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第21讲 相似三角形及其应用
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
相似三角形的性质 了解相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性质定理.
相似三角形的有关证明与计算
相似三角形的应用 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 相似多边形
1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形.
【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同；
2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关.
2.相似多边形及、性质与判定
相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”.
【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例；
2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；；
3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置.
【典例1】在两个相似的五边形中，一个边长分别为1、2、3、4、5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？
【解答】解：设1、2、3、4对应边长为a、b、c、d，根据相似多边形对应边的比相等，则有====，
解得a=,b=,c=,d=.
∴另一个五边形的周长为：
a+b+c+d+8=++++8=24.
典例2】如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比k.
解：(1)∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴＝，
设AD＝x，则DM＝x，
∴＝，
∴x2＝32，∴x1＝4或x2＝－4(负值舍去)，
∴AD＝4　
(2)k＝＝＝
【典例3】在两边长分别为AB＝30 m，AD＝20 m的矩形花坛四周修筑小路．
(1)如果四周小路的宽均相等，如图①，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′ 和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
(2)如果相对的两条小路的宽均相等，如图②，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD？请说明理由．
解：(1)依题意可知，A′D′=(20+2x)m，A′B′=(30+2x)m
==，= =
∵≠，∴矩形A′B′C′D′ 和矩形ABCD不相似.
(2)当＝时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，
解得＝
考点二 相似三角形
相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF.
【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1.
【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应；
【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系.
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比.
【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为.
常见的基本图形：
图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE；
图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图;
图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB.
相似三角形的判定方法：
1）判定三角形相似的常用定理：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②三边成比例的两个三角形相似；
③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
④两角分别相等的两个三角形相似．
2）直角三角形相似的判定方法：
①有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
②两组直角边成比例的两个直角三角形相似.
③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”.
【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系.
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3）相似三角形周长的比等于相似比.
4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB.
【典例1】如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．.
【分析】先证∠CAD＝∠BDE，再根据∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴，
∵BD＝4DC，
∴设DC＝x，
则BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴，
∴AD＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
【典例2】如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（　　）
A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm
【考点】相似三角形的应用．.
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．
【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝3，
∵CD＝3cm，
∴AB＝9cm，
∵某零件的外径为10cm，
∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．
【典例3】（ 2025·广西）【平行六边形】如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中AB与DE，BC与EF，CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F叫做“主对角”；AD，BE，CF叫做“主对角线”．
（1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．
猜想 判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等 　错误　
②平行六边形的三组主对角分别相等 　正确　
③平行六边形的三条主对角线互相平分 　错误　
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．
（2）如图2，已知平行六边形OPQRST满足OP＝PQ＝QR＝RS．求证：平行六边形OPQRST是菱六边形；
（3）如图3是一张边长为3，4，6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．
【分析】（1）连接BE，CF，AD，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；
（2）先证明QRSH为平行四边形，再证明HSTO为平行四边形，即可证明是菱六边形；
（3）根据菱六边形DEFGHK得到，，设DE＝EF＝FG＝HG＝KH＝DK＝x，根据AB＝AD+DK+BK＝3，解得x，代入即可．
【解答】（1）解：连接BE，CF，AD，BE，AD交于点O，
由图可知：
①AB平行于DE，只能知道△AOB∽△DOE，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的；
②AB平行于DE，∠ABE＝∠BED，同理可得∠CBE＝BEF，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的；
③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的．
故答案为：①错误；②正确；③错误；
（2）证明：过点Q作QH平行且相等于PO，连接OH，HS，
则平行四边形PQHO是平行四边形，
∴PQ平行于OH，PQ＝OH，
在平行六边形OPQRST中，PO平行于RS，PO＝RS，
∴QH平行且相等于RS，
∴QRSH为平行四边形，
∴QR平行于HS，QR＝HS，
在平行六边形OPQRST中，PQ平行于ST，QR平行于OT，
∴OH平行于ST，HS平行于OT，
∴HSTO为平行四边形，
∴HS＝OT，OH＝ST，
∴QR＝OT，PQ＝ST，
∵OP＝PQ＝QR＝RS，
∴PQ＝QR＝RS＝ST＝OT＝PO，
∴平行六边形OPQRST是菱六边形．
（3）解：设三角形纸片为△ABC，
裁剪后的纸片为菱六边形DEFGHK，
∴DE平行于HG，HK平行于EFHG，GF平行于AB，DE＝EF＝FG＝HG＝KH＝DK，
∴△ADE∽△ABC，△BKH∽△BAC，
∴，，
设DE＝EF＝FG＝HG＝KH＝DK＝x，
则，
∴，，，
∵AB＝AD+DK+BK＝3，
∴，
解得：，
∴，，．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
专项训练·深度理解
专项训练二十一：相似三角形及其应用
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2023·重庆·统考中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）

A．4 B．9 C．12 D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B.
【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.
2.下列图形不相似的是(　　)
A．所有的圆 B．所有的正方形 C．所有的等边三角形 D．所有的菱形
【解答】解：根据相似多边形的概念可以判断得到所有的菱形对应边成比例，但是对应角不一定相等，故选D.
3. 若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB＝6，A′B′＝8，∠A＝45°，B′C′＝8，CD＝4，则下列说法错误的是（ ）
A．∠A′＝45° B．四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为
C．BC＝6 D．C′D′＝
【解答】解：根据对应边成比例，对应角相等，可知对应边之间的比值为3:4，故可得BC＝6，∠A′＝45° ，C′D′＝，故B错误，答案选B.
4. （2025·四川内江）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　）
A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm
【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm，
∴，
∴AC＝60，
∴AC的长为60cm．
故选：B．
5. （2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，

由图可知，，，
.
根据镜面的反射性质，
∴，
∴，
，
，
.
小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，
，，.
.
.
故选：B.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性
6. （2025·江西）如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；…依此类推，则△AnBn n的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题知，
因为点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，
所以A1B1∥AB，B1C1∥AC，A1C1∥BC，，
所以△A1B1C1∽△BAC，
则．
又因为△ABC的面积为1，
所以△A1B1C1的面积为．
同理可得，△A2B2C2的面积为，△A3B3C3的面积为，…，
所以△AnBn n的面积可表示为．
故选：C．
7. 如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，点B关于AC的对称点为点E，连接AE，CE，CE交AD于点F，过点F作FG⊥AC，垂足为G，过点G作GH⊥BC．垂足为H，若AB＝4，BC＝8，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的性质．.
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似．
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质得∠ACB＝∠ACE，由矩形的性质得AD∥BC，则∠ACB＝∠CAD，三角形ACF是等腰三角形，可得AG＝CG，证明△CGF∽△CBA，根据相似三角形的性质可得GF＝2，由GH∥AB得GH是△ABC的中位线，可GH＝2，即可求解．
【解答】解：∵点B关于AC的对称点为点E，
∴∠ACB＝∠ACE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝∠CAD，AC4，
∴∠ACE＝∠CAD，
∴AF＝CF，
∴三角形ACF是等腰三角形，
∵FG⊥AC，
∴AG＝CGAC＝2，∠CGF＝∠CBA＝90°，
∵∠ACB＝∠ACE，
∴△CGF∽△CBA，
∴，即，
∴GF，
∵GH⊥BC，
∴∠CHG＝∠CBA＝90°，
∴GH∥AB，
∵AG＝CG，
∴GH是△ABC的中位线，
∴GH＝2，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，中位线定理等，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
8. （2025·陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AB＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BEAB＝2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE，
∠A＝∠B＝90°，EF⊥EC，
∴∠BCE+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠BCE＝∠AEF，
∴△BCE∽△AEF，
∴，
∴EF，
∴△CEF的面积为：CE EF5．
故选：C．
9. （2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）

A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，

矩形中，，
，
．
由作图过程可知，平分，
四边形是矩形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
．
，
．
，，
，
，即，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出．
10. （2024 赤峰）如图，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点．若点C′恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是π；②B′A∥BC；③BD＝C′D；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
【分析】①先求出点B旋转的角度为36°，半径为1，即可求出路径长；②∠B′AB＝∠ABC＝36°，所以B′A∥BC；③∠DC′B＝∠ABC＝36°，所以BD＝C′D；④△B′BD∽△BAC，所以．
【解答】解：∵AB＝BC，∠C＝72°，
∴∠BAC＝∠C＝72°，∠ABC＝180°﹣2∠C＝36°，
由旋转的性质得∠AB′C＝∠ABC＝36°，∠B'AC'＝∠BAC＝72°，∠AC′B′＝∠C＝72°，∠AC′B′＝∠ADC＝72°，AC′＝AC，
∴∠AC′C＝∠C＝72°，
∴∠CAC'＝36°，
∴∠CAC′＝∠BAC′＝36°，
∴∠B′AB＝72°﹣36°＝36°，
由旋转的性质得AB′＝AB，
∴，
①点B在旋转过程中经过的路径长是，①说法正确；
②∵∠B′AB＝∠ABC＝36°，∴B′A∥BC，②说法正确；
③∵∠DC′B＝180°﹣2×72°＝36°，
∴∠DC′B＝∠ABC＝36°，
∴BD＝C′D，③说法正确；
④∵∠BB′D＝∠ABC＝36°，∠B′BD＝∠BAC＝72°，
∴△B′BD∽△BAC，
∴，④说法正确；
综上，①②③④都是正确的，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，旋转的性质等，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. 两个相似多边形的最长边分别为10 cm和25 cm，它们的周长之差为60 cm，则这两个多边形的周长分别为 ．
【解答】解：两个周长分别为40cm、100cm，
故答案填40cm、100cm.
12. （2023·江西·统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m．

【答案】
【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵和均为直角
∴，
∴，
∴
∵，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 　20　cm．
【考点】相似三角形的应用；平行投影．.
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】20．
【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，进而利用相似三角形的性质求出即可．
【解答】解：设小孔O到A′B′的距离为x cm，
由题意可得：△ABO∽△A′B′O，
则，
解得：x＝20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
14. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 　米．
【考点】相似三角形的应用．.
【专题】图形的相似；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射的性质求出△CHE∽△AGE，再根据对应边成比例解答即可．
【解答】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，
∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，
∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，
∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），
又根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，
∴△CHE∽△AGE，
∴，即，
解得：AG＝3.6米，
∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．
故答案为：4.1．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
15. 如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD内部．AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，则a、b、c、d应满足的条件是 ．
【解答】解：a＋c＝2b＋2d，理由如下：设AB＝x，则AD＝2x，
那么A′D′＝2x－a－c，A′B′＝x－b－d.
∵矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，∴AD∶AB＝A′D′∶A′B′＝2∶1.
∴A′D′＝2A′B′.∴2x－a－c＝2(x－b－d)．
∴a＋c＝2b＋2d
故答案为a＋c＝2b＋2d（或其他形式，正确即可）
16. （2023·四川成都·统考中考真题）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________．

【答案】
【分析】根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得，
∴，
∴，
∵与四边形的面积比为，
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
18. （6分）（2025·山东烟台）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠C，点D在线段CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，AC＝8时，求BC的长及⊙O的半径．
【解答】（1）证明：作直径AE，连接BE，如图，
∵BD＝AB，
∴∠D＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠BAD，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠C＝∠BAD，
∵∠E＝∠C，
∴∠E＝∠BAD，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAE＝90°，
即∠DAE＝90°，
∴AE⊥AD，
∵AE为直径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠D＝∠C，
∴AD＝AC＝8，
∵∠BAD＝∠C，∠ADB＝∠CDA，
∴△DAB∽△DCA，
∴DB：DA＝DA：DC，
即5：8＝8：DC，
解得DC，
∴BC5；
∵AD＝AC，AH⊥CD，
∴CHCD，
在Rt△ACH中，∵AC＝8，CH，
∴AH，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∵∠E＝∠C，∠ABE＝AHC，
∴△ABE∽△AHC，
∴AE：AC＝AB：AH，
即AE：8＝5：，
解得AE
∴⊙O的半径为．
19. （6分）（2023·湖南·统考中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．

(1)证明：．
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20. （8分）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质．.
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得∠3＝∠6，从而求证BF⊥AC；
（2）根据相似三角形的判定进行分析判断；
（3）利用相似三角形的性质分析求解．
【解答】（1）证明：如图，
在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵BE平分∠DBC，
∴∠1＝∠6，
∴∠3＝∠6，
∴∠6+∠5＝90°，
∴BF⊥AC；
（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：
∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，
∴△ECF∽△OBF，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠BFA＝∠OFB，
∴△BAF∽△OBF；
（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．
又∵∠OFB＝∠BFA，
∴△OBF∽△BAF．
∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，
∴△OBF∽△ECF．
∴，
∴，即3CF＝2BF，
∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9，
∴3OC＝2BF+9
∴3OA＝2BF+9①，
∵△ABF∽△BOF，
∴，
∴BF2＝OF AF，
∴BF2＝3（OA+3）②，
联立①②，可得BF＝1±（负值舍去），
∴DE＝BE＝2+13．
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
21. （8分）（2025·四川宜宾）如图，过原点O的直线与反比例函数y（k≠0）的图象交于A、B两点．一次函数y＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C，与x轴交于点M，其中A（﹣2，1），C（﹣1，n）．
（1）求一次函数y＝mx+b的表达式，并求△AOM的面积；
（2）连结BC，在直线AC上是否存在点D，使以O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入到中得：，
解得k ＝﹣2，
∴反比例函数解析式为，
在中，当 x＝﹣1时，，
∴C（﹣1，2），
把A（﹣2，1），C（﹣1，2）代入到y＝mx+b中得：，
解得，
∴一次函数y＝mx+b的表达式为y＝x+3，
在y＝x+3中，当y＝x+3＝0时，x＝﹣3，
∴M（﹣3，0），
∴OM＝3，
∴；
（2）∵直线AB经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为B（2，﹣1），OA＝OB，
∵A（﹣2，1），C（﹣1，2），
∴，BC，AB，
∴AC2+BC2，，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵BC⊥AC，
∴OA与AC不垂直，
∵△OAD与△ABC相似，
∴只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况，
当△OAD∽△BAC时，则，∠ODA＝∠BCA＝90°，
∴，OD∥BC，
∴此时点D为AC的中点，
∴点D的坐标为，
当△OAD∽△CAB时，则，
，
∴，OD，
设D（d，d+3），
∴，
解得d＝3，
∴d+3＝6，
∴点D的坐标为（3，6）；
综上所述，点D的坐标为或（3，6）．
22. （8分）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．
（1）初步探究
如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD AB；
（2）尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长；
（3）创新提升
如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的长．
【考点】相似形综合题．.
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）CD的长是2；
（3）BE的长是．
【分析】（1）由∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，证明△ACD∽△ABC，得，则AC2＝AD AB；
（2）设AD＝m，则AD＝BD＝m，AB＝2m，根据相似三角形的性质得，则AC2＝2m2，求得ACm，所以，而BC＝4，则CDBC＝2；
（3）作BF⊥DC交DC的延长线于点F，设CE＝DE＝n，则CB＝CD＝2n，再证明∠FBC＝30°，所以CFCB＝n，求得EF＝2n，BFn，则BD＝2n，BEn，作CH∥EB交AB的延长线于点H，则△HDC∽△BDE，所以2，则HC＝2n，HD＝4n，再证明△ACD∽△AHC，得，则ADAC＝2，AHAC＝14，所以HD＝4n＝12，则n，求得BE．
【解答】（1）证明：如图2，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD AB．
（2）解：如图3，设AD＝m，
∵点D为AB中点，
∴AD＝BD＝m，AB＝2m，
由（1）得△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD AB＝m×2m＝2m2，
∴ACm或ACm（不符合题意，舍去），
∴，
∵BC＝4，
∴CDBC4＝2，
∴CD的长是2．
（3）解：如图4，作BF⊥DC交DC的延长线于点F，则∠F＝90°，
∵点E为CD中点，
∴CE＝DE，
设CE＝DE＝n，
∵∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴CB＝CD＝2n，∠BCF＝∠CDB+∠CBD＝60°，
∴∠FBC＝90°﹣∠BCF＝30°，
∴CFCB＝n，
∴EF＝CE+CF＝2n，BFn，
∴BD＝2BF＝2n，BEn，
作CH∥EB交AB的延长线于点H，则△HDC∽△BDE，
∴2，
∴HC＝2BE＝2n，HD＝2BD＝4n，
∵∠ACD＝∠EBD，∠H＝∠EBD，
∴∠ACD＝∠H，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△AHC，
∴，
∵AC＝2，
∴ADAC22，AHAC214，
∴HD＝AH﹣AD＝14﹣2＝12，
∴4n＝12，
解得n，
∴BE，
∴BE的长是．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
23. （10分）（2025·四川南充）矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP＝FC．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段CD上，CM＝4．点E在移动过程中，求PM的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点N在线段AD上，AN＝4．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接EF，
由折叠可得∠APE＝∠B＝90°，PE＝BE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，
∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∴PE＝EC，
在Rt△EPF与Rt△ECF中，
∵EP＝EC，EF＝EF，
∴Rt△EPF≌Rt△ECF（HL），
∴FP＝FC；
（2）解：∵AP＝AB＝10，点E在移动过程中，AP＝10不变．
∴点P在以A为圆心，10为半径的⊙A的弧上，
连接AM，如图，
当点P在线段AM上时，PM有最小值，
∵AD＝17，AB＝CD＝10，CM＝4，
∴DM＝6，
∴，
∴PM的最小值为；
（3）解：过点P作PH⊥AD于H，延长HP交BC于点G，连接PD、NP，如图，
∵∠NPD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠2，
∵∠PHN＝∠DHP，
∴△PHN∽△DHP，
∴，
∴HP2＝HN HD，
∵AN＝4，AD＝17，
∴DN＝13，
设HN＝x，HD＝13﹣x，
∴AH＝x+4，HP2＝x（13﹣x），
∵AB＝10，
∴AP＝AB＝10，
∵HP2＝AP2﹣AH2，
∴HP2＝102﹣（x+4）2，
∴x（13﹣x）＝102﹣（x+4）2，
解得x＝4，
∴HP＝6，AH＝8，HG＝AB＝10，PG＝4，BG＝AH＝8，
设BE＝m，则PE＝m，GE＝8﹣m，
在Rt△PGE中，PE2＝EG2+PG2，
∴m2＝（8﹣m）2+42，
解得m＝5，
即BE的长为5．
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第21讲 相似三角形及其应用
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
相似三角形的性质 了解相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性质定理.
相似三角形的有关证明与计算
相似三角形的应用 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 相似多边形
1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形.
【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同；
2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关.
2.相似多边形及、性质与判定
相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”.
【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例；
2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；；
3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置.
【典例1】在两个相似的五边形中，一个边长分别为1、2、3、4、5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？
典例2】如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比k.
【典例3】在两边长分别为AB＝30 m，AD＝20 m的矩形花坛四周修筑小路．
(1)如果四周小路的宽均相等，如图①，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′ 和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
(2)如果相对的两条小路的宽均相等，如图②，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD？请说明理由．
考点二 相似三角形
相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF.
【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1.
【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应；
【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系.
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比.
【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为.
常见的基本图形：
图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE；
图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图;
图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB.
相似三角形的判定方法：
1）判定三角形相似的常用定理：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②三边成比例的两个三角形相似；
③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
④两角分别相等的两个三角形相似．
2）直角三角形相似的判定方法：
①有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
②两组直角边成比例的两个直角三角形相似.
③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”.
【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系.
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3）相似三角形周长的比等于相似比.
4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB.
【典例1】如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
【典例2】如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（　　）
A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm
【典例3】（ 2025·广西）【平行六边形】如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中AB与DE，BC与EF，CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F叫做“主对角”；AD，BE，CF叫做“主对角线”．
（1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．
猜想 判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等 　错误　
②平行六边形的三组主对角分别相等 　正确　
③平行六边形的三条主对角线互相平分 　错误　
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．
（2）如图2，已知平行六边形OPQRST满足OP＝PQ＝QR＝RS．求证：平行六边形OPQRST是菱六边形；
（3）如图3是一张边长为3，4，6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．
专项训练·深度理解
专项训练二十一：相似三角形及其应用
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2023·重庆·统考中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）

A．4 B．9 C．12 D．
2.下列图形不相似的是(　　)
A．所有的圆 B．所有的正方形 C．所有的等边三角形 D．所有的菱形
3. 若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB＝6，A′B′＝8，∠A＝45°，B′C′＝8，CD＝4，则下列说法错误的是（ ）
A．∠A′＝45° B．四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为
C．BC＝6 D．C′D′＝
4. （2025·四川内江）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　）
A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm
5. （2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）

A． B． C． D．
6. （2025·江西）如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；…依此类推，则△AnBn n的面积为（　　）
A． B． C． D．
7. 如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，点B关于AC的对称点为点E，连接AE，CE，CE交AD于点F，过点F作FG⊥AC，垂足为G，过点G作GH⊥BC．垂足为H，若AB＝4，BC＝8，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8. （2025·陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．4
9. （2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）

A． B． C． D．4
10. （2024 赤峰）如图，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点．若点C′恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是π；②B′A∥BC；③BD＝C′D；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. 两个相似多边形的最长边分别为10 cm和25 cm，它们的周长之差为60 cm，则这两个多边形的周长分别为 ．
12. （2023·江西·统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m．

13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 　　cm．
14. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 　米．
15. 如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD内部．AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，则a、b、c、d应满足的条件是 ．
16. （2023·四川成都·统考中考真题）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________．

三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
18. （6分）（2025·山东烟台）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠C，点D在线段CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，AC＝8时，求BC的长及⊙O的半径．
19. （6分）（2023·湖南·统考中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．

(1)证明：．
(2)求线段的长．
20. （8分）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
21. （8分）（2025·四川宜宾）如图，过原点O的直线与反比例函数y（k≠0）的图象交于A、B两点．一次函数y＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C，与x轴交于点M，其中A（﹣2，1），C（﹣1，n）．
（1）求一次函数y＝mx+b的表达式，并求△AOM的面积；
（2）连结BC，在直线AC上是否存在点D，使以O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．
22. （8分）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．
（1）初步探究
如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD AB；
（2）尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长；
（3）创新提升
如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的长．
23. （10分）（2025·四川南充）矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP＝FC．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段CD上，CM＝4．点E在移动过程中，求PM的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点N在线段AD上，AN＝4．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长．
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