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章末检测（二）　等式与不等式
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A＝{x｜x2－x－6≥0}，集合B＝（－3，3），则A∩B＝（　　）
A.（－3，－2）　 B.（－3，－2] C.[2，3） D.（2，3）
2.下列四个命题中的真命题为（　　）
A. x∈Z，1＜4x＜3 B. x∈Z，5x＋1＝0
C. x∈R，x2－1＝0 D. x∈R，x2＋x＋2＞0
3.不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（　　）
A.（－∞，0）∪ B.
C. D.
4.若a＞0，b＞0，则“ab≤4”是“a＋b≤4”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知x＞2，则函数y＝x＋－2的最小值是（　　）
A.2 B.2－2 C.2 D.
6.不等式｜x－1｜－｜x－5｜＜2的解集是（　　）
A.（－∞，4） B.（－∞，1） C.（1，4） D.（1，5）
7.某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足（　　）
A.6≤x≤7 B.5≤x≤7 C.5≤x≤6 D.4≤x≤6
8.已知不等式－2x2＋bx＋c＞0的解集是{x｜－1＜x＜3}，若对于任意x∈{x｜－1≤x≤0}，不等式－2x2＋bx＋c＋t≤4恒成立，则t的取值范围是（　　）
A.{t｜t≤2} B.{t｜t≤－2} C.{t｜t≤－4} D.{t｜t≤4}
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知a＞1，b＞1，且ab－（a＋b）＝1，那么下列结论正确的有（　　）
A.a＋b有最大值2＋2 B.a＋b有最小值2＋2
C.ab有最大值＋1 D.ab有最小值2＋3
10.下列四个命题中，是真命题的是（　　）
A. x∈R，且x≠0，x＋≥2 B. x∈R，使得x2＋1≤2x
C.若x＞0，y＞0，则≥ D.若x≥，则的最小值为1
11.关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2n＝0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2＋2ny＋2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是（　　）
A.这两个方程的根都是负根 B.这两个方程的根中可能存在正根
C.（m－1）2＋（n－1）2≥2 D.－1≤2m－2n≤1
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若“ x∈（1，4]，x2－2ax＋9＞0”是假命题，则实数a的取值范围为　　　　　　.
13.某种汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m，那么这辆汽车刹车前的车速不低于　　　　 km/h.
14.已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）设集合A＝{x｜（x＋1）·（x－5）＜0}，集合B＝{x｜2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R.
（1）当a＝1时，求A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围.
16.（本小题满分15分）关于实数x的不等式2kx2＋kx－＜0.
（1）若k＝1，求该不等式的解集；
（2）若该不等式对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围.
17.（本小题满分15分）（1）若正数a，b满足＋＝1，求a＋b的最小值，并求出对应的a，b的值；
（2）若正数x，y满足x＋y＋8＝xy，求xy的取值范围.
18.（本小题满分17分）某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万件）与年促销费用m（m≥0）（单位：万元）满足x＝3－（k为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将2024年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的函数；
（2）该厂家2024年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
19.（本小题满分17分）若关于x的不等式x2－4mx＋m＜0的解集为（x1，x2）.
（1）当m＝1时，求＋的值；
（2）若x1＞0，x2＞0，求＋的值及x1＋4x2的最小值.
章末检测（二）　等式与不等式
1.B　x2－x－6≥0 （x－3）（x＋2）≥0 x≥3或x≤－2，而集合B＝（－3，3），∴A∩B＝（－3，－2]，故选B.
2.D　选项A中，＜x＜且x∈Z，不成立；选项B中，x＝－，与x∈Z矛盾；选项C中，x＝±1，与 x∈R矛盾；选项D中，由Δ＝1－8＝－7＜0可知D正确.
3.A　当x≥0时，原不等式即为x（1－2x）＞0，所以0＜x＜；当x＜0时，原不等式即为－x（1－2x）＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为（－∞，0）∪.
4.B　因为a＞0，b＞0，取a＝4，b＝1，则满足ab≤4，但是a＋b＝5＞4，所以“ab≤4”不能推出“a＋b≤4”；
反过来，因为2≤a＋b，所以当a＋b≤4时，
有2≤4，即ab≤4.
综上可知，“ab≤4”是“a＋b≤4”的必要不充分条件.故选B.
5.D　由题设，x－2＞0，∴y＝（x－2）＋≥2＝，当且仅当x＝2＋时等号成立，∴函数最小值为.故选D.
6.A　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－（5－x）＜2，∴－4＜2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1＜x＜5时，原不等式可化为x－1－（5－x）＜2，
∴x＜4，∴1＜x＜4.
③当x≥5时，原不等式可化为x－1－（x－5）＜2，该不等式不成立.
综上，原不等式的解集为（－∞，4），故选A.
7.A　由提价后每本杂志的定价为x元，则提价后的销售量为：10－×0.1万本，因为销售的总收入不低于42万元，列不等式为：x≥42，即（x－6）（x－7）≤0，即6≤x≤7，故选A.
8.B　由题意得－1和3是关于x的方程－2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，则解得则－2x2＋bx＋c＝－2x2＋4x＋6，由－2x2＋bx＋c＋t≤4得，t≤2x2－4x－2，当－1≤x≤0时，（2x2－4x－2）min＝－2，故t≤－2.故选B.
9.BD　令a＋b＝s，ab＝t，由题意可得s＞2，t＞1，t－s＝1，
由均值不等式s≥2，则t－1≥2，由t＞1可得t2－2t＋1≥4t，则t≥3＋2，a＝b＝＋1取等号；s≥2，由s＞2可得s2－4s－4≥0，则s≥2＋2，a＝b＝＋1取等号；故选B、D.
10.BCD　对于A， x∈R，且x≠0，x＋≥2对x＜0时不成立；
对于B，当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2，x2＋1≤2x成立，正确；
对于C，若x＞0，y＞0，则（x2＋y2）（x＋y）2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为≥，当且仅当x＝y＞0时取等号，正确；
对于D，y＝＝
＝，
因为x≥，所以x－2＞0.
所以≥·2＝1，
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号.
故y的最小值为1.
11.ACD　设方程x2＋2mx＋2n＝0的两根为x1，x2，方程y2＋2ny＋2m＝0的两根为y1，y2.由题意知x1x2＝2n＞0，y1y2＝2m＞0，又∵x1＋x2＝－2m，y1＋y2＝－2n，∴这两个方程的根都是负根，故A正确，B不正确；
∵4m2－8n≥0，4n2－8m≥0，∴m2－2n≥0，n2－2m≥0，
∴（m－1）2＋（n－1）2＝m2－2n＋1＋n2－2m＋1≥2，故C正确；
∵y1y2＝2m，y1＋y2＝－2n，
∴2m－2n＝y1y2＋y1＋y2＝（y1＋1）（y2＋1）－1，∵y1，y2均为负整数，∴（y1＋1）（y2＋1）≥0，
∴2m－2n≥－1.∵x1·x2＝2n，x1＋x2＝－2m，
∴2n－2m＝x1x2＋x1＋x2＝（x1＋1）（x2＋1）－1，
∵x1，x2均为负整数，∴（x1＋1）（x2＋1）≥0，
∴2n－2m≥－1，即2m－2n≤1，∴－1≤2m－2n≤1，故D正确.
综上所述，正确的结论有A、C、D.故选A、C、D.
12.[3，＋∞）　解析：因为“ x∈（1，4]，x2－2ax＋9＞0”是假命题，所以“ x∈（1，4]，x2－2ax＋9≤0”是真命题，即存在x∈（1，4]，使2a≥x＋成立.
又x＋≥2＝6等号仅当x＝，即x＝3时成立，所以只要2a≥6，解得a≥3.
13.80　解析：根据题意，得x＋x2≥40.
移项整理，得x2＋10x－7 200≥0.
显然Δ＞0，x2＋10x－7 200＝0有两个实数根，
即x1＝80，x2＝－90，
根据二次函数y＝x2＋10x－7 200的图象（图略），
得不等式的解集为{x｜x≤－90或x≥80}.
在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.
14.4　解析：依题意得＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当
即时取等号.因此，＋＋的最小值为4.
15.解：（1） 由题意得：A＝{x｜－1＜x＜5}，
当a＝1时，B＝{x｜1≤x≤3}，
故A∪B＝{x｜－1＜x＜5}.
（2）由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，可得B A，
当B＝ 时，得2－a＞1＋2a，解得a＜；
当B≠ 时，得解得≤a＜2.
综上，a的取值范围为（－∞，2）.
16.解：（1）当k＝1时，原不等式即为：2x2＋x－＜0，
解得－＜x＜，所以不等式的解集为{x｜－＜x＜}.
（2）若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x恒成立，
当k＝0时，－＜0恒成立，故k＝0满足题意；
当k≠0时，要使得不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x恒成立，
则即解得k∈（－3，0）.综上：k∈（－3，0].
17.解：（1）原式＝（a＋b）＝2＋＋＋8≥10＋2＝18，
当且仅当a＝6，b＝12时取等号，
所以a＋b的最小值为18，此时a＝6，b＝12.
（2）xy＝x＋y＋8≥2＋8，
即（）2－2－8≥0，即（－4）（＋2）≥0，解得≥4，
所以xy≥16，当且仅当x＝y＝4取等号，
所以xy的取值范围为[16，＋∞）.
18.解：（1）由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－（8＋16x＋m）＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29（m≥0）.
（2）∵m≥0，＋（m＋1）≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2024年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元.
19.解：（1）由题可知关于x的方程x2－4x＋1＝0有两个根x1，x2，
所以
故＋＝＝＝－4.
（2）由题意关于x的方程x2－4mx＋m＝0有两个正根，
所以有 解得m≥.
同时x1＋x2＝4x1x2，由x1＞0，x2＞0得＋＝4，
所以x1＋4x2＝（x1＋4x2）＝，
由于，＞0，所以＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x1＝2x2，且x1＋x2＝4x1x2，解得x1＝，x2＝时取得“＝”，
此时实数m＝＞符合条件，
故x1＋4x2≥，且当m＝时，取得最小值.
2 / 2(共37张PPT)
章末检测（二）　
等式与不等式
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2－ x －6≥0}，集合 B ＝（－3，3），则 A ∩ B
＝（　　）
A. （－3，－2） B. （－3，－2]
C. [2，3） D. （2，3）
解析：　 x2－ x －6≥0 （ x －3）（ x ＋2）≥0 x ≥3或 x ≤－2，
而集合 B ＝（－3，3），∴ A ∩ B ＝（－3，－2]，故选B.
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2. 下列四个命题中的真命题为（　　）
A. x ∈Z，1＜4 x ＜3 B. x ∈Z，5 x ＋1＝0
C. x ∈R， x2－1＝0 D. x ∈R， x2＋ x ＋2＞0
解析：　选项A中， ＜ x ＜ 且 x ∈Z，不成立；选项B中， x ＝－
，与 x ∈Z矛盾；选项C中， x ＝±1，与 x ∈R矛盾；选项D中，由
Δ＝1－8＝－7＜0可知D正确.
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3. 不等式｜ x ｜（1－2 x ）＞0的解集为（　　）
解析：　当 x ≥0时，原不等式即为 x （1－2 x ）＞0，所以0＜ x ＜
；当 x ＜0时，原不等式即为－ x （1－2 x ）＞0，所以 x ＜0，综
上，原不等式的解集为（－∞，0）∪ .
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4. 若 a ＞0， b ＞0，则“ ab ≤4”是“ a ＋ b ≤4”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　因为 a ＞0， b ＞0，取 a ＝4， b ＝1，则满足 ab ≤4，但
是 a ＋ b ＝5＞4，所以“ ab ≤4”不能推出“ a ＋ b ≤4”；反过来，
因为2 ≤ a ＋ b ，所以当 a ＋ b ≤4时，有2 ≤4，即 ab ≤4.综
上可知，“ ab ≤4”是“ a ＋ b ≤4”的必要不充分条件.故选B.
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5. 已知 x ＞2，则函数 y ＝ x ＋ －2的最小值是（　　）
C. 2
解析：　由题设， x －2＞0，∴ y ＝（ x －2）＋ ≥2
＝ ，当且仅当 x ＝2＋ 时等号成立，∴函
数最小值为 .故选D.
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6. 不等式｜ x －1｜－｜ x －5｜＜2的解集是（　　）
A. （－∞，4） B. （－∞，1）
C. （1，4） D. （1，5）
解析：　①当 x ≤1时，原不等式可化为1－ x －（5－ x ）＜2，
∴－4＜2，不等式恒成立，∴ x ≤1.
②当1＜ x ＜5时，原不等式可化为 x －1－（5－ x ）＜2，
∴ x ＜4，∴1＜ x ＜4.
③当 x ≥5时，原不等式可化为 x －1－（ x －5）＜2，该不等式
不成立.
综上，原不等式的解集为（－∞，4），故选A.
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7. 某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调
查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1 000本.设每本杂志的
定价为 x 元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则 x 应满足
（　　）
A. 6≤ x ≤7 B. 5≤ x ≤7
C. 5≤ x ≤6 D. 4≤ x ≤6
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解析：　由提价后每本杂志的定价为 x 元，则提价后的销售量
为：10－ ×0.1万本，因为销售的总收入不低于42万元，列不等
式为： x ≥42，即（ x －6）（ x －7）≤0，即6≤ x
≤7，故选A.
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8. 已知不等式－2 x2＋ bx ＋ c ＞0的解集是{ x ｜－1＜ x ＜3}，若对于任
意 x ∈{ x ｜－1≤ x ≤0}，不等式－2 x2＋ bx ＋ c ＋ t ≤4恒成立，则 t
的取值范围是（　　）
A. { t ｜ t ≤2} B. { t ｜ t ≤－2}
C. { t ｜ t ≤－4} D. { t ｜ t ≤4}
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解析：　由题意得－1和3是关于 x 的方程－2 x2＋ bx ＋ c ＝0的两个
实数根，则则－2 x2＋ bx ＋ c ＝
－2 x2＋4 x ＋6，由－2 x2＋ bx ＋ c ＋ t ≤4得， t ≤2 x2－4 x －2，当－
1≤ x ≤0时，（2 x2－4 x －2）min＝－2，故 t ≤－2.故选B.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的
得部分分，有选错的得0分）
9. 已知 a ＞1， b ＞1，且 ab －（ a ＋ b ）＝1，那么下列结论正确的有
（　　）
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解析：　令 a ＋ b ＝ s ， ab ＝ t ，由题意可得 s ＞2， t ＞1， t － s
＝1，由均值不等式 s ≥2 ，则 t －1≥2 ，由 t ＞1可得 t2－2 t ＋
1≥4 t ，则 t ≥3＋2 ， a ＝ b ＝ ＋1取等号； s ≥2 ，由 s
＞2可得 s2－4 s －4≥0，则 s ≥2＋2 ， a ＝ b ＝ ＋1取等号；故
选B、D.
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10. 下列四个命题中，是真命题的是（　　）
B. x ∈R，使得 x2＋1≤2 x
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解析：　对于A， x ∈R，且 x ≠0， x ＋ ≥2对 x ＜0时
不成立；
对于B，当 x ＝1时， x2＋1＝2，2 x ＝2， x2＋1≤2 x 成立，正确；
对于C，若 x ＞0， y ＞0，则（ x2＋ y2）（ x ＋ y ）2≥2 xy ·4 xy
＝8 x2 y2，化为 ≥ ，当且仅当 x ＝ y ＞0时取等
号，正确；
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对于D， y ＝ ＝
＝ ，
因为 x ≥ ，所以 x －2＞0.
所以 ≥ ·2 ＝1，
当且仅当 x －2＝ ，即 x ＝3时取等号.
故 y 的最小值为1.
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11. 关于 x 的一元二次方程 x2＋2 mx ＋2 n ＝0有两个整数根且乘积为
正，关于 y 的一元二次方程 y2＋2 ny ＋2 m ＝0同样也有两个整数根
且乘积为正，如下给出的结论中正确的是（　　）
A. 这两个方程的根都是负根
B. 这两个方程的根中可能存在正根
C. （ m －1）2＋（ n －1）2≥2
D. －1≤2 m －2 n ≤1
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解析：　设方程 x2＋2 mx ＋2 n ＝0的两根为 x1， x2，方程
y2＋2 ny ＋2 m ＝0的两根为 y1， y2.由题意知 x1 x2＝2 n ＞0， y1
y2＝2 m ＞0，又∵ x1＋ x2＝－2 m ， y1＋ y2＝－2 n ，∴这两个
方程的根都是负根，故A正确，B不正确；
∵4 m2－8 n ≥0，4 n2－8 m ≥0，∴ m2－2 n ≥0， n2－2 m ≥0，
∴（ m －1）2＋（ n －1）2＝ m2－2 n ＋1＋ n2－2 m ＋1≥2，故
C正确；
∵ y1 y2＝2 m ， y1＋ y2＝－2 n ，
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∴2 m －2 n ＝ y1 y2＋ y1＋ y2＝（ y1＋1）（ y2＋1）－1，∵ y1，
y2均为负整数，∴（ y1＋1）（ y2＋1）≥0，
∴2 m －2 n ≥－1.∵ x1· x2＝2 n ， x1＋ x2＝－2 m ，∴2 n －2 m
＝ x1 x2＋ x1＋ x2＝（ x1＋1）（ x2＋1）－1，
∵ x1， x2均为负整数，∴（ x1＋1）（ x2＋1）≥0，
∴2 n －2 m ≥－1，即2 m －2 n ≤1，∴－1≤2 m －2 n ≤1，故
D正确.
综上所述，正确的结论有A、C、D. 故选A、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 若“ x ∈（1，4]， x2－2 ax ＋9＞0”是假命题，则实数 a 的取值
范围为 .
[3，＋∞）　
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解析：因为“ x ∈（1，4]， x2－2 ax ＋9＞0”是假命题，所以
“ x ∈（1，4]， x2－2 ax ＋9≤0”是真命题，即存在 x ∈（1，
4]，使2 a ≥ x ＋ 成立.
又 x ＋ ≥2 ＝6等号仅当 x ＝ ，即 x ＝3时成立，所以只要2 a
≥6，解得 a ≥3.
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13. 某种汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由
于惯性往前滑行的距离） s m和汽车车速 x km/h有如下关系： s ＝
x ＋ x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40
m，那么这辆汽车刹车前的车速不低于 km/h.
80
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解析：根据题意，得 x ＋ x2≥40.
移项整理，得 x2＋10 x －7 200≥0.
显然Δ＞0， x2＋10 x －7 200＝0有两个实数根，
即 x1＝80， x2＝－90，
根据二次函数 y ＝ x2＋10 x －7 200的图象（图略），
得不等式的解集为{ x ｜ x ≤－90或 x ≥80}.
在这个实际问题中， x ＞0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80
km/h.
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14. 已知 a ＞0， b ＞0，且 ab ＝1，则 ＋ ＋ 的最小值为 .
解析：依题意得 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ≥2
＝4，当且仅当
即时取等号.因此， ＋ ＋ 的最小值为4.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）设集合 A ＝{ x ｜（ x ＋1）（ x －5）＜0}，集
合 B ＝{ x ｜2－ a ≤ x ≤1＋2 a }，其中 a ∈R.
（1）当 a ＝1时，求 A ∪ B ；
解：由题意得： A ＝{ x ｜－1＜ x ＜5}，
当 a ＝1时， B ＝{ x ｜1≤ x ≤3}，
故 A ∪ B ＝{ x ｜－1＜ x ＜5}.
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（2）若“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”的必要不充分条件，求 a 的取
值范围.
解：由“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”的必要不充分条件，可
得 B A ，
当 B ＝ 时，得2－ a ＞1＋2 a ，解得 a ＜ ；
当 B ≠ 时，得≤ a ＜2.
综上， a 的取值范围为（－∞，2）.
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16. （本小题满分15分）关于实数 x 的不等式2 kx2＋ kx － ＜0.
（1）若 k ＝1，求该不等式的解集；
解：当 k ＝1时，原不等式即为：2 x2＋ x － ＜0，
解得－ ＜ x ＜ ，
所以不等式的解集为 .
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（2）若该不等式对一切实数 x 恒成立，求实数 k 的取值范围.
解：若不等式2 kx2＋ kx － ＜0对一切实数 x 恒成立，
当 k ＝0时，－ ＜0恒成立，故 k ＝0满足题意；
当 k ≠0时，要使得不等式2 kx2＋ kx － ＜0对一切实数 x 恒成
立，则
解得 k ∈（－3，0）.综上： k ∈（－3，0].
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17. （本小题满分15分）（1）若正数 a ， b 满足 ＋ ＝1，求 a ＋ b 的
最小值，并求出对应的 a ， b 的值；
解：原式＝（ a ＋ b ） ＝2＋ ＋ ＋8≥10＋2
＝18，
当且仅当 a ＝6， b ＝12时取等号，
所以 a ＋ b 的最小值为18，此时 a ＝6， b ＝12.
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（2）若正数 x ， y 满足 x ＋ y ＋8＝ xy ，求 xy 的取值范围.
解：xy ＝ x ＋ y ＋8≥2 ＋8，
即（ ）2－2 －8≥0，即（ －4）（ ＋2）
≥0，解得 ≥4，
所以 xy ≥16，当且仅当 x ＝ y ＝4取等号，
所以 xy 的取值范围为[16，＋∞）.
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18. （本小题满分17分）某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动，
经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量） x （单位：万
件）与年促销费用 m （ m ≥0）（单位：万元）满足 x ＝3－
（ k 为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件.
已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品
需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年
平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，
不包括促销费用）.
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（1）将2024年该产品的利润 y （单位：万元）表示为年促销费用
m 的函数；
解：由题意，可知当 m ＝0时， x ＝1，∴1＝3－ k ，解得 k ＝2，∴ x ＝3－ ，
又每件产品的销售价格为1.5× 元，
∴ y ＝ x －（8＋16 x ＋ m ）＝4＋8 x － m ＝4＋8
－ m ＝－［ ＋（ m ＋1）］＋29（ m ≥0）.
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（2）该厂家2024年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
解：∵ m ≥0， ＋（ m ＋1）≥2 ＝8，
当且仅当 ＝ m ＋1，
即 m ＝3时等号成立，
∴ y ≤－8＋29＝21，∴ ymax＝21.
故该厂家2024年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，
最大利润为21万元.
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19. （本小题满分17分）若关于 x 的不等式 x2－4 mx ＋ m ＜0的解集为
（ x1， x2）.
（1）当 m ＝1时，求 ＋ 的值；
解：由题可知关于 x 的方程 x2－4 x ＋1＝0有两个根 x1，x2，
所以
故 ＋ ＝ ＝ ＝－4.
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（2）若 x1＞0， x2＞0，求 ＋ 的值及 x1＋4 x2的最小值.
解：由题意关于 x 的方程 x2－4 mx ＋ m ＝0有两个正根，
所以有 解得 m ≥ .
同时 x1＋ x2＝4 x1 x2，由 x1＞0， x2＞0得 ＋ ＝4，
所以 x1＋4 x2＝ （ x1＋4 x2） ＝ ，
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由于 ＞0，所以 ＋ ≥2 ＝4，
当且仅当 ＝ ，
即 x1＝2 x2，
且 x1＋ x2＝4 x1 x2，
解得 x1＝ ， x2＝ 时取得“＝”，
此时实数 m ＝ ＞ 符合条件，
故 x1＋4 x2≥ ，
且当 m ＝ .
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