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2.2.4　均值不等式及其应用
第一课时　均值不等式
1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是（　　 ）
A.s≥t B.s＞t
C.s≤t D.s＜t
2.给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使＋≥2成立的条件有（　　 ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（　　 ）
A.x＋1≥2 B.x2＋1＞2x
C.≤1 D.x＋≥2
4.已知a＞1，b＞1且a≠b，下列各式中最大的是（　　 ）
A. B.
C. D.
5.（多选）已知a＞0，b＞0，则下列不等式中正确的是（　　 ）
A.ab≤ B.ab≤
C.≥ D.≤
6.已知a＞b＞c，则与的大小关系是　　　　.
7.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为　　　　.
8.设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥；
③≥；④＋≥2.其中恒成立的是　　　　（填序号）.
9.已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
10.（多选）下列各式中，最大值是的是（　　）
A.y＝x2＋
B.y＝x，x∈[0，1]
C.y＝
D.y＝x＋，x∈（－2，＋∞）
11.已知a＞0，b＞0，则“ab≤1”是“≤1”的（　　 ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
12.已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.
13.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（　　 ）
A.≥（a＞0，b＞0）
B.a2＋b2≥2（a＞0，b＞0）
C.≤（a＞0，b＞0）
D.≤（a＞0，b＞0）
14.已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数.
（1）求证： ＋＋≥；
（2）是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.
第一课时　均值不等式
1.A　∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s（当且仅当b＝1时等号成立）.
2.C　由基本不等式可知，要使得＋≥2成立，则＞0，所以a，b同号，所以①③④均可以.故选C.
3.C　对于A，当x＜0时，根式无意义，故A不恒成立；
对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不恒成立；
对于C，x2＋1≥1，所以≤1成立，故C成立；
对于D，当时x＜0时，x＋≤－2，故D不恒成立，
即对任何实数x都成立的一个式子是≤1，故选C.
4.D　因为a＞1，b＞1，a≠b，由基本不等式得：1＜＜，由不等式性质得：＞，
又－＝－＝＞0，
所以＜＜＜.故选D.
5.ABC　由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤，∴≥，故选A、B、C.
6.≤　解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，
∴≤＝.
7.x≤　解析：用两种方法求出第三年的产量分别为
A（1＋a）（1＋b），A（1＋x）2，则有（1＋x）2＝（1＋a）（1＋b），
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立.
8.①②　解析：由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；
＝＝≥
＝＝，故②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1，可知④不正确.
9.证明：因为a，b，c∈（0，＋∞），a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
10.BC　y＝x2＋≥2＝（ 当且仅当x＝±时取等号），因此函数无最大值，故A错误；y2＝x2（1－x2）≤＝，由0≤x≤1可知y≥0，所以0≤y≤，当且仅当x＝时取等号，故B正确；当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y＝≤，当且仅当x＝±1时取等号，故C正确；y＝x＋2＋－2≥2－2＝2，x∈（－2，＋∞），当且仅当x＝0时取等号，故D错误.故选B、C.
11.A　因为a＞0，b＞0，若ab≤1，则≤1，即1－≥0，∴a＋b－2ab≥2－2ab＝2（1－）≥0，∴a＋b≥2ab，从而≤1，充分性成立；若≤1，例如a＝，b＝2，＝1，但ab＝＞1，因此必要性不成立，故选A.
12.证明：左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1
＝＋＋－3.
∵a，b，c为正数，
∴＋≥2（当且仅当a＝b时取“＝”）；
＋≥2（当且仅当a＝c时取“＝”）；
＋≥2（当且仅当b＝c时取“＝”）.
从而＋＋≥6（当且仅当a＝b＝c时取“＝”）.
∴＋＋－3≥3，
即＋＋≥3.
13.D　由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，
则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，
再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号.故选D.
14.解：（1）证明：因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数，
所以＋＋＝[（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）]＝［3＋＋＋］≥（3＋2＋2＋2）＝，
当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号，
所以＋＋≥得证.
（2）因为a＋b＋c＝3，所以（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3（a2＋b2＋c2），
因此a2＋b2＋c2≥3（当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号），
所以（a2＋b2＋c2）min＝3，
由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立，
即得x2－mx＋1≥0恒成立，
因此Δ＝m2－4≤0 －2≤m≤2.
故存在实数m∈[－2，2]使不等式恒成立.
2 / 22.2.4　均值不等式及其应用
第一课时　均值不等式
新课程标准解读 核心素养
1.掌握均值不等式及推导过程 数学抽象、逻辑推理
2.能熟练运用均值不等式比较两实数的大小 逻辑推理、数学运算
3.能初步运用均值不等式进行证明和求最值 逻辑推理、数学运算
如图，是第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.
【问题】　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　均值不等式
1.算术平均值与几何平均值
给定两个正数a，b，数　　　　称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值.
2.均值不等式
如果a，b都是正数，那么　　　　　　，当且仅当a＝b时，等号成立.
提醒　均值不等式的常见变形：①a＋b≥2；②ab≤≤.
3.重要不等式
对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当 　　　　时，等号成立.
【想一想】
1.均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
2.均值不等式成立的条件“a，b＞0”能省略吗？请举例说明.
1.不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是（　　 ）
A.m＝1　　　　　 　 B.m＝±1
C.m＝－1 D.m＝0
2.若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　 ）
A.a＞b＞＞ B.a＞＞＞b
C.a＞＞b＞ D.a＞＞＞b
3.若0＜a＜b，a＋b＝1，则a，，2ab中最大的数为　　　　.
题型一 对均值不等式的理解
【例1】　给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－［＋］≤－2＝－2.
其中正确的推导为（　　 ）
A.①②　　　　　　　　 B.①③
C.②③ D.①②③
尝试解答
通性通法
1.均值不等式≥（a＞0，b＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系.
2.对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面：
（1）定理成立的条件是a，b都是正数；
（2）“当且仅当”的含义：当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝ a＝b.
【跟踪训练】
下列不等式的推导过程正确的是　　（填序号）.
①若x＞1，则x＋≥2＝2；
②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4；
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
题型二 利用均值不等式比较大小
【例2】　（1）已知a，b∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（　　 ）
A.a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D.≥
（2）已知a，b，c是两两不相等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是　　　　.
尝试解答
通性通法
1.在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.
2.运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
【跟踪训练】
如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（　　 ）
A.P＞Q＞M B.M＞P＞Q
C.Q＞M＞P D.M＞Q＞P
题型三 利用均值不等式证明不等式
【例3】　已知x＞0，y＞0，z＞0，求证≥8.
尝试解答
通性通法
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
（1）策略：从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
（2）注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否同时成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，构成均值不等式模型再使用.
【跟踪训练】
已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（　　 ）
A.x≥2y　　　　　　 B.x＞2y
C.x≤2y D.x＜2y
2.a，b∈R，则a2＋b2与2｜ab｜的大小关系是（　　 ）
A.a2＋b2≥2｜ab｜ B.a2＋b2＝2｜ab｜
C.a2＋b2≤2｜ab｜ D.a2＋b2＞2｜ab｜
3.ab＞0是＋＞2的（　　 ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若a，b∈R，且ab＝4，可以证明a2＋b2≥8成立.请写出等号成立的条件：　　　.
第一课时　均值不等式
【基础知识·重落实】
知识点
1.　2.≥　3.a＝b
想一想
1.提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式.
2.提示：不能，如≥是不成立的.
自我诊断
1.A　若不等式m2＋1≥2m，由重要不等式等号成立的条件：m＝1，故选A.
2.B　因为a＞b＞0 所以a＝＞，＞＝b；由基本不等式可得＞； 所以a＞＞＞b.故选B.
3.　解析：因为0＜a＜b，a＋b＝1，所以a＜，
因为ab＜＝，所以2ab＜，所以a，，2ab中最大的数为.
【典型例题·精研析】
【例1】　B　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确；
②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的；
③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确.
跟踪训练
　②　解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝时，即当x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件.
【例2】　（1）D　（2）p＞q　解析：（1）由≥得a＋b≥2，∴A成立；
∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立.
（2）∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2＞2bc，a2＋c2＞2ac.
∴2（a2＋b2＋c2）＞2（ab＋bc＋ac）.
即a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.∴p＞q.
跟踪训练
　B　显然＞，又因为＜（由a＋b＞也就是＜1可得），
所以＞＞.故M＞P＞Q.
【例3】　证明：∵x＞0，y＞0，z＞0，
∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，当且仅当x＝y＝z时，以上三个不等式的等号同时成立.∴≥＝8.
当且仅当x＝y＝z时等号成立.
跟踪训练
　证明：因为a，b，c＞0，则＞0，＞0，＞0，
于是得＋b≥2＝2a，当且仅当＝b，即a＝b时等号成立，
＋c≥2＝2b，当且仅当＝c，即b＝c时等号成立，
＋a≥2＝2c，当且仅当＝a，即c＝a时等号成立，
将上述三个不等式相加得：＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
当且仅当a＝b＝c时等号成立，因此有＋＋≥a＋b＋c，
所以，当a，b，c＞0时，＋＋≥a＋b＋c.
随堂检测
1.B　因为均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为x－2y＞0，即x＞2y.故选B.
2.A　∵a2＋b2－2｜ab｜＝（｜a｜－｜b｜）2≥0，∴a2＋b2≥2｜ab｜（当且仅当｜a｜＝｜b｜时，等号成立）.故选A.
3.B　当ab＞0时，＞0，＞0，＋≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号，
所以ab＞0是＋＞2的不充分条件；
若＋＞2，则＋＝＞2，所以ab＞0，故ab＞0是＋＞2的必要条件；
综上，ab＞0是＋＞2的必要不充分条件.故选B.
4.a＝b＝±2　解析：由a2＋b2≥2ab，且ab＝4，则a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝±2时等号成立.
4 / 4(共63张PPT)
第一课时　均值不等式
新课程标准解读 核心素养
1.掌握均值不等式及推导过程 数学抽象、逻辑
推理
2.能熟练运用均值不等式比较两实数的大小 逻辑推理、数学
运算
3.能初步运用均值不等式进行证明和求最值 逻辑推理、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图，是第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵
爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来
像一个风车.
【问题】　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　均值不等式
1. 算术平均值与几何平均值
给定两个正数 a ， b ，数 　 　称为 a ， b 的算术平均值；数
称为 a ， b 的几何平均值.
　
2. 均值不等式
如果 a ， b 都是正数，那么 ，当且仅当 a ＝ b 时，等
号成立.
提醒　均值不等式的常见变形：① a ＋ b ≥2 ；② ab ≤
≤ .
≥ 　
3. 重要不等式
对任意实数 a ， b ，有 a2＋ b2≥2 ab ，当且仅当 时，等号
成立.
a ＝ b 　
【想一想】
1. 均值不等式中的 a ， b 只能是具体的某个数吗？
提示： a ， b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式.
2. 均值不等式成立的条件“ a ， b ＞0”能省略吗？请举例说明.
提示：不能，如 ≥ 是不成立的.
1. 不等式 m2＋1≥2 m 中等号成立的条件是（　　）
A. m ＝1 B. m ＝±1
C. m ＝－1 D. m ＝0
解析：　若不等式 m2＋1≥2 m ，由重要不等式等号成立的条件：
m ＝1，故选A.
2. 若 a ＞ b ＞0，则下列不等式成立的是（　　）
解析：　因为 a ＞ b ＞0 所以 a ＝ ＞ ＞ ＝ b ；
由基本不等式可得 ＞ ； 所以 a ＞ ＞ ＞ b .故选B.
3. 若0＜ a ＜ b ， a ＋ b ＝1，则 a ， ，2 ab 中最大的数为 　 　.
解析：因为0＜ a ＜ b ， a ＋ b ＝1，所以 a ＜ ，
因为 ab ＜ ＝ ，所以2 ab ＜ ，
所以 a ， ，2 ab 中最大的数为 .

典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对均值不等式的理解
【例1】　给出下面三个推导过程：
①∵ a ， b 为正实数，∴ ＋ ≥2 ＝2；
②∵ a ∈R， a ≠0，∴ ＋ a ≥2 ＝4；
③∵ x ， y ∈R， xy ＜0，∴ ＋ ＝－［ ＋ ］≤－2
＝－2.
其中正确的推导为（　　）
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
解析：　①∵ a ， b 为正实数，∴ 为正实数，符合均值不等式
的条件，故①的推导正确；②∵ a ∈R， a ≠0，不符合均值不等式的
条件，∴ ＋ a ≥2 ＝4是错误的；③由 xy ＜0，得
＋
均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确.
通性通法
1. 均值不等式 ≥ （ a ＞0， b ＞0）反映了两个正数的和与积
之间的关系.
2. 对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面：
（1）定理成立的条件是 a ， b 都是正数；
（2）“当且仅当”的含义：当 a ＝ b 时， ≥ 的等号成立，
即 a ＝ b ＝ ；仅当 a ＝ b 时， ≥ 的等号成
立，即 ＝ a ＝ b .
【跟踪训练】
下列不等式的推导过程正确的是 （填序号）.
①若 x ＞1，则 x ＋ ≥2 ＝2；
②若 x ＜0，则 x ＋ ＝－ ≤
②
－2 ＝－4；
③若 a ， b ∈R，则 ＋ ≥2 ＝2.
解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当 x ＝ 时，即当 x ＝
1时， x ＋ ≥2等号成立，因为 x ＞1，所以 x ＋ ＞2，③中忽视了利
用均值不等式时每一项必须为正数这一条件.
题型二 利用均值不等式比较大小
【例2】　（1）已知 a ， b ∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立
的是（　D　）
解析：由 ≥ 得 a ＋ b ≥2 ，∴A成立；
∵ ＋ ≥2 ＝2，∴B成立；
∵ ≥ ＝2 ，∴C成立；
∵ ≤ ＝ ，∴D不一定成立.
（2）已知 a ， b ， c 是两两不相等的实数，则 p ＝ a2＋ b2＋ c2与 q ＝ ab
＋ bc ＋ ca 的大小关系是 .
解析：∵ a ， b ， c 互不相等，
∴ a2＋ b2＞2 ab ， b2＋ c2＞2 bc ， a2＋ c2＞2 ac .
∴2（ a2＋ b2＋ c2）＞2（ ab ＋ bc ＋ ac ）.
即 a2＋ b2＋ c2＞ ab ＋ bc ＋ ac .∴ p ＞ q .
p ＞ q
通性通法
1. 在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.
2. 运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即 a ＋ b ≥2 成
立的条件是 a ＞0， b ＞0，等号成立的条件是 a ＝ b ； a2＋ b2≥2 ab
成立的条件是 a ， b ∈R，等号成立的条件是 a ＝ b .
【跟踪训练】
如果0＜ a ＜ b ＜1， P ＝ ， Q ＝ ， M ＝ ，那么 P ，
Q ， M 的大小顺序是（　　）
A. P ＞ Q ＞ M B. M ＞ P ＞ Q
C. Q ＞ M ＞ P D. M ＞ Q ＞ P
解析：　显然 ＞ ＜ ，
所以 ＞ ＞ .故 M ＞ P ＞ Q .
题型三 利用均值不等式证明不等式
【例3】　已知 x ＞0， y ＞0， z ＞0，求证 ≥8.
证明：∵ x ＞0， y ＞0， z ＞0，
∴ ＋ ≥ ＞0， ＋ ≥ ＞0， ＋ ≥ ＞0，当且仅当 x
＝ y ＝ z 时，以上三个不等式的等号同时成立.∴
≥ ＝8.当且仅当 x ＝ y ＝ z 时等号成立.
通性通法
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
（1）策略：从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性
质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，
其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
（2）注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否同时
成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意
使用；
③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，构成均值不
等式模型再使用.
【跟踪训练】
已知 a ， b ， c ＞0，求证： ＋ ＋ ≥ a ＋ b ＋ c .
证明：因为 a ， b ， c ＞0，则 ＞0， ＞0， ＞0，
于是得 ＋ b ≥2 ＝2 a ，当且仅当 ＝ b ，即 a ＝ b 时等号
成立，
＋ c ≥2 ＝2 b ，当且仅当 ＝ c ，即 b ＝ c 时等号成立，
＋ a ≥2 ＝2 c ，当且仅当 ＝ a ，即 c ＝ a 时等号成立，
将上述三个不等式相加得： ＋ b ＋ ＋ c ＋ ＋ a ≥2 a ＋2 b ＋2 c ，
当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立，因此有 ＋ ＋ ≥ a ＋ b ＋ c ，
所以，当 a ， b ， c ＞0时， ＋ ＋ ≥ a ＋ b ＋ c .
1. 不等式（ x －2 y ）＋ ≥2成立的前提条件为（　　）
A. x ≥2 y B. x ＞2 y
C. x ≤2 y D. x ＜2 y
解析：　因为均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以
不等式（ x －2 y ）＋ ≥2成立的前提条件为 x －2 y ＞0，即 x ＞2
y .故选B.
2. a ， b ∈R，则 a2＋ b2与2｜ ab ｜的大小关系是（　　）
A. a2＋ b2≥2｜ ab ｜ B. a2＋ b2＝2｜ ab ｜
C. a2＋ b2≤2｜ ab ｜ D. a2＋ b2＞2｜ ab ｜
解析：　∵ a2＋ b2－2｜ ab ｜＝（｜ a ｜－｜ b ｜）2≥0，∴ a2＋
b2≥2｜ ab ｜（当且仅当｜ a ｜＝｜ b ｜时，等号成立）.故选A.
3. ab ＞0是 ＋ ＞2的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　当 ab ＞0时， ＞0， ＞0， ＋ ≥2 ＝2，当且
仅当 a ＝ b 时取等号，所以 ab ＞0是 ＋ ＞2的不充分条件；若 ＋
＞2，则 ＋ ＝ ＞2，所以 ab ＞0，故 ab ＞0是 ＋ ＞2的
必要条件；综上， ab ＞0是 ＋ ＞2的必要不充分条件.故选B.
4. 若 a ， b ∈R，且 ab ＝4，可以证明 a2＋ b2≥8成立.请写出等号成立
的条件： .
解析：由 a2＋ b2≥2 ab ，且 ab ＝4，则 a2＋ b2≥8，当且仅当 a ＝ b ＝
±2时等号成立.
a ＝ b ＝±2　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 t ＝ a ＋2 b ， s ＝ a ＋ b2＋1，则 t 与 s 的大小关系是（　　）
A. s ≥ t B. s ＞ t
C. s ≤ t D. s ＜ t
解析：　∵ b2＋1≥2 b ，∴ a ＋2 b ≤ a ＋ b2＋1，即 t ≤ s （当且仅
当 b ＝1时等号成立）.
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2. 给出下列条件：① ab ＞0；② ab ＜0；③ a ＞0， b ＞0；④ a ＜0， b
＜0.其中能使 ＋ ≥2成立的条件有（　　）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
解析：　由基本不等式可知，要使得 ＋ ≥2成立，则 ＞0，所
以 a ， b 同号，所以①③④均可以.故选C.
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3. 下列各式中，对任何实数 x 都成立的一个式子是（　　 ）
B. x2＋1＞2 x
解析：　对于A，当 x ＜0时，根式无意义，故A不恒成立；
对于B，当 x ＝1时， x2＋1＝2 x ，故B不恒成立；
对于C， x2＋1≥1，所以 ≤1成立，故C成立；
对于D，当时 x ＜0时， x ＋ ≤－2，故D不恒成立，
即对任何实数 x 都成立的一个式子是 ≤1，故选C.
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4. 已知 a ＞1， b ＞1且 a ≠ b ，下列各式中最大的是（　　）
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解析：　因为 a ＞1， b ＞1， a ≠ b ，由基本不等式得：1＜ ＜
＞ － ＝
－ ＝ ＞0，所以 ＜ ＜ ＜
.故选D.
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5. （多选）已知 a ＞0， b ＞0，则下列不等式中正确的是（　　）
解析：　由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，
由 ≥ ab 得， ab ≤ ，∴ ≥ ，故选A、B、C.
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6. 已知 a ＞ b ＞ c ，则 与 的大小关系
是 .
解析：∵ a ＞ b ＞ c ，∴ a － b ＞0， b － c ＞0，
∴ ≤ ＝ .
≤ 　
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7. 某工厂第一年的产量为 A ，第二年的增长率为 a ，第三年的增长
率为 b ，则这两年的平均增长率 x 与增长率的平均值 的大小
关系为 .
x ≤
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解析：用两种方法求出第三年的产量分别为 A （1＋ a ）（1＋ b ），
A （1＋ x ）2，则有（1＋ x ）2＝（1＋ a ）（1＋ b ），∴1＋ x ＝
≤ ＝1＋ ，∴ x ≤ .当且仅当 a
＝ b 时等号成立.
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8. 设 a ， b 为非零实数，给出不等式：
① ≥ ab ；② ≥ ；③ ≥ ；
④ ＋ ≥2.其中恒成立的是 （填序号）.
①②
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解析：由重要不等式 a2＋ b2≥2 ab 可知①正确；
＝ ＝ ≥
＝ ＝ ，故②正确；当 a ＝ b ＝－1时，不等式的左
边为 ＝－1，右边为 ＝－ ，可知③不正确；令 a ＝1， b
＝－1，可知④不正确.
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9. 已知 a ＞ b ， b ＞0， c ＞0，且 a ＋ b ＋ c ＝1.求证： ≥8.
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证明：因为 a ， b ， c ∈（0，＋∞）， a ＋ b ＋ c ＝1，
所以 －1＝ ＝ ≥ ，
同理 －1≥ －1≥ .
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得 ≥ · · ＝8.
当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 时，等号成立.
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10. （多选）下列各式中，最大值是 的是（　　）
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解析：　 y ＝ x2＋ ≥2 ＝ ，因此函数无最大值，故A错误； y2＝ x2（1－ x2）
≤ ＝ ，由0≤ x ≤1可知 y ≥0，所以0≤ y ≤ ，当且仅
当 x ＝ 时取等号，故B正确；当 x ＝0时， y ＝0，当 x ≠0时， y ＝
≤ ，当且仅当 x ＝±1时取等号，故C正确；
y ＝ x ＋2＋ －2≥2 －2＝2， x ∈（－2，＋∞），
当且仅当 x ＝0时取等号，故D错误.故选B、C.
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11. 已知 a ＞0， b ＞0，则“ ab ≤1”是“ ≤1”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
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解析：　因为 a ＞0， b ＞0，若 ab ≤1，则 ≤1，即1－
≥0，∴ a ＋ b －2 ab ≥2 －2 ab ＝2 （1－ ）≥0，∴ a
＋ b ≥2 ab ，从而 ≤1，充分性成立；若 ≤1，例如 a ＝
， b ＝2， ＝1，但 ab ＝ ＞1，因此必要性不成立，故选A.
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12. 已知 a ， b ， c 为正数，求证： ＋ ＋ ≥3.
证明：左边＝ ＋ －1＋ ＋ －1＋ ＋ －1
＝ ＋ ＋ －3.
∵ a ， b ， c 为正数，
∴ ＋ ≥2（当且仅当 a ＝ b 时取“＝”）；
＋ ≥2（当且仅当 a ＝ c 时取“＝”）；
＋ ≥2（当且仅当 b ＝ c 时取“＝”）.
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从而 ＋ ＋ ≥6（当且仅当 a ＝ b ＝ c 时取
“＝”）.
∴ ＋ ＋ －3≥3，
即 ＋ ＋ ≥3.
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13. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了
后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代
数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现
有如图所示图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OF ⊥
AB ，设 AC ＝ a ， BC ＝ b ，则该图形可以完成的无字证明为（　）
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解析：　由 AC ＝ a ， BC ＝ b ，可得圆 O 的半径 r ＝ ，又 OC
＝ OB － BC ＝ － b ＝ ，
则 FC2＝ OC2＋ OF2＝ ＋ ＝ ，
再根据题图知 FO ≤ FC ，即 ≤ ，当且仅当 a ＝ b 时取
等号.故选D.
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14. 已知 a ＋ b ＋ c ＝3，且 a ， b ， c 都是正数.
（1）求证： ＋ ＋ ≥ ；
解：证明：因为 a ＋ b ＋ c ＝3，且 a ， b ， c 都是正数，
所以 ＋ ＋ ＝ [（ a ＋ b ）＋（ b ＋ c ）＋（ c ＋
a ）] ＝ ［3＋（ ＋ ）＋
＋ ］≥ （3＋2＋2＋2）＝ ，
当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝1时，取等号，
所以 ＋ ＋ ≥ 得证.
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（2）是否存在实数 m ，使得关于 x 的不等式－ x2＋ mx ＋2≤ a2＋
b2＋ c2对所有满足题设条件的正实数 a ， b ， c 恒成立？如果
存在，求出 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
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解：因为 a ＋ b ＋ c ＝3，
所以（ a ＋ b ＋ c ）2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ab ＋2 bc ＋2 ca ≤3（ a2
＋ b2＋ c2），
因此 a2＋ b2＋ c2≥3（当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝1时，取等号），
所以（ a2＋ b2＋ c2）min＝3，
由题意得－ x2＋ mx ＋2≤3恒成立，
即得 x2－ mx ＋1≥0恒成立，
因此Δ＝ m2－4≤0 －2≤ m ≤2.
故存在实数 m ∈[－2，2]使不等式恒成立.
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