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2.2.2　不等式的解集
1.已知关于x的不等式ax＜1的解集为R，则（　　 ）
A.a＞0 B.a＝0
C.a＜0 D.a不存在
2.不等式组的解集为（　　）
A.（－2，1]
B.（－∞，－2）∪[1，＋∞）
C.[1，＋∞）
D.（－∞，－2）
3.在数轴上，已知A（a－1），B（1－a），原点为O，则（　　 ）
A.a＜1 B.a≥1
C.AB＝0 D.OA＝OB
4.不等式｜x－1｜＋｜x－2｜≤3的最小整数解是（　　 ）
A.0 B.－1
C.1 D.2
5.（多选）如果关于x的不等式组的解集为{x｜x＜1}，且关于x的分式方程＋＝3有非负数解，则符合条件的整数m可以是（　　）
A.－2 B.0
C.1 D.2
6.若1是关于x的不等式ax＋1＞2a－x的解，则实数a的取值范围是　　　.
7.不等式＜的解集为　　　　.
8.不等式组的解集为　　　　.
9.已知关于x的不等式组
（1）当m＝－11时，求不等式组的解集；
（2）当m取何值时，该不等式组的解集是 ？
10.已知条件p：｜x＋1｜＞2，条件q：x＞a，且 p是 q的充分不必要条件，则实数a的值范围为（　　 ）
A.[1，＋∞） B.[－1，＋∞）
C.（－∞，1] D.（－∞，3]
11.对于任意实数x，不等式｜x＋7｜≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.
12.已知集合A＝{x∈R｜｜x－1｜＜a，a∈R}，B＝{x∈R｜｜x－1｜＞2}.
（1）若A∩B＝ ，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围.
13.设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是　　　　　　.
14.已知不等式｜x＋2｜－｜x＋3｜＞m.
（1）若不等式有解；
（2）若不等式解集为R；
（3）若不等式解集为 .
分别求出m的范围.
2.2.2　不等式的解集
1.B　当a＝0时，0＜1恒成立，∴不等式的解集为R，故选B.
2.C　由得∴x≥1.
3.D　∵a－1与1－a互为相反数，∴OA＝OB，故选D.
4.A　原不等式可化为或或
解得0≤x≤3，所以最小整数解是0，故选A.
5.ABC　解不等式≤1，得x≤m＋3，解不等式x－4＞3（x－2），得x＜1，
∵不等式组的解集为{x｜x＜1}，∴m＋3≥1，解得m≥－2.
解分式方程＋＝3得x＝，
∵分式方程有非负数解，∴≥0且≠1，解得m＜3且m≠2，
∴－2≤m＜3且m≠2，
则符合条件的整数m的值是－2，－1，0，1.
故选A、B、C.
6.（－∞，2）　解析：因为1是关于x的不等式ax＋1＞2a－x的解，所以a＋1＞2a－1，解得a＜2，
所以实数a的取值范围是（－∞，2）.
7.（－∞，－1）∪（3，＋∞）　解析：因为＜，所以｜x－1｜＞2，所以x－1＞2或x－1＜－2，即x＞3或x＜－1，
因此，原不等式的解集为（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
8.[－4，1]　解析：记原不等式组为
解不等式①，得x≤1.解不等式②，得x≥－4.
故原不等式组的解集为[－4，1].
9.解：（1）当m＝－11时，
解不等式①得x＞－4，解不等式②得x＜－，
∴不等式组的解集为.
（2）解不等式m－2x＜x－1，得x＞.
∵不等式组的解集为 ，
∴≥－，∴m≥－.
10.A　由条件p：｜x＋1｜＞2，解得x＞1或x＜－3，故 p：－3≤x≤1，由条件q：x＞a得 q：x≤a，
∵ p是 q的充分不必要条件，∴a≥1，故选A.
11.（－∞，－2]　解析：令y＝｜x＋7｜，要使任意x∈R，｜x＋7｜≥m＋2恒成立，只需m＋2≤ymin，
因为ymin＝0，所以m＋2≤0，
所以m≤－2，所以m的取值范围是（－∞，－2].
12.解：（1）由｜x－1｜＞2得x＜－1或x＞3，所以B＝（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
当a≤0时，A＝ ，符合题意；
当a＞0时，A＝（1－a，1＋a），由题知所以0＜a≤2.
综上所述，实数a的取值范围是（－∞，2].
（2）当a≤0时，A＝ ，符合题意；
当a＞0时，A＝（1－a，1＋a），由于1－a＜1＜3，1＋a＞0＞－1，不满足A B.
综上所述，实数a的取值范围是（－∞，0].
13.　解析：关于x的一元一次不等式组的解集为，则a＞0，
故0一定为不等式组的一个整数解，
若不等式的4个整数解为0，1，2，3时，
则解得＜a≤2；当不等式的4个整数解为－1，0，1，2时，则不等式组无解，综上所述，a的取值范围是.
14.解：法一　因｜x＋2｜－｜x＋3｜的几何意义为数轴上任意一点P（x）与两定点A（－2），B（－3）距离的差.
即｜x＋2｜－｜x＋3｜＝PA－PB.
由图（图略）知（PA－PB）max＝1，
（PA－PB）min＝－1.即－1≤｜x＋2｜－｜x＋3｜≤1.
（1）若不等式有解，m只要比｜x＋2｜－｜x＋3｜的最大值小即可，即m＜1，m的范围为（－∞，1）.
（2）若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比｜x＋2｜－｜x＋3｜的最小值还小，即m＜－1，m的范围为（－∞，－1）.
（3）若不等式的解集为 ，m只要不小于｜x＋2｜－｜x＋3｜的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，＋∞）.
法二　由｜x＋2｜－｜x＋3｜≤｜（x＋2）－（x＋3）｜＝1，｜x＋3｜－｜x＋2｜≤｜（x＋3）－（x＋2）｜＝1，
可得－1≤｜x＋2｜－｜x＋3｜≤1.
（1）若不等式有解，则m∈（－∞，1）.
（2）若不等式解集为R，则m∈（－∞，－1）.
（3）若不等式解集为 ，则m∈[1，＋∞）.
2 / 22.2.2　不等式的解集
新课程标准解读 核心素养
1.会求一元一次不等式（组）的解集 数学运算
2.能借助绝对值的几何意义求解绝对值不等式的解 直观想象、数学运算
　　运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否小于18”为一次程序操作， 输入x后程序操作仅进行了一次就停止.
【问题】　（1）情境中的运算程序涉及何不等式？
（2）如何解此不等式？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　不等式的解集与不等式组的解集
1.不等式的解集
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.
2.不等式组的解集
对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
【想一想】
1.不等式ax＋b＞0的解集是吗？
2.不等式的解集是否一定为无限集？
知识点二　绝对值不等式
1.绝对值的定义
数轴上表示数a的点与　　　　的距离称为数a的绝对值，记作｜a｜.而且一个正数的绝对值是　　　　，一个负数的绝对值是　　　　　，0的绝对值是　　　.
2.绝对值不等式
一般地，含有　　　　的不等式称为绝对值不等式.
3.绝对值不等式的解集
当m＞0时，关于x的不等式｜x｜＞m的解集为　　　　　　　　；关于x的不等式｜x｜≤m的解集为　　　　.
提醒　｜ax＋b｜≤m，｜ax＋b｜≥m（m＞0）型不等式的解法：只需将ax＋b看成一个整体，即化成｜x｜≤m，｜x｜≥m（m＞0）型不等式求解.①｜ax＋b｜≤m（m＞0）型不等式的解法：先化为－m≤ax＋b≤m，再由不等式的性质求出该不等式的解集；②｜ax＋b｜≥m（m＞0）型不等式的解法：先化为ax＋b≥m或ax＋b≤－m，再进一步利用不等式性质求出该不等式的解集.
知识点三　数轴上的坐标与距离
1.两点间的距离公式
一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为AB＝　　　　，这就是数轴上两点之间的距离公式.
2.中点坐标公式
若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝　　　　就是数轴上的中点坐标公式.
【想一想】
不等式｜x＋1｜≤3的解集的几何意义是什么？
1.不等式－3x＋2＞0的解集为（　　 ）
A.{x｜x＜1或x＞2}　　 B.{x｜x＞0}
C. D.{x｜x＜7}
2.已知数轴上不同的两点A（a），B（b），则数轴上满足条件PA＝PB的点P的坐标为（　　）
A. B.
C. D.b－a
3.不等式｜x－1｜≤2的解集为　　　　.
题型一 不等式组的解法
【例1】　（链接教科书第68页例1）解下列不等式组：
（1）
（2）
尝试解答
通性通法
不等式组的求解步骤
（1）求出不等式组中每个不等式的解集；
（2）借助数轴求出各解集的公共部分（交集）；
（3）写出不等式组的解集.
【跟踪训练】
1.若不等式组有解，则实数a的取值范围是（　　 ）
A.a＜－36　　　　　 B.a≤－36
C.a＞－36 D.a≥－36
2.在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（　　 ）
A.4 B.5
C.6 D.7
题型二 解含绝对值的不等式
角度1　｜ax＋b｜≤c与｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法
【例2】　不等式｜5－4x｜＞9的解集为　　　　.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）若不等式｜kx－5｜≤9的解集为，则实数k＝　　　　.
通性通法
｜ax＋b｜≥c和｜ax＋b｜≤c型不等式的解法
（1）当c＞0时，｜ax＋b｜≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c，｜ax＋b｜≤c －c≤ax＋b≤c；
（2）当c＝0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜＜c的解集为 ；
（3）当c＜0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜≤c的解集为 .
角度2　｜x－a｜＋｜x－b｜≥c和｜x－a｜＋｜x－b｜≤c型不等式的解法
【例3】　（链接教科书第70页探索与研究）解不等式｜x＋7｜－｜x－2｜≤3.
尝试解答
通性通法
　　分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟练掌握，在解答过程中要注意以下几点：
（1）分段要准确，注意等号的分布，避免重复或遗漏；
（2）每一段都有一个前提，每一段解出的范围都要和前提取“交集”，最后写不等式的解集时要把每一段x的范围取“并集”，即“先分后合”；
（3）不等式的解集有两种书写形式：一是用集合的描述法表示，特殊时用列举法；二是用区间.
【跟踪训练】
1.不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集为（　　 ）
A.
B.
C.
D.
2.关于x的不等式｜x｜＋｜x－1｜≥3的解集是（　　 ）
A.（－∞，－1]
B.[2，＋∞）
C.（－∞，－1]∪[2，＋∞）
D.[－1，2]
题型三 数轴上的距离问题
【例4】　（链接教科书第70页例2）已知数轴上三点P（－8），Q（m），R（2）.
（1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值；
（2）若线段PQ的中点到线段PR的中点的距离大于1，求实数m的取值范围.
尝试解答
通性通法
1.当P（x）中x＞0时，点P位于原点右侧，且点P与原点O的距离OP＝x；当P（x）中x＜0时，点P位于原点左侧，且点P与原点O的距离OP＝－x.
2.由数轴上的点与实数的对应关系可知，点越靠向右方，对应的实数越大；点对应的实数越大，点越靠向右方.
【跟踪训练】
已知数轴上不同的两点A，B，若B点的坐标为3，且AB＝5，则线段AB的中点M的坐标为（　　）
A. B.
C.4 D.或
1.数轴上点M，N，P的坐标分别为3，－1，－5，则MP＋PN＝（　　）
A.－4 B.4
C.－12 D.12
2.不等式组的解集在数轴上表示为（　　 ）
3.不等式｜x－2｜－｜x－1｜＞0的解集为（　　）
A. B.
C. D.
4.（多选）已知集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}，则（　　）
A.A∩B＝ B.A∩B＝
C.A∪B＝{x｜x＜2} D.A∪B＝R
5.若m＜1，则关于x的不等式x＜mx－2的解集为　　 　.
2.2.2　不等式的解集
【基础知识·重落实】
知识点一
想一想
1.提示：不一定.当a＞0时，不等式ax＋b＞0的解集为；当a＜0时，不等式ax＋b＞0的解集为.
2.提示：不一定.如不等式｜x｜＜0的解集是空集，不等式x2≤0的解集是{0}，为有限集.
知识点二
1.原点　它本身　它的相反数　0　2.绝对值
3.（－∞，－m）∪（m，＋∞）　[－m，m]
知识点三
1.｜a－b｜　2.
想一想
　提示：数轴上与表示－1的点的距离小于或等于3的点对应的所有实数组成的集合.
自我诊断
1.C　－3x＋2＞0 3x－2＜0，得x＜，所以不等式的解集是.故选C.
2.C　设点P的坐标为x.∵PA＝PB，∴｜a－x｜＝｜b－x｜，即a－x＝±（b－x），解得x＝，故选C.
3.[－1，3]　解析：｜x－1｜≤2 －2≤x－1≤2 －1≤x≤3，
∴不等式的解集为[－1，3].
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为 .
（2）解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知不等式组的解集为.
跟踪训练
1.C　解不等式1＋x＜a可得x＜a－1；解不等式＋1≥－1，即3x＋33≥2x－4，解得x≥－37.由于原不等式组有解，则a－1＞－37，解得a＞－36.故选C.
2.C　解不等式2x＋1＞0，得x＞－.解不等式x－5≤0，得x≤5，所以不等式组的解集为，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个.故选C.
【例2】　　解析：∵｜5－4x｜＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9.
∴4x＜－4或4x＞14，∴x＜－1或x＞.
∴原不等式的解集为.
母题探究
　4　解析：由｜kx－5｜≤9 －4≤kx≤14.
∵不等式的解集为，
∴k＝4.
【例3】　解：法一　｜x＋7｜－｜x－2｜
可以看成数轴上的动点（坐标为x）到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式｜x＋7｜－｜x－2｜≤3的解为x≤－1，即x∈（－∞，－1].
法二　令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，∴x＜－7.
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，
∴－7≤x≤－1.
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，
∴x∈ .
∴原不等式的解集为（－∞，－1].
跟踪训练
1.D　当2x－1≥0时，即x≥时，有1≤2x－1＜2，解得1≤x＜；当2x－1＜0时，即x＜时，有1≤1－2x＜2，解得－＜x≤0；
综上不等式的解集为.故选D.
2.C　当x≥1时，x＋x－1≥3，解得x≥2，
当0＜x＜1时，x＋1－x≥3，不成立，
当x≤0时，－x＋1－x≥3，解得x≤－1，
综上，不等式的解集是（－∞，－1]∪[2，＋∞），故选C.
【例4】　解：（1）若P是线段QR的中点，则－8＝，
∴m＝－18；
若Q是线段PR的中点，则m＝＝－3；
若R是线段PQ的中点，则2＝，∴m＝12.
（2）由题意，知＞1，
即＞1，
∴－1＞1或－1＜－1，解得m＞4或m＜0，
∴实数m的取值范围是（－∞，0）∪（4，＋∞）.
跟踪训练
　D　记点A（x1），B（x2），则x2＝3.AB＝｜x2－x1｜＝5，即｜3－x1｜＝5，解得x1＝－2或x1＝8.当x1＝－2时，M的坐标为＝；当x1＝8时，M的坐标为＝.故选D.
随堂检测
1.D　MP＋PN＝｜－5－3｜＋｜－5－（－1）｜＝12.
2.C　
解不等式2x－1≥5，得x≥3，解不等式8－4x＜0，得x＞2，[3，＋∞）∩（2，＋∞）＝[3，＋∞），故不等式组的解集为[3，＋∞）.在数轴上表示如图所示.故选C.
3.A　∵｜x－2｜－｜x－1｜＞0，∴｜x－2｜＞｜x－1｜，
∴（x－2）2＞（x－1）2，可得－4x＋4＞－2x＋1，∴x＜.
∴不等式｜x－2｜－｜x－1｜＞0的解集为.故选A.
4.AC　由3－2x＞0得x＜，A∩B＝{x｜x＜2}∩＝，A正确，B错误.A∪B＝{x｜x＜2}∪＝{x｜x＜2}，C正确，D错误.故选A、C.
5.　解析：因m＜1，则1－m＞0，不等式x＜mx－2变形为不等式（1－m）x＜－2，解得x＜－，即x＜，所以不等式x＜mx－2的解集为.
4 / 4(共64张PPT)
2.2.2　不等式的解集
新课程标准解读 核心素养
1.会求一元一次不等式（组）的解集 数学运算
2.能借助绝对值的几何意义求解绝对值不等式的解 直观想象、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　运行程序如图所示，从“输入实数 x ”到“结果是否小于18”为
一次程序操作， 输入 x 后程序操作仅进行了一次就停止.
【问题】　（1）情境中的运算程序涉及何不等式？
（2）如何解此不等式？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　不等式的解集与不等式组的解集
1. 不等式的解集
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.
2. 不等式组的解集
对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集
的交集称为不等式组的解集.
【想一想】
1. 不等式 ax ＋ b ＞0的解集是 吗？
提示：不一定.当 a ＞0时，不等式 ax ＋ b ＞0的解集为
；当 a ＜0时，不等式 ax ＋ b ＞0的解集为 .
2. 不等式的解集是否一定为无限集？
提示：不一定.如不等式｜ x ｜＜0的解集是空集，不等式 x2≤0的解
集是{0}，为有限集.
知识点二　绝对值不等式
1. 绝对值的定义
数轴上表示数 a 的点与 的距离称为数 a 的绝对值，记作｜
a ｜.而且一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值
是 ，0的绝对值是 .
2. 绝对值不等式
一般地，含有 的不等式称为绝对值不等式.
原点　
它本身　
它的相反数　
0　
绝对值　
3. 绝对值不等式的解集
当 m ＞0时，关于 x 的不等式｜ x ｜＞ m 的解集为
；关于 x 的不等式｜ x ｜≤ m 的解集为
.
（－∞，－ m ）
∪（ m ，＋∞）　
[－ m ，
m ]　
提醒　｜ ax ＋ b ｜≤ m ，｜ ax ＋ b ｜≥ m （ m ＞0）型不等式
的解法：只需将 ax ＋ b 看成一个整体，即化成｜ x ｜≤ m ，｜
x ｜≥ m （ m ＞0）型不等式求解.①｜ ax ＋ b ｜≤ m （ m ＞0）
型不等式的解法：先化为－ m ≤ ax ＋ b ≤ m ，再由不等式的性
质求出该不等式的解集；②｜ ax ＋ b ｜≥ m （ m ＞0）型不等式
的解法：先化为 ax ＋ b ≥ m 或 ax ＋ b ≤－ m ，再进一步利用不
等式性质求出该不等式的解集.
知识点三　数轴上的坐标与距离
1. 两点间的距离公式
一般地，如果实数 a ， b 在数轴上对应的点分别为 A ， B ，即 A
（ a ）， B （ b ），则线段 AB 的长为 AB ＝ ，这就是
数轴上两点之间的距离公式.
2. 中点坐标公式

｜ a － b ｜　
　
【想一想】
不等式｜ x ＋1｜≤3的解集的几何意义是什么？
提示：数轴上与表示－1的点的距离小于或等于3的点对应的所有实数
组成的集合.
1. 不等式－3 x ＋2＞0的解集为（　　）
A. { x ｜ x ＜1或 x ＞2} B. { x ｜ x ＞0}
D. { x ｜ x ＜7}
解析：　－3 x ＋2＞0 3 x －2＜0，得 x ＜
.故选C.
2. 已知数轴上不同的两点 A （ a ）， B （ b ），则数轴上满足条件 PA
＝ PB 的点 P 的坐标为（　　）
D. b － a
解析：　设点 P 的坐标为 x .∵ PA ＝ PB ，
∴｜ a － x ｜＝｜ b － x ｜，即 a － x ＝±（ b － x ），
解得 x ＝ ，故选C.
3. 不等式｜ x －1｜≤2的解集为 .
解析：｜ x －1｜≤2 －2≤ x －1≤2 －1≤ x ≤3，
∴不等式的解集为[－1，3].
[－1，3]
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 不等式组的解法
【例1】　（链接教科书第68页例1）解下列不等式组：
（1）
解：解不等式①，得 x ＜－6，解
不等式②，得 x ≥2，把不等式①和②的
解集在数轴上表示出来：
由图可知，解集没有公共部分，不等式
组无解，即不等式组的解集为 .
（2）
解：解不等式①，得 x ＞－ ，解不
等式②，得 x ≤ ，把不等式①和②的解
集在数轴上表示出来：
由图可知不等式组的解集为 .
通性通法
不等式组的求解步骤
（1）求出不等式组中每个不等式的解集；
（2）借助数轴求出各解集的公共部分（交集）；
（3）写出不等式组的解集.
【跟踪训练】
1. 若不等式组有解，则实数 a 的取值范围是（　　）
A. a ＜－36 B. a ≤－36
C. a ＞－36 D. a ≥－36
解析：　解不等式1＋ x ＜ a 可得 x ＜ a －1；解不等式 ＋1≥
－1，即3 x ＋33≥2 x －4，解得 x ≥－37.由于原不等式组有解，则 a
－1＞－37，解得 a ＞－36.故选C.
2. 在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是
（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析：　解不等式2 x ＋1＞0，得 x ＞－ .解不等式 x －5≤0，得 x
≤5，所以不等式组的解集为 ，整数解为0，1，2，3，4，
5，共6个.故选C.
题型二 解含绝对值的不等式

解析：∵｜5－4 x ｜＞9，∴5－4 x ＞9或5－4 x ＜－9.
∴4 x ＜－4或4 x ＞14，∴ x ＜－1或 x ＞ .
∴原不等式的解集为 .
　
【母题探究】
（变设问）若不等式｜ kx －5｜≤9的解集为 ，则实数
k ＝ .
解析：由｜ kx －5｜≤9 －4≤ kx ≤14.
∵不等式的解集为 ，∴ k ＝4.
4
通性通法
｜ ax ＋ b ｜≥ c 和｜ ax ＋ b ｜≤ c 型不等式的解法
（1）当 c ＞0时，｜ ax ＋ b ｜≥ c ax ＋ b ≥ c 或 ax ＋ b ≤－ c ，｜ ax
＋ b ｜≤ c － c ≤ ax ＋ b ≤ c ；
（2）当 c ＝0时，｜ ax ＋ b ｜≥ c 的解集为R，｜ ax ＋ b ｜＜ c 的解集
为 ；
（3）当 c ＜0时，｜ ax ＋ b ｜≥ c 的解集为R，｜ ax ＋ b ｜≤ c 的解集
为 .
角度2　｜ x － a ｜＋｜ x － b ｜≥ c 和｜ x － a ｜＋｜ x － b ｜≤ c 型不
等式的解法
【例3】　（链接教科书第70页探索与研究）解不等式｜ x ＋7｜－｜ x
－2｜≤3.
解：法一　｜ x ＋7｜－｜ x －2｜可以看成数轴上的
动点（坐标为 x ）到－7对应点的距离与到2对应点的
距离的差，先找到这个差等于3的点，即 x ＝－1.由
图易知不等式｜ x ＋7｜－｜ x －2｜≤3的解为 x ≤－
1，即 x ∈（－∞，－1].
法二　令 x ＋7＝0， x －2＝0得 x ＝－7， x ＝2.
①当 x ＜－7时，不等式变为－ x －7＋ x －2≤3，
∴－9≤3成立，∴ x ＜－7.
②当－7≤ x ≤2时，不等式变为 x ＋7＋ x －2≤3，
即2 x ≤－2，∴ x ≤－1，∴－7≤ x ≤－1.
③当 x ＞2时，不等式变为 x ＋7－ x ＋2≤3，
即9≤3不成立，∴ x ∈ .
∴原不等式的解集为（－∞，－1].
通性通法
　　分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟
练掌握，在解答过程中要注意以下几点：
（1）分段要准确，注意等号的分布，避免重复或遗漏；
（2）每一段都有一个前提，每一段解出的范围都要和前提取“交
集”，最后写不等式的解集时要把每一段 x 的范围取“并集”，
即“先分后合”；
（3）不等式的解集有两种书写形式：一是用集合的描述法表示，特
殊时用列举法；二是用区间.
【跟踪训练】
1. 不等式1≤｜2 x －1｜＜2的解集为（　　）
解析：　当2 x －1≥0时，即 x ≥ 时，有1≤2 x －1＜2，解得1≤ x
＜ ；当2 x －1＜0时，即 x ＜ 时，有1≤1－2 x ＜2，解得－ ＜ x
≤0；综上不等式的解集为 .故选D.
2. 关于 x 的不等式｜ x ｜＋｜ x －1｜≥3的解集是（　　）
A. （－∞，－1] B. [2，＋∞）
C. （－∞，－1]∪[2，＋∞） D. [－1，2]
解析：　当 x ≥1时， x ＋ x －1≥3，解得 x ≥2，当0＜ x ＜1时， x
＋1－ x ≥3，不成立，当 x ≤0时，－ x ＋1－ x ≥3，解得 x ≤－1，
综上，不等式的解集是（－∞，－1]∪[2，＋∞），故选C.
题型三 数轴上的距离问题
【例4】　（链接教科书第70页例2）已知数轴上三点 P （－8）， Q
（ m ）， R （2）.
（1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数 m 的值；
解：若 P 是线段 QR 的中点，则－8＝ ，
∴ m ＝－18；若 Q 是线段 PR 的中点，则 m ＝ ＝－3；
若 R 是线段 PQ 的中点，则2＝ ，∴ m ＝12.
（2）若线段 PQ 的中点到线段 PR 的中点的距离大于1，求实数 m 的取
值范围.
解：由题意，知 ＞1，即 ＞1，
∴ －1＞1或 －1＜－1，解得 m ＞4或 m ＜0，
∴实数 m 的取值范围是（－∞，0）∪（4，＋∞）.
通性通法
1. 当 P （ x ）中 x ＞0时，点 P 位于原点右侧，且点 P 与原点 O 的距离
OP ＝ x ；当 P （ x ）中 x ＜0时，点 P 位于原点左侧，且点 P 与原点
O 的距离 OP ＝－ x .
2. 由数轴上的点与实数的对应关系可知，点越靠向右方，对应的实数
越大；点对应的实数越大，点越靠向右方.
【跟踪训练】
已知数轴上不同的两点 A ， B ，若 B 点的坐标为3，且 AB ＝5，则线段
AB 的中点 M 的坐标为（　　）
C. 4
解析：　记点 A （ x1）， B （ x2），则 x2＝3. AB ＝｜ x2－ x1｜＝5，
即｜3－ x1｜＝5，解得 x1＝－2或 x1＝8.当 x1＝－2时， M 的坐标为
＝ ；当 x1＝8时， M 的坐标为 ＝ .故选D.
1. 数轴上点 M ， N ， P 的坐标分别为3，－1，－5，则 MP ＋ PN ＝
（　　）
A. －4 B. 4
C. －12 D. 12
解析：　 MP ＋ PN ＝｜－5－3｜＋｜－5－（－1）｜＝12.
2. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
解析：　解不等式2 x －1≥5，得 x ≥3，解不等式8－
4 x ＜0，得 x ＞2，[3，＋∞）∩（2，＋∞）＝[3，＋
∞），故不等式组的解集为[3，＋∞）.在数轴上表示
如图所示.故选C.
3. 不等式｜ x －2｜－｜ x －1｜＞0的解集为（　　）
解析：　∵｜ x －2｜－｜ x －1｜＞0，∴｜ x －2｜＞｜ x －1｜，
∴（ x －2）2＞（ x －1）2，可得－4 x ＋4＞－2 x ＋1，∴ x ＜ .∴不
等式｜ x －2｜－｜ x －1｜＞0的解集为 .故选A.
4. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜ x ＜2}， B ＝{ x ｜3－2 x ＞0}，则
（　　）
B. A ∩ B ＝
C. A ∪ B ＝{ x ｜ x ＜2} D. A ∪ B ＝R
解析：　由3－2 x ＞0得 x ＜ ， A ∩ B ＝{ x ｜ x ＜2}∩
＝ ，A正确，B错误. A ∪ B ＝{ x ｜ x ＜2}∪ ＝
{ x ｜ x ＜2}，C正确，D错误.故选A、C.
5. 若 m ＜1，则关于 x 的不等式 x ＜ mx －2的解集为 .
解析：因 m ＜1，则1－ m ＞0，不等式 x ＜ mx －2变形为不等式（1
－ m ） x ＜－2，解得 x ＜－ ，即 x ＜ ，所以不等式 x ＜ mx
－2的解集为 .
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知关于 x 的不等式 ax ＜1的解集为R，则（　　）
A. a ＞0 B. a ＝0
C. a ＜0 D. a 不存在
解析：　当 a ＝0时，0＜1恒成立，∴不等式的解集为R，故选B.
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2. 不等式组的解集为（　　）
A. （－2，1]
B. （－∞，－2）∪[1，＋∞）
C. [1，＋∞）
D. （－∞，－2）
解析：　由∴ x ≥1.
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3. 在数轴上，已知 A （ a －1）， B （1－ a ），原点为 O ，则（　　）
A. a ＜1 B. a ≥1
C. AB ＝0 D. OA ＝ OB
解析：　∵ a －1与1－ a 互为相反数，∴ OA ＝ OB ，故选D.
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4. 不等式｜ x －1｜＋｜ x －2｜≤3的最小整数解是（　　）
A. 0 B. －1
C. 1 D. 2
解析：　原不等式可化为
解得0≤ x ≤3，所以最小整数解是0，故选A.
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5. （多选）如果关于 x 的不等式组的解集为{ x ｜ x
＜1}，且关于 x 的分式方程 ＋ ＝3有非负数解，则符合条件
的整数 m 可以是（　　）
A. －2 B. 0
C. 1 D. 2
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解析：　解不等式 ≤1，得 x ≤ m ＋3，解不等式 x －4＞3
（ x －2），得 x ＜1，∵不等式组的解集为{ x ｜ x ＜1}，∴ m ＋
3≥1，解得 m ≥－2.解分式方程 ＋ ＝3得 x ＝ ，∵分式方
程有非负数解，∴ ≥0且 ≠1，解得 m ＜3且 m ≠2，∴－2≤
m ＜3且 m ≠2，则符合条件的整数 m 的值是－2，－1，0，1.故选
A、B、C.
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6. 若1是关于 x 的不等式 ax ＋1＞2 a － x 的解，则实数 a 的取值范围
是 .
解析：因为1是关于 x 的不等式 ax ＋1＞2 a － x 的解，所以 a ＋1＞2 a
－1，解得 a ＜2，
所以实数 a 的取值范围是（－∞，2）.
（－∞，2）　
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7. 不等式 ＜ 的解集为 .
解析：因为 ＜ ，所以｜ x －1｜＞2，所以 x －1＞2或 x －1
＜－2，即 x ＞3或 x ＜－1，
因此，原不等式的解集为（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
（－∞，－1）∪（3，＋∞）　
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8. 不等式组的解集为 .
解析：记原不等式组为
解不等式①，得 x ≤1.解不等式②，得 x ≥－4.
故原不等式组的解集为[－4，1].
[－4，1]　
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9. 已知关于 x 的不等式组
（1）当 m ＝－11时，求不等式组的解集；
解：当 m ＝－11时，
解不等式①得 x ＞－4，
解不等式②得 x ＜－ ，
∴不等式组的解集为 .
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（2）当 m 取何值时，该不等式组的解集是 ？
解：解不等式 m －2 x ＜ x －1，得 x ＞ .
∵不等式组的解集为 ，
∴ ≥－ ，
∴ m ≥－ .
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10. 已知条件 p ：｜ x ＋1｜＞2，条件 q ： x ＞ a ，且 p 是 q 的充
分不必要条件，则实数 a 的值范围为（　　）
A. [1，＋∞） B. [－1，＋∞）
C. （－∞，1] D. （－∞，3]
解析：　由条件 p ：｜ x ＋1｜＞2，解得 x ＞1或 x ＜－3，故
p ：－3≤ x ≤1，由条件 q ： x ＞ a 得 q ： x ≤ a ，
∵ p 是 q 的充分不必要条件，∴ a ≥1，故选A.
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11. 对于任意实数 x ，不等式｜ x ＋7｜≥ m ＋2恒成立，则实数 m 的取
值范围是 .
解析：令 y ＝｜ x ＋7｜，要使任意 x ∈R，｜ x ＋7｜≥ m ＋2恒成
立，只需 m ＋2≤ ymin，
因为 ymin＝0，所以 m ＋2≤0，
所以 m ≤－2，所以 m 的取值范围是（－∞，－2].
（－∞，－2]　
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12. 已知集合 A ＝{ x ∈R｜｜ x －1｜＜ a ， a ∈R}， B ＝{ x ∈R｜｜ x
－1｜＞2}.
（1）若 A ∩ B ＝ ，求实数 a 的取值范围；
解：由｜ x －1｜＞2得 x ＜－1或 x ＞3，
所以 B ＝（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
当 a ≤0时， A ＝ ，符合题意；
当 a ＞0时， A ＝（1－ a ，1＋ a ），由题知
所以0＜ a ≤2.综上所述，实数 a 的取值范围是（－∞，2].
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（2）若 A ∩ B ＝ A ，求实数 a 的取值范围.
解：当 a ≤0时， A ＝ ，符合题意；
当 a ＞0时， A ＝（1－ a ，1＋ a ），由于1－ a ＜1＜3，1＋ a
＞0＞－1，不满足 A B .
综上所述，实数 a 的取值范围是（－∞，0].
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13. 设 a 为实数，若关于 x 的一元一次不等式组的解集中
有且仅有4个整数，则 a 的取值范围是 .
　
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解析：关于 x 的一元一次不等式组
，则 a ＞0，故0一定为不等式组的一个整数解，
若不等式的4个整数解为0，1，2，3时，
则＜ a ≤2；当不等式的4个整数解为－1，
0，1，2时，则不等式组无解，综上所述， a 的
取值范围是 .
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14. 已知不等式｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜＞ m .
（1）若不等式有解；
若不等式有解， m 只要比｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜的最大
值小即可，
即 m ＜1， m 的范围为（－∞，1）.
解：法一　因｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜的几何意义为数轴上任意
一点 P （ x ）与两定点 A （－2）， B （－3）距离的差.
即｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜＝ PA － PB .
由图（图略）知（ PA － PB ）max＝1，
（ PA － PB ）min＝－1.即－1≤｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜≤1.
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（2）若不等式解集为R；
解：若不等式的解集为R，即不等式恒成立， m 只要比｜ x
＋2｜－｜ x ＋3｜的最小值还小，
即 m ＜－1， m 的范围为（－∞，－1）.
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（3）若不等式解集为 .
分别求出 m 的范围.
解：若不等式的解集为 ， m 只要不小于｜ x ＋2｜－｜ x ＋
3｜的最大值即可，
即 m ≥1， m 的范围为[1，＋∞）.
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法二　由｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜≤｜（ x ＋2）－（ x ＋3）｜＝1，｜ x
＋3｜－｜ x ＋2｜≤｜（ x ＋3）－（ x ＋2）｜＝1，
可得－1≤｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜≤1.
（1）若不等式有解，则 m ∈（－∞，1）.
（2）若不等式解集为R，则 m ∈（－∞，－1）.
（3）若不等式解集为 ，则 m ∈[1，＋∞）.
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