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第20讲 图形的相似与位似
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
比例的性质 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割
平行线分线段成比例 掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
位似 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 比例线段及有关性质
1.两条线段的比
定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫做这两条线段的比）
【易错点】
1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数；
2）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位；
3）线段的比，最终要化成最简整数比.
2.比例线段
比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.
比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.
【补充】
1）若a：b=b：c，则b是a，c的比例中项，所以.
2）若线段a：线段b=线段b：线段c，则线段b是线段a，c的比例中项，所以.
3.比例的基本性质：
1）基本性质：
2）推论：
3）合比性质：，分比性质：
合分比性质：
4）等比性质：如果
5）黄金分割
定义：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618.
【补充】
1)黄金分割是以线段的比例中项来定义的；
2)，0.618又被称为黄金分割数；
【典例1】下面四组线段中,能成比例的是　(　　)
A.3,6,7,9 B.3,6,9,18
C.2,5,6,8 D.1,2,3,4
【解析】3∶6=9∶18.
选B.
【典例2】若2x＝3y，且x≠0，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵2x＝3y，且x≠0，
∴两边除以2y得：＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝，
故选：C．
【典例3】秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（　　）
A．0 B．
C．1 D．1
【考点】黄金分割．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据23，推出11＜2，所以1，即可得出答案．
【解答】解：∵23，
∴11＜2，
∴1，
故选C．
【点评】本题考查了黄金比，熟练利用二次根式的性质进行比较是解题的关键．
考点二 平行线分线段成比例及其相似三角形
定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等.
2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等.
推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例．
如图，若DE∥BC，则有
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】平行线分线段成比例；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据CD∥OB得出，根据AC：OC＝1：2，得出，根据C、D两点纵坐标分别为1、3，得出OB＝6，即可得出答案．
【解答】解：∵CD∥OB，
∴，
∵AC：OC＝1：2，
∴，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴CD＝3﹣1＝2，
∴，
解得：OB＝6，
∴B点的纵坐标为6，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．
【典例2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若，则　　.
【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】先根据两平行线之间的距离和三角形面积公式得到，再证明△AOD∽△COB，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴点B到AD的距离等于D点到BC的距离，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴（）2＝（）2．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键．也考查了梯形的性质．
【典例3】（2025·四川宜宾）如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图所示，过点D作DF∥BC交AC于点F，
∵AD＝2DB，
∴2，
∴
∵DF∥BC，
∴△AFD∽△ACB，
∴，
∴，
∴设S△AFD＝4s，S△ACB＝9s，
∴沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，
∴，
∴，
∴，
∴3．
故选：C．
考点三 位似图形
1.位似图形
定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心.
【概念混淆】位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形.
判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
2. 位似图形的性质
1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点.
2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质.
5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似
3. 画位似图形的一般步骤：
1）确定位似中心.
2）连接位似中心和原图的关键点并延长.
3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点.
4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形.
注意事项：
1）两个位似图形的位似中心，有一个.
2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上.
3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
4.位似变换的坐标特征
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反.
【典例1】（2025·安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）．
（1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
由图可得，点D的坐标为（﹣2，﹣1）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
【典例2】如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（　　）
A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，）
【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，将矩形OABC按相似比缩小，点B的坐标为（3，2），
∴顶点B在第一象限对应点的坐标为（3，2），即（1，），
故选：D．
【点评】本题主要考查的是位似变换、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据点A与点A′的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，
∵点B的坐标为（﹣2，4），
∴点B的对应点B′的坐标为（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8），
故选：A．
【点评】本题主要考查的是位似变换，正确求出相似比是解题的关键．
专项训练·深度理解
专项训练二十：图形的相似与位似
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，DF＝（　　）
A．7 B．7.5 C．8 D．4.5
【解答】解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，即＝，
∴DF＝．
故选：D．
2. （2025·四川眉山）如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（　　）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
【解答】解：∵小正方形的边长均为1，
∴OB，OD2，
∴OB：OD＝1：2，
∵将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，相似比为1：2，
∴△OAB与△OCD的周长之比1：2，
故选：B．
3. （2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，2），
∴点A的对应点A′的坐标为（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
5. （ 2025·河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　）
A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3
【解答】解：∵AE∥BC，
∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，
当添加∠B+∠4＝180°时，
∵∠DCN+∠4＝180°，
∴∠DCN＝∠B，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以A选项不符合题意；
当添加CD∥AB时，
∴∠DCN＝∠B，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以B选项不符合题意；
当添加∠1+∠4＝180°时，
∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以C选项不符合题意；
当添加∠2＝∠3时，
∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°，
∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND
∴不能判断△MAE∽△DCN，所以D选项符合题意．
故选：D．
6. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（　　）
A．4 B．6 C．9 D．16
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得△DEF的周长．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．
∴C△ABC：C△DEF＝2：3，
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长是6，
故选：B．
【点评】本题考查位似变换，解答本题的关键是明确相似三角形的周长比等于相似比．
7. （2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得：，
设直线的解析式为：，将点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，
∴位似中心的坐标为，
故选：A．
【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．
8. （2023·四川内江·统考中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则．
【详解】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9. （2023·安徽·统考中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10. （2023·河南·统考中考真题）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为（ ）
A． B． C．2 D．2或
【答案】D
【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可．
【详解】解：当时，

∵四边形矩形，
∴，则，
由平行线分线段成比例可得：，
又∵M为对角线的中点，
∴，
∴，
即：，
∴，
当时，

∵M为对角线的中点，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵四边形矩形，
∴，则，
∴
∴，
综上，的长为2或，
故答案为：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．

【答案】
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
【详解】解∶设
∵与位似，原点是位似中心，且．若，
∴位似比为，
∴，
解得，，
∴
故答案为：.
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
12. 如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 　　．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13. （ 2025·甘肃）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝．风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 　195　 cm．
【解答】解：∵小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，
∴小风筝两条对角线长的和为30+35＝65（cm），
∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1，
∴大风筝和小风筝相似，相似比为3：1，
∴大风筝两条对角线长的和：小风筝两条对角线长的和＝3：1，
∴大风筝两条对角线长的和＝3×65＝195（cm），
故答案为：195．
14. （2023·吉林长春·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________．

【答案】
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．
【详解】解：，
，
设周长为，设周长为，
和是以点为位似中心的位似图形，
．
．
和的周长之比为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．
15. 如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝　3　．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由平行线的等分线段定理推出AF＝EF，由三角形中位线定理推出DE＝2CF＝2，得到AC＝2CF＝2，由△CAF∽△CBA，推出AC：BC＝CF：AC，求出BC＝4，即可得到BF的长．
【解答】解：∵CD＝CA，DE∥CB，
∴AF＝EF，
∴CF是△ADE的中位线，
∴DE＝2CF＝2，
∵DE＝DC，
∴AC＝2CF＝2，
∵∠CAB＝∠CFA，∠ACF＝∠ACB，
∴△CAF∽△CBA，
∴AC：BC＝CF：AC，
∴2：BC＝1：2，
∴BC＝4，
∴BF＝BC﹣FC＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线等分线段定理，关键是由三角形中位线定理得到AC＝2CF＝2，由△CAF∽△CBA，推出AC：BC＝CF：AC．
16. （2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________．

【答案】
【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）如图，四边形OABC的顶点O为坐标原点，以O为位似中心，作出四边形OA1B1C1与四边形OABC位似，若A（6，0）的对应点为A1（4，0），四边形OABC的面积为27，求四边形OA1B1C1的面积．
【解答】解：∵以O为位似中心，作出四边形OA1B1C1与四边形OABC位似，A（6，0）的对应点为A1（4，0），
∴四边形OA1B1C1与四边形OABC的位似比为：4：6＝2：3，
∴四边形OA1B1C1与四边形OABC的面积比为：4：9，
∵四边形OABC的面积为27，
∴四边形OA1B1C1的面积为：27×＝12．
18. （6分）如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；（2）求AB的长．
【解答】解：（1）∵FE∥CD，
∴＝，即＝，
解得，AC＝，
则CE＝AC﹣AE＝﹣4＝；
（2）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得，AB＝．
19. （6分）如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一点，过点D作DE∥BC，交CA延长线于点E，点F是DE延长线上一点，连接AF.
(1)如果＝，DE＝6，求边BC的长；
(2)如果∠FAE＝∠B，FA＝6，FE＝4，求DF的长．
【解答】解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝6，∴BC＝9；　
(2)∵∠FAE＝∠B，∠B＝∠D，∴∠EAF＝∠D，∵∠F＝∠F，∴△FAE∽△FDA，∴＝，∴DF＝＝＝9.
20. （8分）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
【考点】黄金分割．
【分析】（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案．
（2）根据黄金比值即可求出AD的长度．
【解答】解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴=，即=，
∴AD2=AC CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD=AC，
∵AC=2，
∴AD=﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是仔细审题，理解黄金分割的定义，注意掌握黄金比值．
21. （8分）（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若的面积为4，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，即可得证；
（2）连接，推出，，进而得到，求出，再根据，即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点E、F、G、H分别是各边的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
同理可得：四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，

∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．
22. （8分）如图，点是边上一点，连接，过上点作，交于点，过点作交于点，已知，．
(1)求的长；
(2)若，在上述条件和结论下，求的长．
解：(1)，，
，，
，．
(2)，，，
，，
，，
，，，
23. （10分）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．
(1)求线段的长；
(2)取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．
解：(1)平分，，，
在中，，，，，
在中，，，，，，
，，；
(2)如图，
点是线段的中点，，
，，，
，，，
，，，．
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第20讲 图形的相似与位似
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
比例的性质 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割
平行线分线段成比例 掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
位似 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 比例线段及有关性质
1.两条线段的比
定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫做这两条线段的比）
【易错点】
1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数；
2）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位；
3）线段的比，最终要化成最简整数比.
2.比例线段
比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.
比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.
【补充】
1）若a：b=b：c，则b是a，c的比例中项，所以.
2）若线段a：线段b=线段b：线段c，则线段b是线段a，c的比例中项，所以.
3.比例的基本性质：
1）基本性质：
2）推论：
3）合比性质：，分比性质：
合分比性质：
4）等比性质：如果
5）黄金分割
定义：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618.
【补充】
1)黄金分割是以线段的比例中项来定义的；
2)，0.618又被称为黄金分割数；
【典例1】下面四组线段中,能成比例的是　(　　)
A.3,6,7,9 B.3,6,9,18
C.2,5,6,8 D.1,2,3,4
【典例2】若2x＝3y，且x≠0，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【典例3】秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（　　）
A．0 B．
考点二 平行线分线段成比例及其相似三角形
定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等.
2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等.
推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例．
如图，若DE∥BC，则有
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若，则　　.
【典例3】（2025·四川宜宾）如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点三 位似图形
1.位似图形
定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心.
【概念混淆】位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形.
判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
2. 位似图形的性质
1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点.
2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质.
5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似
3. 画位似图形的一般步骤：
1）确定位似中心.
2）连接位似中心和原图的关键点并延长.
3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点.
4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形.
注意事项：
1）两个位似图形的位似中心，有一个.
2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上.
3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
4.位似变换的坐标特征
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反.
【典例1】（2025·安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）．
（1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1．
【典例2】如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（　　）
A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，）
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）
专项训练·深度理解
专项训练二十：图形的相似与位似
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，DF＝（　　）
A．7 B．7.5 C．8 D．4.5
2. （2025·四川眉山）如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（　　）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
3. （2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
5. （ 2025·河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　）
A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3
6. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（　　）
A．4 B．6 C．9 D．16
7. （2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）

A． B． C． D．
8. （2023·四川内江·统考中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
9. （2023·安徽·统考中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A． B． C． D．
10. （2023·河南·统考中考真题）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为（ ）
A． B． C．2 D．2或
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．

12. 如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 　　．
13. （ 2025·甘肃）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝．风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 　 cm．
14. （2023·吉林长春）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________．

15. 如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝　 　．
16. （2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________．

三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）如图，四边形OABC的顶点O为坐标原点，以O为位似中心，作出四边形OA1B1C1与四边形OABC位似，若A（6，0）的对应点为A1（4，0），四边形OABC的面积为27，求四边形OA1B1C1的面积．
18. （6分）如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；（2）求AB的长．
19. （6分）如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一点，过点D作DE∥BC，交CA延长线于点E，点F是DE延长线上一点，连接AF.
(1)如果＝，DE＝6，求边BC的长；
(2)如果∠FAE＝∠B，FA＝6，FE＝4，求DF的长．
20. （8分）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
21. （8分）（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若的面积为4，求的面积．
22. （8分）如图，点是边上一点，连接，过上点作，交于点，过点作交于点，已知，．
(1)求的长；
(2)若，在上述条件和结论下，求的长．
23. （10分）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．
(1)求线段的长；
(2)取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．
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