy = x + 2y + 6，则下列说法正确的有( )。5．设a 、 b 为两个平面， 、 为两条直线，则下列结论中正确的是( )。
A．若 l n A． xy的最大值为18 B． 的最小值为12∥ ， n a ，则 l∥a B．若 l∥a ， l x + 2y∥b ，则a∥b
1 4 1
C．若 l∥a ， l ^ b ，则a ^ b D．若a I b = n， n ^ l ，则 l ^ a 或 l ^ b C． 2x + y 的最小值为13 D． + 的最小值为x - 2 y +1 2 2
6．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( )。
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
1
A． f x 3= - B． f x = ex + e- x C． f x = tan 2x D． f x = 2x5
x 12．已知 log4 5 = a ， log25 2 = b ，则 ab = ．
y
p7 ．已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷的部分图象如图所示， 2
è 2 13

．已知 sin a
p
+
6 1
÷ = ，则 + tana = ．
x è 4 6 tana
é 7p ù O π π
若方程 f x = 2m 在 ê- ,0ú 上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范 12 3 12 14
x
．已知函数 f x = e - a ln x - b x - a ， a,b R ，若 f x 0 恒成立，则 a - 2b 的最小值
–2
围是( )。
为 ．
1 ù é A． -2, -1 B． -1, - C． -1,
3 1
D． - , 3
è 2

ú 2 ÷
÷ ê ÷÷
è 2 2
数学试卷 第 1 页 共 5 页 数学试卷 第 3页 共 5页
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(17 分)
15．(13 分) 已知函数 f x = axe2x - 2ln x - 4x ， a R ．
wx wx
已知函数 f x = cos sin w > 0 ，且 y = f x 的最小正周期是 4p ．
2 2 (1)当 a = 0时，求 f x 图象在 x =1处的切线方程；
(1)求w 的值，并求此时 y = f x 的对称轴； 3 1 2 17 (2)若不等式 f x x + x - x - 2ln x对"x 0, + 恒成立，求实数 a 的取值范围；
2 4
(2) g x = f 2 x + 3 f -x f p - x ，求函数 g x 的单调递减区间． (3)若函数 f x 有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围．
16．(15 分)
某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了 100 名
学生进行调查，得到如下列联表：
性别 愿意参与 不愿意参与 合计
19．(17 分)
男生 30 20 50
在蜜蜂群体中，侦察蜂发现食物源后，通过“蜜蜂舞”向同伴(观察蜂)指示食物源的距离 d (单位：百
女生 25 25 50 1
米)．设食物源距离 d 为随机变量，其概率分布为： P d = k = ， k =1，2，3．在每次“蜜蜂舞”
合计 55 45 100 3
a = 0.05 中，侦察蜂选择摇摆的概率为 p ，选择直线奔跑的概率为1- p ，通过 3 次“蜜蜂舞”叠加传递距离信 (1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”？ d d
(2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用比例分别的分层抽样的方法抽取 11 人，再从这 11 人中随机 息，且每次“蜜蜂舞”中侦察蜂选择直线奔跑或摇摆相互独立，即摇摆次数 X 服从二项分布 B 3, pd ，
抽取 3 人作为竞赛种子选手，记 3 人中女生的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望．
p 2 p 1 1其中 1 = 、 2 = 、 p3 = ．
3 2 32 n ad - bc
2
附： c = ，
a + b c + d a + c b + d (1)求食物源距离 d 的方差 D d ；
P c 2 k (2)求随机变量 X 的概率分布列及数学期望 E X ；0.050 0.010 0.001
(3)观察蜂需要根据观察到的摆动次数 X 来判断食物源的距离 d ，设判断函数为 d = bX + a ， a,b R ，
k 3.841 6.635 10.828
其中 a = E d - bE X ，若损失函数为 L = 2d - d ，求b 的值使得 E L 最小．
17．(15 分) 参考数据： E dX 8= ，参考公式：对任意两个随机变量 X 、Y 有 E X +Y = E X + E Y ．
3
C : x
2 y2
已知椭圆 2 + 2 =1 a > b > 0 过点 A -4,0
3
，离心率为 ，过点T 2,0 的直线 l 与椭圆C 交于
a b 2
不同的两点M , N ．
(1)求椭圆C 的方程；
48 uuur uuur
(2)若DAMN 的面积为 ，且TM = lTN ，求实数l 的值．
5
数学试卷 第 4 页 共 5 页 数学试卷 第 5页 共 5页
高 2026 1届高三第一次适应性考试数学参考答案及评分标准 故 f x = -3 在其定义域上不单调递增，故 A 错误；x
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于 B， f x = ex + e- x 是偶函数，故 B 错误；
1
答案 A B C A C D B B AB BCD BCD -3 1
4 对于 C， f x = tan 2x在其定义域上不单调，故 C 错误；
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1
对于 D， f x = 2x5 是奇函数，在其定义域上单调递增，故 D 正确．
1．【答案】A
7．【答案】B
ìx 0
【详解】由 í 得，函数的定义域为 0,2
2 - x > 0 【详解】根据函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j
p
< ÷的部分图象，
è 2
2．【答案】B
1 2p p p
2024 可得 A = 2 ， × = - ，∴w = 2
p
．再根据五点法作图，可得 2 × +j = p ，
【改编来源】 全国甲卷理科数学 4 w 3 12 3
【详解】 A = 0,1,2 ， AU B = 0,1,2,3,4 j p∴ = f x = 2sin p é 7p ù p é 5p p ù，
3
2x + ÷ ．在 ê- ,0 上， 2x + - , ，è 3 12 ú 3 ê 6 3 ú
3．【答案】C
7p 1
【改编来源】2025 年高考天津卷数学第 2 题 方程 f x = 2m é ù ù在 ê- ,0ú 上有两个不相等的实数根，则实数m 12 -1,- è 2 ú
1
【详解】由 y = x3 ，是单调递增函数，故为充要条件 8．【答案】B
4．【答案】A
ìx = y + 2c 2 2 2 2 2 2 2
【详解】 í 2 2 2 2 2 2 b - a y + 4cb y + b 4c - a = 0 π 3 0 π 6 b x - a y = a b【详解】由 cos a + ÷ = ， < a < p ，得 sin a + ÷ = ，
è 6 3 è 6 3
b2 4c2 - a2 2b2 4c2 - a2 2 15
5π é π ∴ y ù π 6 1
y2 = 2 2 ，故 DA DB = 2 y1 y2 = 2 2 =16b ，解得 e =
sin -a ÷ = sin êπ - +a ÷ú = sin +a =
b - a b - a 2
è 6 ÷ è 6 è 6 3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对
5．【答案】C
的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
【改编来源】2025 天津卷第 4 题，2024 全国甲卷(理)11 题 9．【答案】AB
【详解】对于 A：若 l //n,n a ，则 l //a 或 l a ，错误；
【详解】选项 A：右边最高次为 7，故 n + 2 = 7 n = 5，A 正确．选项 B：令 x = 0 ，则 a0 =1，B 正确．
对于 B：若 l / /a , l / /b ，则 n ∥a 或a 与 b 相交，错误；
选项 C： x4 的系数为C 4 25 - 2 ×C5 = -15 ，C 错误．选项 D：令 x =1, 则-32 = a0 + a1 + a2 +L+ a7 ，D 错误
对于 C：两条平行线有一条垂直于一个平面，则另一个必定垂直这个平面， 10．【答案】BCD
若 l //a, l ^ b ，故 a ^ b ，故 C 正确；
【详解】∵ f x +1 = f (1- x) ，函数 y = f (x -1) 为奇函数，
对于 D：若a I b = n,n ^ l ，则 n 与a , b 不一定垂直，错误．
∵ f 2x -1 为奇函数， f -2x -1 = - f 2x -1 对"x R 恒成立，
6．【答案】D
∴ f -x -1 = - f x -1 ，∴ f -x -1 = - f x -1 对"x R 恒成立，∴ f x 关于 (-1,0) 对称，B 正
3
【详解】对于 A， f x = - 是奇函数，但 f -1 = -1, f 1 =1，
x ∵ f x = f 2 - x ， f x + 8 = f é 2 - x + 8 ù = f -x - 6 = f é - x + 5 -1 ù = - f é x + 5 -1 ù
数学参考答案 第 1 页 共 9 页 数学参考答案 第 2页 共 9页
= - f x + 4 = - f é 2 - x + 4 ù = - f -x - 2 = - f é- x +1 -1ù = f é x +1 -1ù = f x 1 2p p15．【答案】(1)w = ， x = 2k +1 p ， k Z é ù；(2) ê2kp - , + 2kp ú ， k Z．2 3 3
函数 f x 是周期为 8 的周期函数，
【改编来源】【2020·上海·高考真题】【2025·全国二卷·高考真题】
∴ f (2023) = f (-1) = 0 ．对于 D， f x + 8 = f (x)，∴ f ' x + 8 = f '(x)，∴ f x 的周期为 8 f x 1 sinwx T 2π 4π w 1 f x 1 1【详解】(1) = ， = = ，解得 = ，则 = sin x .....................................2 分
2 w 2 2 2
11．【答案】BCD x p
令 = + kπ 解得 x = 2k +1 p ， k Z，即 f x 的对称轴为 x = 2k +1 p ， k Z ..........................5 分
【改编来源】人教 A版必修一 P.58复习参考题 2 第 5 题 2 2
【详解】对于 A： xy = x + 2y + 6 2 2xy + 6，∴ xy - 3 2 xy + 2 0 1 x 3 x， (2) g x = sin2 + sin - ÷sin p x 1 1 3 x x- = - cos x - sin cos4 2 4 ÷è 2 è 2 2 8 8 4 2 2
则 xy 18，当且仅当 x = 6 、 y = 3时取等，故 xy的最小值为18，则 A错误 1 1
= - cos x 3 1 1 1 3 1 1 p- sin x = - cos x + sin x = - sin x + ..................................................10 分
B x + 2y = xy - 6 12 x + 2y 12 B 8 8 8 8 4
2 2 ÷÷ 8 4 6 ÷
对于 ： ，故 的最小值为 ，则 正确 è è
2kp p x p p 2kp , k Z 2kp 2p pìx < 2 ìx > 2 ìa = x - 2 > 0 ìx = a + 2 令 - + + ，得 - x + 2kp , k Z
对于C ： x - 2 y -1 = 8 2 6 2 3 3，显然 í 不成立，故y <1 í ，令 í ，故 ，即 ab = 8， y >1 b = y -1 > 0
í
y = b +1
g x é2kp 2p p所以 的单调递减区间为 ê - , + 2kp
ù
ú ， k Z .........................................................................13 分
则 2x + y = 2a + b + 5 2 2ab + 5 =13，当且仅当 a = 2、b = 4 x 4 y 5 3 3= = ，即 、 时取等，则C 正确
16．【答案】(1)愿意参与数学建模竞赛与性别无关联；(2)答案见解析
D 1 4 1 4 b + 2 4 1 b + 2 b + 2 4 1 1 1 1对于 ： + 2 = + = + - = + + - 33 - = ，x - 2 y +1 a b + 2 2 8 b + 2 2 4 16 16 b + 2 2 4 64 4 2 【解析】(1)零假设 H0 ：愿意参与数学建模竞赛与性别有关联与性别无关 ....................................................1 分
当且仅当 a = 4、b = 2 ，即 x = 6 、 y = 3时取等，则 D 正确
2 100 30 25 - 20 25
2
c = 1.01< 3.841 .................................................................................................4 分
50 50 55 45
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
1 根据小概率值a = 0.05的独立性检验，我们没有充分的证据推断 H 不成立，
12．【答案】 0
4
1 1 1 即认为愿意参与数学建模竞赛的意愿与性别有关联与性别无关........................................................................5 分
【详解】∵ a = log2 5，b = log5 2 ， ab =2 2 4 (2)根据分层抽样的性质可知：愿意参与的学生中男生与女生的比例为 6：5
13．【答案】-3 6 5
因此选出 11 人中，男生人数为11 = 6人，女生人数为11 = 5人 ......................................................6 分
11 11
【详解】 sin p 2 a + ÷ = sina + cosa
6
= ， sina + cosa 3= ，
è 4 2 6 3 由题意可知： X = 0,1,2,3 .....................................................................................................................................7 分
sina + cosa 2 =1+ 2sina cosa 1= ， sina cosa 1 1 1= - ， + tana = = -3 P X 0 C
3 20 4 2 1
3 3 tana sina cosa = = 63 = = ， P X 1
C6C= = 5 75 53 = = ......................................................................10 分C11 165 33 C11 165 11
14．【答案】1
1 2 3
【详解】①当 a 0 时，则 ln x - b 0不能恒成立 P X = 2 C6C5 60 4 P X C 10 2= 3 = = ， = 3 = 53 = = .....................................................................13 分C11 165 11 C11 165 33
②当 a > 0时， x b x1 = ln a， x2 = e ， x3 = a，故 f x = e - a ln x - b x - a 0要恒成立
所以这 3 人中满意人数 X 的概率分布列为：
ìa = eb
需满足 í ，即 a 0,1 ，故 a - 2b = a - 2ln a 1 0 3
ln a 0
X 1 2

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
数学参考答案 第 3 页 共 9 页 数学参考答案 第 4页 共 9页
4 5 4 2
P 当 x 1,+ 时， g x < 0，即 g x 在 1, + 递减 ....................................................................................9 分
33 11 11 33
4 5 4 2 15 则 g x 5 5= g 1 = ，故 a ................................................................................................................10 分E X = 0 + 1+ 2 + 3 = ....................................................................................................15 分 max 4e2 4e2
33 11 11 33 11
(3)方法 1： f x = aeln x+2x - 2 ln x + 2x ，令 t = ln x + 2x 在 x 0, + 2 2 上递增，故 t 与 x 一一对应，且x y 3 5
17．【答案】(1) + =1；(2) l = - 或l = -
16 4 5 3 t R
ìa = 4 令 g t = ae
t - 2t ， t R ，故 f x 有两个零点，等价于 g t 在 R 上有两个零点 ....................................11 分
ì a = 4 c 3 x2 y2
【详解】(1)由题意得 íe = = ，解得 íc = 2 3 ，椭圆 C： + =1 ..............................................5 分 处理方式 1： g t = aet - 2
a 2 16 4
a2 + b
2 = c2 b = 2 ①当 a 0 时， g t < 0，则 g t 在 R 上递减， g t 最多有一个零点，故不满足...................................12 分
(2)由题知直线MN 的斜率不为 0，故设直线 l : x = ty + 2，M x1, y1 , N x2 , y2 ......................................6 分 2
②当 a > 0时，令 g t > 0 2可得 t > ln ，即 g t 在 ln ,+

÷ 递增
ìx = ty + 2 a è a
2 2 2 2由 í x y 可得 t + 4 y + 4ty -12 = 0 ，故Δ = 64 t 2 + 3 > 0 .........................................................7 分
+ =1 2 2 16 4 令 g t < 0可得 t < ln ，即 g t 在 - , ln ÷递减 .....................................................................................14 分a è a
且 y y 4t -121 + 2 = - 2 ， y1 y2 = 2 ....................................................................................................................9 分t + 4 t + 4 且当 t - 时， e
t 0，则 g t +
1 2 t
故 SVOAB = 6 y1 - y2 = 3 y + y
2 24 t + 3 48 2
1 2 - 4y1 y2 = 2 = ，解得 t =1.....................................12 分 当 t + 时，与一次函数相比，指数函数 y = e 呈爆炸性增长，故 g t + .......................................15 分2 t + 4 5
uuur uuur 4 2 2 2 TM = lTN ， y1 = l y2 ， y + y = l +1 y = - 要使 g t 在 R 上有两个零点，则 g ln ÷ = 2 - 2ln < 0 ，解得 a 0, ÷ .............................................17 分1 2 2 5 è a a è e
y y = l y 2 12 15l 2 34l 15 0 l 3 51 2 2 = - ， + + = ， = - 或l = - ..................................................................15 分 2t5 5 3 处理方式 2： g t 在 R 上有两个零点，等价于方程 g t = 0有两个实根，即 a = 有两个根.................13 分et
2t
18．【答案】(1) y = -6x + 2；(2) a 5 ；(3) 0,
2
÷ 也等价于 y = a 与 h t = t 图象有两个公共点4e2 è e e
2 1- t
【详解】(1) a = 0时， f x = -2ln x - 4x，故 f x 2= - - 4，则 f 1 = -6 ，即 k = -6 .................2 分 h t = t ，则可得 h t 在 - ,1 递增， 1, + 递减 ..........................................................................14 分x e
则 f 1 = -4 ............................................................................................................................................................3 分 2 t
且 h 1 = ，当 t - 时， e 0，则 h t - .....................................................................................15 分
e
则切线方程为 y = -6x + 2 .....................................................................................................................................4 分 t 2t
当 t + 时，与一次函数相比，指数函数 y = e 呈爆炸性增长，故 h t = t 0 ..................................16 分e
x2 1+ x 1-
3 1 2 17 2x 2 1 1 2 4 则 h t 的大致图象为(2) f x x + x - x - 2ln x，"x > 0，即 ae x + x - ，∴ a ...................5 分
2 4 2 4 e2x y
2
e
x2 1 x 1 2x
1
+ e2x - 2e2x x2 1 1+ x - + - ÷ ÷ x- 2x +1 x -1
令 g x = 2 42x ， x > 0 ，故 g x è
2 è 2 4 1= 4x =
O
2x ....7 分e e e
当 x 20,1 时， g x > 0 ，即 g x 在 0,1 递增 故当 a 0, ÷时， y = a h t
2t
与 = t 图象有两个公共点，即 f x 有两个零点........................................17 分è e e
数学参考答案 第 5 页 共 9 页 数学参考答案 第 6页 共 9页
k 3-k k
方法 2： f x = 1+ 2x ae2x
2
- ÷， x > 0 ...................................................................................................11 分 d = 2时， X ~ B

3,
1
，则 k
1 1 C3
è x
P X = k d = 2 = C =
2 ÷ 3 ÷ ÷è è 2 è 2 8
①当 a 0 时， f x > 0，即 f x 在 0, + 单调递增，最多 1 个零点，故不成立.................................12 1 k 3-k分 k 3-kd = 3 1 2 C 2时， X ~ B 3, ÷，则 P X = k d = 3 = C k3 ÷ ÷ = 3
è 3 è 3 è 3 27
②当 a > 0 时，令 g x 2= ae2x - ，显然 g x 在 0, + 递增，
x X 的取值为0 ，1，2，3
且 x 0 时， g x - ， x + 时， g x + ， 3 3
P X = k = P d = i P X = k d 1= i = P X = k d = i
故$x0 > 0使得 g x = 0 2x
2
0 ，即 x0e 0 = ...........................................................................................................14 分 i=1
3 i=1
a
∴ f x 在 0, x0
1 1 1 1 8 11
递减， x0 , + 递增，且 x 0 时， f x + ， x + 时， f x + 即 P X = 0 = éP X = 0 d =1 + P X = 0 d = 2 + P X = 0 d = 3 ù =

+ +
= .......5 分
3 3 è 27 8 27 ÷ 72
处理方式 1：要使 f x 在 0, + 上有两个零点，则 f x0 = ax0e2x
2
0 - 2ln x0 - 4x0 = 2 - 2ln < 0a P X =1 1= é P X =1 d =1 + P X =1 d = 2 + P X =1 d = 3 ù
1 6 3 12 25
=

+ + ÷ = ..............7 分
a 2
3 3 è 27 8 27 72
解得 0,

÷ ........................................................................................................................................................17 分
è e
P X = 2 1 1 12 3 6 25= éP X = 2 d =1 + P X = 2 d = 2 + P X = 2 d = 3 ù

= + + ÷ = ...........9 分
处理方式 2：要使 f x 在 0, + 2x上有两个零点，则 f x0 = ax 00e - 2ln x0 - 4x = 2 - 2ln x - 4x < 0 3 3， è 27 8 27 720 0 0
即 ln x0 + 2x0 -1 > 0 ，显然函数 h x = ln x + 2x -1在 0, + 递增， P X = 3
1
= éP X = 3 d =1 + P X = 3 d = 2 + P X = 3 d 3 ù
1 8 1 1= = + + 11 ÷ = ............11 分3 3 è 27 8 27 72
h 1 1且 ÷ = - ln 2 < 0， h 1 =1 > 0，故$x1

,1

÷使得， h x1 = 0 ，即 ln x + 2x =1 x e2x，即 11 1 1 = e 故 X 的分布列为
è 2 è 2
X 0 1 2 3
则不等式 ln x0 + 2x0 -1 > 0 的解为 x0 > x1 11 25 25 11P
72 72 72 72
2 -2 1+ 2x e
2x
令j x = 2x ，则j x = 2 < 0，故j x 在 x ,+ 递减xe 2x 1 故 E X
0 + 25 + 50 + 33 3
= = ...........................................................................................................................12 分
xe 72 2
2 2 2 1 2 1 1 3
且j x1 = 2x = ，且 x + 时，j x 0 ，故 a = j x0 0, ÷ ...............................................17 方法 2： E X = E E X d = 3 + 3 + 3 分 3 3 2 3 ÷ =x e 1 e è e è 21
2 3 12
19 (1) D d = (3)由(1)(2)知， E d = 2 E X
3 2
， = ， D d = ，
．【答案】 ；(2)分布列见详解， E X = ；(3) b = -
3 2 31 2 3
11 9 25 1 25 1 11 9 31 3
【改编来源】人教 A版选择性必修三 P.109最小二乘法；背景：贝叶斯决策原理，最小化后验期望损失 D X = + + + = ，故 a = 2 - b .................................................................13 分72 4 72 4 72 4 72 4 36 2
【详解】 é 2 ù é
2 ù
则 E L = E ê d - bX - 2
3 3
+ b ÷ ú = E ê d - 2 - b

X -

÷÷ ú
2
1+ 2 + 3 1- 2 +E d 2 D d 2 - 2
2 + 3 - 2 2 2 êè 2 ú ê è è 2 ú
(1)期望 = = ，方差 = = ............................................3 分
3 3 3 2
E é d 2 2 ù b2
é
E X 3
ù
2bE é 3 ù= - + ê -

÷ ú - ê d - 2 X - ÷ú
k 3-k 2 2
(2) d =1 X ~ B 3, 2 P X = k d =1 = C k 2 1 C
k k êè ú è
由题知， 时， ，则 = 3
2

è 3 ÷ 3 è 3 ÷ ÷ è 3 27
= D d 3+ b2D X - 2bE dX - 2X - d + 3

è 2 ÷
数学参考答案 第 7 页 共 9 页 数学参考答案 第 8页 共 9页
2 31 8 31 2 2
= + b2 - 2b - 3- 3+ 3

÷ = b
2 + b + ............................................................................................16 分
3 36 è 3 36 3 3
12
由二次函数的性质可知，当b = - 时， E L 最小 ........................................................................................17 分
31
数学参考答案 第 9 页 共 9 页

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