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2024-2025学年河南省开封市杞县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，是分式的是( )
A. B. C. D.
2.下列图象中，不能表示是的函数的是( )
A. B. C. D.
3.清代诗人袁枚创作了一首诗苔：“白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向若苔花的花粉粒直径线约为米，用科学记数法表示为
A. B. C. D.
4.矩形的面积为平方米，它的长米，宽米之间的函数表达式是( )
A. B. C. D.
5.如图，一次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.如图，在 中，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.函数，当时，的范围是( )
A.
B.
C. 或
D.
8.如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数是．
A.
B.
C.
D.
9.如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，矩形中，对角线，交于点，，分别是边，的中点，，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图中某一定点，设点运动的路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图所示．则点的位置可能是图中的( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出一个图象过点，且随的增大而增大的函数解析式：______．
12.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是 ．
13.若关于的分式方程，有负数解，则实数的取值范围是______．
14.如图，将 先沿折叠，再沿折叠后，点落在线段上的处，点落在处，连结，若恰有，则 ______．
15.如图，正方形的对角线交于点，点是直线上一动点若，则的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地货车的路程，小轿车的路程与时间的对应关系如图所示．
货车的速度是______，小轿车中途停留了______
分别求出与之间的函数表达式及当时，与之间的函数表达式；
货车出发多长时间与小轿车首次相遇？
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
；
；
解方程：．
18.本小题分
每年月日是全国消防日，为提高师生的消防安全意识和自我保护能力，某校开展了“筑牢消防防线，竞逐知识锋芒”消防安全知识竞赛活动为了解七、八年级的学生对消防知识的掌握情况，学校从七年级、八年级各随机抽取名学生进行测试，满分分，以下是测试成绩的抽样与数据分析过程．
【收集数据】七年级名学生测试成绩统计如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
【整理数据】八年级名学生测试成绩频数分布表：
成绩
人数
【描述数据】七年级名学生测试成绩频数分布直方图每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为；
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：根据信息，解答下列问题：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
补全七年级名学生测试成绩频数分布直方图．
请直接写出，的值．
估计该校八年级参加测试的名学生中成绩在分及以上的人数．
请根据“学生参加消防知识竞赛成绩统计表”，从平均数、众数、中位数、方差四个统计量中任意选两个，对本次竞赛中两个年级的成绩做出评价．
19.本小题分
如图，在菱形中，对角线，相交于点过点作，过点作交于点．
求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．
20.本小题分
某电商公司根据市场需求购进一批，两种型号的电脑小音箱进行销售，每台，型小音箱的进价比型小音箱的进价多元，用元购进型小音箱的台数是用元购进型小音箱的台数的倍．
求每台，两种型号的小音箱的进价．
该电商公司计划分别购进，两种型号的小音箱共台进行销售，其中划型小音箱台数不少于型小音箱台数的倍，型小音箱每台售价为元，型小音箱每台售价为元，怎样安排进货才能使售完这台小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
21.本小题分
如图，在中，，于点，延长到点，使过点作交的延长线于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
过点作于点，若，，求的长．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形．
求一次函数和反比例函数的表达式．
求点的坐标，并判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由．
把直线绕着点在平面内旋转，设旋转后的直线为，且设直线的一次函数的解析式为，若直线和正方形只有两个公共点，直接写出旋转后满足条件的直线中的的取值范围注：中的值越大，直线越陡峭，的值越小，直线越平缓
23.本小题分
我们可以将命题：“三角形两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半”做如下推理：
已知：如图，在中，，分别是，的中点，
求证：，且．
证明：过点作的平行线交的延长线于点，即，
______，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，______
，，______
，；
请在上面括号内标注理由；
【知识应用】请直接利用命题结论解决小题：
如图，已知点、、、是四边形各边中点，，，求证：四边形为正方形．
请利用图的结论解决图问题：在平行四边形中，，，，点、分别是边，上的动点，连接，，点是上的中点，点是上的中点，连接，直接写出的最大值与最小值的差．
答案和解析
1.
解：，，不符合分式的定义，符合分式的定义，
故选：．
2.
解：根据函数的定义，中均是的函数，
不符合题意；
中不是的函数，
符合题意．
故选：．
3.
解：米米．
故选：．
4.
解：由矩形的面积公式可得，，
即，
故选：．
5.
解：一次函数中，，，
此函数的图象经过一、三、四象限．
故选：．
6.
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形，，，进而得，再根据得，7.
解：由图象可知：在左边，的右边，，
或．
故选：．
8.
解：由作图可知平分，垂直平分线段，
，
，
，
，
四边形都是矩形，
，
．
故选：．
9.
解：在矩形中，，，
，，，
将矩形沿对角线折叠，点落在点处，
，，，
在与中，
，
≌，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
故选：．
10.
解：，，四边形是矩形，
当时，点到达点，此时的面积为，说明点一定在上，
从选项中可得只有点符合，所以点的位置可能是图中的点．
故选：．
11.答案不唯一
解：由一个函数过点，且随增大而增大，
可知该函数可以为答案不唯一；
故答案为：答案不唯一．
12.
解：因为，所以点纵坐标与点相同为．
又因为，故可得点横坐标为．
故答案为．
13.且
解：，
分式方程去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
分式方程的解为负数，
且，
解得：且．
故答案为：且．
14.
解：四边形是平行四边形，
，，
由折叠得，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15.
解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，其与的交点即为点，再作交于点，
与关于对称，
，，当且仅当，，在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时：，
正方形，点为对角线的交点，
，
与关于对称，
，
，
在中，
，
故答案为：．
16.
解：由题意可得，
货车的速度为：，小轿车中途停留了：，
故答案为：，；
当时，货车行驶的路程为：，
设与之间的函数表达式是，
，得，
即与之间的函数表达式是，
设与之间的函数表达式是，
，
解得，
即与之间的函数表达式是；
当时，，
当时，，得，
答：货车出发小时与小轿车首次相遇．
17.；
；
．
原式
；
原式
；
原方程去分母得：，整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
18.见解答；
，；
名；
答案不唯一，合理即可．
补全直方图如下：
，；
名，
答：估计该校八年级参加测试的名学生中成绩在分及以上的人数约为名；
从平均数看，八年级成绩的七年级，所以八年级消防知识竞赛成绩好；
从中位数看，八年级成绩的中位数大于七年级，所以八年级消防知识竞赛成绩高分人数多于七年级答案不唯一．
19.证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形为矩形；
解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
由可知，四边形是矩形，
矩形的面积．
20.解：设每台型小音箱的进价是元，则每台型小音箱的进价是元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的根，
元，
每台型小音箱的进价是元，每台型小音箱的进价是元．
设购进型小音箱台，则购进型小音箱台，
根据题意，得，
解得且为整数．
设售完这台小音箱所获利润为元，则，
，
随的减小而增大，
且为整数，
当时，取最大值，，此时购进型小音箱台，
购进型小音箱台、型小音箱台才能使售完这台小音箱所获利润最大，最大利润是元．
21.证明：，
，
又，，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：如图，
由可知，四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的长为．
22.，；
在；
且．
把点代入，得．
反比例函数的表达式为．
把点代入，得．
．
把，分别代入，
得，
解得：，
一次函数的表达式为；
点在反比例函数的图象上．
理由如下：
过点作轴于点，过点作轴于点，则，
在中，当时，，
，
．
，
，．
．
四边形是正方形，
，．
，
．
≌．
，．
．
．
，
点在反比例函数图象上．
由可知，，
：，
当直线过点时，由知，；
当直线顺时针旋转时，不符合题意；
当直线逆时针旋转时，符合题意，直到直线过点，此时，，解得，
综上，的取值范围：且．
23.两直线平行，内错角相等；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；
证明见解析；
．
证明：过点作的平行线交的延长线于点，即，
两直线平行，内错角相等，
是的中点，
．
在和中，
，
≌．
，，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
，，平行四边形的对边平行且相等
，；
故答案为：两直线平行，内错角相等；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；
证明：点、是、的中点，
，，
同理：，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形为正方形．
解：的最大值与最小值的差为．
连接，，过点作，垂足为，
点是上的中点，点是上的中点，
为的中位线，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
的最大值为，最小值为，
的最大值与最小值的差为，

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