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2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂
第十一讲 全等三角形的判定三
知识点1 全等三角形的判定3：边边边（SSS）
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
要点诠释：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.
注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
知识点2 用尺规作一个角等于已知角
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
要点诠释：
1.核心依据：边边边（SSS）全等判定
通过构造三边对应相等的全等三角形实现角度复制。具体步骤中，以已知角顶点为圆心画弧，截取两边交点，再以新作射线端点为圆心重复此操作，最终连接两弧交点形成等角。
2.注意事项
操作需严格遵循“以相同半径画弧”的步骤，确保三角形三边对应相等。
适用于初中数学尺规作图的基本题型，是后续学习几何证明的基础.
知识点3 运用边边边定理证明和计算
运用“SSS”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。
要点诠释：
1.条件检查 ：需严格验证三边是否对应相等，避免混淆对应关系；
2.逻辑严密性 ：证明过程需每一步都有依据，如通过三角形内角和定理辅助推理。
题型1用sss证明三角形全等
例1．如图，在中，，，则直接利用“SSS”可判定( )
A. B.
C. D.
有三条边对应相等，那么这两个三角形全等
针对训练1
1．已知：如图,点B,F,C,E在一条直线上,,,,求证：.
2．已知：如图，点A，C，F，E在同一条直线上，，，.
求证：.
3．如图,,,求证：.
4．如图,C是的中点,,.求证：.
5．如图，，点E在BC上，且，.
（1）试说明：.
（2）判断AC和BD的位置关系，并说明理由.
6．如图所示,在三角形屋架中,是的中线,.求证：.
题型2 尺规作一个角等于已知角
例2 .如图，已知 △ABC，∠C=45°,AC>AB.请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．
尺规作图的基本依据是边边边公理，通过构造三边对应相等的全等三角形实现角度复制。具体步骤中，以已知角顶点为圆心画弧，截取两边交点，再以新作射线端点为圆心重复此操作，最终连接两弧交点形成等角。
针对训练2
1．如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中,作出的依据是( )
A. B. C. D.
2．如图，点O是的边上任意一点.下面是“过点O作”的尺规作图过程：①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点D，E；②以点O为圆心，线段的长为半径画弧，交于点F；③以点F为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点M，作直线，则即为所求.
上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是( )
A. B. C. D.
3．数学课上，王老师布置如下任务：
如图，直线外一点A，过点A作直线的平行线.
小路的作法如下：
①在上任取一点B，作射线；
②以B为圆心任意长为半径画弧，分别交和于C，D两点（点D位于的左侧），再以A为圆心，相同的长度为半径画弧，交于点E（点E位于点A上方）；
③以E为圆心，的长为半径画弧，交弧于点F（点F位于左侧）；
④作直线.
结论：直线即为所求作平行线.
(1)请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
(2)并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵________，
∴.__________.
4．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.
已知:(如图1),求作:一个角,使它等于.
作法:如图2:
①在的两边上分别任取一点A,B;
②以点A为圆心,OA为半径画弧;以点B为圆心,OB为半径画弧;两弧交于点C;
③连接AC,BC.
所以即为所求作的角.
请根据小明设计的尺规作图过程,
（1）使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
（2）完成下列证明.
证明:连接AB,
,________,________,
(________)(填推理依据).
.
已知：如图1，在△ABC中，∠CAB=60°．求作：射线CP，使得CP//AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCE内部交于点P；
④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FP，DE．
，，．
__________，
__________，
（__________）（填推理的依据）．
题型3 利用边边边公理证明线段相等、角相等
例3．如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：.
1.构造全等三角形
2.应用全等判定条件判定全等
3.得出结论
由全等三角形的性质可知，对应角相等（如∠B = ∠B'，∠C = ∠C'），对应边相等（如AB = A'B'），从而完成边边边定理的证明.
针对训练2
1．如图,点B,E,C,F在一条直线上,,,,
(1)求证：
(2)若,,求的度数
2．如图，已知，，.求证：.
3．如图，，相交于点O，且，.求证：.
4．如图，在四边形ABCD中，已知,，判断与的关系，并说明理由.
5．如图，.求证：.
易错易混诠释
1.条件混淆
必须严格满足 三边对应相等 ，仅两边相等或两边加一角（非夹角）无法判定全等。
常见错误：误将“两边及夹角”（SAS）与“三边”（SSS）混淆。
针对训练1
1．如图所示，是三边各不相等的三角形，，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与全等，这样的三角形最多可以画( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
2．如图,点B,C,D,E在同一直线上,,,.求证：.
2.书写格式错误
全等符号使用不当，如“ABC≌DEF”需明确对应顶点，且需完整书写三边条件（如“AB=DE，AC=DF，BC=EF”）。
针对训练2
1．如图,点B,C,F,E在同一条直线上,,,.求证：.
2．在①；②这两个条件中任选一个作为题目条件,补充在下面的横线上,并加以解答.
如图,点A、F、C、D在同一直线上,,,__________.(填序号)
求证：.
3.实际应用问题
在动态几何问题中，需准确画出或测量三边长度，避免因作图误差导致条件不符。
部分题目可能涉及隐含条件（如中点连线、对称图形等），需结合图形分析三边关系。
针对训练3
1．中国现役的第五代隐形战斗机歼-20的机翼如图，为适应空气动力的要求，两个翼角，必须相等.
（1）实际制造中，工作人员只需用刻度尺测量，就能满足要求，说明理由；
（2）若，，求的度数.
2．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上的三角形叫格点三角形.除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有_____________个.
创新拓展能力提升
1．如图，，E，F是AC上的两个动点，且.
（1）若E，F运动至图1所示的位置，且，试说明：.
（2）若E，F运动至图2所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由.
（3）若E，F不重合，且，则AD和CB平行吗？请说明理由.
2．如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，，，.
求证：（1）；
（2）.
3．如图，点C、E、B、F在同一条直线上，，，.试说明：.
2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂
第十一讲 全等三角形的判定三（解析版）
知识点1 全等三角形的判定3：边边边（SSS）
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
要点诠释：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.
注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
知识点2 用尺规作一个角等于已知角
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
要点诠释：
1.核心依据：边边边（SSS）全等判定
通过构造三边对应相等的全等三角形实现角度复制。具体步骤中，以已知角顶点为圆心画弧，截取两边交点，再以新作射线端点为圆心重复此操作，最终连接两弧交点形成等角。
2.注意事项
操作需严格遵循“以相同半径画弧”的步骤，确保三角形三边对应相等。
适用于初中数学尺规作图的基本题型，是后续学习几何证明的基础.
知识点3 运用边边边定理证明和计算
运用“SSS”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。
要点诠释：
1.条件检查 ：需严格验证三边是否对应相等，避免混淆对应关系；
2.逻辑严密性 ：证明过程需每一步都有依据，如通过三角形内角和定理辅助推理。
题型1用sss证明三角形全等
例1．如图，在中，，，则直接利用“SSS”可判定( )
A. B.
C. D.
有三条边对应相等，那么这两个三角形全等
答案：C
解析：在和中，
所以.
针对训练1
1．已知：如图,点B,F,C,E在一条直线上,,,,求证：.
答案：见解析
解析：证明：,
,
即,
在和中,
,
,
.
2．已知：如图，点A，C，F，E在同一条直线上，，，.
求证：.
答案：见解析
解析：∵，
∴，
即，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
3．如图,,,求证：.
答案：见解析
解析：证明：如图所示,连接,
在和中,
,
∴,
∴.
4．如图,C是的中点,,.求证：.
答案：见解析
解析：证明：C是的中点,
,
在和中,
,
.
5．如图，，点E在BC上，且，.
（1）试说明：.
（2）判断AC和BD的位置关系，并说明理由.
答案：（1）见解析
（2）.理由见解析
解析：（1）在和中，
所以.
（2）.理由如下：
由（1）知，，
所以，
所以.
6．如图所示,在三角形屋架中,是的中线,.求证：.
答案：证明见解析
解析：证明：∵是边上的中线,
∴,
在和中,
,
∴.
题型2 尺规作一个角等于已知角
例2 .如图，已知 △ABC，∠C=45°,AC>AB.请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．
尺规作图的基本依据是边边边公理，通过构造三边对应相等的全等三角形实现角度复制。具体步骤中，以已知角顶点为圆心画弧，截取两边交点，再以新作射线端点为圆心重复此操作，最终连接两弧交点形成等角。
【答案】见解析
【详解】根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．
【分析】解：如图所示，点P即为所求．
【点评】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关作图方法是解题的关键．
针对训练2
1．如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中,作出的依据是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由作图可知,,,
,
,
故选：D.
2．如图，点O是的边上任意一点.下面是“过点O作”的尺规作图过程：①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点D，E；②以点O为圆心，线段的长为半径画弧，交于点F；③以点F为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点M，作直线，则即为所求.
上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由作图痕迹，得，，
∴，
故选：A.
3．数学课上，王老师布置如下任务：
如图，直线外一点A，过点A作直线的平行线.
小路的作法如下：
①在上任取一点B，作射线；
②以B为圆心任意长为半径画弧，分别交和于C，D两点（点D位于的左侧），再以A为圆心，相同的长度为半径画弧，交于点E（点E位于点A上方）；
③以E为圆心，的长为半径画弧，交弧于点F（点F位于左侧）；
④作直线.
结论：直线即为所求作平行线.
(1)请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
(2)并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵________，
∴.__________.
答案：(1)见解析
(2)；同位角相等，两直线平行
解析：如图，即为所求，
证明：如图，根据作图过程，知：，
连接和，
在和中，，
∴，
∴，
∴(同位角相等，两直线平行).
(2)∵，
∴(同位角相等，两直线平行).
故答案为：；同位角相等，两直线平行
4．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.
已知:(如图1),求作:一个角,使它等于.
作法:如图2:
①在的两边上分别任取一点A,B;
②以点A为圆心,OA为半径画弧;以点B为圆心,OB为半径画弧;两弧交于点C;
③连接AC,BC.
所以即为所求作的角.
请根据小明设计的尺规作图过程,
（1）使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
（2）完成下列证明.
证明:连接AB,
,________,________,
(________)(填推理依据).
.
答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）如图2,即为补全的图形;
（2）证明:连接AB,
,,,
.
.
5 .已知：如图1，在△ABC中，∠CAB=60°．求作：射线CP，使得CP//AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCE内部交于点P；
④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FP，DE．
，，．
__________，
__________，
（__________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2），，同位角相等两直线平行
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】解：（1）如图，射线即为所求作．
（2）连接，．
，，．
，
，
（同位角相等两直线平行）．
故答案为：，，同位角相等两直线平行．
【点评】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题型3 利用边边边公理证明线段相等、角相等
例3．如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：.
1.构造全等三角形
2.应用全等判定条件判定全等
3.得出结论
由全等三角形的性质可知，对应角相等（如∠B = ∠B'，∠C = ∠C'），对应边相等（如AB = A'B'），从而完成边边边定理的证明.
答案：证明：连接AC
在与中
，
，
，
.
针对训练3
1．如图,点B,E,C,F在一条直线上,,,,
(1)求证：
(2)若,,求的度数
答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：,
,
即,
在和中,
,
.
(2),,,
,
.
2．如图，已知，，.求证：.
答案：见解析
解析：证明：在和中，
，
，
，
，
.
3．如图，，相交于点O，且，.求证：.
答案：证明见解析
解析：证明：连接，
在和中，
，
，，
，
在和中，
，
，.
.
4．如图，在四边形ABCD中，已知,，判断与的关系，并说明理由.
答案：.理由如下:如图,连接BD.在△BAD和△DCB中,
因为
所以(SSS),所以.
5．如图，.求证：.
答案：如图，连接.
在和中，，
∴，∴.
易错易混诠释
1.条件混淆
必须严格满足 三边对应相等 ，仅两边相等或两边加一角（非夹角）无法判定全等。
常见错误：误将“两边及夹角”（SAS）与“三边”（SSS）混淆。
针对训练1
1．如图所示，是三边各不相等的三角形，，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与全等，这样的三角形最多可以画( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
答案：B
解析：如图，分别以点D为圆心，AB长为半径画弧，以点E为圆心，AC长为半径画弧，所作弧相交于两点（DE上下各一个），连接后可以得到两个与全等的三角形；以点D为圆心，AC长为半径画弧，以点E为圆心，AB长为半径画弧，所作弧相交于两点（DE上下各一个），连接后也可以得到两个与全等的三角形.故这样的三角形最多可以画4个.
2．如图,点B,C,D,E在同一直线上,,,.求证：.
答案：见解析
解析：证明：,
,即,
在和中,
,
,
.
2.书写格式错误
全等符号使用不当，如“ABC≌DEF”需明确对应顶点，且需完整书写三边条件（如“AB=DE，AC=DF，BC=EF”）。
针对训练2
1．如图,点B,C,F,E在同一条直线上,,,.求证：.
答案：详见解析
解析：证明：∵,
∴,
即,
在和中,
∴,
∴.
2．在①；②这两个条件中任选一个作为题目条件,补充在下面的横线上,并加以解答.
如图,点A、F、C、D在同一直线上,,,__________.(填序号)
求证：.
答案：见解析
解析：证明：选条件①,
∵,
,
,
在和中,
,
∴,
∴,
∴.
选条件②,
∵,
,
,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴.
3.实际应用问题
在动态几何问题中，需准确画出或测量三边长度，避免因作图误差导致条件不符。
部分题目可能涉及隐含条件（如中点连线、对称图形等），需结合图形分析三边关系。
针对训练3
1．中国现役的第五代隐形战斗机歼-20的机翼如图，为适应空气动力的要求，两个翼角，必须相等.
（1）实际制造中，工作人员只需用刻度尺测量，就能满足要求，说明理由；
（2）若，，求的度数.
答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：如图，连接PC，
在和中，
，.
（2）如图，延长PC到E点，，，
.
，，，
.
2．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上的三角形叫格点三角形.除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有_____________个.
答案：3/三
解析：如图，
图中与全等的格点三角形是、、，共3个，
故答案为：3.
创新拓展能力提升
1．如图，，E，F是AC上的两个动点，且.
（1）若E，F运动至图1所示的位置，且，试说明：.
（2）若E，F运动至图2所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由.
（3）若E，F不重合，且，则AD和CB平行吗？请说明理由.
答案：（1）见解析
（2）成立.理由见解析
（3）.理由见解析
解析：（1）因为，
所以，即.
在和中，
所以.
（2）成立.理由如下：
因为，
所以，即.
在和中，
所以.
（3）.理由如下：
由（1）（2）知，
所以，所以.
2．如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，，，.
求证：（1）；
（2）.
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：如图：在和中，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）得，
在和中，
，
，
.
3．如图，点C、E、B、F在同一条直线上，，，.试说明：.
答案：见解析
解析：证明：，
，
即，
在和中，
，
，
，
.
知识点梳理
典例精讲
名师支招
名师支招
名师支招
知识点梳理
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名师支招
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